3.3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И МЕТОДОВ ДЛЯ ОБОСНОВАНИЯ РИСКОВАННЫХ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСКИХ РЕШЕНИЙ

Предприниматель решил произвести случайную выборку 50 имен из рассылочной ведомости, получить ответы от подписчиков и на основе полученных положительных ответов оценить будущее количество подписчиков. На основе опыта подобных действий в прошлом наш предприниматель сделал предположение — выдвинул гипотезы — о проценте возможных положительных ответов. Пусть, например, он считает, что процент ответов будет между 1 и 5, и при этом нет причин считать, что возможность получения какого-либо конкретного процента из представленных более вероятно, чем другого. При таком предположении каждому возможному (гипотетическому) проценту ответов соответствует одинаковая вероятность, равная, согласно классическому определению, 1/5.

Обозначим через Н\, Н2, #з, Н4, Я5 гипотезы о том, что процент положительных ответов составит 1, 2, 3, 4 и 5 соответственно. Тогда в этих обозначениях априорные вероятности гипотез составят Р(Н{) = Р{Н2) = Р(#3) = Р(Я4) = Р(Я5) = 0,2. После рассылки предложений клиентам число положительных ответов будет дискретной случайной величиной, подчиняющейся закону

Глава 3.

145

редких событий — распределению Пуассона. Напомним, что вероятностный ряд или ряд распределения Пуассона задается формулой:

kl

где а — математическое ожидание случайной величины у; к = 0, 1, 2, 3, ... — возможные значения, которые может принимать случайная величина

Случайное число положительных ответов будет иметь среднее значение (математическое ожидание) а такой величины, которая, как мы помним, определяется выражением а = пр, причем в нашем примере п = 50, а вероятность р успеха диктуется величиной предполагаемого процента успеха. А теперь примем во внимание, что одно и то же значение к рассматриваемая нами случайная величина может принять при разных значениях параметра а, то есть своего математического ожидания. Таким образом, можно получить, например, три положительных ответа и в том случае, когда истинный процент желающих возобновить подписку на журнал по льготным условиям равен 1%, и в том случае, если этот процент будет равен 2, 3, 4 или 5. Только вероятности ) этих условных событий окажутся разными: чем ближе значение к возможного значения случайной величины к ее среднему значению тем, как правило, выше значение вероятности и наоборот.

Для рассматриваемых нами гипотез Н\, Н2, Из, Н4, Н5 о проценте положительных ответов величины вероятностей успеха со-ставят^/ = 0,01, р2— 0,02, р3= 0,03, р4 — 0,04 ир5= 0,05 соответственно. Следовательно, математическое ожидание случайной величины числа положительных ответов для первой гипотезы Н\ составит величину а, = 50 • 0,01 = 0,5. Аналогично можно подчитать средние значения чисел положительных ответов для остальных гипотез: а2 =1,0, аз = 1,5, а4 =2,0, а5 = 2,5.

Для вычислений вероятностей Р(у =ук)рядараспределения Пуассона, как мы уже отмечали, удобно использовать функцию ПУАССОН(х; среднее; ...) пакета Microsoft Excel. С использованием этой компьютерной программы была вычислена зависимость между случайным числом подписавшихся (возможные результаты выборки) и гипотетическим процентом ответов.

Риск -менеджмент

ные вероятности Р(у=%) возможных значений числа к полученных положительных ответов для различных гипотетических значений процентов истинных положительных ответов представлены в табл. 3.4.

Т а б л и ц а 3.4 Возможные значения

к числа новых подписчиков из 50 опрошенных Гипотетические значения процентов истинных положительных ответов

1% 2% 3% 4% 5% 0 0,607 0,368 0,223 0,135 0,082 1 0,303 0,368 0,335 0,271 0,205 2 0,076 0,184 0,251 0,271 0,257 3 0,013 0,061 0,126 0,180 0,214 4 0,002 0,015 0,047 0,090 0,134 5 0,000 0,003 0,014 0,036 0,067 6 0,000 0,001 0,004 0,012 0,028 7 0,000 0,001 0,003 0,010 8 0,000 0,001 0,003 9 0,000 0,000 0,001 Суммы значений в столбцах (контрольное значение) 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 Условные вероятности Р{у"к „ ) возможных значений числа к полученных положительных ответов для различных гипотетических значений процентов истинных положительных ответов.

Проанализируем данные, например, четвертой строки табл. 3.4. Для удобства ее значения оттенены. Видно, что ровно три (значение положительных ответа из 50 на предложение возобновить подписку на льготных условиях при истинности первой гипотезы (один процент положительных ответов) будут получены с вероятностью 0,013; а при истинности других гипотез — — вероятность этого же числа успехов составит 0,061; 0,126; 0,180 и 0,214 соответственно.

146

Глава 3. Управление стохастическими рисками

Р(А) = ^Р(А Вк) Р(Вк)— формула полной вероятности.

*

Следуя этим формулам, для вычисления вероятностей Р(н'4=к) нужно вначале найти вероятности Р{Н1(у=к)) = и -к), а затем уже вычислить требуемые

вероятности по формулам:

Рассчитаем, например, апостериорные вероятности Р(Иу~^) для случая, когда на 50 разосланных предложений пришло ровно 3 ответа с намерением возобновить подписку по специальной цене. Вначале вычислим совместные вероятности Р(Вi • (у = 3)) = = Р(Н;) • Р(у'3н) наступления каждого из гипотетических событий — процентов ответов и события — результата, состоящего в том, что = 3.

гипотетических событий-процентов ответов равны 0,2. Следовательно, например, искомая вероятность совместного события Р(Н• (у = 3)) составит величину Р(Н1 • (у = 3)) = = Р(Н]) ' Р(7=3д) =0,2 • 0,013 = 0,0026. Аналогично получаем: Р(Н2 - (у = 3)) =0,2 • 0,061 = 0,0122; Р(Н3 • (у = 3)) = 0,2 • 0,126 = = 0,0252; Р(Н4' (j=3))=0,2 • 0,180 = 0,0361 и Р(Н5 • (у = 3)) = 0,2 • 0,214 = 0,0428. Сума полученных совместных вероятностей дает полную вероятность Р(у = 3), которая получается равной 0,1187. В результате чего апостериорные вероятности Р(н'/~^) =

P(H4)P(yi ) ~ ' ''- будут соответственно равны:

=3)

/V',. ;) =

147

Но для целей принятия решения на рискованную операцию нашему предпринимателю нужно знать не те вероятности, которые представлены в табл. 3.4, а другие — апостериорные вероятности Р{"'у=к) ИСТИННОСТИ гипотез при получении того или иного из возможных значений к случайной величины Их легко определить, воспользовавшись формулами условной и полной вероятности. Напомним эти формулы:

Р(А/В) = —Р(В) ф 0 — формула условной вероятности;

Риск-менеджмент

=0,0026/0,1187 =0,021; Р("> F.3)= 0,0122/0,1187=0,103; Р("< f.3) = = 0,0252/0,1187 = 0,211; /'("^^0,0361/0,1187 = 0,304 и P("^J = = 0,0428/0,1187 = 0,360. Таким образом, как это следует из расчетов, вероятность увеличения числа подписчиков на журнал по специальной цене на 1% при условии, что из 50-ти разосланных предложений ровно 3 содержало положительный ответ, равна 0,021, хотя априорная вероятность этой гипотезы была 0,2. Соответствующие апостериорные вероятности увеличения числа подписчиков ровно на 2%, 3%, 4% и 5% по результатам проведенных нами вероятностных расчетов составили 0,103, 0,211, 0,304 и 0,360 соответственно (в то время как априорные вероятности всех этих событий были одинаковыми и равнялись 0,2).

На рис. 3.8 представлено дерево возможных событий для случая сравнения этой стратегии и стратегии предварительной рассылки 50 предложений продолжить подписку по специальной цене, причем на этом дереве в развернутом виде представлены события только для случая, когда получено 3 положительных ответа из 50.

Средняя величина ожидаемой прибыли при вычисленных значениях апостериорных вероятностей (для 3 положительных ответов из 50) составляет $5513. Чтобы получить это значение, потребовалось, как обычно, умножить значение апостериорной вероятности для каждой из гипотез на соответствующее этой гипотезе значение дохода (положительного или отрицательного) и полученные значения всех произведений сложить. Для исхода «3 положительных ответа из 50» величина среднего дохода представлена на рис. 3.8 в вынесенном прямоугольнике. Как видим, если предприниматель решится на рассылку предложений подписчикам и получит ровно 3 положительных ответа, то ожидаемая прибыль почти в 2,8 раза превысит то ее значение, которое было вычислено для случая, когда издатель хотел делать предложение о спеццене без предварительного сбора информации.

До проведения рассылки, конечно, нельзя предсказать ее результатов. Однако можно рассчитать ожидаемую выгодность для каждого возможного числа положительных ответов. Значения априорных вероятностей для всех возможных исходов рассылки

148

Глава 3. Управление стохастическими рисками

Рис. 3.8. Дерево возможных событий для сравнения стратегий с предварительной рассылки 50 предложений продолжить подписку по специальной цене (развернут исход для случая 3 положительных ответа из 50)

(в том числе и для к = 3) представлены в табл. 3.5. Рассмотрены только значения & от 0 до 7, поскольку вероятность получения значений, больших чем 7, очень мала. Далее обычным порядком используем полученные апостериорные вероятности, установленные для каждого успешного результата к выборки, для того чтобы определить значение общей ожидаемой выгодности действия «Сделать выборку размером 50». Например, учитывая, что значение полной вероятности = 3) рассматриваемого нами исхода равно 0,1187 (на рис.

149

Риск-менеджмент

Т а б л и ц а 3.5

Значения априорных вероятностей для возможных исходов рассылки предложений подписчикам Апостериорные вероятности гипотез Возможные значения к числа новых подписчиков из 50 опрошенных

0 1 2 3 4 5 6 7 0,429 0,205 0,073 0,021 0,005 0,001 0,000 0 P("'U) 0,260 0,248 0,177 0.103 0,053 0,025 0,012 0,005 /•с"..) 0,158 0,226 0,242 0,211 0,164 0,117 0,080 0,053 !'("?...) 0,096 0,183 0,261 0,304 0,313 0,300 0,274 0,242 0,058 0,138 0,247 0,360 0,464 0,556 0,634 0,700 В табл. 3.6 представлены значения условных величин дохода для каждого из возможных исходов случайной выборки объемом 50 человек, полные вероятности для этих исходов и частные величины полных ожидаемых доходов для них. Видно, что условный (и, следовательно, частный полный) доход от выборки для нулевого исхода — ни один из опрошенных не ответил положительно на предложение возобновить подписку по специальной цене — отрицательный. Но если есть хотя бы один положительный ответ, это уже дает положительный эффект, степень которого определяется величиной полной вероятности исхода. Например, исход = 7 приносит самую большую условную величину дохода, равную $8545, однако из-за того, что полная вероятность = 7) такого исхода составляет всего лишь 0,0028; частная величина полных ожидаемых доходов для него будет всего только $24,3.

Т а б л и ц а 3.6

Значения условных величин дохода для каждого из возможных исходов случайной выборки Возможные исходы к случайной выборки Условные величины дохода для исходов, $ Полные вероятности Р(У = к) исходов выборки Частные величины полных ожидаемых доходов, $ 1 2 3 4 0 -1623 0,2830 -459,2 1 1208 0,2963 358,0 Глава 3. Управление стохастическими рисками

Продолжение табл. 3.6 1 2 3 4 2 3727 0,2076 773,7 3 5513 0,1187 654,6 4 6711 0,0576 386 ,3 5 7533 0,0240 181,1 6 8117 0,0088 71,3 7 8545 0,0028 24,3 В результате сложения величин этих частных ожидаемых выигрышей получается общая ожидаемая выгодность рассылки предложений 50 прежним подписчикам с последующим анализом полученных положительных ответов. Она составляет чуть больше $1990. Следовательно, ожидаемая ценность информации, полученной в ходе рассылки предложений 50 прежним подписчикам, будет равна разности между этим результатом и ожидаемыми последствиями действия «Делать предложение». При тех исходных данных, которыми мы пользовались, эта ценность отрицательна $1990 — $ 2000= —$10, то есть собирать информацию при данных условиях получается невыгодно. При этом мы даже не учитывали дополнительные затраты на проведение самой случайной выборки респондентов для рассылки им предложений, а это всегда нужно делать, чтобы не исказить картину исхода.

Тем не менее склонный к риску предприниматель может пойти на решение сделать выборку, поскольку получение хотя бы одного положительного ответа может дать ценную информацию для получения более точного прогноза будущих доходов от подобной предпринимательской акции. К тому же необходимо иметь в виду, что значения вероятностей исходов существенно зависят от объема выборки. Поэтому представляется целесообразным подсчитать по предложенной' нами схеме ожидаемую полную выгоду от организации сбора информации для случайных выборок разного объема. После этого можно будет сопоставить полученные результаты и окончательно определить оптимальный размер выборки, приносящий максимальный ожидаемый суммарный доход.

151

Риск -менеджмент

152

Контроль качества продукции методом последовательного анализа (Вальда>. На выходе производственной линии производится контроль качества готовой продукции. С целью экономии затрат времени и средств на контроль изделия для контроля отбирают из готовой партии случайным образом. После этого проводится тщательный контроль изделия. По мере накопления информации о результатах контроля формируется решение о качестве продукции во всей произведенной партии по методу последовательного анализа. Предприятие будет работать успешно и приносить прибыль только в том случае, если доля брака в партии выпущенной продукции не превышает 10% от общего числа изделий в каждой партии. Поэтому такое значение принято в качестве критерия оценки качества всей партии готовой продукции.

Одновременно принято решение считать, что партия «бракованная», если доля некондиционных изделий в ней не менее 20%. Учитывая возможность совершения ошибок первого и второго рода при контроле, а также тяжести последствий от каждой из ошибок, были назначены предельные значения вероятностей указанных ошибок. Предельное значение вероятности а совершения ошибки, в результате которой бракуется кондиционная продукция, установлено равным 0,01, а вероятность р пропуска бракованного изделия при контроле (изделие ошибочно принято за кондиционное) ограничена величиной 0,1.

Контроль и выработка решения о состоянии всей партии готовых изделий по методу последовательного анализа организуются на основе частных выводов после каждого очередного проведенного испытания изделия. Предполагается, что после каждого очередного контроля возможны три основополагающих вывода: завершить контроль и принять всю партию, проконтролировать еще одно изделие из готовой партии, завершить контроль и забраковать всю партию. Оказывается, что обозначенные нами частные решения после каждого шага контроля будут адекватными, а вероятности ошибок первого и второго рода не выйдут за пределы установленных для них границ, если руководствоваться критерием К, вида:

Р(у , /«Бракованная партия») Р(у, /«Кондиционная партия»)'

Глава 3. Управление стохастическими рисками

153

где yt — случайное число бракованных изделий, выявленных к шагу /;

Р(у, = /^/«Бракованная партия» — условная вероятность того, что случайное число бракованных изделий, выявленных к шагу /, будет равно т при условии, что партия бракованная; Р(у, = т I « Кондиционная партия» — условная вероятность того, что случайное число бракованных изделий, выявленных к шагу будет равно т при условии, что партия кондиционная.

Чтобы определить обозначенные условные вероятности, входящие в выражение для критерия К,, в количественной форме, необходимо учесть, что, согласно принятому предпринимателем решению, партия считается кондиционной, если доля р, брака не выше 0,1 (установлена в размере 10%), а в бракованной партии доля/?2 брака не ниже 0,2 (то есть не менее 20%). Дискретная случайная величина у, при этом оказывается распределенной по биномиальному закону. Напомним, что основой биномиального распределения является следующая схема. В совершенно одинаковых условиях — одна и та же доля р бракованных изделий в большой партии — проводится независимый контроль п одинаковых изделий. Результат контроля случайный: с вероятностью р под контроль подпадает именно бракованное изделие, а с вероятностью 1 бракованное изделие не попадает в число контролируемых.

Итак, поскольку партия готовых изделий достаточно большая, вероятность р от изделия к изделию не меняется. Фиксируется число т изделий, которые выявлены как бракованные. Это число будет одной из возможных реализаций случайной величины, которая может принимать значения от 0 до п. Вероятность того, что дискретная случайная величина примет значение, равное за-

п\

дается выражением вида Р(у=т) =-:-р'"(1 - р)" т или

т\{п - ту.

кратко - Р(у = т) = С™р"'(1 - р)-т,

где С" =----число сочетаний из п по т.

т\{п - т)\

Таким образом, за t шагов (число проведенных испытаний) получаем:

Р(у, = т /«Бракованная партия») = С,'" • р'" • (1 - р2)'"', Р(у„ = ///«Кондиционная партия») = С,'" • р"' • (1 - Р\У т-

Риск-менеджмент

После каждого очередного шага контроля формируются основополагающие выводы по схеме:

1 < К, <-

1 - а а сделать еще одно измерение;

1 -а

> К,

принять кондиционную партию;

>

забраковать всю

Вероятности ошибок первого и второго рода соответственно равны: а = 0,01, = 0,1.

Запишем выражение для критерия К, в наших условиях:

1еперь сформируем границы распознавания ситуации в зависимости от достигнутого к шагу t результата т числа идентифицированных бракованных изделий. Запишем формальное выражение для основополагающего вывода: «сделать еще одно измерение». Для наших исходных данных получаем:

Проведем допустимое преобразование (логарифмирование):

[/л0,1 -/«0,99] <[т • 1п2 + (t - т) • (/л8 - /л9)] < [/«0,9 - /«0,01]

или

-2,293 < (0,693 + 0,118) • т -0,118 • / < 4,5. 154

Р

а

Глава 3. Управление стохастическими рисками

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70

Числопроведенных испытаний

Рис. 3.9. Разделяющие границы областей для формирования частных выводов

155

Из последнего неравенства получаем границы зависимости между т и t.

0,145 • t- 2,82 <т<0,145 • t + 5,55.

Границы выполнения двух представленных в выражении неравенств — это прямые линии в системе координат t и т. Если изобразить их графически, то удобно будет делать частные выводы и одновременно документировать результаты вынесения решений.

На рис. 3.9 представлена система координат (t, m) и разделяющие границы областей для формирования частных выводов. По мере проведения измерений t и фиксации числа m выявленных бракованных изделий результаты можно изображать графически в виде траектории процесса контроля. Такая траектория изображена на рис. 3.9 последовательностью пунктирных стрелок. Траектория процесса контроля начинается из точки (0; 0), что соответствует ситуации «ни одного изделия не проконтролировано и, следовательно, ни одного бракованного не выявлено». Если проведено одно измерение и брак не обнаружен, траектория процесса выходит в точку (1; 0).

Риск -менеджмент

Если проводить измерения и дальше и при этом не будут выявлены бракованные изделия, то траектория процесса будет продолжать развиваться вдоль оси t. Если на каком-то шаге процесса контроля будет обнаружено первое бракованное изделие, на этом шаге траектория процесса контроля изменит угол движения на 45 градусов. И так будет всякий раз, как только будет обнаруживаться брак. В результате траектория превращается в ломаную линию, устремленную в общем случае вправо и вверх.

Скорость подъема траектории вверх зависит от частоты обнаружения бракованных изделий среди проконтролированных. И если брак выявляется достаточно часто, то траектория процесса устремляется в направлении северо-западной части системы координат (t, т). Эта часть ограничена снизу линией т = 0,145 • t + 5,55 и образует область значений числа t проведенных испытаний из числа т выявленных бракованных изделий, при попадании в которую вся партия должна быть забракована.

Напротив, если число бракованных изделий в партии готовой продукции незначительное, траектория процесса редко будет изламываться вверх. При этом, рано или поздно, она пересечет границу, задаваемую уравнением т =0,145 - 1 -2,82, которая отсекает юго-восточную часть области значений характеристик и т, которая соответствует базовому решению: «Принять всю партию». Траектория процесса контроля, соответствующая именно такому случаю, и отображена на рис. 3.9. Несмотря на то, что все же возможно принятие ошибочного решения, вероятности ошибок первого и второго рода не выйдут за пределы установленных для них пороговых значений. Кроме того, как показывают исследования, для обеспечения подобного же качества контроля по методу Неймана—Пирсона потребуется в среднем вдвое большая по объему выборка, чем та, которую придется осуществить по методу последовательного анализа Вальда. И, следовательно, затраты на проведение контроля качества произведенной продукции будут в среднем вдвое ниже.

Предпринимательская деятельность по предоставлению услуг. Для коммерческой и иной подобной предпринимательской деятельности адекватными моделями оценки риска могут служить модели со случайными потоками событий. При этом события следует рассматривать как факты выполнения взаимных обязательств между сторонами по объемам и по срокам. Наиболее

156

Глава 3. Управление стохастическими рисками

157

широко используют модели с так называемыми простейшими потоками событий. В простейшем потоке все наступающие события одинаковы, однако времена их появления — случайные, подчиняющиеся показательному закону распределения (свойство «без последействия»). При этом для простейшего потока характерно, что параметр показательного закона распределения — среднее время между событиями — постоянен во времени (свойство стационарности), а события появляются поодиночке (свойство ординарности).

Примером простейшего потока может служить поток автомобилей, прибывающих на автозаправочную станцию, поток телефонных звонков, поступающих в центр мобильной связи, и т.п. Для анализа разнообразных видов предпринимательской деятельности, в рамках которых циркулируют простейшие потоки событий, можно с успехом применять мощный математический аппарат анализа так называемых Марковских процессов. В рамках этого подхода, например, разработаны большинство моделей систем массового обслуживания (СМО).

Но не всегда потоки событий могут считаться простейшими. Например, как в предпринимательской деятельности, так и в быту, людям приходится совершать разнообразные платежи. Потоки платежей для банка и для потребителей часто оказываются случайными в силу случайных моментов времени их осуществления и случайных величин платежей. Например, таковыми являются потоки платежей за предоставление коммунальных услуг, за тепло и электроэнергию — ведь редко кто платит за все эти услуги в строго определенный день. При этом размеры платежей также могут быть случайными, в том числе и по причине их несоответствия объему и качеству предоставленных услуг: кое-кто не доплачивает, некоторые, по ошибке — переплачивают. Другой пример случайных платежей, с которым с недавних пор (после вступления в силу закона об обязательном страховании автогражданской ответственности) приходится сталкиваться значительному числу людей, — это выплаты страховых сумм за повреждение личного или общественного автотранспорта.

Продажа бензина на автозаправочной станции (АЗС). Во времена «начала перестройки» в России АЗС представляли собой достаточно громоздкие технические сооружения, как, впрочем, многие сооружения того времени. Считалось, что это позволяет экономить площади отводимых под них участков земли. Пока

Риск -менеджмент

158

автотранспорта в городе было сравнительно мало и он был, как правило, государственным, с этим можно было как-то мириться. Однако быстрый рост количества частных автомобилей в начале 90-х годов прошлого столетия, например в Москве, сделал ситуацию с автозаправками критической. Летом по пятницам, когда в конце рабочего дня тысячи москвичей устремлялись на дачные участки, к АЗС выстраивались километровые очереди.

Решить эту проблему в короткие сроки, превратить заправку большого числа автомашин в событие подстать покупки газеты, можно было только создавая много малых АЗС, достаточно плотно размещенных по всей территории города. Ведь крупные АЗС просто не было возможности разместить в перенаселенном городе. Это еще одна причина, почему их и было крайне недостаточно.

В настоящее время АЗС представляют собой небольшие площадки с оборудованием, имеющим для розлива горюче-смазочных материалов не более 3—5 колонок. При ожидании своей очереди для заправки прибывающие автомашины располагаются на небольших площадках вблизи АЗС, позволяющих разместить также небольшое число автомашин, как правило, — не более пяти. Если считать поток прибывающих на подобную АЗС автомашин случайным простейшим, то ее работу можно с успехом моделировать как случайный процесс функционирования «л-канальной СМО с ограниченной очередью». При моделировании работы подобной СМО используем следующие обозначения:

п — число заправочных колонок (число каналов обслуживания);

... , — число занятых колонок (возможные

«состояния СМО»);

т — число мест для автомашин на площадке ожидания (число мест в очереди);

X — интенсивность потока прибывающих на АЗС автомашин (интенсивность входного потока заявок);

— среднее время заправки одного автомобиля (обслуживания одной заявки).

При таких обозначениях сразу вычисляют параметры работы подобной СМО:

= — интенсивность потока обслуживания;

Глава 3. Управление стохастическимирисками

X

и

159

р =-«степень загруженности» канала;

И

р X ,

г\ = — =-отношение величины р к числу каналов обслуживания («распределенная степень загруженности» СМО).

В качестве главных характеристик эффективности работы АЗС, как «n-канальной СМО с ограниченной очередью», были приняты:

А — абсолютная пропускная способность (среднее число автомобилей, обслуживаемое АЗС в единицу времени);

Q — относительная пропускная способность (вероятность заправки прибывшего автомобиля); очевидно, что Q = АД;

— вероятность отказа в обслуживании, то есть вероятность того, что прибывший автомобиль не будет обслужен и покинет данную АЗС, поскольку все заправочные колонки и все места на площадке ожидания заняты; следовательно, Ротк = 1 — Q;

к — среднее число занятых заправочных колонок (каналов обслуживания);

z — среднее число автомобилей, «связанных» с рассматриваемой АЗС, то есть заправляющихся или находящихся в очереди;

г — среднее число автомобилей (заявок) в очереди;

— среднее время пребывания автомобиля на АЗС (в очереди или под обслуживанием);

— среднее время ожидания заправки, если заняты все колонки (среднее время пребывания заявки в очереди).

Эти характеристики вычисляют по следующим формулам:

г, р р2 Р" ря+| i-ttV' *

рп = 1 +— + — + ... + — +---— финальная веро-

^ 1! 2! п\ п • п\ [ ятность P(S0) свободного состояния («простоя») СМО; если — то в последнем слагаемом в скобках нужно в числителе дроби разложить (1 — на произведение (1— + + + + л3 + ... + r|m~') и дробь сократить, после чего от нее останется просто сомножитель (1 + п + ц2 + г|3+ ... + r\mi);

Р* , ,

Рк = — • РоДля I < к < п

к\

Риск-менеджмент

Р P

Р„н- =——j ? Ро = - ? Рпцг-п =Л • /W-и»ДДЯ 1 <г<т - остальные финальные вероятности;

А = Х(1 - р„+тУ, Q = У—рп+т,Р0тк=Рп +т — вероятность отказа в обслуживании, то есть вероятность того, что в момент поступления заявки все каналы обслуживания и все места в очереди занять^ Qp^rgMy поступившаязАвка не будет обслужена и покинет (1р")"' ~kQ ц;

Г =-—----!-, ДЛЯ ЛЮбОГО Г| < 1 ИЛИ Т) > 1,

лл\ (1-л)

а для г| = 1 выражение для среднего числа заявок г в очереди определяют на основании предельного перехода и получают выражение:

- _ т{т + 1) , «! 2

z=r + к;

Рассчитаем указанные финальные вероятности и характеристики эффективности АЗС для следующих исходных данных:

на АЗС имеются две заправочные колонки (п = 2);

на площадке ожидание могут располагаться четыре автомашины (т = 4);

поток автомашин, прибывающих на АЗС, имеет интенсивность \=1 автомашина/мин;

среднее время обслуживания автомашины /oft., = 2 мин.

На основании этих исходных данных вычисляем по представленным формулам:

ц = 1=1/2 = 0,5 автомашина/мин; р = —=2;г| = — =1.

п

160

Глава 3. Управление стохастическими рисками

Далее находим финальные вероятности:

финальная вероятность «простоя АЗС» (с учетом, что r| = 1)

финальная вероятность/?/ того, что на АЗС занята только одна из двух имеющихся колонок равна

2 1 =!•

°~ 13 13'

остальные финальные вероятности Р2, Рз, Р4, Ps и р6 также 2

оказываются равными —.

Через полученные финальные вероятности находим характеристики эффективности работы АЗС:

_ 2

Ротк —Ргт+тп — Р2+4 — Рб -=-это около 15% всех прибывающих на АЗС автомобилей; они не будут заправлены на рассматриваемой АЗС и будут искать другие пункты заправки;

относительная пропускная способность АЗС составляет, следовательно, величину Q = 1 — Ротк = — или приблизительно 85%

всех прибивающих на АЗС автомобилей, что вполне удовлетворительно;

в абсолютном выражении (показатель абсолютной пропускной способности) это составляет величину А = A.Q = — * 0,85 машины/мин. Именно эти, обслуженные автомашины принесут

владельцу АЗС прибыль.

Кроме того, можно утверждать, что в среднем на данной АЗС

- А 22

постоянно задействованы к = р(1 - рт) = — = — ~ 1,69 колонки

ц 13

161

Риск -менеджмент

из имеющихся двух, а в очереди на стоянке ожидания постоян-

— «1,54 машины. Иными словами, емкость стоянки

ожидания, которой располагает рассматриваемая нами АЗС, более чем в 2,5 раза превышает среднюю потребность. Всего же «в сфере действия» данной АЗС постоянно пребывают примерно Z = r + к « 3,23 автомашины, хотя данная СМО рассчитана на 6 связанных с нею заявок на обслуживание (две заправочные колонки и четыре места на стоянке ожидания).

Можно провести дополнительные исследования, чтобы изыскать возможность повысить эффективность работы АЗС, например, путем увеличения числа заправочных колонок за счет уменьшения размера площадки ожидания. Для этого просто придется произвести оценочные расчеты при новых, гипотетических исходных данных, например для и = 3 и т = 3и т.п.

Оказание платных консультационных услуг. В помещении юридической консультации работают два специалиста-консультанта. Поток посетителей в консультацию — простейший с интенсивностью 5 посетителей/ час. Среднее время iofjc1 обслуживания одного посетителя составляет 0,35 часа. Каждый обслуженный посетитель приносит консультации средний доход d, в размере 131 руб. Содержание каждого рабочего места, услуги связи, обращение в Интернет, а также зарплата юристов и налоги обходятся юридической консультации в среднем в 53,5 руб/час.

Помещение юридической консультации обладает сильным неудобством: нет никакой возможности оборудовать для посетителей место для ожидания приема. В результате этого сложился определенный порядок функционирования консультации: как только в помещение прибывает посетитель, его сразу же принимает свободный юрист и работает с ним. Но если в момент прибытия очередного посетителя все юристы заняты, то прибывшему посетителю просто негде находиться в ожидании приема и он вынужден уйти в другую юридическую консультацию. Из-за этого юридическая консультация теряет часть доходов. Можно было бы снизить риск потери доходов, если увеличить число спе

но находятся в среднем г

ли !

(1-Я)

162

Глава 3. Управление стохастическими рисками

1,0 { 1! 2! п\)

финальная вероятность того, что занято ровно к каналов СМО равна

к

рк = 2- • ра, для 1 < к < п; к\

>? абсолютная пропускная способность СМО равна А =

= *.(! ~Рп);

>- относительная пропускная способность СМО Q=l — рп\ >• вероятность Рои^отказа в обслуживании равна PomK= 1 —

- Q = IV

Оценим финальные вероятности и характеристики эффективности для сложившегося режима работы юридической консультации. Поскольку в консультации работают только два специалиста-консультанта, то п = 2, и X = 5 чел/час. Далее определяем:

\х = 1//0&,„ = 1/0,35 = 2,86; р = — =-= 1,75. Через эти параметры

и 2,86

вычисляем:

163

циалистов-консультантов. Но сколько их нужно, чтобы максимизировать доход юридической консультации?

С целью оптимизации величины доходов юридической консультации ее директор произвел моделирование процесса функционирования этой организации как ««-канальной СМО с отказами». В итоге он собирается построить модельную зависимость величины получаемого чистого дохода от числа работающих юристов-консультантов. При моделировании и расчетах показателей эффективности работы юридической консультации им были использованы те же обозначения, что и в предыдущей задаче.

С учетом введенных обозначений основные соотношения для моделирования процесса функционирования юридической консультации, как СМО с отказами», и расчета ха-

рактеристик ее эффективности выглядят следующим образом: финальная вероятность свободного состояния СМО («вероятность простоя»), равная определяется выражением:

Риск-менеджмент

р2 = 0,358; Q = 1

Рот 0,642, а также — А = XQ = = 5-0,642 « 3,212 посетителей/час.

Доход юридической консультации от обслуживания пришедших в нее посетителей составляет А • d| = 3,212 • 131 = 420,73 руб/час. Расходы на содержание двух рабочих мест юристов-консультантов составляют 53,5 • 2 = 107 руб/час. В результате чистый доход от функционирования юридической консультации с двумя юристами составляет 420,73 — 107 = 313,73 руб/час.

Аналогично было проведено моделирование функционирования юридической консультации и расчет доходности для случаев, если бы в ней работали от одного до шести юристов. Для полноты данных быд учтен и нулевой результат (ни одного юриста в консультации не работает). Результаты расчетов значений характеристик эффективности функционирования юридической консультации представлены в табл. 3.7, а на рис. 3.10 эти данные представлены в виде графика зависимости величины дохода юридической консультации от числа работающих в ней юристов-консультантов.

Т а б л и ц а 3.7 Результаты расчета доходности функционирования юридической консультации Число п работающих юристов-консультантов

0 1 2 3 4 5 6 Вероятность/^ «простоя» юридической консультации 1 0,364 0,234 0,193 0,180 0,175 0,174 Вероятность загрузки всех К каналов 0 0,636 0,358 0,173 0,070 0,024 0,007 Абсолютная пропускная способность

СМО 0 1,818 3,212 4,137 4,649 4,880 4,965 Доход от обслуженных заявок 0 238,18 420,73 541,93 609,01 639,29 650,45 164

Глава 3. Управление стохастическими рисками

Продолжение табл. 3.7 Число л работающих юристов-консультантов

0 1 2 3 4 5 6 Расходы на содержание каналов 0 53,5 107,0 160,5 214,0 267,5 321,0 Доход от эксплуатации «-канальной СМО 0 184,68 313,73 381,43 395,01 371,79 329,45 На основании данных, представленных в табл. 3.7 и отображенных в виде графика на рис. 3.10, следует, что оптимальным по максимуму получаемого юридической консультацией дохода при тех же параметрах служебного помещения следует считать увеличение штата юристов до четырех человек. При таком составе специалистов-консультантов доход этой организации составит более 395 руб./час против 313,73 руб./час, которые юридическая консультация получает в положении status quo, когда в ней трудятся только два консультанта.

Торговля садово-огородным инвентарем, инструментами и строительными материалами. Торговля подобными товарами в крупных центрах самообслуживания является не только прогрессивной, но и удобной формой обслуживания покупателей. Она также хороша и тем, что позволяет легко организовать автоматизированную систему сбора данных об интенсивностях потоков посетителей, о доле тех из них, кто по разным причинам ушел без покупки, и т.п. Этому способствует наличие у подоб

ен 500

0 1 2 3 4 5 6

Число каналов обслуживания

Рис. 3.10. Зависимость величины дохода юридической консультации от числа работающих в ней юристов-консультантов

165

Риск-менеджмент

ных торговых центров систем автоматизированного допуска посетителей к местам расположения товара и автоматизированного учета и списания купленного товара после его оплаты в кассе.

Большую часть товара в центрах торговли садово-огородным инвентарем, инструментами и строительными материалами посетители отбирают сами, непосредственно подержав размещенный на стеллажах и подиумах товар в руках. Однако некоторая часть товара, представляющего сложную технику или дорогой инструмент, покупатель, как правило, выбирает после консультаций с менеджером в торговом зале. Время консультации при этом оказывается случайным, но распределение этого времени, как правило, — показательное. Поток посетителей, обращающихся к менеджеру за консультацией, также случаен. Поэтому менеджер может то стоять без дела (к нему никто не обращается за разъяснениями), то к нему может выстроиться очередь за консультацией. Но ведь не каждый из потенциальных покупателей сложной техники или дорогого инструмента готов долго ожидать своей очереди и задать менеджеру вопрос.

Некоторые, особенно нетерпеливые клиенты, могут просто уйти без покупки. Поэтому для снижения риска ухода посетителя без покупки из-за того, что этот нетерпеливый клиент не желает или не в состоянии ждать, пока менеджер освободится, таких консультантов должно быть возле места расположения указанного товара несколько. Но сколько? Разумеется, оптимальное число консультантов зависит и от интенсивности потока покупателей, и от доли тех, кто заинтересован в покупке именно дорогой или сложной техники и инструмента, и от величины среднего времени консультации, и от ряда других, менее значимых факторов.

Предположим, что после консультации с менеджером в зале посетитель выбрал интересующий его инструмент и, отстояв очередь в кассе, оплатил товар. Закончились ли на этом его взаимоотношения с торговым центром? Нет, не закончились. Есть еще одна специфическая особенность заключения сделки купли-продажи подобных товаров, а именно: обязательная проверка работоспособности изделия и оформление гарантийных обязательств на купленный товар. В итоге операция по покупке сложной садово-огородной техники, инструмента или инвентаря превращается в трехстадийный процесс: выбор товара, его

166

Глава 3. Управление стохастическими рисками

167

оплата в кассе, проверка работоспособности и оформление гарантийного талона на приобретенный товар.

Для оценки экономической выгоды процесса работы торгового центра его руководству крайне необходима информация об эффективности процессов на каждой из стадий. Такую информацию можно получить, если будут известны следующие характеристики процессов обслуживания в торговом центре покупателей сложной техники (инструмента):

A, Q, — абсолютная и относительная пропускные способности и вероятность отказа в обслуживании соответственно;

— среднее число клиентов в очереди на первой, второй и третьей стадиях обслуживания соответственно;

среднее число клиентов, связанных с первой, второй и третьей стадиями обслуживания соответственно;

> среднее время ожидания клиента в очереди на

первой, второй и третьей стадиях обслуживания соответственно;

среднее время пребывания покупателя в первой, второй и третьей стадиях процесса обслуживания соответственно;

— общее среднее число покупателей во всех очередях;

z — общее среднее число покупателей сложной техники (инструмента), совершающих покупку в магазине;

— общее среднее время, проводимое покупателем сложной техники во всех очередях;

— общее среднее время, затрачиваемое покупателем на приобретение сложной техники в торговом центре.

Адекватным модельным аналогом рассматриваемого нами процесса торговли может служить модель функционирования многофазной СМО с очередью. В подобной системе входящий поток каждой последующей фазы является выходным потоком предыдущей и в общем случае имеет последействие. Однако, если на вход СМО с неограниченной очередью поступает простейший поток заявок, а время обслуживания показательное, то выходной поток этой СМО — простейший с той же интенсивностью, что и входящий. Поэтому многофазовую СМО с неограниченной очередью перед каждой очередной фазой, с простейшим входящим потоком заявок и показательным временем обслуживания на каждой фазе можно анализировать как простую последовательность простейших СМО. Если же очередь к какой-либо фазе ограничена, то выходной поток в этой фазе перестает быть

Риск-менеджмент

Т а б л и ц а 3.8 Исходные данные для моделирования многостадийного процесса работы с покупателями торгового центра Стадии процесса обслуживания посетителей торгового центра Характеристики стадий процесса обслуживания посетителей торгового центра

п

каналов

обслуживания ИнтенсивностьX входного потока (чел/час) Доля а посетителей, которые не выбрали товар Среднее время 10/k, обслуживания на стадии (мин) Среднее время «терпеливого» ожидания в очереди (мин) Консультации и выбор товара (многоканальная СМО «нетерпеливыми» заявками) 2 3,0 0,15 6 15 Оплата товара (одноканаль-ная СМО с неограниченной очередью) 1 по итогам

работы

первой

стадии

процесса 3,2 Контроль и оформление гарантии (многоканальная СМО с неограниченной очередью) 4 по итогам

работы

первой

стадии

процесса 12 168

простейшим и вышеуказанный прием можно применять только в качестве приближенного.

Учитывая эти замечания, применим для анализа экономической эффективности работы рассматриваемого нами торгового центра математический аппарат, описывающий работу простейшей многофазной СМО с очередью. Будем рассматривать три последовательные стадии процесса работы с покупателем торгового центра как три отдельные СМО со своими характеристиками. Исходные данные для моделирования и оценки эффективности многостадийного процесса работы с покупателями сложной техники в торговом центре представлены в табл. 3.8.

Глава 3. Управление стохастическими рисками

169

На первой стадии процесса происходят консультации покупателей с менеджером в зале и выбор товара. Поток посетителей простейший с интенсивностью 30 чел/час. У стендов с интересующим нас товаром работают два менеджера-консультанта. Среднее время обслуживания на этой стадии 6 мин. Не каждый из потенциальных покупателей сложной техники или инструмента готов долго ожидать своей очереди задать менеджеру вопрос. В итоге часть клиентов торгового центра, не дождавшись возможности задать свои вопросы менеджеру, отказываются от покупки именно этой техники и переходят к самостоятельному выбору иных товаров в торговом центре. Следовательно, подобных клиентов торгового центра можно моделировать «нетерпеливыми» заявками, покидающими СМО через случайное время ожидания, подчиненное показательному закону распределения. Среднее время «терпеливого» ожидания в очереди для подобных клиентов в табл. 13.8 определено в 15 мин.

Таким образом, все случайные времена событий на первой стадии процесса имеют показательный закон распределения. В итоге процесс обслуживания клиентов торгового центра на стадии консультации и выбора товара можно смоделировать посредством процесса функционирования простейшей двухка-нальной СМО «нетерпеливыми» заявками и неограниченной очередью. Учтем, что интенсивность входного потока заявок в общем случае уменьшается из-за того, что некоторая доля потенциальных покупателей вообще ничего себе не подберет и уйдет из торгового центра без покупки. Доля а посетителей, которые не выбрали товар, определена в 15%.

Основные соотношения для моделирования простейшей многоканальной СМО «нетерпеливыми» заявками и неограниченной очередью являются:

финальные вероятности состояний СМО

где р

и V

интенсивность потока уходов, приходя-

щаяся на одну заявку, стоящую в очереди; указанные финальные вероятности всегда существуют, если только р > 0;

суммарная средняя интенсивность потока уходов, приходящаяся на все заявки, стоящие в очереди, равна значит, интенсивность входного потока заявок уменьшается на эту величину, и абсолютная пропускная способность СМО А и составляет: A =X-vг; именно такая величина будет определять величину интенсивности потока заявок для последующих стадий процесса; эту же характеристику можно определить из соотношения интенсивности обслуживания и среднего числа занятых каналов: А = к • ц; с учетом того, что не все посетители, а только их доля найдет себе товар для покупки, абсолютная пропускная способность СМО будет равна величине А = (1 - а)Х - vr; именно такими, то есть по итогам работы первой стадии процесса, будут интенсивности входных потоков заявок для второй и третьей стадий;

>• относительная пропускная способность составит Q = —;

л,

среднее число к занятых каналов следует подчитать напрямую как математическое ожидание случайной величины числа занятых каналов с возможными значениями 0, 1,2, п и соответствующими вероятностями Р0-Р1Р2,

• ••?> Pn-h [^'iPcfrP Р Рп-/)]'?> это выражение имеет вид:

k = lpi+2p2+.+ (п - 1)/V/+«[1 ~(Ро+Р 1+Р2+ •••+ Рп-дУ,

170

Глава 3. Управление стохастическими рисками

среднее число заявок в очереди вычисляем по формуле

среднее число заявок в z +

>• средние времена пребывания заявки в очереди и в системе равны, как обычно, величинам = / X и = I соответственно.

На второй стадии покупатели, выбравшие товар, должны оплатить покупку. Пунктов расчета, как правило, в подобных торговых центрах несколько. Однако необходимо учитывать специфику их расположения и особенности продаваемого товара. Дело в том, что обычно подходы к пунктам расчета за покупку разграничены турникетами. Товар, представляющий собой садово-огородный инвентарь, оборудование дачных участков, строительные материалы и т.п., достаточно громоздкий, и покупатели перемещаются по торговым залам, транспортируя его на достаточно крупных тележках. С такой тележкой в узком проходе между турникетами особенно не развернешься.

Все это приводит к тому, что даже при нескольких пунктах расчета за покупку покупатель должен стоять в одну очередь, а именно в ту, в какую он попал по собственной воле или по воле случая. Выбраться из такой очереди и перейти в другую — весьма проблематично, учитывая психологический настрой сзади стоящих покупателей, также перегруженных покупками. В результате работу расчетного пункта и весь процесс на второй стадии приобретения товара в торговом центре приходится моделировать как работу одноканальной СМО с неограниченной очередью и средним временем расчета с покупателем, равным 5 мин.

Основные математические соотношения для моделирования простейшей одноканальной СМО с неограниченной очередью являются:

>- /»0=1 -р;/^=р*(1 -р), для к=1, 2, 3, причем финальные вероятности существуют только для случая, когда

Х 1;

характеристики эффективности определяются выражениями вида:

A = X;Q=lJ>OTK = 0; k = Р; г = ^~; z = ^-; rCHCT =f;/04 =-

1-р 1-р X X

171

Риск-менеджмент

Третья, последняя стадия процесса, — это контроль и оформление гарантии на приобретенный товар. Входной поток имеет такую же интенсивность, как и для второй стадии. На контроле работают четыре специалиста. Среднее время обслуживания на этой стадии 3 мин. Адекватной моделью процесса контроля качества и оформление гарантии на приобретенный товар является многоканальная СМО с неограниченной очередью. Работа подобной СМО описывается следующими характеристиками:

финальные вероятности

(л Р Р2 Р" Р"+'

1! 2! п\ п л! 1 -т|

к п+г

Рк =тт'А; 1 ^к<щртг =-Н—-? рй;... дляг> 1;они

к\ п -я!

существуют только для случая, когда

Рог, = 0;

средняя длина очереди

>? среднее число занятых каналов (или вероятность того, что

канал занят) к = — = р;

И

>• среднее число заявок в системе г = г+ к = г+ р средние временные характеристики процесса:

На основании представленных в тексте и табл. 3.8 исходных данных по всем приведенным нами формулам были проведены модельные расчеты, результаты которых сведены в табл. 3.9.

172

Глава 3. Управление стохастическими рисками

Т а б л и ц а 3.9 Результаты модельных расчетов для трех стадий процесса обслуживания посетителей торгового центра Стадии процесса обслуживания Характеристики эффективности процессов на стадиях работы с посетителями торгового центра

Л, чел/час Q к, чел г, чел z, чел мин ^ сист ' МИН Консультации и выбор товара 14,2 (30 - 0,850— 4 е2,81) 0,625 1,9 2,8 4,7 5,6 9,4 Оплата товара 14,2 1,0 0,8 2,4 3,1 10 13,2 Контроль и

оформление

гарантии 14,2 1,0 2,8 1,1 3,9 4,6 16,6 Из полученных результатов моделирования следует, что средние времена пребывания покупателя сложной техники и инструмента в очередях и в торговом центре составляют величины

/ = ,"<» + /<2-f i0)*2)2 МИН И/ =i(i) +ti2) +i0) =39 МИН СО* оч оч * он 1 оч ±*J^ IVIFU 1 *А * сист * сист сист сист IVIFU 1 Х-Л-'

ответственно. Анализ относительных величин для этих данных позволяет сделать вывод о том, что около 43% общего времени пребывания в магазине занимают контроль и оформление гарантии на приобретенный товар. При этом имеющееся количество специалистов на этой стадии процесса (четыре специалиста) можно считать избыточным, поскольку в среднем заняты только 2,8 чел. А вот в очереди на контроль пребывает в среднем всего 1,1 чел. В то же время на первой стадии консультации и выбора товара в очереди на консультацию стоят в среднем 2,8 чел, и, учитывая, что среди посетителей торгового центра есть «нетерпеливые», то для улучшения обслуживания покупателей целесообразно одного специалиста из отдела контроля снять и поставить его консультантом в торговом зале. Следовательно, таким простым структурным изменением можно, во-первых, уменьшить время ожидания клиентом консультации, а, во-вторых, снизить вероятность того, что «нетерпеливые» клиенты уйдут, не приобретя дорогого товара. Для получения более точной, количественной оценки выгодности подобных структурных изменений потребуется провести все расчеты по изложенной методике при новых исходных данных.

173

Риск-менеджмент

Таблица 3.10

Одна из возможных случайных комбинаций букв ь А о И в о ?"?'-'*J ^ Б Как должен устроитель лотереи назначить цену лотерейного билета, чтобы она не была слишком высокой и не отпугивала покупателей и в то же время — чтобы сама лотерея для устроителей была бы достаточно доходной?

Для решения задачи приведенных исходных данных недостаточно. В частности, необходимо знать, сколько найдется желающих сыграть в такую игру? Сколько будет стоить автомобиль на момент выплаты выигрыша (если игра продолжается несколько

174

Выпуск лотерейных билетов. Лотерейный бизнес широко распространен во всем мире. Основу процветания всевозможных лотерей составляют устойчивое желание весьма большого числа людей мгновенно обогатиться. Учитывая случайность механизма разыгрывания лотереи, а также массовый характер участия в ней игроков, для оценки рисков и обоснования показателей затрат и доходности в лотерейном бизнесе широко применяют вероятностные модели.

Предположим, что устроители лотереи для привлечения максимального числа участников гарантируют, что «в каждом лотерейном билете — автомобиль!» Лотерейный билет оформлен в виде карточки, на которой размещена таблица 4 на 5 (матрица), клетки которой закрыты фольгой. В клетки матрицы внесены какие-то буквы, но среди них обязательно есть десять букв, из которых можно составить слово «автомобиль».

Если игроку удается из двадцати имеющихся клеток открыть ровно 10 клеток (стереть с них фольгу) и в них окажутся буквы, составляющие слово «АВТОМОБИЛЬ», то такой участник лотереи получает приз — автомобиль. Одна из возможных случайных комбинаций букв в ячейках матрицы представлена в табл. 3.10.

Глава 3. Управление стохастическими рисками

175

лет, цены на автомобиль могут существенно увеличиваться)? Сколько попыток (в среднем) может сделать один игрок, пока не разочаруется в возможности выиграть?

Для ответа на эти и другие вопросы нужна серьезная статистика. Однако для того чтобы продемонстрировать суть подхода к решению задачи, мы можем задать необходимые данные, исходя из достаточно очевидных рассуждений.

Пусть дополнительные исходные данные таковы: >? цена призового автомобиля — 150 000 руб.;

себестоимость изготовления одного лотерейного билета в партии не менее 1 млн шт. составляет 15 руб.;

> • в регионе, где будут распространяться лотерейные биле-

ты, проживает не менее 10 млн чел.;

>- взрослое кредитоспособное население 3 млн чел.;

>• лотерейные билеты покупают от 30 до 60% взрослого кредитоспособного населения;

приемлемой может считаться цена одного билета не выше

100 руб.;

> • число купленных билетов (за несколько попыток выиг-

рать автомобиль) составляет от 1 до 3 на одного игрока; устроитель считает, что лотерея будет достаточно доходной, если прибыль составит не менее 25%.

Решим задачу, учитывая эту дополнительную информацию.

Вначале подсчитаем вероятность того, что с первой попытки игрок откроет нужные для образования слова «АВТОМОБИЛЬ» буквы. Согласно классическому определению вероятности события это один случай из числа возможных, то есть

Равпю-* Число No6m определяется как число сочетаний из 20

общ

1Л 20 19 1817 16 15 1413 12 11

по 10, что составляет =-=

= 184756. В результате Равт„ =-=5,413 • 10 6 или примерно

184 756

ноль целых и пять миллионных.

Отсюда получаем, что математическое ожидание выигрыша М[АВТО] на один билет составляет Л/[АВТО] = 5,413 • 10 6 • 15 • •104 = 0,81195 руб., то есть чуть больше, чем 81 коп.

Риск -менеджмент

Средний процент играющих составляет-= а с

учетом общего числа взрослого кредитоспособного населения в 3 млн чел., среднее число игроков будетравно0,45 • 3 • 10" = 1,3 5 • 106. При числе попыток игры от 1 до 3 каждый из игроков купит в среднем 2 билета, в результате потребуется как минимум 2 • 1,35 • 106 =2,7 • 106 билетов. Это значительно больше, чем требуется для обеспечения минимальной цены изготовления билета (не выше 15 руб.). Устроители лотереи приняли решение выпустить 2,8 • 106 билетов, чтобы обеспечить необходимую надежность обеспечения спроса на них. В таком случае среднее число билетов, на которые выпадет выигрыш, будет равно 2,8 • 106 • 5,413 • 10~6 = 15,16, то есть в среднем выиграют чуть больше билетов. А раз это так, то с учетом стоимости одного автомобиля в 000 руб., суммарная средняя стоимость выплат составит 15,16 • 150 000 = 2 274 000 руб.

В итоге средние суммарные затраты организатора лотереи с учетом стоимости изготовления лотерейных билетов и выплаты выигрышей будут равны

билета ' #билетов + Свыплат = 15 • 2,8 • 106 + 2 274 000 = = 42 • 106 + 2 274 000 = 44 274 000 руб.

Поскольку устроитель считает, что лотерея будет достаточно доходной, если прибыль составит не менее 25%, то он рассчитывает выручить не менее, чем 1,25 • 44 274 000 = 55 342 500 руб. Исходя из этой суммы, требуется установить цену на один лотерейный билет, исходя из соотношения:

55 342 500^ 2,8 106

Ближайшая целая сумма в рублях — 20 руб. Эту сумму и было решено установить в качестве окончательной цены лотерейного билета.

Как реализовать первый подход из указанных, нам уже известно. Поэтому рассмотрим алгоритм построения субъективной функции распределения значений цены как непрерывной величины.

176

Глава 3. Управление стохастическими рисками

177

Суть подхода к построению субъективной функции распределения близка тому, какой мы использовали при построении индивидуальной функции полезности. В основе лежит понятие медианы распределения. Технологически же спектр значений исходной величины делится на сегменты так, чтобы средние значения сегментов имели равную вероятность. Предположим, что брокер испытывает опасения в отношении цены, по которой он мог бы продать приобретенную по $5 руду. Обозначим цену продажи закупленной руды через s. Брокер считает, что она будет где-то между $5,5 и $12 за тонну. В вероятностных терминах это означает, что брокер полагает невозможной цену спроса ниже $5,5 и полагает вероятность < $5,5) =0. Однако крайне маловероятно, что цена превысит $12 за тонну, то есть P(s <$12) = 1.

Итак, брокер решил выбрать именно этот интервал для того, чтобы субъективно оценить распределение вероятности цены спроса на закупленную им по $5 за тонну руду. Затем брокеру следует задуматься и попытаться ответить самому себе на вопрос: а какова цена руды <>? Или по-другому: по какой цене за тонну руды ее предпочтут приобрести примерно половина заинтересованных покупателей? Предположим, в результате раздумий и личных оценок брокер пришел к выводу, что около половины потенциальных покупателей руды предпочтут приобрести ее по цене выше $9,7 за тонну, а другая половина могла бы предложить и больше. Таким образом, нами найдена медиана для всего рассматриваемого диапазона возможных цен за товар. Следовательно, < $9,7) = 0,5. Теперь брокеру следует выбрать в качестве оцениваемого интервала диапазон цен от $5,5 до $9,7 за тонну руды и найти медиану для него. Для этого он может вновь задаться тем же вопросом: не выше какой цены из представленного диапазона руду предпочтет приобрести примерно четверть из общего числа заинтересованных покупателей, а остальные смогли бы согласиться предложить и большую цену? Предположим, что он остановился на оценке $8,3. Таким образом, он получает еще одно значение для субъективной функции распределения цены продажи: =0,25.

Остается определить величину верхнего квартиля и основная часть работы будет завершена. Брокер представил себе все известное ему множество потенциальных покупателей руды, мысленно прикинул их нынешнее финансовое состояние. Он

Риск-менеджмент

представил себе как будут происходить открытые торги рудой, торги в полностью рыночных условиях. Он представил себе четверть наиболее состоятельных и решительных потенциальных покупателей, которые будут намерены купить руду во что бы то ни стало. При этом 3/4 остальных покупателей отступят. После всего этого брокер задался вопросом: до какой максимальной цены за тонну руды такие покупатели будут готовы ждать и не вступать в торг, чтобы затем враз предложить цену, выше этой и тем самым выиграть торги? Он ответил для себя, что величина 50,75 такой цены должна быть, как минимум, равной $10,3 за тонну.

Таким образом, P(s < $10,3) =0,75. Далее брокер продолжил работу, деля каждый из полученных интервалов его собственной «медианой». В результате подобных операций им было получено множество значений субъективной функции распределения цены спроса на руду, представленных в табл. 3.11.

Таблица 3.11

Множество значений субъективной функции распределения цены спроса на руду Цена у, $/тонн. 5,5 7,2 8,3 9,0 9,7 10,1 10,3 10,8 12,0 P(sБрокер использовал его для оценки выгодности альтернатив с использованием дерева решений. Но для того чтобы избежать существенных оценок, ему еще придется учесть временной фак

178

Глава 3. Управление стохастическими рисками P(s

Рис. 3. 11. График функции F(y) = P(s < у)

тор. Иными словами, в общем случае любая оценка экономических решений, и маркетинговых в частности, не может производиться лишь с позиций однократной, не существующей во времени денежной прибыли (ущерба). Иногда для этого достаточно использовать формализованную методику, например, метод оценки окупаемости капиталовложений при помощи расчета дисконтированного движения наличности.