4.1. МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ И ОЦЕНКИ РИСКОВ НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПА «ОПОРЫ НА СОБСТВЕННЫЕ СИЛЫ»

Редко когда в предпринимательстве главным фактором, определяющим «механизм проблемной ситуации», не оказывается поведение одного или нескольких субъектов, втянутых в предпринимательскую операцию.

186

Глава 4. Управление рисками в условиях конкуренции

до возникновения государства. Поэтому у предпринимателей того периода не было иного выхода, как воспринимать «других» в качестве агрессивной среды.

Итак, в ходе предпринимательской деятельности рано или поздно возникает конфликт. И конфликт в экономической или политической сферах порождает борьбу. Цели и формы борьбы могут быть различны, но издавна изучались и постепенно становились известными некие общие законы, на основании которых развивались процессы парного или группового противоборства. Вот, например, как выглядят классические стратегии противоборства (стратагемы), известные из политики и военного дела: создавай трудности противнику, осложняй обстановку,

если уверен, что лучше справишься с осложнениями и

трудностями;

заботься о свободе движения, сковывай противника, ограничивай его свободу действий; > • используй в своих целях функции и резервы противника;

концентрируй силы и средства на самом выгодном направлении;

выводи из строя в первую очередь координирующие центры и органы управления противника; заботься о восстановлении собственных поврежденных центров;

ставь противника перед свершившимся фактом — сначала введи решение, а потом уж добивайся, чтобы с ним примирились;

действуй проволочками, затяжками, если это ослабляет противника;

действуй угрозами — потенциально угрозы опаснее действия;

захвати противника врасплох, действуй скрытно, обманами.

Трудно не согласиться с высокой эффективностью перечисленных стратагем.

А вот некоторые примеры эвристических правил поведения в бизнесе:

не давайте пришедшему к вам с деловым предложением в долг, лучше — вложите деньги в совместное с этим человеком дело; тогда вы получите право участвовать в деле, вносить предложения, контролировать бизнес, участво

187

Риск -менеджмент

вать в доходах; то есть, вы получите часть управления и часть прибыли, а не сколько-то %% долговых; а если произойдет крах — вы сможете вернуть хотя бы часть своих денег; покупайте долю в бизнесе только рядом, не далее, чем в вашем городе и только то, что можно увидеть своими, глазами, а лучше — потрогать руками, потому что не стоит верить тому, что слышишь, надежнее все подвергать сомнению;

у инвестора должен быть один главный девиз: «Будьте подозрительны и компетентны!»; нельзя быть некомпетентным, когда вкладываешь деньги; великая ценность денег как раз в том и состоит, что они нужны каждому, поэтому правило: «Покупайте только то, что как можно больше «похоже на деньги»; если вы торговец, вложите деньги в лучшую компанию, которая продает вам товар; если вы строитель — покупайте недвижимость и землю; но покупайте только ту собственность, которую сможете перепродать без потерь, а не ту, которая «вам нравится», потому что завтра она может вам разонравиться, а кроме вас — она никому оказывается и не нужна; если вы интеллигент (ничего не смыслите в коммерции и торговле) — приобретайте государственные ценные бумаги;

лучше сразу получить сравнительно небольшую прибыль, чем откладывать решение в надежде на более крупную; тот, кто делает деньги, должен быть пессимистом во время бума и оптимистом — во время депрессии; покупайте всегда у пессимистов, а продавайте оптимистам.

на финансовом рынке никаких гарантий быть не может; > лучше уж сохранить свои деньги, не получив по ним никакого дохода, чем потерять их все сразу; никогда не вкладывайте деньги в то, чего до конца не понимаете. Это означает, как, например, мы уже отмечали, что заниматься операциями на рынке ценных бумаг нужно после длительных и упорных «тренировок». Перед тем как совершить первую операцию, вникните в смысл основных понятий и терминов. Затем внимательно изучите содержание документов, сопровождающих и фиксирую

188

Глава 4. Управление рисками в условиях конкуренции

щих сделку. Процессы, связанные с покупкой или продажей ценных бумаг, надо изучать постепенно. К слову сказать, для того чтобы привить обычным гражданам России знания, умения и навыки в работе с ценными бумагами, для «продвижения» операций с ценными бумагами «в массы» некоторые банки России предлагают в Интернете учебные интерактивные системы электронных торгов, работающие в режиме реального времени. Каждый может попробовать собственные силы и умения, а через некоторое время — оценить итоги. В общем — не спешите вкладывать деньги «сломя голову»;

никогда не вкладывайте деньги на основе только одного мнения. Не считайте себя «главным специалистом». Консультации с профессионалами обязательны (лучше — с несколькими и из разных компаний); никогда не вкладывайте деньги под нажимом. Помните, что на свете достаточно людей, которые могут убедить кого угодно в чем угодно. Нужно уметь держать паузу ровно столько, сколько нужно для понимания ситуации и консультации с теми, кому доверяете. И пусть вас не смущают авторитетные имена, гипотетические расчеты, эмоциональные призывы к срочному вложению средств в «абсолютно беспроигрышное дело». Даже если потом автор этого предложения вам как бы безразлично упомянет в вашем присутствии, что вот, дескать, вложил деньги и оказалось — очень выиграл, не расстраивайтесь, а, как говорят, «разделите объявленный результат на десять».

никогда не вкладывайте чужие деньги. Бывает, что котировки акций динамично и продолжительно растут, и возникает соблазн взять деньги в долг и купить на них быстрорастущие акции. Однако обычно сложно предугадать резкий скачок вниз, а затем затяжной спад рынка. А самое

189

Риск-менеджмент

неприятное в том, что, как правило, срок возвращения чужих денег никогда не совпадает с благоприятной ситуацией, и вы окажетесь в положении должника. А раз это так, то лучше недополучить дополнительную прибыль, чем ваше имущество пойдет на торги для погашения долга. Наконец, еще несколько мудрых правил поведения:

если вы не очень склонны к абстракциям, с трудом фантазируете, то лучше вам иметь дело с собственностью, а не вкладывать деньги в некие планы; вообще вкладывать деньги в гипотетические проекты стоит, только имея за плечами десятилетний опыт ведения дел с собственностью;

если нужен надежный совет, то в последнюю очередь обращайтесь к брокерам — брокер живет с продаж, его лозунг: «Рискует клиент!»;

брокер никогда не сможет показать вам путь к «мешку золота» за копеечное вознаграждение; если бы действительно знал, где он лежит, он подобрал бы его сам. И поэтому совсем не удивительно, что первые математические модели оценки рисков в межгосударственных отношениях и в бизнесе строились на основе принципа открытого противостояния, антагонизма и «опоры на собственные силы». В подобных конфликтных ситуациях Л ПР при обосновании своих решений приходилось рассчитывать только на худшее, поскольку не представлялось возможным знать, как конфликтующие с ним «другие» поступят или смогут поступить. Разработкой технологий и методов разработки решений в антагонистических конфликтных ситуациях занялись психологическая теория решений и математическая теория игр.

Воспользоваться напрямую результатами этих двух теорий обыкновенному управленцу, не специалисту по ТПР, не математику подчас довольно трудно. Даже тезаурус у них своеобразный. Например, альтернативы принятия решений в теории игр принято называть стратегиями, чтобы подчеркнуть принципиальное отличие конфликтных проблемных ситуаций от иных, а модельными компонентами теории игр являются игроки, цели игроков, доступная игрокам информация для принятия решений и правила реализации игроками собственных стратегий (осуществления

190

Глава 4. Управление рисками в условиях конкуренции

191

ходов в игре). Но, думается, не следует далее вдаваться в указанные семантические тонкости без особой необходимости. Лучше сразу обсудим научную концепцию анализа рисков в конфликтных ситуациях.

Разработку решений по снижению предпринимательских рисков в конфликтных ситуациях целесообразно декомпозировать по этапам усложняющегося использования информации о проблемной ситуации. На первом этапе целесообразно провести предварительный анализ собственных стратегических возможностей при упрощенном подходе к обоснованию решений в схеме «один против всех». Для повышения надежности представлений, выводов и рекомендаций целесообразно вначале оценки получать в качественных шкалах (номинальных или порядковых). Затем следует уточнить собственные предпочтения и усовершенствовать шкалы оценки возможных исходов.

На завершающем этапе разработки решений по управлению риском следует оценить возможности противника по осуществлению блефа, угроз, кооперирования и вступления в коалиции с некоторыми из «других» заинтересованных лиц, что может ухудшить положение Л ПР.

Покажем, как можно достаточно просто провести моделирование первого этапа анализа рисков в условиях конфликта. Для этого рассмотрим модели оценки риска на основе принципов «индивидуальной рациональности» и «опоры на собственные силы». В теории игр такие модели именуют «парными (в том смысле, что моделируется поведение только двух конфликтующих сторон) антагонистическими играми».

Для матричных игр характерны следующие признаки:

только два игрока («наш» предприниматель — 1-й игрок, «другой» — 2-й игрок);

у игроков дискретные и конечные множества стратегий;

игроки руководствуются единым критерием, измеряемым в полезностях, причем первый игрок стремится критерий максимизировать, а второй — минимизировать; строгое соперничество между игроками (антагонистическая игра);

Риск -менеджмент

192

игрокам нельзя между собой договариваться и обмениваться информацией (бескоалиционная, некооперативная игра).

Эти признаки вполне адекватны характеристикам конфликтной ситуации с бескомпромиссной борьбой между предпринимателями за прибыль на сегменте рынка. Критерий единственный — величина прибыли. В итоге конкурентной борьбы одна из сторон выиграет в прибыли ровно столько, сколько ей проиграет другая сторона.

Цель применения аппарата матричных игр для анализа предпринимательского риска — оценка собственных стратегических возможностей в упрощенной, модельной схеме «один против всех». При таком концептуальном взгляде на конфликтную ситуацию предприниматель может получить первое представление о том, чего оно может достичь, если будет действовать, не обращая внимания на своих противников. И только в том случае, если эти первые выводы, сделанные предпринимателем, подтвердят для него выгодность будущей конкурентной борьбы, только тогда ему может потребоваться провести дополнительный анализ стратегий разрешения конфликта на основе более тонких представлений о личных предпочтениях и предпочтениях конкурентов. В качестве упомянутых «тонкостей» стратегий рекомендуется проанализировать возможности использования особых психологических приемов — блефа и угроз.

Что мы будем понимать под словами «блеф» и «угроза» в нашем изложении? По поводу «угроз», как специфических формальных стратегий поведения в конфликте, мы еще будем говорить.

Например, тщеславного, самоуверенного, рискованного субъекта с низкими моральными качествами, несомненно, со

Глава 4. Управление рисками в условиях конкуренции

193

блазнит то, что вы, как его соперник, выглядите слабым, неопасным и даже — не очень привлекательной жертвой. В подобной ситуации такое ваше поведение обычно провоцирует самоуверенного конкурента не бояться вас, проявить свои планы, подталкивает его к использованию не самых сильных его стратегий. Наоборот, если соперник осторожен, неуверен, чрезмерно пессимистичен и т.п., вам следует показать себя сильным, решительным, готовым к самым безрассудным поступкам. Тогда вы сможете достаточно уверенно предположить, что или он задействует самые сильные из своих стратегий, которые вы можете себе представить, или — пойдет на уступки. В любом случае у вас появится достаточная уверенность в том, какая ситуация в конфликте сложится. А это совсем немало!

Но начнем мы с моделирования конфликтных ситуаций самыми простыми методами. Путем формирования и решения матричной игры. В результате можно получить как качественные суждения, так и количественные рекомендации. Качественные суждения — это представления о том, какую стратегию предпринимателю лучше использовать, а также — чего, скорее всего, ждать от «другого». Что касается количественных рекомендаций, то они состоят в вычислении гарантированного выигрыша и установлении специальных сложных стратегий, приводящих к наилучшему результату. Эти стратегии называют «смешанными». Что это означает, будет ясно чуть позднее. Но начинается все с решения игры в наиболее простой ее форме, а именно — для однократной «партии» в чистых стратегиях.

Разъясним смысл словосочетания «чистые стратегии». Его нужно понимать так, что при управлении риском в конфликтной ситуации предприниматель будет применять имеющиеся в его распоряжении стратегии исключительно альтернативно. То есть применяют чистые стратегии по схеме: или — эта, или — та, и никак иначе. Иными словами, применение чистой стратегии напрочь исключает возможность одновременного применения других имеющихся у предпринимателя альтернатив, каждая из которых также рассматривается как потенциальная чистая стратегия. Анализ конфликта в чистых стратегиях проводят на основе принципа наибольшего гарантированного результата. Поэтому ясно, что, согласно принципу наибольшего гарантированного результата, рациональным можно считать только такое поведение

Риск -менеджмент

в конфликте, которое обеспечивает предпринимателю наилучший из самых неблагоприятных для него результатов.

Помимо принципа наибольшего гарантированного результата для оценки степени уверенности в исходе конфликтной ситуации прогноз осуществляют на основе принципа равновесия. Суть его в том, что рациональным поведением конфликтующих сторон следует считать только такое, при котором каждая из них стремится к ситуации, обеспечивающей лично ей наибольший гарантированный результат, и отклонение от которой не выгодно никому.

Противоположным по смыслу к рассмотренному является понятие «смешанная стратегия». Наверное, уже почти ясно, что смешанная стратегия каким-то образом формируется из чистых. Именно так: смешивание стратегий означает их одновременное совместное применение при разрешении конфликта по специальным правилам. Но для того чтобы это технически стало возможным, «партия» игры должна повторяться не один, а несколько раз. Причем, чем больше раз будет проведена партия, тем — лучше.

То же мы самое мы можем наблюдать и в предпринимательстве. Например, в качестве чистых стратегий на рынке ценных бумаг может выступать указание о покупке определенного количества конкретных акций по конкретной цене или распоряжение на совершение сделки в нерыночных условиях. Но ведь для снижения риска и повышения эффективности операций на рынке ценных бумаг владельцы и брокеры могут на этой бирже одновременно покупать одни акции и продавать другие, варьировать цену, объемы пакетов и пр. Так вот это будет уже смешиванием чистых стратегий на данной бирже, то есть применением смешанной стратегии. А теперь представим себе, что владелец ценных бумаг может производить подобное смешанное расширение игры на нескольких биржах, и, думается, понятие «смешанной стратегии» окончательно станет ясным.

Технология анализа матричной игры следующая. Сначала устанавливают все ситуации игры. Ситуация игры — это та совокупность факторов и тот механизм формирования результата, которые сложатся в момент, когда игроки независимо друг от друга применят каждый свою чистую стратегию. То есть это полная аналогия того, как происходит в карточной игре, когда игроки обязаны сделать ход одновременно: первый игрок, исходя из

194

Глава 4. Управление рисками в условиях конкуренции

195

своих целей и возможностей, абсолютно волевым порядком выбирает одну из имеющихся у него карт; второй — поступает аналогичным образом; игроки одновременно бросают свои выбранные карты на стол; в результате — обе карты на столе, и сложилась вполне ясная ситуация, кто выиграл, а кто — проиграл.

Смешанные стратегии можно наблюдать в процессе антагонистической дуэльной борьбы за покупателя и прибыль на сегменте рынка с определенным товаром. Пусть, например, каждый из двух торговцев-конкурентов, выходит на рассматриваемый сегмент рынка со своей стратегией торговли. То есть каждый из торговцев доставляет на рынок свой определенный объем товара и устанавливает свою определенную цену за единицу товара. Предположим, что цена ими установлена по принципу минимальной прибыли, и продавцы товара не имеют права изменять цену в процессе торговли. Итак, товар разложен на прилавках, цены объявлены. Можно начинать торговать и получать прибыль от продаж.

Все было бы ничего, вот только покупатель на рынке один и тот же для двоих продавцов. А это значит, что если этот покупатель приобретет у одного из продавцов некоторое количество п товара по цене за единицу, то именно этот продавец получит от покупателя денег на сумму п • с/. А другой продавец такого же товара эту же сумму от покупателя не получит (потеряет п • С/ единиц ценности товара). Таким образом, в модельных терминах теории игр действительно получается, что торговцы-конкуренты (игроки) пользуются в операциях купли-продажи (в игре) одной и той же критериальной функцией для оценки предпочтительности ситуаций (полученная выручка за проданный товар) и при этом каждый из торговцев (игроков) в процессе торговли (в конфликтной ситуации) выигрывает ровно столько, сколько ему проигрывает другой. Множества стратегий у игроков можно считать дискретными. Следовательно, налицо все признаки, присущие антагонистической матричной игре.

Итак, рассматривая технологию решения матричных игр, мы сделали два шага. Мы установили множество ситуаций игры как множество всевозможных пар, образованных из чистых стратегий игроков, а также оценили каждую ситуацию по единому, общему для обоих игроков критерию. Основной результат первых двух шагов рассматриваемой нами технологии обычно оформляют в виде матрицы игры. Заголовками строк матрицы служат на

Риск -менеджмент

именования чистых стратегий первого игрока. Заголовками столбцов — наименования чистых стратегий второго игрока. На пересечении строк и столбцов, то есть в клетках матрицы, как мы теперь понимаем, фигурируют ситуации игры.

В клетки заносят значения критерия в выбранной шкале, чем и моделируют значения выигрыша первого игрока. В то же время это значение — величина проигрыша второго игрока. Таким образом, матрица игры — это очень важный результат. Дело в том, что после того как матрица игры получена, весь последующий анализ конфликтной ситуации можно проводить, полностью отстранившись от ее контекста. Оперируют только этой матрицей, особенно не задумываясь над тем, что конкретно за ней прячется. Это очень удобно. В этом как раз и состоит идея моделирования: проводя анализ модели, можно совершенно не задумываться над тем, как модель получена (в данном случае — эта матрица игры) и что конкретно она отображает.

Начиная с этого момента, анализируем только матрицу игры. Задача третьего шага технологии состоит в том, чтобы удалить из матрицы игры все стратегии игроков, которые порождают ситуации явно не выгодные для разрешения конфликта. Процедуру исключения из дальнейшего рассмотрения всех невыгодных игрокам стратегий называют редуцированием (снижением размерности) матрицы игры. Методологическую основу редуцирования составляет идея доминирования. Дословно «доминирование» — это «господство». В каком же смысле тогда можно говорить о доминировании стратегий?

Ответ тут же становится очевидным, если не забывать об общесистемном принципе цели. К какой цели мы стремимся? Разрешить конфликтную ситуацию с наибольшей пользой для себя и при этом только с опорой на собственные силы. Значит, мы должны оставить в своем распоряжении для дальнейшего рассмотрения способов решения конфликта только безупречные по выгодности стратегии. Выгодность оставляемых стратегий должна явно преобладать над выгодностью каких-то других, менее выгодных, то есть — доминируемых альтернатив. Итак, задача стоит следующая: из исходного множества стратегий первого игрока, которые моделируют ситуации в строках матрицы игры, удалить все доминируемые альтернативы и оставить только недоминируемые. Надо вычеркнуть из дальнейшего рассмотрения все те строки, значения в которых по величине не больше, чем в

196

Глава 4. Управление рисками в условиях конкуренции

Таблица 4.1

Матрица игры Стратегии игроков bi h Ьз Ь4 bs 6 3 4 2 1 «2 5 3 4 8 2 1 2 4 2 3 а4 2 4 5 3 3 Сравним величины функции выигрыша первого игрока в строке табл. 4.1, соответствующей его стратегии а3, со значениями в строке, например, для стратегии Результатом сравнения будет вывод о том, что стратегия доминирует над стратегией

Действительно это так, поскольку выполняются все нестрогие неравенства 1, 2, 3,4. Стратегия превосходит почти по всем результатам стратегию Только для ситуаций, которые формируются с пятой стратегией второго игрока, эти результаты одинаковы (в этих ситуациях и результат равен 3). Чтобы графически зафиксировать факт доминирования стратегии матрице игры табл. 4.1, строка для отображения этой стратегии оттенена. Эту строку следует вычеркнуть из матрицы. В итоге редуцированная по стратегиям первого игрока матрица примет вид, представленный табл. 4.2.

Таблица 4.2

Редуцированная по стратегиям первого игрока матрица игры Стратегии игроков ь, ъ2 Ь3 Ь4 «1 6 3 4 2 7 "2 5 3 4 8 2 а4 2 4 5 3 3 197

какой-либо другой строке матрицы игры. Рассмотрим пример. Пусть у первого игрока четыре чистые стратегии, а у второго — пять. Следовательно, матрица будет размером 4x5. Пусть к тому же значения функции выигрыша — критерия первого игрока — таковы, как это представлено в матрице игры, имеющей вид табл. 4.1.

Риск -менеджмент

Теперь самое время первому игроку вспомнить, что в конфликте участвует и его соперник. Ни в коем случае нельзя считать своего противника глупым, недооценивать его стратегических возможностей. Никогда не будет лишним предположить, что «игрок № 2», по крайней мере, такой же умный, как и вы сами, выступающие в модели конфликта под именем «игрок № 1». Поэтому нужно за него, за второго игрока, проанализировать его множество стратегий и удалить из этого множества все доминируемые альтернативы. Это будет правильно. Ведь умный противник не будет использовать не выгодные для себя стратегии, тем более, если их невыгодность заметна даже вам, его конкуренту.

Предположим, что в ходе проверки вы обнаружили какой-то столбец в матрице игры, в котором все значения функции выигрыша (напомним, что это — ваш, первого игрока критерий выигрыша) окажутся не меньше, чем в каком-то другом столбце. Это означает, что все ситуации для обнаруженного столбца выгоднее вам и не выгодны вашему противнику. Такой столбец, соответствующий стратегии второго игрока, оттенен в последней матрице игры. Сравним, например, значения в столбцах, соответствующих стратегиям b2w bj. Легко заметить, что все величины в столбце превышают соответствующие значения в столбце Ь2. Значит, стратегия ^доминирует стратегию Ь3 по величинам проигрыша второго игрока. Следовательно, эта альтернатива быть исключена из множества стратегий второго игрока. После вычеркивания доминируемого столбца матрица игры примет вид, представленный в табл. 4.3.

Таблица 4.3

Редуцированная по стратегиям второго игрока матрица игры Стратегии игроков ь, h ь4 «/ 6 3 2 1 «2 5 3 8 2 а4 2 4 3 3 Но может быть после того, как из матрицы игры вычеркнули столбец, стоит вновь проверить ее строки на доминирование? Ведь могли же теперь в матрице остаться такие значения резуль

198

Глава 4. Управление рисками в условиях конкуренции

199

тата, при которых удастся выявить невыгодные ситуации? В общем случае — это именно так. И поэтому полученную после редуцирования матрицу размером 3x4 следует вновь подвергнуть проверке на доминирование сначала строк, затем — столбцов, потом опять строк и т.д. Бывают ситуации, что в итоге от матрицы остается одна-единственная ситуация, образованная одной стратегией первого игрока и одной — второго. В таком случае других способов разрешения конфликта, как использовать именно оставшиеся стратегии, у игроков нет: игра закончена. Но в общем случае, в окончательно редуцированной матрице все же ситуаций больше, чем одна-единственная. В последней матрице 3x4 все оставшиеся стратегии игроков являются недоминируемыми.

Как только получена окончательно редуцированная матрица, можно приступать к поиску решения игры. Как мы уже отмечали, вначале ищется решение на уровне качественных выводов, а затем — на количественном уровне устанавливается основной результат наиболее рационального поведения в конфликтной ситуации. Для того чтобы получить решение игры с использованием математических методов, введем следующие обозначения:

А, В — множества стратегий первого и второго игроков соответственно;

а,, bj — стратегии из множеств А и В соответственно; (a,., 6.) — ситуация игры, образованная применением игроками собственных стратегий и

— функция выигрыша (критерий первого игрока); напоминаем, что в матричной игре первый игрок выигрывает ровно столько, сколько ему проигрывает второй, и — наоборот (то есть критерием второго игрока является функция — величины его проигрыша).

Предварительный анализ игры всегда проводят, исходя из предположения, что состоится только одна ее партия. В таком случае решение получают, как мы сказали, в чистых стратегиях. Технология решения матричной игры в чистых стратегиях включает следующие шаги:

определяют гарантированный результат для каждой стратегий первого игрока (то есть ту величину выигрыша для каждой из его стратегий, хуже которой получиться просто не может); для этого находят величину минимума

Риск -менеджмент

200

по стратегиям второго игрока в каждой строке матрицы игры:

minv(a,, />,),

где запись 6. e В означает фразу «стратегия bi из множества В»;

>• определяют стратегии а,*, которая дает первому игроку наибольший по всем его стратегиям гарантированный результат max minv(a,, b,); другими словами (формальное

которую называют максимин-ной, задается выражением вида:

a": maxminv(a,., ЬЛ;

саму величину maxminv(a,, b ) наибольшего гарантированного игрока называют «нижней ценой игры»; будем обозначать ее через v"; определяют гарантированный результат для каждой стратегий второго игрока (то есть ту величину проигрыша для каждой его стратегии, хуже которой никак не может быть); для этого находят величину максимума (проигрыша) по стратегиям второго игрока в каждом столбце матрицы игры:

max v(at, b:);

>• определяют стратегию bj, которая дает второму игроку наилучший по всем его стратегиям гарантированный результат (то есть наименьший проигрыш);

(формальное определение), стратегия которую называют минимаксной, задается выражением вида:

Ь": \ minmax v(a , b );

саму величину min max v(at., bj) наименьшего гарантированного второго игрока называют «верхней ценой игры»; будем обозначать ее через у'.

Глава 4. Управление рисками в условиях конкуренции

то есть нижняя цена игры не выше верхней цены игры. Или по-другому: первый игрок не может выиграть больше, чем проиграет ему второй игрок, и наоборот. Найдем верхнюю и нижнюю цены игры в нашем примере и сравним их. Для отображения логики процесса отыскания нижней и верхней цены игры добавим к табл. 4.3 дополнительный столбец справа и дополнительную строку внизу. Получим табл. 4.4.

Таблица 4.4

Отображения логики процесса отыскания нижней и верхней цены игры Стратегии игроков ь, h Ь4 *5 Минимумы

значений в строках "1 6 3 2 7 2 "2 5 3 8 2 2 а4 2 4 3 3 2 Максимумы значений в столбцах 6 4 8 7 У первого игрока, как следует из полученных результатов, во всех строках минимальные значения одинаковы, поэтому мак

201

Основные расчеты завершены. Теперь следует проанализировать полученные результаты. Дело в том, что названия «нижняя цена игры» и «верхняя цена игры» не случайны, а имеют важный практический смысл. Суть в том, что на основании определения этих важнейших характеристик модели конфликтной ситуации с антагонистическим соперничеством можно сделать важные выводы:

1) если первый игрок будет упорно придерживаться своей максиминной стратегии а*, то его выигрыш не может быть меньше, чем величина v" нижней цены игры;

2) если второй игрок будет придерживаться своей минимаксной стратегии то его проигрыш не может быть больше, чем величина верхней цены игры.

А вот из этого следует вообще фундаментальный вывод. Какой бы ни была матрица игры, всегда выполняется соотношение:

Риск-менеджмент

симум из этих значений совпадает с самими значениями. Следовательно, нижняя цена игры v = max minv(a(, b/) = 2. Минимальный из максимумов в 4. Это означает, что верхняя цена игры v+ = minmaxv(tf(,b.) = 4. Таким образом, в нашем примере значения удовлетворяют фундаментальному неравенству v < v .

А как повлияет на характер решений конфликтующих сторон то обстоятельство, что нижняя цена игры может равняться верхней цене, то есть как поведут себя игроки, если окажется, что v~= v+? Оказывается, в подобной ситуации конфликтующим сторонам ни в коем случае не следует отклоняться от минимаксной и максиминной стратегий соответственно! В таком случае говорят, что в игре существует равновесная ситуация (ее еще называет в математике точкой») и решение v = = V в

чистых стратегиях. Предположим, что матрица гипотетической игры имела бы значения функции выигрыша в ячейках, как это представлено в табл. 4.5.

Т а б л и ц а 4.5

Матрица гипотетической игры Стратегии игроков h b4 *5 "1 6 3 2 7 а2 5 4 8 6 а4 4 2 3 5 В таком случае мы получили бы значения гарантированных результатов для строк и столбцов, которые представлены в табл. 4.6.

Таблица 4.6

Значения гарантированных результатов для строк и столбцов Стратегии игроков */ h ь4 Минимумы

значений в строках Я/ 6 3 2 1 2 »2 5 4 8 6 4 «4 4 2 3 5 2 Максимумы значений в столбцах 6 4 8 7 202

Глава 4. Управление рисками в условиях конкуренции

203

Тогда, соответственно получилось бы, что нижняя цена игры v = ша^ш v(a:, b ) = 4, верхняя цена игры v' - min max v(a ,Ь^=А,

и, таким образом, в нашей игре существовала бы седловая точка в равновесной ситуации, обозначенной пересечением строки и столбца, дающих игрокам v и соответственно. Пусть теперь, например, первый игрок не знает, что от этой равновесной ситуации, образованной стратегиями и не стоит отклоняться. А второй твердо придерживается равновесной стратегии Ь2. Легко заметить, что если первый применит одну из своих неравновесных стратегий (или или он получит результат, равный или 3, или 2, вместо результата, равного 4, в случае использования равновесной стратегии. Аналогично можно убедиться, что если второй игрок отклонится от равновесной стратегии, в то время как первый придерживается равновесной стратегии, второй игрок проиграет больше (5, 6 или 8). Таким образом, действительно, от равновесной ситуации не выгодно отклоняться ни одному из игроков, так как она сформирована из стратегий, доставляющих наилучший гарантированный результат каждому из них.

Величина выигрыша в равновесной ситуации служит и первому, и второму игроку ориентиром для оценки предпочтительности игры в целом. Если равновесный выигрыш не устраивает первого игрока, то ему следует либо попробовать сформировать новую игру с использованием других стратегий, либо оценить возможности введения в игру более изощренных стратегий — блефа и угроз.

Но что произойдет, если все же ситуация равновесия в чистых стратегиях отсутствует (нижняя и верхняя цены игры не равны)?

В общем случае ситуация равновесия в чистых максиминной и минимаксной стратегиях не всегда существует. Подобный исход анализа заставляет каждого из игроков более тщательно поразмыслить о путях разрешения конфликта. Здесь нужно будет как-то адаптироваться к конкуренту. Как это делать, чтобы улучшить свой результат? Дело это тонкое. Потребуется выдвигать последовательно усложняющиеся гипотезы об ответных реакциях конкурента и собственных контрмерах. Такое поведение называют рефлексивным. Оно каждого игрока рисковать и отклоняться от своей максиминной (минимаксной) стра

Риск -менеджмент

тегии с целью улучшения значения выигрыша в свою пользу. Ясно, что каждый игрок может только предполагать, как поступит второй: будет ли его конкурент придерживаться своей стратегии наилучшего гарантированного результата или отклонится от нее? В значительной степени на решения игроков по-прежнему будут влиять их личностные качества, их интуиция и чутье, а также их искусство блефовать и рефлексировать.

Один из возможных стратегических путей адаптации к противнику — это получше изучить его, побольше узнать о его личности, о его представлениях и предпочтениях. Возможно, будет установлено, что он не склонен к риску. Если это так, то почти однозначно, что он будет придерживаться своей стратегии наилучшего гарантированного результата. Это равносильно тому, что он вам сам «доложит», как он собирается поступить в конфликте. Если же он склонен к риску, то можно предположить, что ваш конкурент отклонится от стратегии наилучшего гарантированного результата и постарается извлечь для себя выгоду от дисбаланса в нижней и верхней ценах игры. В конечном итоге выиграет тот, кто более искусно маскировал свои истинные намерения и удачнее предсказал намерения своего конкурента.

Для иллюстрации рассмотренных замечаний обратимся еще раз к матрице игры, в которой отсутствует седловая точка (см. табл.): Стратегии игроков ь, ь2 Ь4 ь5 Минимумы

значений в строках "/ 6 3 2 7 2 а2 5 3 8 2 2 а4 2 4 3 3 2 Максимумы значений в столбцах 6 4 8 7 Итак, в этой игре нет ситуации равновесия в чистых стратегиях, поскольку v= 2 меньше, чем v'= 4.

Предположим, что первый игрок узнал, что второй игрок не намерен рисковать. Это означает, что второй игрок будет придерживаться своей минимаксной стратегии «Очень хорошо, — думает первый игрок, — в таком случае я могу максими

204

Глава 4. Управление рисками в условиях конкуренции

205

зировать свой выигрыш до предельных возможностей, и получить результат 4, совпадающий с v+= 4». Для этого первому игроку нужно только решиться применить стратегию Тем более что гарантированный результат первого игрока для этой стратегии все тот же, равный 2. Все бы ничего, если бы информация о «трусливости» второго игрока была бы абсолютно надежной. А что если эта информация распространена самим вторым игроком? С тем, чтобы побудить первого игрока применить «более выгодную для него» стратегию ар.

В таком случае можно ожидать, что второй игрок немедленно среагирует на возможные последствия реакции первого игрока на подброшенную приманку: второй игрок вместо ожидаемой минимаксной стратегии применит ничем не выделяющуюся среди других стратегию В итоге такого блефа и рефлексии со стороны второго игрока первый игрок немедленно окажется в ситуации и получит вместо результата, равного 4, всего

лишь 2 единицы полезности. Вот так-то... Но... что если окажется, что первый игрок прибег к рефлексии более высокого порядка? Что если он только сделал вид, что поверил информации о том, что «второй игрок очень труслив и будет придерживаться своей минимаксной стратегии»? Тогда уже второй игрок попадется на удочку первого: первый игрок вместо ожидаемой вторым игроком стратегии неожиданно применит стратегию которая выигрыш первого в предположении, что

второй игрок применит стратегию Второй игрок проиграет уже 6 единиц полезности вместо тех 4 единиц, которые гарантировала ему минимаксная стратегия В конечном итоге выиграет тот, кто более искусно маскировал свои истинные намерения и удачнее предсказал намерения своего противника. Так как же быть?..

Что ж, и на этот случай есть рекомендация. Нужно не дать противнику возможности предсказать свое поведение. Но для этого игра должна быть не однократной, а повторяться несколько раз. Если это возможно, и при этом если величина максимин-ного выигрыша не устраивает первого игрока, он может «приблизиться» к верхней цене игры, применив смешанную стратегию. Технология решения матричной игры в смешанных стратегиях подробно изложена.

Итак, мы рассмотрели математические методы прогнозирования и оценки рисков на основе принципа «опоры на собствен

Рыск-менеджмент

ные силы». Здесь нам не интересно было знать, что думает противник о величине нашего выигрыша (и — его проигрыша), мы действовали сами по себе, ориентируясь только на свои предпочтения и оценки. Но на самом деле очень редко когда удается предпочтения разных лиц оценить одним и тем же критерием. Даже деньги, как мы помним, не могут считаться абсолютным мерилом полезности, поскольку их воспринимаемая полезность зависит от многих объективных и субъективных факторов, в том числе и от количества уже имеющихся у ЛПР денег. В результате, оценки и рекомендации, которые получены методами анализа матричных игр, следует воспринимать лишь как начальную информацию для того, чтобы окончательно определиться в стратегии разрешения конфликтной ситуации. Для принятия более обоснованных решений на выгодное разрешение конфликтной ситуации рекомендуется провести еще один этап исследования — применить аппарат деловых игр, а также математические модели нестрогого соперничества — неантагонистические игры.