<<
>>

4.2. Теория игр

Применение теории игр в практике управления. Теория игр все шире проникает в практику экономических решений и исследований. Ее можно рассматривать как инструмент, помогающий повысить эффективность плановых и управленческих решений.

Обычно теорию игр определяют как раздел математики для изучения конфликтных ситуаций. Это значит, что можно выработать оптимальные правила поведения каждой стороны, участвующей в решении конфликтной ситуации [16].

В экономике аппарат математического анализа, занимающийся^п- ределением экстремумов функций, оказался недостаточным. Появилась необходимость изучения так называемых оптимальных минимаксных и максиминных решений.

Таким образом, теорию игр можно рассматривать как новый раздел оптимизационного подхода, позволяющего решать новые задачи при принятии решений.

Основные понятия теории игр. В теории используются следующие понятия: ?

игра — упрощенная формализованная модель реальной конфликтной ситуации. Математически формализация означает, что выработаны определенные правила действия сторон в процессе игры: варианты действия сторон; исход игры приданном варианте действия; объем информации каждой стороны о поведении всех других сторон. Одну играющую сторону при исследовании операций может представлять коллектив, преследующий некоторую общую цель. Однако разные члены коллектива могут быть по-разному информированы об обстановке проведения игры. Выигрыш или проигрыш сторон оценивается численно, другие случаи в теории игр не рассматриваются, хотя не всякий выигрыш в действительности можно оценивать количественно; ?

игрок — одна из сторон в игровой ситуации; ?

стратегия игрока — правила действия игрока в каждой из возможных ситуаций игры. Существуют игровые системы управления — системы, процесс управления в которых рассматривается как игра; ? платежная матрица — матрица эффективности, матрица игры.

Она включает все значения выигрышей (в конечной игре). Пусть игрок 1 имеет т стратегий А,, а игрок 2 — п стратегий В] (/ = 1,т; у = 1, л) • Игра может быть названа игрой т х п. Представим матрицу эффективности игры*двух л иц с нулевой суммой, сопроводив ее необходимыми обозначениями (табл. 4.1) [16].

Таблица 4.1

Платежная матрица Игрок 2 в, *2 ... К «/ л “и «12 «1« <*1 Игрок 1 ^2 «21 «22 «2« «2 ... Л, °га1 ат2 атп Ру Р< Р2 Р* В данной матрице элементы (значения выигрышей игрока) могут означать и математическое ожидание выигрыша (среднее значение), если выигрыш — случайная величина. Величины а,-, / = 1,»» и |}у, j = 1 ,п — соответственно минимальные значения элементов ау. по строкам и максимальные — по столбцам. Их содержательный смысл будет отражен ниже.

В теории игр не существует установившейся классификации видов игр. Однако по определенным признакам некоторые виды можно выделить [16, 52].

Классификация игр. Количество игроков. Если в игре участвуют две стороны, то ее называют игрой двух лиц. Если число сторон больше двух, ее относят к игре п игроков. Наибольший интерес вызывают игры двух лиц. Они и математически более глубоко проработаны, и в практических приложениях имеют наиболее обширную библиографию.

Количество стратегий игры. По этому критерию игры делятся на конечные и бесконечные. В конечной игре каждый из игроков имеет конечное число возможных стратегий. Если хотя бы один из игроков

имеет бесконечное число возможных стратегий, игра называется бесконечной.

Взаимоотношения сторон. Согласно данному критерию игры делятся на следующие категории: ?

бескоалиционные — игроки не имеют право вступать в соглашения, образовывать коалиции; ?

колиационные — игроки могут вступать в соглашения, создавать коалиции; ?

кооперативные — игры, в которых заранее определены коалиции.

Характер выигрышей. Этот критерий позволяет выделить: ?

игры с нулевой суммой — предусматривают условие: сумма выигрышей всех игроков в каждой партии равна нулю. Игры двух игроков с нулевой суммой относят к классу антагонистических.

Естественно, выигрыш одного игрока при этом равен проигрышу другого. Примерами игр с нулевой суммой служат многие экономические задачи. В них общий капитал всех игроков перераспределяется между игроками, но не меняется; игры с ненулевой суммой, к которым можно отнести большое количество экономических задач. Например, в результате торговых взаимоотношений стран, участвующих в игре, все участники могут оказаться в выигрыше. Игры, за право участия в которых нужно вносить взнос, также игры с ненулевой суммой.

Вид функции выигрышей. По этому критерию игры выделяют: ?

матричные — конечные игры двух игроков с нулевой суммой. В общем случае платежная матрица таких игр прямоугольная. Номер строки матрицы соответствует номеру стратегии, применяемой игроком 1. Номер столбца соответствует номеру стратегии игрока 2. Выигрыш игрока 1 — элемент матрицы. Выигрыш игрока 2 равен проигрышу игрока 1. Матричные игры всегда имеют решения в смешанных стратегиях. Они могут быть решены методами линейного программирования; ?

биматричные — конечные игры двух игроков с ненулевой суммой. Выигрыши каждого игрока задаются своей матрицей, в которой строка соответствует стратегии игрока 1, а столбец — стратегии игрока 2. Однако элемент первой матрицы показывает выигрыш игрока 1, а элемент второй матрицы — выигрыш игрока 2.

Для биматричных игр, также как и для матричных, разработана теория оптимального поведения игроков; ?

непрерывные — игры, в которых функция выигрышей каждого игрока в зависимости от стратегий непрерывна; ?

выпуклые — игры, в которых функция выигрышей каждого игрока выпуклая; ?

сепарабельные — игры, в которых функция выигрышей может быть разделена на сумму произведений функций одного аргумента.

Количество ходов. Согласно этому критерию игры можно выделить: ?

одношаговые — игры, заканчивающиеся после одного хода каждого игрока. Так, в матричной игре после одного хода каждого из игроков происходит распределение выигрышей; ?

многошаговые игры — бывают позиционными, стохастическими, дифференциальными и др.

Информированность сторон. Поданному критерию различают: ?

игры с полной информацией — каждый игрок на каждом ходу игры знает все стратегии, ранее примененные другими игроками на предыдущих ходах. Игра с полной информацией всегда имеет решение. Решением будет седловая точка при чистых стратегиях; ?

игры с неполной информацией — игроку известны не все стратегии предыдущих ходов других игроков.

Степень неполноты информации. По этому критерию игры подразделяются на статистические (в условиях частичной неопределенности) и стратегические (в условиях полной неопределенности, см. ниже). Игры с природой часто относят к статистическим играм. В статистической игре имеется возможность получения информации на основе статистического эксперимента, при котором вычисляется или оценивается распределение вероятностей состояний (стратегий) природы. С теорией статистических игр тесно связана теория принятия экономических решений.

Оценки игры. Рассмотрим матричную игру, представленную матри- цей выигрышей т х я, где число строк / = 1,т, а число столбцов у = 1, п (см. табл. 4.1). Применим принцип получения максимального гарантированного результата при наихудших условиях. Игрок 1 стремится принять такую стратегию, которая должна обеспечить максимальный проигрыш игрока 2. Соответственно игрок 2 стремится принять стратегию, обеспечивающую минимальный выигрыш игрока 1. Рассмотрим оба этих подхода.

Подход игрока 1. Он должен получить максимальный гарантированный результат при наихудших условиях. Значит, при выборе своей чистой стратегии, отвечающей этим условиям, он должен выбрать гарантированный результат в наихудших условиях, т.е. наименьшее значение своего выигрыша а0, которое обозначим

а, = пип а,у.

Чтобы этот гарантированный результат в наихудших условиях был максимальным, нужно из всех ос, выбрать наибольшее значение. Обозначим его а и назовем чистой нижней ценой игры (максимин):

а,- = шаха = max min .

j j j

Таким образом, максиминной стратегии отвечает строка матицы, которой соответствует элемент а.

Какие бы стратегии ни применял игрок 2, игрок 1 максиминной чистой стратегией гарантировал себе выигрыш, не меньший чем а. Таково оптимальное поведение игрока 1.

Подход игрока 2. Своими оптимальными стратегиями он стремится уменьшить выигрыш игрока 1, поэтому при каждойу-й чистой стратегии он отыскивает величину своего максимального проигрыша:

?, = min ar

I

в каждомj-м столбце, т.е. определяет максимальный выигрыш игрока 1, если игрок 2 примениту-ю чистую стратегию. Из всех своих лу-х чистых стратегий он отыскивает такую, при которой игрок 1 получит минимальный выигрыш, т.е. определяет чистую верхнюю цену игры (мини- макс):

? = max ? = min max a -.

j j

Чистая верхняя цена игры показывает, какой максимальный выигрыш может гарантировать игрок 1, применяя свои чистые стратегии, — выигрыш, не меньший, чем а. Игрок 2 за счет указанного выше выбора своих чистых стратегий не допустит, чтобы игрок 1 мог получить выигрыш, больший, чем ?.

Таким образом, минимаксная стратегия отображается столбцом платежной матрицы, в котором находится элемент ? (см. табл. 4.1). Это оптимальная чистая гарантирующая стратегия игрока 2, если он ничего не знает о действиях игрока 1.

Чистая цена игры v — цена данной игры, если нижняя и верхняя ее цены совпадают:

V = max min ос, = min max а,.

/ ./ I J

В этом случае игра называется игрой с седловой точкой.

<< | >>
Источник: Л. И. Лукичёва, Д. Н. Егорычев, Ю. П. Анискина. Управленческие решения : учебник по специальности «Менеджмент организации» — 4-е изд., стер. — М.: Издательство «Омега-Л». — 383 с.: табл. — (Высшая школа менеджмента).. 2009

Еще по теме 4.2. Теория игр:

  1. Заметка о литературе по теории конфликта, представляющей особый интерес для экономистов.
  2. ИГРЫ С НУЛЕВОЙ СУММОЙ Майкл Бахарах Zero-sum Games Michael Bacharach
  3. 4. Общие сведения о теории принятия решений, теории оптимальных решений, психологической теории решений1
  4. 7.6. Теория систем
  5. 4.2. Теория игр
  6. Практическое занятие 9 Деловая игра «Определение степени риска при принятии управленческого решения. Разработка решения с помощью теории игр»
  7. 1.7. ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ В ЧАСТИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
  8. 16.1. Роль теории полезности при принятии решений
  9. 8.1. Элементы теории принятия управленческих решений
  10. №8 ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Деловая игра «Определение степени риска при принятии
  11. 11.2. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ КОНФЛИКТОВ
  12. 8.1. Элементы теории принятия управленческих решений
  13. 16.1. Роль теории полезности при принятии решений
  14. №8 ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Деловая игра «Определение степени риска при принятии
  15. 1.7. ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ В ЧАСТИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
  16. 4.2. Теория игр