Схема попарных сравнений (реальная схема)

На практике при проведении экспертного оценивания экспертам очень трудно одновременно сопоставить свойства всей группы сравниваемых объектов (факторов) Л1, Л2, ...,Лп, которых может быть весьма много, и назначить им соответствующие веса м1, м2,., мп.

а12 * а1п ^

а22 * а2 п

^ ап1 ап 2 * апп,

Заполняя клетки этой матрицы, при парном сравнении эксперт не знает всего набора чисел м1, м2,..., мп, т.е. весов объектов. Его задача как раз и состоит в том, чтобы определить их впоследствии. При парном сравнении матрица заполняется числами а- = м/м-, характеризующими относительное превосходство (важ

ность, вес) объекта Лг над объектом Лу, в то время как собственные веса этих объектов и Щу пока еще не определены. Иными словами, агу назначается экспертом, а веса и Щу, образующие при делении друг на друга величину ау, подлежат последующему определению.

Для назначения чисел агу необходимо договориться о шкале, по которой будет оцениваться превосходство одного объекта над другим при их попарном сравнении. Для целей экспертного оценивания примем 9-балльную шкалу, предложенную автором метода анализа иерархий Томасом Саати [1].

Шкала относительной важности содержит, очевидно, и все обратные числа 1/9, 1/7, 1/5, 1/3 и промежуточные значения 1/8, 1/6, 1/4, 1/2.

Матрица парных сравнений заполняется, как правило, следующим образом. Объект А1 сравнивают со всеми остальными А2, Ап, заполняя последовательно первую строку матрицы. Затем объект А2 сравнивают со всеми остальными, заполняя вторую строку числами ау, определяемыми по шкале относительной важности и так далее. Если вес объекта А/ равен весу объекта А, то сообразно шкале а, = 1. Если вес объекта Аг- больше веса объекта А, то в соответствии со шкалой эксперт определяет степень превосходства, выраженную в баллах, причем а, gt; 1 Если наоборот вес объекта А1 меньше веса объекта А, то по шкале задается балльная оценка аг] lt; 1

По правилам заполнения матриц парных сравнений должны выполняться условия:

1. а]=м/м] gt; 0 для всех / и ], так как все балльные оценки положительны.
2. аи=м/м1 = 1 для всех /= 1, 2,..., п.
3. элементы матрицы А обладают обратной симметрией, а именно а, = 1/а]Ъ иначе говоря, если превосходство объекта А-1 над объектом А] оценивается по шкале, например, в 5 баллов и ау =5, то обратное сопоставление объекта А] с А1 должно автоматически давать оценку ау = 1/5.

Очевидно, что в силу обратной симметричности при заполнении матрицы парных сравнений удобно определять только элементы, стоящие выше диагонали. Диагональные элементы равны единице, а элементы под диагональю в силу обратной симметричности определяются автоматически.

Необходимо обратить внимание на то, что матрица парных сравнений обладает всеми свойствами матрицы относительных весов в схеме идеального сравнения, кроме четвертого. Таким образом, она не обладает, вообще говоря, свойством совместности ау - а,к = ак. Это, очевидно, происходит из-за того, что эксперт не знает точно веса объектов м1, м2,..., мп, а оперирует лишь их отношениями а,

Можно найти максимальное вещественное собственное зна-

п*              г*              *

чение Атах и собственный вектор м матрицы парных сравнений.

• *

Вообще говоря, Атах и м не совпадают с соответствующим собственным значением Хшах = п и собственным вектором м матрицы относительных весов в схеме идеального сравнения.

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда матрица А является совместной, т.е. выполняется четвертое свойство аг-'а-к = агк .

Идея Т. Саати [1], состоит в том, что коэффициенты а- матрицы парных сравнений А заданы сравнительно точно, т.е. отклонения а- от истинных отношений весов м/м- незначительны.

Тогда можно надеяться, что и Хтах будет близко к п. Здесь используется известное положение линейной алгебры, согласно которому малым отклонениям от исходных значений элементов матрицы соответствует малое отклонение ее собственных значений.

*

Определив Лтах одним из методов линейной алгебры, мож-

*              г*

но найти и вектор м , который будет мало отличаться от «истинного» вектора м. Вектор м определяется, например, из системы однородных уравнений

(59)

Вектор м , удовлетворяющий условию нормирования

(60)

как доказывается в линейной алгебре, всегда существует и определяется однозначно.

Применение предложенного подхода будет оправдано, если реальная ситуация окажется близкой к идеальной. В качестве меры отклонения реальной схемы от идеальной согласно [1] используется индекс совместности, определяемый по формуле

(61)

Если 1С lt; 0,2, то считается, что расхождение между идеальной и реальной схемами сравнения находится в допустимых пределах и полученным результатам можно доверять. Если это усло

вие не выполняется, следует пересмотреть задачу, уточнить экспертные оценки и заново сформировать матрицу парных сравнений Л .

В частном случае п = 2 характеристическое уравнение любой обратно симметричной положительной матрицы с единичными диагональными членами будет иметь вид

1. — X ал

*12

= 0,

или, раскрывая детерминант

(1 - Х)( 1 - X) - 1 = 0.

Последнее уравнение имеет два корня, которые равны 0 и 2. Таким образом, в этом частном случае всегда Хтах = п = 2, т.е. всегда имеет место полная согласованность (1С = 0), а значит и полное совпадение реальной и идеальной схем сравнения.