9.3. Средние индексы из индивидуальных (групповых)
Общие индексы могут быть исчислены не только как агрегатные, но и как средние из индивидуальных или групповых. Например, если имеются данные об изменении цен на конкретные товары, то, естественно, из таких индивидуальных индексов могут быть рассчитаны общие (сводные) индексы как средние величины, причем взвешенные.
Поскольку существует несколько форм (видов) средних величин, то при расчете средних индексов прежде всего возникает вопрос о форме средней и о весах.
В статистической практике средние индексы рассчитываются преимущественно в форме среднего арифметического и среднего гармонического индексов:
7 ?,??„/ , ЪЕ.
арифм X/ гарм vл/ ’
I
где / — индивидуальные индексы изучаемого показателя (индексируемой величины);
/и М — веса соответственно в среднем арифметическом и среднем гармоническом индексе.
Веса для среднего арифметического и среднего гармонического индексов определяются исходя из тождества их агрегатному, который, как указывалось, является основной формой общего индекса.
При этом для каждого конкретного индекса веса особые.Рассмотрим индекс физического объема и индекс цен. 1.
Индекс физического объема. Если речь идет об индексе физического объема, то при исчислении среднего арифметического индекса должно выполняться следующее тождество:
Х*?/ = Х^р X/ Хзд'
Это тождество будет иметь место, если /= д0Р0- Тогда
- = ХУоЛ) = % я°р° = Х,/>0
ар„фм 2>0Р0 Хо ХЗД, ’
Таким образом, общий индекс физического объема в форме среднего арифметического индекса будет иметь вид
/, = (9.10)
Аналогично, определяя веса среднего гармонического индекса объема, следует помнить о необходимости соблюдения условия
їм _ Х<7,/>0
I
Это равенство будет соблюдено, если М = дхр0. Тогда
/ = = ^ро = ^\ро
4 у ‘ЬЕїд Х^О
% 0
т.е.
средний гармонический индекс объема можно записать как/ = (9Л1)
Преобразовать агрегатный индекс физического объема в средний арифметический и средний гармонический можно и путем следующих простых подстановок.
Исходя из индивидуального индекса объема / = д{/я{) выражаем продукцию отчетного периода: дх = і д0. Подставляя данное выражение в числитель агрегатной формулы, получаем общий индекс физического объема в форме среднего арифметического индекса:
/ = Х^о =
9 1%Р0 1%Ро '
Аналогично, выражая продукцию базисного периода как д0 = дх/ід, осуществляем замену в знаменателе агрегатного индекса физического объема. В результате получаем общий индекс физического объема в форме среднего гармонического индекса:
1 = 1^Р0 = Хад 4 ЪяйР0 ^ Ц\Ра '
Такое преобразование наглядно показывает тождество между агрегатным индексом и средним арифметическим и средним гармоническим индексами физического объема.
Как видно из приведенных формул, весами индивидуальных индексов объема в среднем арифметическом индексе служит стоимость продукции базисного периода в базисных (или сопоставимых) ценах д^р^, а в среднем гармоническом индексе — стоимость продукции отчетного периода в базисных (или сопоставимых) ценах д{р0.
При решении конкретных задач выбор той или иной формы среднего индекса определяется прежде всего тем, какие исходные данные имеются в распоряжении исследователя. Так, если известны индивидуальные индексы объема и стоимость продукции базисного периода в базисных ценах, т.е. д^р^, общий индекс физического объема можно рассчитать как средний арифметический из индивидуальных.
Рассмотрим расчет такого индекса на условном примере.
Пример. Имеются данные об изменении выпуска продукции трех видов на каком-либо предприятии (табл. 9.3). Требуется найти общий индекс физического объема.
Индивидуальные индексы физического объема отдельных видов продукции (изделий) приведены в графе 1. Рассчитаем из них общий индекс физического объема как средний арифметический, приняв в качестве весов стоимость продукции базисного периода, т.е.
/ = = 1,03-500 + 1,06-800 + 1,04-700 9
^д0р0 500 + 800 + 700
= 1,0455 (или 104,55%).
Это означает, что в целом по всем изделиям выпуск увеличился на 4,55% (104,55 - 100).
Таблица 9.3
Выпуск продукции на предприятии Изделие Индивидуальный индекс объема продукции
/ = 4-
? % Стоимость продукции базисного периода в базисных ценах, тыс.
руб. Доля изделий в общей стоимости продукции базисного периода, _ 90Р0 ° А 1 2 3 X 1,03 500 0,25 Г 1,06 800 0,40 2 1,04 700 0,35 X — 2000 1,00 Вместо абсолютных данных о стоимости отдельных изделий в базисном периоде можно принимать их долю (удельный вес) в общей стоимости, т.е.
и = % Л)
0 Хад'
Тогда формула среднего арифметического индекса из индивидуальных будет иметь ВИД /? = ХУо> поскольку 2У0 = 1.
В нашем примере расчет по этой формуле дает тот же результат, что и по абсолютным данным:
1Ч = ХУо = 1,03-0,25 + 1,06-0,4 + 1,04-0,35 =
= 1,0455 (или 104,55%).
(Если ё() выражено в процентах, формула среднего арифметичес-
7 - ^ кого индекса такова: I — .)
4 100%
Пример. Пусть наряду с индивидуальными индексами объема отдельных товаров известна стоимость продукции отчетного периода в базисных ценах (табл. 9.4).
Таблица 9.4
Выпуск продукции на предприятии Изделие Индивидуальный индекс физического объема / = ^
4 % Стоимость продукции отчетного периода в базисных ценах, тыс. руб.
9, Р0 X 0,98 392 У 0,96 912 г 0,95 684 В этом случае общий индекс физического объема следует рассчитывать как средний гармонический, где весами служит стоимость отдельных видов продукции отчетного периода в базисных ценах:
0,98 0,96 0,95
= 0,96 (или 96%),
392+912 + 684 392 912 684
" + ““Т + ?
7 = ЪЩРО 4
1Ч
т.е. в целом объем продукции уменьшился на
Однако надо отметить, что применительно к физическому объему средний гармонический индекс практически не применяется. Для динамики физического объема используется агрегатная форма индекса либо средний арифметический индекс, тождественный агрегатному.
Веса для средних индексов по другим показателям также определяются исходя из тождества их агрегатному индексу. 2.
Индекс цен. Применительно к индексам цен возможны два варианта взвешивания и для среднего арифметического, и для среднего гармонического индексов, в зависимости от того, по отношению к какому агрегатному индексу рассматривается их тождество: к индексу Ласпейреса или Пааше.
В случае если за исходную принимается формула Ласпейреса
гЛ Х/,1<7о , , ч
1 р — ^ , заменяя в числителе рх на / п0 (из I = рх/рй), полу-
1^Ро%
чим средний арифметический индекс цен:
7Л = 9П
р Хед
где весами служит стоимость отдельных групп продукции базисного периода р0д0 (или их доля в общей стоимости продукции
базисного периода с!,, = Тогда средний арифметический
2^Ро%
г- 7Л .
I 7"Л ^Р О Iиндекс цен будет 1 р = 2,‘р«0 или Р ~ -Гоо-у- ’ если “о выражено
в процентах. Данная форма среднего индекса используется в статистической практике в России при расчете ИПЦ — индекса потребительских цен).
Если же исходить из агрегатной формулы индекса цен Пааше
,п _ „ -л.
1 — ^ , то тождественный ему среднии арифметическии
индекс
(9ЛЗ)
т.е. в этом случае весами для индивидуальных индексов должна служить стоимость продукции отчетного периода в базисных ценах, что не совсем удобно для расчетов на практике.
Чтобы записать формулы среднего гармонического индекса цен, из ір = Р\/Р0 выражаем цену базисного периода: р0 = рх/ір и подставляем это выражение в знаменатель агрегатного индекса цен.
Тогда средний гармонический индекс цен по Ласпейресу будет иметь вид
г; - Щ-. <9Л4>
Р\4 о
I
р
а по Пааше, соответственно,
п = (9Л5)
В формуле (9.14) весами служит стоимость отдельных видов продукции базисного периода в отчетных (текущих) ценах рхд0, а в формуле (9.15) — стоимость продукции текущего периода в текущих ценах рхду Формула (9.15) более предпочтительна для практического использования, чем (9.14).
Средние арифметические и средние гармонические индексы являются своего рода модификациями агрегатных индексов, т.е. применительно к индексам цен должны соблюдаться следующие равенства:
5>1«о Ху>0?0 _ 1Р,<70
а) по Ласпейресу: - •
1Р0% Хад
1Р
б) по Пааше:
Хі^і = ЯрРоЯг = ТРХЧ і ЪРФ і Х/ад
1Р
Отсюда следует, что значения среднего арифметического и среднего гармонического индексов цен будут совпадать лишь тогда, когда их веса определены из тождества одной и той же агрегатной формуле (по Ласпейресу или Пааше).
Однако средние индексы по Ласпейресу не тождественны одноименным средним индексам по Пааше, как не тождественны и сами агрегатные индексы цен Ласпейреса и Пааше. Поэтому при расчете сводного (общего) индекса как среднего из индивидуальных необходимо точно указывать, модификацией какого агрегатного индекса является используемый средний индекс, так как это определяет его веса.
Рассмотрим расчет средних индексов цен на условном примере.
Пример.
Предположим, имеются данные о реализации продукции какой-либо фирмы за два периода (табл. 9.5, графы А, 1—3).Таблица 9.5
Данные о реализации продукции фирмы Товар Выручка от реализации, тыс. руб. Изменение цен в отчетном периоде по сравнению с базисным А ' А) Стоимость продукции базисного периода в отчетных ценах
‘РРо% = Р\Ч о Стоимость продукции отчетного периода в базисных ценах
Р\Ч 1
— = Л>«1 р в
базис
ном
пери
оде
Ро% в
отчет
ном
пери
оде
Р\91 А 1 2 3 4 5 X 260 309 1,03 267,8 300 У 520 636 1,06 551,2 600 г 420 473 1,10 462,0 430 Е 1200 1418 — 1281,0 1330 Требуется определить общий (сводный) индекс цен.
Возможно двоякое решение этой задачи. 1.
Если для индивидуальных индексов цен (графа 3) в качестве весов использовать фактическую стоимость отдельных товаров в базисном периоде р0д0, то сводный индекс цен можно рассчитать как средний арифметический, тождественный агрегатному индексу Ласпейреса, т.е. по формуле (9.10):
-л = 1‘рР0% = 1,03-260 + 1,06-520 + 1,1-420 р 5>0<7о 260 + 520 + 420
= 1,0675 (или 106,75%).
Это означает, что цены по всем товарам в наборе базисного периода выросли в среднем на 6,75% (106,75 — 100). 2.
Если по исходным данным использовать в качестве весов СТОИМОСТЬ продукции отчетного периода , то общий индекс
будет рассчитан как средний гармонический индекс цен (по Па- аше): 309 + 636 + 473
309 636 473
= 1,0662 (или 106,62%), р
1,03 1,06 1,1
т.е. по этому индексу цены в среднем выросли на 6,62% (106,62 - -
100).
Как и следовало ожидать, в первом случае (по Ласпейресу) значение индекса несколько выше, чем во втором (по Пааше). Расхождение между ними вызвано тем, что в первом индексе (по Ласпейресу) изменение цен рассматривается по составу продукции базисного периода #0, а во втором (по Пааше) — по продукции отчетного периода
Какому индексу отдать предпочтение, зависит от цели исследования. Если нас интересует не только относительное изменение цен, но и абсолютная величина изменения агрегатного показателя (стоимости рс7), вызванного изменением цен, то следует отдать предпочтение среднему гармоническому индексу, тождественному агрегатному индексу Пааше, т.е.
/”.Так, в нашем примере (где знаменатель = Х/’о'?,) раз
р
ность между числителем и знаменателем ИР\Я\ — Х/>о^1 = 1418 — —
1330 = 88 тыс. руб. — реальная дополнительная выручка, полученная фирмой в отчетном периоде вследствие изменения цен на продукцию отчетного периода qv
Как правило, при изучении динамики цен на уровне отдельных фирм, отраслей предпочтение отдается агрегатному индексу Пааше или тождественному ему среднему гармоническому индексу цен с весами р^г
Средний арифметический индекс цен с весами р0%, т.е. тождественный агрегатному индексу цен Ласпейреса, в статистической практике используется в основном при расчете сводного индекса потребительских цен (ИПЦ), публикуемого ежемесячно по фиксированному набору товаров и услуг. В этом индексе (ИПЦ) в качестве весов для индексов цен по отдельным группам товаров (продовольственным, непродовольственным, платным услугам) принимается структура потребительских расходов в базисном периоде по указанным группам товаров и услуг, т.е. их доля ^Ро9о- Пример. Имеются следующие сведения об изменении цен и тарифов по группам товаров и услуг в 2001 г. и о структуре потребительских расходов в 2000 и 2001 гг. по данным обследования домашних хозяйств (табл. 9.6).
Рассчитать сводный индекс потребительских цен.
Таблица 9.6 Товары и услуги населению Изменение цен и тарифов в 2001 г., % к декабрю 2000 г. Структура потребительских расходов населения, % 2000 г. (арл) 2001 г. (^) Продукты питания + 17,8 49,4 48,4 Алкогольные напитки + 12,6 2,5 2,4 Непродовольствен ные товары + 12,7 34,3 34,4 Платные услуги населению +36,9 13,8 14,8 Всего 100,0 100,0 Сводный индекс потребительских цен можно рассчитать по следующим формулам:
ИПЦ = ; ИПЦ =
5>0*0 ’ ?
Так как в нашем примере отсутствуют абсолютные данные о стоимости товаров по группам в базисном периоде (д0р0), но имеется их доля в общих потребительских расходах населения (с? „ ), то мы используем вторую формулу:
^‘рароЧо _ 1,178 49,4 + 1,126-2,5 + 1,127-34,3 + 1,369-13,8 _
ипц =
= 1,185565 ~ 1,186 (или 118,6%).
Сводный индекс потребительских цен, равный 118,6%, означает, что по всем группам товаров и услуг цены и тарифы выросли на 18,6% (118,6 - 100 = 18,6).
В данном параграфе, как и в параграфе 9.2, рассмотрены только принципы построения общих (сводных) индексов как агрегатных или средних из индивидуальных. В статистической практике рассчитываются индексы цен различного характера, в различных отраслях и на различных уровнях. Это индексы цен производителей промышленной продукции, индексы цен на приобретаемые виды материально-технических ресурсов, индексы цен на продукцию, реализованную сельскохозяйственными предприятиями, индексы цен на приобретенную сельскохозяйственными предприятиями промышленную продукцию и услуги, индексы цен по капитальным вложениям и т.д.
Для расчета сводных индексов на разных уровнях органами статистики разработаны рекомендации, которые касаются выбора формы индекса, весов, набора товаров и пр. (см. сборник Госкомстата России «Цены в России. 1998»),
Еще по теме 9.3. Средние индексы из индивидуальных (групповых):
- Изучение отдельных случаев и клиническое исследование: достоинства и недостатки
- Управление персоналом в условиях различных национальных культур
- 12.1. Понятие, предмет информационной безопасности и ее место в системе обеспечения национальной безопасности
- 2.6. Система законов организации в СМИ
- 21.3. Рефлексивные процессы в управленческой деятельности
- 8.2. Этапы подготовки выставки
- 6.1. Сущность и виды индексов Содержание индексов
- 6.2. Алгоритм расчета индивидуальных индексов Методика расчета
- 6.5. Средние из индивидуальных индексов
- 6.7. Индексы как обобщающие показатели социально-экономического развития
- 6.8. Индексы международного сопоставления Индекс ЭКШ
- 5.1. СУЩНОСТЬ И ОСОБЕННОСТЬ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН
- 5.3. СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ
- 9.3. Средние индексы из индивидуальных (групповых)
- 9.5. Цепные и базисные индексы
- 9.8. Проблемы и методы исчисления территориальных индексов
- СОЦИОМЕТРИЧЕСКИЕ ИНДЕКСЫ
- § 7. Индексы
- Глава 15 Правосознание и правовая культура. Проблема индивидуального правосознания
- 1.3.Основные направления исследования авторитарности в зарубежной и отечественной литературе