<<
>>

4.5. Показатели вариации Значение показателей вариации

Всегда ли средняя отражает типичное значение осредняемого признака для изучаемой группы единиц? Ответ на этот вопрос содержится в рассказе Глеба Успенского «Четверть лошади»:

«В деревне Присухине школа имеет тридцать учеников, в деревне Засухине — 20, а в деревне Оплеухине — 2.

Из этого, изволите видеть, следует средний вывод, что средним числом на школу — по 17 человек. Это все равно, ежели бы я взял миллионщика Колотушкина, присоединил бы к нему просвирню Кукушкину, у которой в кармане гроши, — тогда в среднем выводе на каждого и вышло бы по полумиллиону».

Из этого примера видно, как важно оценить типичность средней для изучаемых единиц совокупности. Среднее значение изучаемого признака может служить обобщающей характеристикой исследуемой статистической совокупности, если к нему приближаются большинство фактических значений.

Для характеристики надежности средней используют показатели вариации, отражающие отклонение исходных вариант х от их среднего значения х. Показатели вариации представлены размахом вариации, средним квадратическим отклонением, коэффициентом вариации.

Размах вариации

Размах вариации 1?в — разность между наибольшим и наименьшим значением осредняемого признака:

где хтах, хт\п — соответственно максимальное и минимальное значение варианты х. Чем больше размах вариации, тем вероятнее то, что средняя окажется нетипичной.

Среднее квадратическое отклонение

Среднее квадратическое отклонение а показывает, на сколько в среднем фактические значения вариант х отклоняются в ту и другую сторону от исчисленной средней 5с:

где а2 — дисперсия осредняемого признака, характеризующая колеблемость вариант около средней.

4.5. Показатели вариации

269

Дисперсия исчисляется по формуле

Х(*-*)2/ Х(*-*)2

02 =-(каждое/?* 1); ст2 =-(каждое/= 1).

?/

В отличие от среднего квадратического отклонения а, имеющего ту же единицу измерения, что и варианты х, дисперсия не имеет единицы измерения. В статистике она выступает только базой для расчета ст. ,

Дисперсия может быть рассчитана как разность средней квадратов вариант и квадрата средней вариант:

а2 = х2 ~(х)2; х2 _.--средняя квадратов вариант;

X/

X/

квадрат средней вариант.

По равноинтервальному ряду распределения или дискретному ряду с одним и тем же шагом между значениями осредняемого признака возможен расчет дисперсии способом «моментов»:\

с?2 = И2 {т-г - т?),

Х(*')2/

где пи =--момент второго порядка;

X/ Х^/

ті---момент первого порядка;

X/

, Х-Хо

х - —^--условные варианты.

Коэффициент вариации

Отношение среднего квадратического отклонения к средней называется коэффициентом вариации V. Коэффициент вариации — относительная величина, выражаемая в процентах:

к=й. юо.

х

270

Глава 4. Средние величины в статистике

Средняя считается типичной и может служить обобщающей характеристикой совокупности единиц, если К< 30%. Коэффициент вариации применяется не только для оценки надежности средней, но и для сравнения вариации, изменчивости, колеблемости изучаемого признака различных совокупностей и явлений. Например, с помощью V можно выяснить, что варьируется больше: рост или вес населения, рост женщин или мужчин.

При значениях У> 30% следует разбить исходную статистическую совокупность на две или более новых совокупностей с меньшей вариацией осредняемого признака, для каждой группы единиц исчислить свою среднюю и проверить ее типичность.

Определим, является ли сменная выработка 124,09 шт.

типичной для рабочих, распределение которых по уровню выработки представлено в табл. 4.1.

Размах вариации: Яв = 140 — 110 = 30 шт.

Разница между максимальным и минимальным фактическим значением выработки составляет 30 изделий.

Исчислим дисперсию сг2 различными способами: 1) по формуле;

_>-*)2/ а2 =-—.

X/

Строим расчетную таблицу: X / X — X (х-х)2 (х-х)2/ х2 х2/ ПО 12 —14,09 198,53 2382,4 12 100 145 200 120 10 -4,09 16,73 167,30 14 400 144 000 130 14 5,91 34,93 488,99 16 900 236 600 140 8 15,91 253,13 2025,02 19 600 156 800 - 44 — — 5063,71 — 682 600 а2 = 5063,65:44 =115; 2) как разность средней квадратов и квадрата средней:

ст2 = х2 - (х)2. Введем в расчетную таблицу графы х2 и х2/

-2 682600 = ,

I/ 44 ©2 = (124)2= 15 398; о2 = 15 513 - 15 398 = ?15;

4.5. Показатели вариации

271

3) способом моментов.

Примем за условную варианту значение х, имеющее наибольшую частоту хо = 130 шт., ширина шага постоянна: /г = 10 шт. Строим расчетную таблицу: X / X ~~" х/ (х')2 (х-)2/ НО 12 -20 -2 -24 4 48 120 10 -10 -1 -10 1 10 х0 = 130 14 0 0 0 0 0 140 8 10 1 8 1 8 - 44 — _ -26 _ 66 -26

т2 = -

момент первого порядка;

66 44

= 1,5 — момент второго порядка;

ст2 = А2 (т2 - /кг2) = Ю2 (1,5 - 0,592) = 115. Определяем среднее квадратическое отклонение а:

а = лГа2"-л/ПУ= ±10,7 шт.

Фактические значения сменной выработки рабочих четырех бригад отклоняются от исчисленной средней х = 124,09 шт. в ту и другую сторону в среднем на 10,7 шт.

Коэффициент вариации

К= й- _ т|||- _ 0,086, или 8,6%.

Поскольку коэффициент вариации меньше 30%, среднюю выработку 124,09 шт. можно считать типичной обобщающей характеристикой выработки исследуемой совокупности рабочих.

Исчислим средний размер основных фондов предприятий одной из отраслей промышленности и определим его типичность по данным табл. 4.5.

Таблица 4.5

Распределение предприятий отрасли по стоимости основных фондов Группы предприятий по размеру основных фондов, млн руб. 1-3 3-5 5-7 7-9 9-11 11 и более Итого Число предприятий' 15 30 20 15 15 5 100 272

Глава 4. Средние величины в статистике

Строим расчетную таблицу: Основные фонды, млн руб. Варианты

X Число предприятий

/ х/ *-* (х-х)2 (х-х)2/ 1-3 2 15 30 -4 16 240 3-5 4 30 120 -2 4 120 5-7 6 20 120 0 0 0 7-9 8 15 120 2 4 60 9-11 10 15 150 4 16 240 11-13 12 5 60 6 36 180 - — 100 600 — — 840 Средняя стоимость основных фондов предприятий отрасли: _ 600

х = -

I/

100

= 6 млн руб.

Предприятия отрасли располагают основными фондами стоимостью в среднем 6 млн руб.

Дисперсия осредняемого признака:

840 100

= 8,4.

Откуда среднее квадратическое отклонение:

су = лГс7'= -^8,4 = ±2,9 млн руб.

Фактическая стоимость основных фондов предприятий данной отрасли отклоняется от исчисленного среднего размера фондов в ту и другую сторону в среднем на 2,9 млн руб.

Коэффициент вариации:

X

100 = ^?. 100 = 48,3%.

Значение коэффициента вариации, большее 30%, свидетельствует о том, что среднее значение стоимости основных фондов, равное 6 млн руб., не может служить обобщающей характеристикой основных фондов данной группы предприятий.

Произведем перегруппировку предприятий, образовав две совокупности с близкими значениями варианты х, и определим средний размер основных фондов для каждой группы предприятий. Построим расчетную таблицу:

4.5. Показатели вариации

273 Основные фонды, млн руб. А х1 Ах\ х\ ~х\ 1-3 15 2 30 -1,33 1,77 26,55 3-5 30 4 120 0,67 . 0,45 13,5 Итого 45 — 150 — — 40,05 /2 х2 (х2 - х2)2 (х2 - х2)2 Г2 5-7 20 6 120 -2,18 4,75 95,00 7-9 15 8 120 -0,18 0,03 0,45 9-11 15 10 150 1,82 3,31 49,65 11-13 5 12 60 3,82 14,59 72,95 Итого 55 - 450 — - 218,05 Средняя стоимость основных фондов предприятий каждой группы: х\ = —— = = 3,33 млн руб;

45

Ех^2 450 с 10 ,

Х2 = ~п— = тр* = 8,18 млн руб.

55

Средняя стоимость основных фондов у 45 предприятий первой группы составляет 3,33 млн руб.; у 5'5 предприятий второй группы — 8,18 млн руб.

Дисперсия осредняемого признака в каждой группе: а12 = __±_-= 1^ = 0,89;

С72

2 _

^(Х2-Ъ)4г 218,5

55

= 3,97.

Среднее квадратическое отклонение:

а1 = ^07= ^0,89 = ±0,94 млн руб; 02 = V о-22 =л/3,97 =±1,99 млн руб.

18 - 3476

274

Глава 4. Средние величины в статистике

Фактическая стоимость основных фондов предприятий первой группы отклоняется от исчисленной средней 3,33 млн руб. в ту и другую сторону в среднем на 0,94 руб. Размер основных фондов предприятий второй группы отклоняется от средней 8,18 млн руб. в среднем на 1,99 млн руб. в ту и другую сторону.

Коэффициент вариации признака по каждой группе:

^1 = Ы = = 0,282, или 28,2% (< 30%);

Х\ 5,55

К2 = Ы = Ь5| = 0,243, или 24,3% '(< 30%). Хг о,1о

В совокупности 100 предприятий отрасли можно выделить две группы по стоимости основных фондов: для 45 предприятий обобщающей характеристикой служит средний размер фондов, равный 3,33 млн руб.; для 55 предприятий типичной является средняя стоимость фондов 8,18 млн руб.

<< | >>
Источник: Ёдронова В.Н., Бдронова М.В.. Общая теория статистики: Учебник — М.: Юристъ,. — 511с.. 2001 {original}

Еще по теме 4.5. Показатели вариации Значение показателей вариации:

  1. 5.3. Показатели вариации и способы их расчета
  2. 6.5. ПОКАЗАТЕЛИ КОЛЕБЛЕМОСТИ (ВАРИАЦИИ) ПРИЗНАКА
  3. 6.1. ВАРИАЦИЯ ПРИЗНАКА В СОВОКУПНОСТИ И ЗНАЧЕНИЕ ЕЕ ИЗУЧЕНИЯ
  4. 8.2.3. Сбор и обработка информации при помощи показателей и систем показателей
  5. 3. ВАРИАЦИИ
  6. Средние величины и коэффициенты вариации
  7. ПОНИМАНИЕ ВАРИАЦИЙ
  8. Какую вариацию модели GE/McKinsey предложил Дэй?
  9. 8.2.4. Примеры показателей и систем показателей
  10. ВАРИАЦИИ АНТИБРЭНДОВ
  11. Зависимая переменная и ее вариация
  12. Какую вариацию модели GE/McKinsey предложил Монивсон?
  13. 1.3. Абсолютные показатели в статистике Сущность абсолютных показателей
  14. 6. Оптимальное управление запасами с учетом случайных вариаций спроса.
  15. 8. Управление проектами с учетом случайных вариаций времени выполнения стадий