Идеальная схема сравнения

Пусть имеется набор п объектов (факторов), подлежащих сравнению. Обозначим эти объекты символами Ль Л2, ...,Ап.

Пусть в рамках экспертного оценивания эти объекты характеризуются соответственно с помощью положительных чисел ^2,..., ^п на наличие и степень проявления некоторого рассматриваемого экспертизой свойства.

Для удобства, и не в ущерб общности рассматриваемой задачи, в дальнейшем будем оперировать нормированными величинами wi (/'=1,...,п), которые обладают тем свойством, что

w1+w2+.+wn=1.

Таким образом, при использовании нормированных величин можно утверждать, что wi 100% представляет собой вес объекта (фактора) Ли выраженный в процентах.

Сопоставим вес каждого из объектов с весами других объектов, образуя тем самым так называемую матрицу относительных весов

Л = (а ) =

У

Матрица относительных весов обладает четырьмя важными свойствами:

1. ау=щгЩ gt; 0 для всех г и у, так как все веса и Щу положительны.
2. ац=щ/щг = 1 для всех г= 1, 2,..., п.
3. Матрица А обратно симметрична, а именно агу = 1/ауг

для всех г и у.

аУ =

Щ Щ ап

ж,.

4. Матрица А обладает свойством совместности, а именно

= Щ Щ = Щ =

агк для всех г, у и к.

Если из весов щ1, щ2,..., щп образовать вектор-столбец щ

V Щп У

то нетрудно убедиться, что имеет место равенство

Л • щ = п • щ ,

если заметить, что г-я компонента вектора, записанного в левой части соотношения (1), равна

• Мп у

Ж Ж Ж = — - м1 +—- - м2 +              1—- - Мп = п-М?1

что совпадает с /-ой компонентой вектора, расположенного в правой части соотношения (55).

Выполнение равенства (55) означает, что число п является собственным значением (числом) матрицы относительных весов А в то время как м является собственным вектором, соответствующим этому собственному значению.

Напомним, что в линейной алгебре число X называют собственным значением матрицы А, а ненулевой вектор-столбец х - собственным вектором, соответствующим собственному значению X, если имеет место равенство

А-х = А-х

Собственное значение матрицы А можно найти из так называемого характеристического уравнения

Я -А-Ь = 0

А-А-Е

определитель соответствующего матричного

выражения, а Е- единичная матрица.

Характеристическое уравнение (57) для матрицы п-ого порядка представляет собой алгебраическое уравнение п-ой степени. Отсюда следует, что матрица А порядка п имеет п вообще говоря комплексных собственных чисел, являющихся корнями соответствующего характеристического уравнения.

Для матрицы относительных весов, обладающей четырьмя рассмотренными выше свойствами, можно доказать следующее положение.

Теорема. «Матрица относительных весов Л = {wi|wj) имеет

лишь два вещественных собственных значения: п и 0».

Если обозначить Хтах = п = тах{п;0}, то в соответствии с этой теоремой равенство (1) можно представить в виде

Лм = Лтах^              (58)

Равенство (58) является основой для дальнейшей математической обработки и интерпретации экспертных оценок в рамках метода анализа иерархий [1].