4.2. Средняя арифметическая Средняя арифметическая простая

Средняя арифметическая применяется, если известны значения осредняемого признака (х) и количество единиц совокупности с определенным значением признака (/).

Средняя арифметическая бывает простой и взвешенной.

Формула средней арифметической простой имеет вид;

_ Xх.

х =-,

11

гдех—значение осредняемого признака (варианта); п — число единиц изучаемой совокупности.

4.2. Средняя арифметическая

255

Студент Петров по результатам учебного семестра имеет следующие оценки: теория бухгалтерского учета — 4, экономическая статистика — 5, финансы, денежное обращение и кредит — 3, экономика фирмы — 2. Какова его средняя оценка по результатам семестра?

Поскольку каждая оценка встречается один раз, для расчета средней применяем формулу арифметической простой:

х =

Общее число баллов 4 + 5 + 3 + 2 Число оценок ~ 4

= 3,5 балла.

Перечисленные дисциплины студент Петров сдал в среднем на 3,5 балла.

Средняя арифметическая взвешенная

Средняя арифметическая взвешенная применяется, если каждое значение признака х встречается несколько раз, т.е. для каждого х значение признака/?* 1. Данная средняя широко используется при исчислении средней на основании дискретного ряда распределения:

где х — значение осредняемого признака;

/ — вес значения признака (частота, если / — число единиц совокупности; частость, если/ — доля единиц с вариантой х в общем объеме совокупности).

Имеются следующие данные о распределении бригад по уровню выработки продукции (табл. 4.1).

Таблица 4.1

Распределение бригад по уровню выработки продукции за смену Бригады Выработка продукции в среднем на одного человека, шт. Число рабочих, чел. X / 1 ПО 12 2 120 10 ?3 130 14 4 140 8 Итого — 44 256

Глава 4.

Определим сменную выработку рабочего в среднем по четырем бригадам. Введем строку условных обозначений, приняв за х значения осредняемого признака, /— число рабочих с данным значением х.

Исходные данные представлены в виде дискретного ряда распределения; каждое х встречается несколько раз, следовательно, применяем формулу средней арифметической взвешенной:

_ IV

х = -

I/

Тогда

Выработка всеми рабочими Число рабочих ~*

ПО-12+ 120-10+ 130-14+ 140-8 5460

=--—-= ——— = 124,09 шт.

44 44

В смену рабочий данных четырех бригад изготавливает в среднем 124 единицы продукции.

Расчет средней по интервальному ряду

Если исходные данные заданы в виде интервального ряда, то:

1) закрывают открытые интервалы, приняв их равными ближайшим закрытым;

2) за значения осредняемого признака х берут середины интервалов и строят условный дискретный ряд распределения:

х- 2 ,

где хн.г — значение нижней границы интервала («от»); хв.г — значение верхней границы интервала («до»).

3) расчет средней производится по средней арифметической взвешенной.

Имеются данные о распределении рабочих цеха по стажу работы:

Стаж работы, лет Доля рабочих, % к итогу До 5 10

5-10 > 44

10-15 30

15-20, 10

20 и выше 6

Каков средний стаж работы рабочего данного цеха? Строим расчетную таблицу, обозначив долю рабочих через/:

4.2. Средняя арифметическая

257 Стаж работы, лет / X х/ До 5 (0-5) 10 2,5 25 5-10 44 7,5 330 10-15 30 12,5 375 15-20 10 17,5 175 20 и выше (20-25) 6 22,5 135 Итого 100 — 1040 Закрываем открытый интервал «до 5». Ширина ближайшего закрытого интервала равна 5 годам (5—10), следовательно, наш интервал примет вид от 0 до 5. Аналогично открытый интервал «20 и выше» примет вид 20-25, поскольку ширина ближайшего закрытого (15-20) равна 5.

Находим середину каждого интервала и принимаем ее за значение х.

Исчисляем значения х/ и сумму этих значений, необходимую для расчета средней арифметической взвешенной, заносим результаты в расчетную таблицу.

Определяем средний стаж рабочего:

Х = '

Число отработанных лет всеми рабочими 1040 Число рабочих 100

= 10,4 лет.

Рабочий данного цеха отработал в среднем 10,4 года.

Способ моментов

Если интервальный ряд имеет равные интервалы или дискретный ряд построен с одним и тем же шагом между ближайшими значениями признака, для расчета средней применим способ «моментов». Алгоритм метода заключается в следующем:

1) строится новый дискретный ряд распределения, в котором одна из вариант приравнивается к нулю. К нулю можно приравнять любую варианту, но для упрощения расчетов лучше «занулить» варианту, находящуюся в середине ряда и имеющую наибольшую частоту. Нулевая варианта называется основанием и обозначается хо;

2) остальные варианты нового ряда обозначаютсях' и рассчитываются по формуле:

X — Хо _

где А — ширина равного интервала или шага; х' — условные варианты;

,17-3476

258

Глава 4. Средние величины в статистике

3) определяется средняя по способу моментов:

2>?

X/

где —— -гщ — момент первого порядка.

X/

Определим среднюю сменную выработку рабочих бригад (см. табл. 4.1) способом моментов. Способ применим, поскольку в ряду распределения задан равный шаг (10 шт.).

За основание хо возьмем значение х\, равное 130 шт., поскольку оно расположено в середине ряда и имеет максимальную частоту (14 рабочих имеют данную выработку). Строим расчетную таблицу для нового ряда распределения с условными вариантами х': X / X — Хй , х-хо х= И *'/ ПО 12 -20 -2 -24 120 10 -10 „1 -10 хо= 130 14 0 0 0 140 8 10 1 8, - 44 — - -26 Определим среднюю сменную выработку рабочего данных четырех бригад:

х = хо + •

А= 130 +

(-26) 44

• 10 = 124,09шт.

Аналогично можно найти средний стаж рабочего цеха по равноин-тервальному ряду распределения рабочих цеха по стажу (п-5 лет; хо = = 12,5 лет): X / х — хо , х-хо х'/ 2,5 10 -10 -2 -20 7,5 44 . -5 - _1 -44 хо=12,5 30 0 0 0 17,5 10 5 1 10 22,5 6 10 2 12 - 100 — — -42- 4.3. Средняя гармоническая

259

Тогда

2 (- 42)

х = хо + —— /г = 12,5 + 1ЛА • 5 = 10,4 года.