8.6. Выявление и измерение сезонных колебаний
В рядах динамики, уровни которых являются месячными или квартальными показателями, наряду со случайными колебаниями часто наблюдаются сезонные колебания, под которыми понимается периодически повторяющиеся из года в год повышение и снижение уровней в отдельные месяцы или кварталы.
Сезонным колебаниям подвержены внутригодовые уровни многих показателей.
Так, расход электроэнергии в летние месяцы значительно меньше, чем в зимние. Потребление мяса больше в зимние месяцы, производство некоторых видов продуктов (сахара, растительного масла и др.), связанных с переработкой сельскохозяйственной продукции, увеличивается в месяцы, непосредственно следующие за окончанием уборки урожая, рыночные цены на овощи в отдельные месяцы далеко не одинаковы и т.д.При графическом изображении таких рядов сезонные колебания проявляются в повышении и снижении уровней в определенные месяцы (или кварталы).
В качестве иллюстрации рядов с сезонными колебаниями могут служить данные о производстве растительного масла в России за 1992—1993 гг. по месяцам (табл. 8.23) и их графическое изображение (рис. 8.11). Производство растительного масла в России в 1992—1993 гг. по месяцам, тыс. т Год Месяц 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1992 109,5 102,7 86,6 82,3 76,6 70,0 57,6 24,5 36,3 70,7 95,2 104,5 1993 97,6 95,5 114,2 101,3 105,6 94,6 75,2 38,6 38,9 78,7 96,5 111,0
Ч УЧ . S
1992 г. 1993 г.
Месяцы
Рис. 8.11. Динамика производства растительного масла в России за 1992—1993 гг. по месяцам
Вместо месячных показателей могут быть квартальные. Если колебания не случайны, они сохраняются и в квартальных уровнях, как это показано в табл. 8.24, где месячные данные нашего примера преобразованы в квартальные, и на рис. 8.12.
Таблица 8.24
Производство растительного масла в России в 1992—1993 гг. по кварталам Год 1992 1993 Квартал I II III IV I II III IV Произведено тыс.
т 298,8 228,9 118,4 270,4 307,3 301,5 152,7 286,2V V
1992 г. 1993 г.
Кварталы
Рис. 8.12. Динамика производства растительного масла в России за 1992—1993 гг. по кварталам
Наблюдение за сезонными колебаниями позволяет, с одной стороны, устранить их там, где они нежелательны (например, можно более равномерно использовать в течение года строительных рабочих), с другой стороны, решить ряд практических задач (например, определить потребности в рабочей силе, оборудовании и сырье в тех отраслях, где влияние сезонности велико).
При изучении рядов динамики, содержащих «сезонную волну», ее выделяют из общей колеблемости уровней и измеряют. Существует ряд методов для решения этой задачи. Все они основаны на сравнении фактических уровней каждого месяца (или квартала) со средним уровнем, предполагающим равномерное распределение годового показателя по месяцам (или кварталам), либо со сглаженными скользящими средними или выравненными по уравнению тренда. При этом для измерения «сезонной волны» рассчитывают либо абсолютные разности (отклонения) фактических уровней от среднего уровня (или от выравненных), либо отношения месячных уровней к среднему месячному уровню за год, так называемые индексы сезонности:
'се, = у 100%. (8.18)
В табл. 8.25 показан расчет индексов сезонности и абсолютных отклонений уровней от среднего на примере данных о производстве растительного масла в России в 1992 г.
Сезонные колебания производства растительного масла в России в 1992 г. Месяц Производство масла, тыс. т
У/ Индекс
сезон
ности,
% к среднему месячному уровню
^ 100%
У Абсолютное отклонение от среднего месячного уровня
У, - У Абсо
лютное
откло
нение,
% к среднему месячному уровню
(у, - у)1 У ( ^ссз - 100%)2 O’, - У)2 1 2 3 4 5 6 1 Январь 109,5 143,4 33,125 43,4 1883,56 1097,266 Февраль 102,7 134,5 26,325 34,5 1190,25 693,006 Март 86,6 113,4 10,225 13,4 179,56 104,551 Апрель 82,3 107,8 5,925 7,8 60,84 35,106 Май 76,6 100,3 0,225 0,3 0,09 0,051 Июнь 70,0 91,6 -6,375 -8,4 70,56 40,641 Июль 57,6 75,4 -18,375 -24,6 605,16 352,501 Август 24,5 32,1 -51,875 -67,9 4610,41 2691,018 Сентябрь 36,3 47,5 -40,075 -52,5 2756,25 1606,006 Октябрь 70,7 92,6 -5,675 -7,4 54,76 32,206 Ноябрь 95,2 124,6 18,825 24,6 605,16 354,381 Декабрь 104,5 136,8 28,125 36,8 1354,24 791,016 Итого 916,5 1200 0 0 13370,84 7797,747 Средний месячный уровень за год
_ 916,5 „
у = = = 76,375 тыс.
т.п 12
В графе 3 табл. 8.25 индексы сезонности рассчитаны как процентное отношение фактического уровня каждого месяца у(. к среднему месячному у за год, т.е. по формуле (8.18). В графе 4 приведены абсолютные отклонения уровней каждого месяца от среднего месячного за год, а в графе 5 — эти же отклонения в процентах к среднему месячному уровню. Нетрудно видеть, что данные графы 5 представляют собой разность между индексом сезонности и 100%. Другими словами, независимо от того, как учитываются различия в месячных уровнях, измерение сезонности в конечном счете сводится к расчету индексов сезонности. Графическое изображение индексов сезонности (рис. 8.13) наглядно показывает форму, характер «сезонной волны» относительно среднего месячного уровня за год, принимаемого за 100%.
СЄЗ* '
150 100"
2 3 4 5 6 7 Месяцы
9 10 11 12
50
Рис. 8.13. Индексы сезонности производства растительного масла в России в 1992 г.
Данные табл. 8.25 и рис. 8.13 показывают, что минимальный объем производства растительного масла в 1992 г. приходился на август, а максимальный — на январь.
Для характеристики силы (меры) колеблемости уровней динамического ряда из-за сезонной неравномерности часто предлагается использовать среднее квадратическое отклонение индексов сезонности (в процентах) от 100%, т.е.
(8.19)
В нашем примере сумма Х(/сез-Ю0%)2 = 13370,84 рассчитана в графе 6 (см. табл. 8.25). Тогда
13370,84
1 12~ = 33’38%-
Этот же результат можно получить и по-другому, как коэффициент вариации (колеблемости):
к= ?юо%,
У ХО/ -у)2
где а = -Л - среднее квадратическое отклонение
п уровней ряда.
В табл. 8.25 сумма квадратов отклонений от среднего уровня ХСи,- ~У)2 рассчитана в графе 7, среднее значение уровня у = = 76,375. Отсюда
_ II(У, -У)2 17797,747 г а = ^ = = 25,5 тыс. т,
К= -100% = -^100 = 33,38%, у 76,375
т.е. результаты двух показателей (ссез и V) идентичны.
Важно отметить, что в формуле (8.16) сумма квадратов отклонений месячных уровней от общего среднего уровня, Т.е.
?(.У, ~У)2> измеряет колеблемость за счет всех факторов, а не только за счет сезонной неравномерности, поэтому, пользуясь ею для измерения колеблемости ряда из-за сезонной неравномерности, не следует переоценивать ее значение.Конечно, там, где колебания в основном определены влиянием сезонности, расчет по формуле (8.16) их учитывает. Однако при этом не исключается и влияние случайных колебаний.
В рассмотренном методе расчета индексов сезонности /сез =
у. —
~^г 100% использовались данные одного года. Этот метод до- У
вольно прост, но в силу элемента случайности месячные данные одного года недостаточно надежны для определения меры сезонных колебаний. Поэтому рекомендуется пользоваться месячными (или квартальными) данными за ряд лет (в основном за 3 года, хотя не исключена возможность использования данных за 2
года, а также за период более 3 лет).
Расчет индексов сезонности за ряд лет
При наличии месячных данных за ряд лет расчет индексов сезонности можно осуществить по-разному. Рассмотрим несколько способов. 1.
По данным ряда лет рассчитывается среднее значение уровня для каждого месяца у1, а также средний месячный уровень за весь период у. Затем определяются индексы сезонности как процентное отношение средних уровней для каждого месяца к общему среднему месячному уровню всего ряда (за все годы), т.е. по формуле
7сез/ = уЮ0%. (8.20)
Например, по данным табл. 8.23 за 2 года получим следующие средние уровни по месяцам:
в январе у, = (109,5 + 97,6)/2 = 103,55 тыс. т;
в феврале у2 = (102,7 + 95,5)/2 = 99,1 тыс. т;
в марте у3 = (86,6 + 114,2)/2 = 100,4 тыс. т и т.д.
Средний месячный уровень за 2 года
24
1У,
у = -— = 82,0175 тыс. т = 82 тыс. т.
24
у!
Отсюда индексы сезонности /сез/ = -=-100%:
в январе / , = - Ю0 = 126,3%; 0
1
в феврале /сез2 = -^-100 = 120,5%;
99,1.
82
в марте /сез3 = --^—100 = 122,5% и т.д.
100,41 82
Данный метод используется в основном в тех случаях, когда уровни одноименных месяцев в разные годы отличаются незначительно. 2.
Если же наблюдается тенденция к увеличению или снижению уровней из года в год, то эффективнее рассчитывать индексы сезонности по следующей схеме.
Для каждого года отдельно рассчитываются индексы сезонно-
у.
сти по формуле (8.18), т.е. как /сез; = -=-100%, а затем из индексов одноименных месяцев находится средняя арифметическая.
Покажем этот метод на примере данных табл. 8.23. Рассчитаем индексы сезонности для 1993 г. так же, как для 1992 г.
В 1993 г. средний месячный уровень у составил 87,3 тыс. т. Отсюда месячные индексы сезонности 1993 г.:
в январе = 111,8%;
О /, 3
95 5
в феврале тргтЮО = 109,4%;
о/,3
114,2
в марте 100 - 130,8% и т.д.
о/,3
Зная месячные индексы сезонности за 1992 г. (см. табл. 8.25) и за 1993 г., определяем из них для каждого месяца среднюю арифметическую, которую и принимаем в качестве обобщенной меры сезонных колебаний:
в январе (143,4 + 111,8)/2 = 127,6%;
в феврале (134,5 + 109,4)/2 = 121,95%;
в марте (113,4 + 130,8)/2 = 122,1% и т.д. 3.
Следующий прием измерения сезонных колебаний при наличии тренда в данных за ряд лет основан на сопоставлении фактических месячных (или квартальных) уровней либо со сглаженными методом скользящей средней, либо с выравненными по определенной аналитической формуле.
В первом случае месячные данные за ряд лет сглаживаются 12-месячной скользящей средней (при квартальных данных — 4-квартальной скользящей средней). Затем фактические уровни каждого месяца (или квартала) выражают в процентах к скользящей средней.
На основе таких отношений (индексов сезонности) за ряд лет находится средняя арифметическая для каждого месяца (или квартала). Полученные усредненные индексы сезонности и являются искомыми, характеризующими «сезонную волну».
Аналогично рассчитываются индексы сезонности и во втором случае, на основе сопоставления фактических уровней с выравненными по аналитической формуле. Здесь та же последовательность расчетов с той лишь разницей, что вместо сглаженных скользящих средних сначала находится уравнение тренда и по нему рассчитываются выравненные (теоретические) уровни уг Затем определяется отношение фактических уровней к выравненным, т.е.
рассчитываются индексы сезонности для каждого месяца (или квартала):Поскольку за п лет отдельные месяцы повторяются, значения месячных индексов сезонности для отдельных лет усредняются.
Рассмотрим этот метод расчета индексов сезонности по отношению к тренду на условном примере динамики объема строительных работ в одном из регионов по кварталам за 3 года. Исходные данные и последующие расчеты показаны в табл. 8.26.
Предполагая, что фактические уровни у. (см. графу 2 табл. 8.26) имеют линейный тренд у, = о0 + ах1, и ведя счет времени от начала ряда (/ = 1, 2, 3, ...), подсчитываем все необходимые суммы в таблице (графы 2—5). По этим суммам и определяем параметры ап и а., решая систему нормальных уравнений
|ло0 + а\X* = ЪУ, |12ао + 78а1 = 198>
]а0Х? + а\Ц(2 = ХуА Т 6' [7^ао + 650а, = 1388,
или сразу по формулам
= 0,71,
1388,8 - ^78 ?,2 _ (Е01 650 _ 782
п 12
X? 198 78
ап = а,— = 0,7 — = 11,9. 0
л 1 и 12 12
Отсюда уравнение тренда
у, = 11,9 + 0,71?.
Подставляя в него значения 1= 1,2, ..., 12, находим выравненные уровни у; (с точностью до одной десятой) (см. графу 6 табл. 8.26).
Отношения фактических уровней у{ (графа 2) к выравненным (теоретическим) у, (графа 6) и являются индексами сезонности (графа 7) по отношению к тренду.
Поскольку квартальные индексы в разные годы различны, они
усредняются. Например, для I квартала = (89,7 + 89,6 + 85,8)/3 =
= 88,4, для II квартала 1и = (91,7 + 96,3 + 97,4)/3 = 95,1 и т.д.
Усредненные значения записываются в качестве искомых индексов сезонности для всех трех лет (графа 8).
Умножая выравненные уровни на средние индексы сезонности, получаем теоретические (выравненные) уровни с учетом «сезонной волны» (графа 9). Расчет величин для определения индексов сезонности по отношению к тренду Год Квар
тал Выпол
нено
работ,
млн
руб.
У< /2 У1 Вырав
ненные
уровни
У,=
= 11,9 + + 0,71/ Индекс
сезон
ности,
% ^сез !
= У1/У, Сред
ний
ин
декс
сезон
ности
7 Выравненные уровни с учетом сезонности
у,=-
= У,Г А 1 2 3 4 5 6 7 8 9 I 11,3 1 1 11,3 12,6 89,7 88,4 11,1 2001 II 12,2 2 4 24,4 13,3 91,7 95,1 12,6 III 17,5 3 9 52,5 14,0 125,0 121,3 17,0 IV 14,4 4 16 57,6 14,7 98,0 95,1 13,9 I 13,8 5 25 69,0 15,4 89,6 88,4 13,6 2002 II 15,6 6 36 93,6 16,2 96,3 95,1 15,4 III 20,2 7 49 141,4 16,9 119,5 121,3 20,5 17,4 8 64 139,2 17,6 99,0 95,1 16,7 I 15,7 9 81 141,3 18,3 85,8 88,4 16,1 2003 II 18,4 10 100 184,0 18,9 97,4 95,1 17,9 III 23,5 11 121 258,5 19,7 119,3 121,3 23,9 IV 18,0 12 144 216,0 20,4 88,2 95,1 19,4 ? 12 198,0 78 650 1388,8 198,0 1199,5
(1200) 1199,7
(1200) 198,1 Прогнозирование с учетом индекса сезонности
Индексы сезонности используются и при прогнозировании.
Так, зная уравнение тренда и средние индексы сезонности, можно продлить наш ряд, т.е. спрогнозировать квартальные уровни, например, в 2004 г. при условии, что выявленная для 2001 — 2003 гг. закономерность развития устойчива и сохранится в прогнозируемом периоде. Как уже указывалось, этот метод продления в будущее закономерности (тенденции), выявленной в прошлом, называется экстраполяцией.
В общем виде
•^прогноз 1(0 ^се:: ‘
В нашем примере
•^прогноз = К + Д|0^сез = (1 !>9 + 0,710 /ссз .
Подставляя соответствующие значения / и индексов сезонности, получаем следующий прогноз на 2004 г.: I
квартал у{ = (11,9 + 0,71 • 13) • 0,884 = 18,7 млн руб.; II
квартал уи = (11,9 + 0,71 ? 14) ? 0,951 = 20,8 млн руб.; III
квартал уш = (11,9 + 0,71 • 15) • 1,213 = 27,4 млн руб.; IV
квартал у1У = (11,9 + 0,71 ? 16) ? 0,951 = 22,1 млн руб.
Рассмотренная схема учета «сезонной волны» (умножение тренда на индекс сезонности) является мультипликативной.
Возможна и другая схема учета сезонной волны — аддитивная, когда к тренду прибавляется средняя величина абсолютных отклонений.
Чтобы экстраполировать ряд, приведенный в табл. 8.26, по аддитивной схеме, определим отклонение фактических уровней от выравненных и выполним все необходимые расчеты в табл. 8.27.
По аддитивной схеме Упрогноз = АО + (у,- - У,) = тренд + средние отклонения по кварталам.
Таблица 8.27
Экстраполяция ряда по аддитивной схеме Год Квар
тал Фак
тичес
кие
уровни
у,- Вырав
ненные
уровни
(тренд)
У, Абсолютное отклонение от тренда
У; - У, Среднее отклонение по кварталам
У, ~ У, Выравненные уровни с учетом сезонности
У/ = = Уг + (У; - У,) А 1 2 3 4 5 6 I 11,3 12,6 -1,3 -1,83 10,77 2001 II 12,2 13,3 -1,1 -0,73 12,57 III 17,5 14,0 3,5 3,53 17,53 IV 14,4 14,7 -0,3 -0,97 13,73 I 13,8 15,4 -1,6 -1,83 13,57 2002 II 15,6 16,2 -0,6 -0,73 15,47 III 20,2 16,9 3,3 3,53 20,43 IV 17,4 17,6 -0,2 -0,97 16,63 I 15,7 18,3 -2,6 -1,83 16,47 2003 II 18,4 18,9 -0,5 -0,73 18,17 III 23,5 19,7 3,8 3,53 23,23 IV 18,0 20,4 -2,4 -0,97 19,43 I 198,0 198,0 0 0 198,0 В нашем примере прогноз на 2004 г., выполненный по аддитивной схеме, даст следующие показатели по кварталам: I
квартал у} = (11,9 + 0,71 • 13) - 1,83 = 19,3 млн руб.; II
квартал = (11,9 + 0,71 • 14) - 0,73 = 21,05 млн руб.; III
квартал уП[ = (11,9 + 0,71 • 15) + 3,53 = 26,08 млн руб.; IV
квартал у1У = (11,9 + 0,71 • 16) - 0,97 = 22,29 млн руб.
Результаты прогнозирования, полученные по мультипликативной и аддитивной схемам, несколько отличаются, но эти различия не столь значительны. Вообще точечный прогноз весьма ненадежное дело. Обычно для прогнозируемых показателей с заданной вероятностью определяются интервалы «от и до», которые учитывают среднюю квадратическую ошибку уравнения тренда.
Разложение общей суммы квадратов отклонений фактических уровней от их средней
Как уже отмечалось, при анализе рядов динамики с наличием тренда и сезонных колебаний важно выделить в общей колеблемости фактических данных долю отдельных составляющих (тренда, сезонности и случайных колебаний). Эту задачу можно решить путем разложения общей суммы квадратов отклонений фактических уровней от среднего уровня ряда за весь период, т.е. ХСу,- ~У)2, на отдельные составляющие. Так, если принять следующие обозначения для разных уровней:
у. — фактические уровни ряда,
у — средний уровень ряда,
у, — тренд (теоретические уровни, рассчитанные по аналитической функции),
у, = _Р,/сез — тренд с учетом сезонности, то интерпретация следующих сумм будет такова: 1)
'Т,(У-1~У)2 — общая сумма квадратов отклонений фактичес
ких уровней от их средней; 2)
Ю, ~У)2 — сумма квадратов отклонений за счет тренда; 3)
Ъ(У, ~У,)2 — сумма квадратов отклонений за счет сезонности; 4)
Х(.У, _У,)2 — сумма квадратов отклонений за счет случайных
колебаний.
Общая сумма квадратов должна быть равна сумме трех последних сумм, т.е.
ХСу,-^)2 = Х(.У,-У)2+1(У,-У,)2+Т,(У1-У,)2-
Проиллюстрируем это на нашем примере, для чего выпишем в отдельную таблицу исходные данные у1 и все рассчитанные нами уровни у,, у,, а также квадраты соответствующих отклонений (табл. 8.28).
Таблица 8.28
Расчет величин для разложения общей суммы квадратов отклонений фактических уровней от их средней (у = 16,5) Год Квар
тал Фак
тичес
кие
уров
ни
У> Вырав
нен
ные
уров
ни
(тренд)
У, Выравненные уровни с учетом сезонности
У, (у- у)2 (у, -у)2 (у-у,)2 (у,-у,)2 А 1 2 3 4 5 6 7 8 I 11,3 12,6 11,1 27,04 15,21 2,25 0,04 2001 II 12,2 13,3 12,6 18,49 10,24 0,49 0,16 III 17,5 14,0 17,0 1,00 6,25 9,00 0,25 IV 14,4 14,7 13,9 4,41 3,24 0,64 0,25 I 13,8 15,4 13,6 7,29 1,21 3,24 0,04 2002 II 15,6 16,2 15,4 0,81 0,09 0,64 0,04 III 20,2 16,9 20,5 13,69 0,16 12,96 0,09 IV 17,4 17,6 16,7 0,81 1,21 0,81 0,49 I 15,7 18,3 16,1 0,64 3,24 4,84 0,16 2003 II 18,4 18,9 17,9 3,61 5,76 1,00 0,25 III 23,5 19,7 23,9 49,00 10,24 17,64 0,16 IV 18,0 20,4 19,4 2,25 15,21 1,00 1,96 ? 198,0 198,0 198,1 129,04 72,06 54,51 3,89 Итак, в результате расчетов получаем
Х(Л. - у)2 = 129,04, Х(У, - У? = 72,06,
ХСР, - У,? = 54,01, ХО/. - у,)2 = 3,89.
Сумма слагаемых (72,06; 54,51; 3,89) равна 130,46. Незначительное отличие этой суммы от 129,04 — это результат округлений на всех этапах расчета выравненных уровней.
На основе полученных данных можно сделать вывод, что случайные колебания в исходном ряду были весьма незначительны. Основные факторы колеблемости уровней исследуемого ряда — тренд и сезонность.
Еще по теме 8.6. Выявление и измерение сезонных колебаний:
- ПРЕДМЕТНЫЙ И ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
- 5.1. Управление оборотными активами (основные аспекты)
- 14.8. Инфляция
- 3.2. Планирование, учет, оценка и анализ эффективности использования основных средств
- 4.3 Анализ и прогнозирование деятельности ресторана как открытой системы
- «МЕНЕДЖЕР» ИЛИ «РУКОВОДИТЕЛЬ»?
- 13.7. Методы, используемые в процессе консалтинга
- 3.4.3. Методы прогнозирования
- Расчет индексов сезонности в рядах динамики с тенденцией развития (к переменной средней)
- 5.6. ПРИМЕНЕНИЕ СРЕДНИХ В ЭКОНОМИКО-СТАТИСТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ
- 10.5. ИЗМЕРЕНИЕ СЕЗОННЫХ КОЛЕБАНИИ
- 8.5. Методы выявления основной тенденции (тренда) в рядах динамики
- Измерение колеблемости в рядах динамики
- 8.6. Выявление и измерение сезонных колебаний
- 3.4.3. Методы прогнозирования
- 7.2.6. Прогнозирование спроса, основанное на методах математической статистики
- § 3. Применение в криминологии общенаучных методов познания
- Временные параметры объекта исследования
- § 4. Способы расчета сезонной динамики
- I. Удельный вес проблемных измерений в предвыборной риторике современных российских политических партий 2003, 2007 и 2011 гг.