4.7. Применение средних в социально-экономической статистике

Средние в социально-демографической статистике

Исходной задачей социально-демографической статистики является изучение численности населения. В любом населенном пункте численность.населения в течение определенного периода существенно меняется, поэтому необходимо рассчитывать среднюю численность.

По данным о численности населения на начало и конец периода исчисляется средняя арифметическая пррстая:

/V- 2 ,

где N — средняя численность населения за период; Ын — численность населения на начало периода; /Ук — численность населения на конец периода.

При наличии данных о численности населения на несколько равностоящих дат среднегодовая численность населения может быть определена более точно по формуле средней хронологической:

Тг Нл^ + N2 +... +7У/( -1 + УгЫ,,

П ~ 1

где М» N2,Ып — численность населения на равностоящие даты; п — число равностоящих дат, на которые известны данные о численности населения.

Пусть в населенном пункте проживало в 1994 г. — 255,6 тыс. чел.; в 1995 г. - 257,9; в 1996 г. - 260,1; в 1997 г. - 262,4; в 1998 г. -264,5 тыс. чел. На начало 1999 г. насчитывалось 268,7 тыс. чел, а на конец — 264,5 тыс. чел. Определим среднегодовую численность населения данного населенного пункта в 1994--1999 гг.

Среднегодовую численность населения в 1999 г. исчисляем по средней арифметической простой:

- 268,7+264,5

дг99 = _—___-__ = 266,6 тыс. чел.

278

Глава 4. Средние величины в статистике

Среднегодовую численность населения за шестилетний период определим по средней хронологической:

- 0,5 - 255,6 + 257,9 + 260,1 +262,4 + 264,5 + 0,5 - 266,6 ' _

N = -—:—----——-—3-----— = 261,2 тыс. чел.

6-1

За период с 1994 по 1999 г.

Средняя численность населения выступает базой при расчете показателей естественного движения населения (рождаемости, смертности, прироста или убыли), брачное™, разводов, механического прироста или убыли населения вследствие миграции.

Средние в статистике труда

Важнейшим показателем статистики труда является среднесписочная численность работников, определяемая по арифметической простой на основе ежедневного учета списочных работников предприятия

- 2>

где Т — среднесписочная численность; 7) — списочная численность на /-ю дату; й — число календарных дней месяца, за который исчисляется среднесписочная численность.

В выходные и праздничные дни списочная численность 7} берется равной предшествующему рабочему дню. Если предприятие вновь организовано или прекращает деятельность в течение месяца, т.е. работает неполный период, то число календарных дней с1 все равно берется полным.

Если списочная численность несколько дней месяца оставалась постоянной, то применима средняя арифметическая взвешенная:

- У, К,

где ?// = й\ Т, — неизменная списочная численность; и— число дней с неизменной списочной численностью; / — порядковый номер изменения списочной численности.

Пусть на предприятии в списке состояло: с 1 по 5 апреля — 400 чел.; с 6 по 14 — 412 чел., с 15 по 24 — 420 чел. и с 25 по 30 — 424 чел.

4.7. Применение средних в социально-экономической статистике 279

Среднесписочная численность работников предприятия в апреле:

- 400 • 5+412- 9 + 420 • 10 + 424- 6 . '

Т =--—-———--= 415 чел.

5 + 9 + 10 + 6

В апреле на данном предприятии ежедневно работало в среднем 415 чел.

При отсутствии данных о списочном составе за все дни месяца среднесписочная численность за месяц может быть определена по среднеарифметической простой:

2 3

где Т — среднесписочная численность; Тн — численность на начало месяца; Тк — численность на конец месяца.

За периоды более месяца (квартал, полугодие, год) приближенная среднесписочная численность определяется на основании средних месячных показателей по арифметической простой:

- X 7) - _ Ъ - 17}

гр _ ~— , гр _ —* .

I КВ ~ ^ ' пол "~ ^ ' ?* ГОД — |2

где 7} — среднесписочная численность у-го месяца; Ткв — среднесписочная квартальная численность; Гпол — среднесписочная полугодовая численность; Ттсл — среднесписочная годовая численность.

Приближенные данные о среднесписочной полугодовой и годовой численности можно получить и по следующим формулам:

__? ^кв - _ Ты - X 7"ол

Тпол — ^ 5 Ттаа —• Л » Ттпп —

2 5 1 год — ^ > ^ год — 2

Более точный результат расчета среднесписочной численности за период, больший месяца, дает средняя арифметическая взвешенная:

где Т — среднесписочная численность за период, больший месяца; й} — число календарных дней в у'-м месяце; Щ — число календарных дней в периоде (квартал, полугодие, год), за который исчисляется среднесписочная численность.

Для расчетов среднесписочной численности можно использовать среднюю хронологическую при наличии данных на равноотстоящие даты (см. п. 4.4).

280

Глава 4. Средние величины в статистике

Предприятие вновь организовано и начало работать с 20 февраля. Численность работников предприятия по списку составляла: 20 февраля - 290 чел., 21 — 300 чел., 22 — 310 чел., 23 — 310 чел., 24 — 320 чел., 25 — суббота, 26 — воскресенье, 27 — 320 чел., 28 — 330 чел.

Среднесписочная численность в марте составила — 340 чел, в апреле — 350 чел., в мае — 360 чел., в июне — 400 чел.

Определить среднесписочную численность работников за февраль, за I квартал, за II квартал, за I полугодие.

Среднесписочная численность в феврале:

- 290 + 300 + 310 + 310 4- 320 + 320 + 320 + 320 + 330 Тг~ 28

Среднесписочная численность в I квартале:

- 101-28 + 340-31

Тх кв = ———————=149 чел.

31 + 28 + 31

Среднесписочная численность в II квартале:

- 350-30 + 360-31 +400-30

То кв =--?-= 370 чел.

2кв 30 + 31 + 30

Среднесписочная численность за полугодие:

- 101 • 28 + 340 - 31 + 350 - 30 + 360 • 31 + 400 • 30 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30

Приближенные результаты можно получить по арифметической простой:

- 101 + 340 ллп

Т[ «в =-——= 147 чел.;

- 350+360 + 400

72 о _-.-_ 370 чел.;

147^370 2

7пол =-^-=259 чел.

= 101 + 340 + 350 + 360 + 400 „СА или 7поЛ =-?-= 259 чел.

На основании среднесписочной численности работников предприятий определяется суммарная среднесписочная численность работников по группе предприятий, отраслям, регионам, экономике в целом.

4.7.

281

Среднесписочная численность работников является основанием расчета таких относительных показателей, как коэффициенты движения рабочей силы (обороты по приему и выбытию, текучести), потерь рабочего времени в результате конфликтов в расчете на 100 работников, производительности труда.

Соответствие квалификации рабочих сложности выполняемых работ анализируется сопоставлением среднего тарифного разряда рабочих и среднего тарифного разряда выполняемых работ, исчисляемых по формуле средней арифметической взвешенной.

Имеются следующие данные о 200 рабочих предприятия (табл. 4.6).

Таблица 4.6

Данные о рабочих предприятия Разряд работы Разряд рабочих Итого рабочих

1 2 3 4 5 6

1 16 6 ' — 7 — 29 2 8 21 _ 3 — — 32 3 3 8 9 — 12 — 32 4 — _ 1 40 8 49 5 — — — 20 8 28 6 — — ' — 20 _ ю 30 Итого рабочих 27 35 10 70 40 18 200 Определим соответствие уровня квалификации рабочих уровню выполняемых ими работ.

Средний тарифный разряд рабочих:

X ==-.=

'V г

1-27 +2-35 + 3- 10 + 4-70 + 5-40 + 6- 18 715

200

Средний тарифный разряд работы

У =—•—

5>

200

3,575.

282

Глава 4. Средние величины в статистике

Поскольку средний разряд рабочих несколько превышает средний'разряд работы, рабочим поручались работы ниже их квалификации.

Средние в статистике национального богатства

.Ключевым показателем в статистике национального богатства выступает среднегодовая стоимость основных фондов Ф, исчисляемая по арифметической простой:

ф -__±_5 2

где Ф — среднегодовая стоимость основных фондов; Ф„ — стоимость фондов на начало года; Фк — стоимость фондов на конец года.

Полная стоимость основных фондов фирмы на начало года составляла 700 тыс. руб. В течение года введено в эксплуатацию новых основных фондов на сумму 85 тыс. руб., выбыло по полной стоимости фондов на сумму 40 тыс. руб.

Стоимость основных фондов на конец года:

Фк = 700 + 85 - 40 = 745 тыс.

ж 700 + 745 _ „ .

ф---= 722,5 тыс. руб.

В течение года фирма располагала основными фондами в среднем на сумму 722,5 тыс. руб.

На основании среднегодовой стоимости основных фондов исчисляются показатели их использования: фондоотдача, фондоемкость, фондовооруженность.

Показатели использования оборотных средств исчисляются на базе среднегодовых остатков оборотных средств, рассчитываемых аналогично среднегодовой стоимости основных фондов.

Использование средних в биржевых индексах

Биржевой индекс — макроэкономический показатель, отражающий состояние экономики в целом и фондового рынка в частности. Он выступает индикатором изменения средней цены акций, облигаций определенной совокупности эмитентов ценных бумаг.

При огромном количестве ценных бумаг, обращающихся на рынке, практически невозможно отследить закономерности колебания цен по каждой бумаге. В то же время многолетняя деятельность

4.7. Применение средних в социально-экономической статистике 283

зарубежных фондовых бирж показала, что изменение цен на акции некоторого ограниченного круга фирм точно соответствует колебанию курсов по всем акциям. Возникла идея отслеживать изменение цен не по каждой бумаге, а по определенному их набору.

Поскольку индексом осредняется изменение цены, то расчет его производится по одной из формул средних (арифметической взвешенной, геометрической). Биржевой индекс дает возможность инвесторам, вкладывающим деньги в ценные бумаги, оценивать состояние фондового рынка в целом, отдельных отраслей, надежность собственных акций. Индекс позволяет анализировать ситуацию на рынке за предшествующий период, устанавливать важнейшие тенденции и закономерности.

Мировая практика развития фондовых рынков подтверждает необходимость использования индексов как специалистами, так и инвесторами, принимающими решение о формировании портфеля акций, его корректировке, оценивающими настоящую и перспективную доходность имеющегося пакета ценных бумаг.

Появление биржевых индексов связано с именем редактора «Уолл Стрит джорнэл» Чарлзом Доу, который в 1884 г. начал исчислять средний показатель по изменению курсовой цены акций 12 крупнейших американских компаний. Расчет производился по средней арифметической простой:

12

где р — средняя цена акций, входящих в индексный набор; р, — цена акции /-го наименования на дату расчета.

В 1928 г. индексный набор расширился до 30 компаний и остается неизменным до настоящего времени.

В результате дробления и консолидации акций компаний-представителей в знаменателе индекса стали отражать не число фирм, а некоторый коэффициент, методику расчета которого рассмотрим на примере трех компаний (табл. 4.7).

284

Глава 4. Средние величины в статистике

Таблица 4.7

Результат дробления и консолидации акций на примере трех компаний № Количество акций, млн шт. Рыночная цена на дату, д.е. компании предшествующий данный период предшествующий данный период период период 1 2 4 ПО 60 2 10 10 32 36 3 20 20 25 25 У компании № 1 произошло деление акций в пропорции 1:2, при этом их рыночная цена снизилась со 110 до 60 денежных единиц (д.е.).

Биржевой индекс предшествующего периода по средней арифметической простой:

110 + 32 + 25 ее

--—-= 55,67 д.е.

Если арифметическую простую для расчета средней цены данного периода применить формально, получим

60 + 36 + 25

40,33 д.е.

Эта величина не отражает истинного курса акций, так как не учитывает деления акций первой компании. Чтобы учесть фактическое состояние фондового рынка, необходимо произвести взвешивание рыночной цены акций первой фирмы, отражающее произошедшее дробление акций в пропорции 1:2 (2:4):

60-2 + 36 + 25

—-^-=60,33 д.е.

Чтобы при очередном делении акций не производить взвешивания их цены, вместо числа фирм в знаменателе введем коэффициент к:

60 + 36 + 25

-^-= 60,33 д.е.

откуда к = 121:60,33 = 2,0056.

Этот коэффициент будет использоваться для исчисления индекса по трем компаниям до следующего деления акций какой-либо из них. Далее последует очередной пересмотр знаменателя. Такая процедура обеспечивает сопоставимость курса финансовых, активов за значительный промежуток времени и позволяет выявить общую тенденцию фондового рынка. В рассматриваемой ситуации наблюдается рост средней цены с 55,67 до 60,33 д.е. По сути, 60,33 д.е. — эта та средняя цена акций трех компаний, которая была бы в данном периоде, если

4.7. Применение средних в социально-экономической статистике 285

бы не произошло дробление акций первой компании, приведшее к снижению их рыночной цены со 110 до 60 д.е. и соответственно средней цены с 55,67 до 40,33 д.е.

По рассмотренной методике простой средней арифметической исчисляется не только индустриальный индекс 30 промышленных корпораций, но и транспортный, коммунальный, составной индексы Доу Джонса.

Транспортный индекс Доу Джонса характеризует изменение цен на акции 20 транспортных корпораций (авиакомпаний, железнодорожных и автодорожных корпораций). Коммунальный индекс исчисляется по курсам акций 15 компаний, занимающихся газо- и электроснабжением. Составной, или комплексный, индекс Доу Джонса (известный также под названием «Индекс-65») объединяет три предыдущих индекса.

Кроме индексов по акциям компания «Доу Джонс энд Компани» публикует два довольно распространенных индекса по облигациям: «Облигационный индекс Доу Джонса-40» и индекс Доу Джонса по муниципальным облигациям.

Методом простой средней арифметической рассчитывается наиболее известный фондовый индекс Японии — индекс «Никкей», определяемый на базе 225 акций, торговля которыми ведется на Токийской фондовой бирже.

По формуле средней геометрической рассчитывается старейший индекс Великобритании БТ-ЗО (индекс газеты «Файненшел Тайме», охватывающий акции 30 компаний). Он представляется коэффициентом, отражающим средний рост цен акций набора:

30-

к = V к\ кг... Ью,

где ки кзо — темпы роста цены определенной акции; п — число акций в индексном наборе; к — сводный биржевой индекс.

Темп роста цены определенной акции исчисляется отношением цены на дату расчета к предыдущей цене:

где к,- — темп роста цены акции /-го наименования; р\ — цена на дату расчета; р0 — предыдущая цена.

Индекс ИТ-ЗО рассчитывается на каждый день с 1935 г. по акциям, котирующимся на Лондонской фондовой бирже. По средней геометрической рассчитывается также составной индекс «Уэлью Лайн», охватывающий приблизительно 1700 выпусков акций, котируемых на Нью-Йоркской фондовой бирже, Американской фондовой бирже и во внебиржевом обороте. Впервые индекс был рассчитан в июне 1961 г.

286

Глава 4. Средние величины в статистике

В табл. 4.8 дан условный пример расчета фондового индекса методом средней геометрической.

Таблица 4.1

Цены акций компаний Компании Цена за 1 акцию, ф. ст. Темп роста цен базовый период отчетный период (индивидуальный индекс) Р\ к> А 20 21 1,05 В 37 40 1,08 С 28 26 0,93 50 53 1,06 На основе приведенных в табл. 4.7 данных об индивидуальных индексах компаний, рассчитанных как отношение цены акций в отчетном периоде к цене акций в базовом периоде, определяется сводный индекс:

к= л/1,05-1,08-0,93-1,06 = 3 1,1179 = 1,028.

По данному индексу можно судить о динамике фондового рынка. Если индекс больше 1, то цены на рынке имеют тенденцию к росту. Чем больше значение индекса, тем более быстрыми темпами развивается фондовый рынок. Если значение индекса меньше 1, то это свидетельствует о падающем рынке, т.е. в целом цены на фондовом рынке по представительной группе предприятий снижаются. Недостатком индексов, рассматриваемых по методу средней геометрической, является то, что они не учитывают объем торговли акциями тех или иных эмитентов.

Простой среднеарифметический индекс типа Доу Джонса имеет недостаток: на его значение оказывают влияние цены, при этом не учитывается объем продаж той или иной бумаги. Для учета влияния не только индивидуальных цен, но и количества бумаг, реализованных по этим ценам, применяется средняя арифметическая взвешенная: в числителе формулы суммируются не цены, а их произведения на число проданных акций. Знаменатель формулы — количество реализованных акций из отобранных в индексный набор:

_ X

где р — средняя цена акций, входящих в индексный набор; р/ — цена акций /-го наименования на дату расчета; д, — количество реализованных акций /-го наименования.

4.7. Применение средних в социально-экономической статистике

287

Взвешенным является индекс Нью-Йоркской фондовой биржи, исчисленный по ценам акций всех корпораций, зарегистрировавших бумаги на данной бирже. Этот показатель измеряется в долларах и показывает среднюю рыночную цену акции по всем сделкам.

К средним арифметическим взвешенным индексам относится индекс DAX Франкфуртской фондовой биржи, индекс 100 акций Лондонской биржи.

Рассчитаем условный биржевой индекс по данным табл. 4.7, используя среднюю арифметическую взвешенную:

4 + 36-10 + 25-20 ооэс

— = 3„,3э д.е.;

_ 60 Р\ = —

4+10 + 20

_ 110-2 + 33-10 + 25-20 0

р0 —-- = 32,8 д.е.

^ 2+10 + 20

В данном периоде по сравнению с предшествующим средняя цена акций трех компаний с учетом объема продаж уменьшилась на 0,45 денежных единиц (32,35 — 32,8).

В табл. 4.9 отражено использование средних для расчета биржевых индексов.

Таблица 4.9

Применение средних при расчете биржевых индексов № пп. Название индекса Количество эмитентов акций Метод исчисления 1 Составной (комплексный) индекс Средняя арифметическая Доу Джонса 65 простая 2 Индустриальный индекс Доу Джонса 30 Тоже 3 Транспортный индекс Доу Джонса 20 » 4 Коммунальный индекс Доу Джонса 15 » 5 «Никкей» средний Токийской фондовой биржи 225 6 Индекс 100 акций Лондонской Средняя арифметическая фондовой биржи 100 взвешенная 7 Индекс DAX Франкфуртской фондовой биржи 30 То же 8 Индекс FT-30 30 Средняя геометрическая 9 Составной индекс «Уэлыо Лайн» 1700 Тоже