<<
>>

4.3. Средние величины

Среди обобщающих показателей, характеризующих статистические совокупности, большое значение имеют средние величины.

Средняя величина — это обобщающая характеристика множества индивидуальных значений некоторого количественного признака.

Совокупность, изучаемая по количественному признаку, состоит из индивидуальных значений; на них оказывают влияние как общие причины, так и индивидуальные условия.

В среднем значении отклонения, характерные для индивидуальных значений, погашаются. Средняя, являясь функцией множества индивидуальных значений, представляет одним значением всю совокупность и отражает то общее, что присуще всем ее единицам.

Практическое применение средних величин как обобщающих характеристик явлений и процессов в природе и обществе чрезвычайно широко.

Можно рассчитать среднемесячную заработную плату работника той или иной профессиональной группы (шахтера, библиотекаря, врача) и среднемесячный денежный доход, который приходится на одного жителя страны, среднюю себестоимость продукции по группе предприятий, выпускающих данный вид продукции, и среднегодовую температуру воздуха в 2003 г. в Москве и т.д.

В приведенных примерах средние величины характеризуют качественно однородные группы изучаемого явления. Разумеется, уровни месячной заработной платы шахтеров в силу различия их квалификации, стажа работы, отработанного за месяц времени и многих других факторов отличаются как друг от друга, так и от уровня средней заработной платы. Однако в среднем уровне отражены основные факторы, которые влияют на уровень заработной платы, и взаимно погашаются различия, которые возникают вследствие индивидуальных особенностей работника. Средняя заработная плата отражает типичный уровень оплаты труда для данного вида работников. Средняя величина в этом случае является не просто обобщающей, но и типической характеристикой совокупности. Получению типической средней должен предшествовать анализ того, насколько данная совокупность качественно однородна. Если совокупность состоит из разнокачественных частей, следует разбить ее на типические группы.

Например, если доходы 70% населения сокращаются в несколько раз, доходы 20% увеличиваются в несколько десятков раз и только у 10% населения остаются на прежнем уровне, то, опираясь на такую обобщающую характеристику, как среднедушевой доход, можно сделать вывод о том, что доходы населения неизменны. Однако полученные средние обобщающие показатели не являются типичными. В этой совокупности ярко выражены противоположные тенденции изменения уровня доходов, поэтому обобщающие показатели следует рассчитать для отдельных ее однородных частей.

Средние величины используются в качестве типических характеристик не только для однородных, но и для неоднородных совокупностей. Например, если рассчитывается потребление крепких спиртных напитков на душу населения, то из всей совокупности населения можно исключить детей в возрасте до 10 лет, не говоря уже о том, что и довольно значительная часть других возрастных групп не потребляет этот продукт.

Средняя величина ВВП на душу населения, средняя величина потребления различных групп товаров на человека и другие подобные величины представляют обобщающие характеристики государства как единой экономической системы и носят название системных средних.

Системные средние могут служить обобщающими характеристиками не только разнородных пространственных, но и динамических систем.

Пример такой средней — среднегодовая или среднемесячная температура воздуха той или иной местности. Полученную среднюю нельзя рассматривать как типическую величину для года или какого-то месяца. Среднемесячная температура сентября данного года может существенно отличаться от среднемесячной температуры сентября прошлого года. Для вычисления типической средней нужно рассчитать среднюю температуру сентября на основе многолетних наблюдений. В этом случае типическая средняя получается при расчете средней величины из системных средних.

В других случаях из типических средних можно получить системную среднюю. Например, если известны средние значения доходов на душу населения для типических групп, то общая средняя, рассчитанная на основе этих групповых средних, представляет собой системную среднюю.

В статистике используются различные виды (формы) средних величин. Наиболее часто применяются следующие средние величины: •

средняя арифметическая; •

средняя гармоническая; •

средняя геометрическая; •

средняя квадратическая.

Выбор той или иной формы средней зависит от содержания осредняемого признака и конкретных данных, по которым ее приходится вычислять.

Указанные средние величины могут быть вычислены, либо когда каждый вариант в данной совокупности встречается только один раз, при этом средняя называется простой или невзвешенной, либо когда варианты повторяются различное число раз, при этом число повторений вариантов называется частотой или статистическим весом, а средняя, вычисленная с учетом весов, — средней взвешенной.

Все указанные средние величины можно рассчитать по формулам средней степенной:

а) если имеются только варианты х^, х?, ..., х*— по формуле средней степенной порядка I

(4.1)

б) если имеются варианты и частоты/,,/2, — по формуле средней степенной взвешенной

(4.2)

где х — средняя степенная; I

— показатель степени, позволяющий определить вид средней; х. — вариант; —

частота, или статистический вес, варианта.

Средняя арифметическая — самый распространенный вид средней величины. Следует отметить, что если вид средней величины не указывается, подразумевается средняя арифметическая.

Средняя арифметическая получается при подстановке в формулу степенной средней значения г — 1.

Средняя арифметическая простая рассчитывается по формуле

(4.3) а средняя арифметическая взвешенная — по формуле

I*//-

*арифм ~ ’ (4-4)

/

Пример. Обследование пяти квартир первого этажа жилого дома показало, что в них проживает соответственно 1, 2, 3, 4 и 5 человек.

Определить среднюю арифметическую.

Средняя арифметическая из этих чисел

У\х.

7 ' 1+2+3+4+5 „

*арифм = — = 5 = 3 Чел-

т.е. в среднем на одну квартиру первого этажа приходится 3 человека.

Пример. Результаты обследования всех квартир одного подъезда жилого дома приведены в табл. 4.1.

Таблица 4.1 Количество проживающих в квартире, чел. хі Количество

квартир

Г, V, 1 2 3 1 6 6 2 9 18 3 10 30 4 20 80 5 15 75 Итого 60 209 Вычислить среднее число жителей, проживающих в одной квартире.

Находим среднюю арифметическую взвешенную, предварительно заполнив графу 3 в табл. 4.1:

?*'•/'? 209 *аРиФм = -^г- = -65- = 3,48 чел.,

/

т.е. в среднем на одну квартиру в этом подъезде приходится 3,48 человека.

Средняя арифметическая обладает рядом свойств. 1.

Средняя арифметическая постоянной величины а равна этой же постоянной величине:

а = а. 2.

Сумма отклонений значений вариантов от средней равна нулю: —

х) — 0 (если частоты равны единице);

/

ХС7,- — х)/-, = 0 (если частоты различны).

/ 3.

Если из всех вариантов х(. вычесть постоянную величину xQ и на основе разностей {xj — х0 = х') вычислить среднюю х', то она будет меньше средней исходного ряда на эту постоянную величину. Поэтому, чтобы получить среднюю из исходных вариантов, необходимо к средней х' прибавить ту же постоянную величину xQ:

X = х' + х0. 4.

Если все варианты х разделить на постоянную величину Л и из частных (xjh = х') вычислить среднюю, то она будет меньше средней исходного ряда в h раз. Для того чтобы получить среднюю из исходных вариантов, нужно среднюю х' умножить на эту постоянную величину h:

х = х' h. 5.

Если у всех вариантов х. частоты f. равны друг другу (/, = = /2 = ... = f = к), то средняя арифметическая взвешенная равна средней арифметической простой:

2>(/; 1&х, YJxj

'Lfj kn n

i

Использование свойств средней позволяет упростить вычисление средней арифметической.

Упрощенная формула расчета средней арифметической:

х = х' h + xQ. (4.5)

При этом х' получено из х- = (х(. — х0)/ И.

Формула (4.5) применяется в том случае, когда данные сгруппированы и варианты каждой группы представлены интервалом min“*/ шах)- ^РИ этом значение в центре интервала принимается за значение признака у всех единиц в этом интервале.

Упрощенный способ вычисления средней арифметической называется методом отсчета от условного нуля.

Пример. Имеется распределение работников цеха предприятия по стажу работы (графы 1 и 2 в табл. 4.2).

Определить среднюю арифметическую по упрощенной формуле.

Сначала по упрощенной формуле находим середину интервалов, т.е. значения центра интервала (графа 3), затем отнимаем от них постоянную величину х0. В качестве х(} целесообразно брать значение середины интервала, находящегося в середине ряда. Если в ряду четное число групп (как в нашем примере), из двух срединных интервалов выбирают интервал с большим весом. В данном случае х0 = 17,5.

В качестве постоянной величины А при равенстве интервалов берется длина интервала (в нашем случае Л = 5).

Если интервалы не равны, в качестве А следует брать наибольший общий делитель ряда х.[ ср либо любое другое число, которое позволяет упростить расчеты.

Таблица 4.2 Стаж работников, лет Количество

работников

Г, Середина

интервала

*/ср х, - хо х, - х0 х. — хп

1 и т И А 1 2 3 4 5 6 О

1 12 2,5 -15 -3 -36 5,1-10 16 7,5 -10 -2 -32 10,1-15 23 12,7 -5 -1 -23 15,1-20 28 17,5 0 0 0 20,1-25 17 22,5 5 1 17 25,1-30 14 27,5 10 2 28 Итого 110 - - - -46 Средняя арифметическая рассчитывается по формуле В случае если совокупность разбита на группы и для каждой группы исчислена средняя арифметическая, общая средняя для всей совокупности рассчитывается по формуле

(4.6)

где х.1 — средняя арифметическая /-й группы; я. — численность /'-й группы.

Как видим, переход от частных средних к средней по всей совокупности осуществляется по формуле средней арифметической взвешенной, при этом в качестве вариантов выступают групповые средние, а весом служит численность каждой группы.

Например, если известно, что среднемесячная заработная плата руководителей предприятия составляет 10000 руб., специалистов — 8000 руб., служащих — 5000 руб., рабочих — 7000 руб., а численность этих групп персонала на предприятии соответственно равна 12, 75, 60 и 653 человека, то среднемесячная заработная плата всех работников этого предприятия ?*/«/

10000 12 + 8000-75 + 5000-60 + 7000-653 12 + 75 + 60 + 653

= 6988,75 руб.

Хобщ

5591000

800

Средняя арифметическая — это всегда обобщающая количественная характеристика варьирующего признака совокупности. Отметим, что при вычислении средней арифметической не обязательно знать значение каждого варианта. Часто она вычисляется на основе итоговых данных осредняемого признака для всей совокупности. При этом итоговые данные могут быть получены не только путем суммирования индивидуальных значений признака, возможен также подсчет суммарного значения без фиксации значений вариантов по тем или иным признакам. Так, при подсчете средней себестоимости изделия общий уровень затрат на его производство делится на количество продукции данного вида. При определении средней урожайности, естественно, не фиксируется урожайность каждого гектара посевных площадей, а подсчитывается валовой сбор урожая тех или иных культур, и эта величина делится на площадь, отведенную под эти культуры.

В ряде случаев даже теоретически невозможно определить значение вариантов. Например, если рассчитывается уровень среднедушевого производства ВВП для страны в целом, то невозможно получить объем производства продукции каждым жителем в силу того, что ВВП — это результат деятельности не всего населения страны, а только лиц, занятых в экономике.

Такая средняя величина, по существу, не отличается от относительных величин интенсивности ни по способу расчета, ни по аналитическому значению. Следует подчеркнуть, что между относительными и средними величинами порой трудно провести четкую границу, поскольку средняя величина - это отношение двух абсолютных величин, т.е. относительная величина.

Средняя гармоническая величина получается при подстановке в формулу степенной средней значения г — — 1.

Формула средней гармонической простой такова: -1

2>;

-1

п

(4.7)

V

гарм

п

I-

,? X,

Средняя гармоническая взвешенная определяется по формуле

2>Г' У, Ж

^арм = 11%- = (4-8)

/ X < */

где V. — веса для обратных значений х(..

Средняя гармоническая вычисляется в тех случаях, когда приходится суммировать не сами варианты, а обратные им величины:

1/я:,, 1/х,, ..., \/хп.

Пример. В ходе торгов на валютной бирже за первый час работы заключено пять сделок. Данные о сумме продажи рублей и курсе доллара США приведены в табл. 4.3 (графы 2 и 3).

Определить средний курс доллара США на первый час торгов. Номер сделки Сумма продажи V., млн руб. Курс доллара х;, руб. за 1 долл. У,

—, млн долл. */ 1 2 3 4 1 197,4 28,2 7,0 2 142,0 28,4 5,0 3 228,0 28,5 8,0 4 114,8 28,7 4,0 5 144,0 28,8 5,0 Итого 826,2 — 29,0 Для того чтобы определить средний курс доллара, нужно найти соотношение между суммой продажи рублей, которые затрачены на покупку долларов в ходе всех сделок, и суммой приобретенных в результате этих сделок долларов.

Если итоговую сумму продажи можно получить на основе данных, приведенных в графе 2 (см. табл. 4.3), то данные о количестве купленных долларов в таблице отсутствуют. Однако их можно получить, рассчитав для каждой сделки отношение суммы продажи к курсу доллара (графа 4).

Следовательно, в ходе пяти сделок куплено 29 млн долл. При этом

У у.

1 &9А 9

х = -1 = -= 28 49 пуб

рм 29,0 /й>4уРУ°-’

74

т.е. средний курс доллара составил 28,49 руб.

В данном случае для расчетов использована формула средней гармонической взвешенной.

В практике расчетов довольно часто встречаются ситуации, когда данные о весах признака отсутствуют, но известны варианты осредняемого признака и произведение значений этих вариантов на количество единиц, обладающих этим значением (например, стоимость товарооборота по отдельным товарным группам и индексы цен по этим группам, валовые сборы зерновых по регионам и средняя урожайность по этим регионам и т.д.). В этих случаях средние значения необходимо рассчитывать по формуле средней гармонической. Средняя геометрическая получается при подстановке в формулу степенной средней значения г = 0: I1

V «У

п

= Г.

Vя/

V- 0 ( л Л1/0 / л

о |2> _

Для раскрытия неопределенностей этого вида прологарифмируем обе части формулы степенной средней [см. формулу (4.1)]:

1пх = — (1пХ8г — 1пи) = (1п]?*г — 1пл)/г. г

Подставляя в правую часть равенства I = 0, получаем неопределенность вида Ц. Используя правило Лопиталя и дифференцируя отдельно числитель и знаменатель по переменной г, получаем

ит(|пг) = цтг.^- =

г->0 г->0 1.^хг п

Следовательно, при ? = 0

, -

1п;с = .

п

Потенцируя, находим Средняя квадратическая получается при подстановке в формулу степенной средней 2.

Для несгруппированных данных используют формулу средней квадратической простой:

(4.11)

для сгруппированных данных — формулу средней квадратической взвешенной:

(4.12)

Средняя квадратическая применяется, когда изучается вариация признака. В качестве вариантов используются отклонения фактических значений признака либо от средней арифметической, либо от заданной нормы (см. главу 5).

Средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая и средняя квадратическая, рассчитанные для одного и того же ряда вариантов, отличаются друг от друга: их численные значения возрастают с ростом показателя степени г в формуле степенной средней, т.е.

Это так называемое правило мажорантности средних, которое впервые сформулировал профессор А.Я. Боярский.

<< | >>
Источник: Г.Л. Громыко. Теория статистики: Учебник. — Т11 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ИНФРА-М,. - 476 с. — (Классический университетский учебник)., . 2005 {original}

Еще по теме 4.3. Средние величины:

  1. 4.4. Другие виды средних величин Средняя квадратическая
  2. 5.2. ВЫБОР ФОРМУЛЫ СРЕДНЕЙ ВЕЛИЧИНЫ
  3. 5.1. СУЩНОСТЬ И ОСОБЕННОСТЬ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН
  4. ГЛАВА 5. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ
  5. Глава 4. Средние величины в статистике
  6. Средние величины и коэффициенты вариации
  7. 1.4. Относительные величины в статистике Сущность относительной величины
  8. 4.1. Сущность и виды средних Понятие средней
  9. 6.8. Проверка гипотез о средней и о доле Гипотезы о средней
  10. 4.2. Относительные величины
  11. 4.2. ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
  12. 4.1. АБСОЛЮТНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
  13. 4.1. Абсолютные величины
  14. 8.2.4.1. Измеряемые величины в сбалансированной системе показателей
  15. Правило обратной величины
  16. 8.4. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ВЕЛИЧИНЕ ЦЕНТРА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
  17. Оптимальная величина заимствований
  18. Влияние объема выборки на величину ошибки
  19. 12.2. Факторы, влияющие на величину цены