4.3. Средняя гармоническая Средняя гармоническая взвешенная

Произведение х/дает объем осредняемого признака х для совокупности единиц и обозначается и>. Если осредняется заработная плата рабочих цеха, а/— число рабочих, то ц>=х/~ фонд заработной платы цеха.

Если в исходных данных имеются значения осредняемого признака х и объем осредняемого признака и>, то для расчета средней применяется гармоническая взвешенная:

_ 2>

Я--_

гдех — значение осредняемого признаках (варианта); м> — вес варианты х, объем осредняемого признака.

Средняя выработка продукции на одного рабочего за смену в двух цехах завода, вырабатывающих однородную продукцию, характеризуется следующими данными (табл. 4.2).

Таблица 4.2

Распределение рабочих по уровню сменной выработки № Цех № 1 № Цех №2 бригады дневная число бригады дневная объем выработка рабочих/,, выработка произведенной продукции чел. продукции продукции и»2, х{, шт. х2, шт. шт. 1 20 8 ? 4 38 418 2 30 11 5 36 432 3 . 35 16 6 20 . 140 17*

260

Глава 4. Средние величины в статистике

Определим среднедневную выработку продукции рабочими в каждом из цехов. Введем условные обозначения, приняв за х\ выработку продукции рабочими первого цеха; х2 — выработку продукции рабочими второго цеха;/— число рабочих первого цеха; и> — объем произведенной продукции рабочими второго цеха.

В сведениях по первому цеху кроме осредняемого признаках! имеются данные о числе рабочих с каждым уровнем выработки /, следовательно, для расчета средней применима формула средней арифметической взвешенной:

V - ^ Х1^[ — Выработка всеми рабочими цеха № 1 _ 1 Число рабочих цеха № 1

.20 •-8 + 30 • 11 +35- 16 1050 ,Л

35 -1Г = 30шт.

Каждый рабочий первого цеха за смену производит в среднем 30 единиц продукции.

По второму цеху известны значения осредняемого признака х2 и объем произведенной продукции.

Поскольку в исходных данных наряду со значениями х2 присутствуют значения и>2, для расчета средней по второму цеху применима формула средней гармонической взвешенной:

__ Объем произведенной продукции в цехе № 2 _

2 \\>2 Число рабочих цеха № 2 "~

418 + 432+ 140 990 „

= 33 шт.

418 432 140 30 38 + 36 + 20

Каждый рабочий второго цеха за смену производит в среднем 33 единицы продукции.

Средняя гармоническая простая

Средняя гармоническая, также как и арифметическая, может быть не только взвешенной, но и простой (невзвешенной):

4.3. Средняя гармоническая

261

^ X

где л: — значения осредняемого признака; п — число значений х.

На практике средняя гармоническая простая применяется редко, в тех случаях, когда значения и> для единиц совокупности равны. Пусть автомобиль с грузом от предприятия до склада ехал со скоростью 40 км/ч (х0, а обратно порожняком — со_скоростыо 60 км/ч (х2). Определим среднюю скорость автомобиля (х). Время поездки туда и обратно с указанными скоростями должно равняться времени поездки до склада и назад со средней скоростью:

XI Х2 X '

где ? — расстояние от предприятия до склада; равно произведению скорости (х) на число единиц времени (/), т.е. является объемом осредняемого признака «скорость». Расстояния от склада до предприятия и обратно равны: = м>2. .

Напишем логическую формулу осредняемого показателя:

Расстояние _ -У «У.

Скорость = •

Время / 5" X

отсюда

2.У

х =

XI Хг

Если 6" — м>, то

X =

2и> 2ум

ц> м>~ (1 П" 1 . 1 1 "

XI хг XI Хг

XI Хг X

Имеем формулу средней гармонической простой. Подставляем исходные данные:

2 2-120

х =

40 60

= 48 км/ч.

Расстояние от склада до предприятия и обратно автомобиль проехал со средней скоростью 48 км/ч.

262

Глава 4.

Расчет по средней арифметической простой дал бы некорректный результат:

_ X* 40 + 60

х — -

= 50 км/ч.

Выбор средней на основании логической формулы

Иногда по исходным данным трудно определить, чем являются показатели — численностью единиц совокупности (/) или объемом осред-няемого признака (ц>). В этом случае необходимо:

1) записать логическую формулу расчета осредняемого признака, исходя из его экономического содержания;

2) выбрать для расчета среднюю арифметическую взвешенную, если известен знаменатель логической формулы;

3) использовать среднюю гармоническую взвешенную, если в исходных данных имеется числитель логической формулы исчисления осредняемого признака.

Вычислим по данным табл. 4.3 средний процент выполнения плана выпуска продукции и средний процент стандартной продукции в фактическом ее выпуске.

Таблица 4.3

Выпуск продукции предприятиями района Предприятие Фактический выпуск Выполнение плана, Доля стандартной продукции, млн руб. % продукции,% *? 1 665 95 80 2 880 ПО 90 По данным табл. 4.3 не ясно, является фактический выпуск продукции по отношению к осредняемому признаку XI (процент выполнения плана) частотой/или объемом признака м>.

Осредняемый признак является относительной величиной выполнения плана; ее логическая формула:

Факт

План"

Известен фактический выпуск продукции — числитель логической формулы расчета осредняемого показателя. Отсюда расчет среднего процента выполнения плана выпуска продукции двумя предприятиями производим по средней гармонической взвешенной, обозначив фактический выпуск ц>и

4.4. Другие виды средних величин

263

- 665 + 880 1545 1545 . Л, 1Л-~

х =-~-77~с-5Б7Г=:^77-^чТ= 1СЛЛ = 1.03, ИЛИ 103%.

V 2Л 665 880 700 + 800 1500 ^xi 0,95 1,1

Рассматриваемые предприятия перевыполнили план выпуска продукции в среднем на 3%.

Доля стандартной продукции в фактическом выпуске — относительная величина структуры, логическая формула которой имеет вид

ОН - Часть - Объем выпуска стандартной продукции стр. - целое - общий объем фактического выпуска

В исходных данных присутствует знаменатель логической формулы. Отсюда применим для расчета формулу средней арифметической взвешенной, приняв за веса^ фактический выпуск продукции:

_ Хх^2 0,8-665 + 0,9-880 532 + 792 1324 л Q„ 0, по/

х _-- .J——— _ —— _ —— - 0,857, или 85,7%.

X/2 665 + 880 1545 1545

Доля стандартной продукции рассматриваемых предприятий составляет в среднем 85,7%.