4.1. Сущность и виды средних Понятие средней

Средняя — это обобщающая числовая характеристика изучаемого количественного признака по всем единицам статистической совокупности. Средние величины исчисляются очень часто: средний уровень заработной платы, средняя процентная ставка по депозитным вкладам, средняя оценка студентов по определенной учебной дисциплине.

Средняя рассчитывается по однородной совокупности единиц с варьирующим признаком в конкретных условиях места и времени (например, средний уровень заработной платы работников ОАО «ГАЗ» за 1999 г.).

Средние величины издавна привлекают статистиков. Более ста лет назад один из зачинателей математической и социальной статистики бельгиец А. Кетле выступил с теорией среднего человека. Такой человек является носителем человеческих качеств, взятых в осредненном . виде. Известный английский статистик А. Боули так описывает среднего человека А. Кетле: «Средний человек Кетле общеизвестен: он среднего роста, веса, силы, среднего обхвата в груди, емкости легких, с глазами средней зоркости и с обычным цветом лица...» Возможно ли физическое существование такого среднего человека? Не будет ли он чудовищем? Еще в XIX в. невозможность существования среднего человека доказал французский математик К. Бертран на очень простом примере, который сводится к следующему. Пусть есть два шарика радиусом 1 и 3 см, сделанных из одного материала. Первый весит 1 г (т0, тогда масса второго (т2) — 27 г:

4пЮ 4-3,14-1 т1___р_-_-р = 4Д87 р,

где 7? — радиус 1-го шарика; р— удельная плотность материала, из которого сделаны шарики; 4,187 см3 — объем 1 -го шарика (у). Найдем удельную плотность материала:

Р = -^=4^ = 0,239г/смЗ.

Vi-.ro шар. %Ло/

Поскольку шарики сделаны из одного материала, то масса второго составит:

4.1. Сущность и виды средних

253

тг-

Р =

4-3,14-27 3

0,239 = 27 г.

Средний шарик должен иметь радиус 2 см [(1 + 3):2] и массу 14 г [(1 + 27): 2].

Однако в действительности, если средний шарик сделан из того же материала, его масса составляет 8, а не' 14 г:

Геометрия не допускает плутовства, а биология не менее требовательна — существование среднего человека невозможно.

При расчете статистической средней чрезвычайно важно иметь качественно однородную совокупность. Пусть имеются следующие данные о распределении заработной платы на предприятии, руб.: 500; 550; 600; 620; 5500; 6000. Найдем среднюю заработную плату работающих на данном предприятии:

500 + 550 + 600+620 + 5500 + 6000 й -:—?-= 2295 руб.

Глядя на реальный уровень заработной платы на данном предприятии, можно сделать вывод, что рассчитанная средняя заработная плата слишком велика для данной совокупности и не может служить ее обобщающей характеристикой. Данная совокупность неоднородна по своему составу и состоит из качественно разнородных групп: малоквалифицированный низкооплачиваемый персонал с уровнем заработной платы 500; 550; 600 и 620 руб. и управленческий персонал с высоким уровнем оплаты труда — 5500 и 6000 руб.

Исчисление средней определяется качественным содержанием ос-редняемого признака. Например, расчет средней заработной платы определяется тем, что уровень заработной платы работника равен части ее фонда, приходящейся на одного работника.

В средних погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными факторами. Они позволяют сравнивать различные совокупности по какому-то признаку, например, разные предприятия по уровню средней оплаты труда, студентов — по среднему баллу на экзаменах, товары разных предприятий — по средней цене.

В статистике применяются степенные и структурные средние (рис. 4.1). К степенным средним относятся следующие виды: арифметическая, гармоническая, хронологическая, квадратическая, геометрическая.

4-3,14-8 3

0,239 = 8 г.

Виды средних

254

Глава 4. Средние величины в статистике

Выбор вида степенной средней зависит от содержания логической формулы расчета осредняемого признака и имеющихся исходных данных, на основании которых производится расчет. Наиболее распространена средняя арифметическая.

Структурные средние представлены модой и медианой. Средняя имеет те же единицы измерения, что и варианты х. Если осредняются относительные величины, то средняя представляется коэффициентом

(%, %о).

Виды средних

— Арифметическая

— Гармоническая

Степенные

— Квадратическая

— Хронологическая

1— Геометрическая

Простая

Структурные

Мода

Взвешенная