<<
>>

5.3. Показатели вариации и способы их расчета

В практическом анализе оценка рассеяния значений признака может оказаться не менее важной, чем определение средней.

Самая грубая оценка рассеяния, легко определяемая по данным вариационного ряда, может быть дана с помощью размаха вариации

Л = *тах - *тт>

где Хтах и хтт — наибольшее и наименьшее значения варьирующего признака.

ЭТОТ показатель представляет интерес в тех случаях, когда важно знать, какова амплитуда колебаний значений признака, например, каковы колебания цены на данный товар в течение недели или по разным регионам в данный отрезок времени.

Однако этот показатель не дает представления о характере вариационного ряда, расположении вариантов вокруг средней и может сильно меняться, если добавить или исключить крайние варианты (когда эти значения аномальны для данной совокупности). В этих случаях размах вариации дает искаженную амплитуду колебания против нормальных ее размеров. Поэтому следует очистить совокупность от аномальных наблюдений, прежде чем определять размах вариации. Так, для совокупности банков (см. с. 84), если отбросить так называемое аномальное значение (1322,7), размах вариации составит 228,7 - 10,9 = 217,8 млрд руб.

Для оценки колеблемости значений признака относительно средней используются характеристики рассеяния. Они различаются выбранной формой средней и способами оценки отклонений от нее отдельных вариантов. К таким показателям относятся: •

среднее линейное отклонение; •

дисперсия; •

среднее квадратическое отклонение; •

коэффициент вариации.

Среднее линейное отклонение есть средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней величины:

X,\х, - х\

а = л1 1 (5.8)

для несгруппированных данных

I

п

для сгруппированных данных (5.9)

х\т.

2>,- где х1 — значение признака в дискретном ряду или середина интервала в интервальном распределении; т1 — частота признака.

Х|х. - х\т.

Поскольку -—=; = 0 согласно свойству средней ариф-

2>;

/

метической, то мерой вариации выступает не алгебраическая средняя из отклонений, а средний модуль отклонений. Он не зависит от случайных колебаний и учитывает всю сумму отклонений конкретных вариантов от средней.

Среднее линейное отклонение выражено в тех же единицах измерения, что и варианты или их средняя. Оно дает абсолютную меру вариации.

Чтобы избежать равенства нулю суммы отклонений от средней, используют либо абсолютные значения отклонений, либо их четные степени, например квадраты. В последнем случае мера вариации называется дисперсией и обозначается В или о2:

для несгруппированных данных

\2

Х(х, - х)

' (5.10)

п

для сгруппированных данных

\2

Х(л:. - х) т.

(5.11)

2>,

Исчисление дисперсии сопряжено с громоздкими расчетами, особенно если средняя величина выражена числом с несколькими десятичными знаками. Расчеты можно упростить, если использовать следующую модификацию формулы дисперсии:

о2 =

2(х, - *) т,

5>,

1.x2 т. 2Х*,-Зст. X*2™,- Л ' + 1 =

I>,. Х/И; Х^

/ / /

Х*,Ц ЪХ'Ш. _ _

= -*=; 23с-*= 1- х2 = х2 - 23с2 + х2 = х2 — х2. (5.12)

X«,- х»»,.

/ /

Существуют и другие способы для упрощения исчисления дисперсии.

Однако вследствие суммирования квадратов отклонений дисперсия дает искаженное представление об отклонениях, измеряя их в квадратных единицах. Поэтому на основе дисперсии вводятся еще две характеристики: среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Среднее квадратическое отклонение измеряется в тех же единицах, что и варьирующий признак, и исчисляется путем извлечения квадратного корня из дисперсии:

для несгруппированных данных

(5.13)

Ьь - щ1

для сгруппированных данных (5.14)

Х(х - х)2т(

X™;

I

Среднее квадратическое отклонение, как и среднее линейное отклонение, показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от его среднего значения. Величина а часто используется в качестве единицы измерения отклонений от средней арифметической.

Отклонение, выраженное в а, называется нормированным или стандартизированным.

Для оценки меры вариации и ее значимости пользуются также коэффициентом вариации V, который дает относительную оценку вариации и получается путем сопоставления среднего линейного или среднего квадратического отклонения со средним уровнем явления, а результат выражается в процентах: V

= 4-100% либо К= °100% (х*0). (5.15)

X X

Так как коэффициенты вариации дают относительную характеристику однородности явлений и процессов, они позволяют сравнивать степень вариации разных признаков.

Рассчитаем показатели вариации на основе распределения банков (см. табл. 5.3). Дополним табл. 5.3 графами 11—13, где приведены величины, которые нужны для расчета среднего линейного и среднего квадратического отклонений: х. — X (х = 45,78) К - х\ті (*/ 11 12 13 -34,78 208,68 7257,89 -32,28 258,24 8335,99 -28,28 282,80 7997,58 -20,78 166,24 3454,47 -5,78 34,68 200,45 29,22 175,32 5122,85 129,22 775,32 100186,85 X 1901,28 132556,08 Итак, среднее линейное отклонение

Ек -*к _ 1901>28 _

“ - ^~ —І7:— “ 38,03 млрд руб.,

2^т. 50

дисперсия

132556,08 ?м/ 50

среднее квадратическое отклонение с = 51,49 млрд руб.,

коэффициент вариации

а 51 49

К= -100% = тт^ЮО = 112,5%, х 45,78

или, если пользоваться линейным отклонением,

У= 100% = ^|ю0 = 83,1%.

Однако надо отметить, что если коэффициент вариации рассчитывается на основе среднего линейного отклонения (^), то в знаменателе чаще используют медиану, а не х, т.е. в этом случае

У= —100% = »100 = 179%.

Ме 21,2

Среднее квадратическое отклонение а всегда будет больше

среднего линейного отклонения й , что обусловлено разными способами их вычисления.

Среди признаков, изучаемых статистикой, есть и такие, которым свойственны лишь два взаимоисключающих значения. Такие признаки называются альтернативными. Им придается соответственно два количественных значения: 1 и 0. Частостью варианта 1 (она обозначается р) является доля единиц, обладающих данным признаком, в общей численности совокупности. Разность 1 — р = д является частостью варианта 0. Таким образом, X.

1 М>.

1 1 Р 0 Я Средняя арифметическая альтернативного признака

1Р + °'Я /с х = = р. (5.16)

Р + Я

Дисперсия альтернативного признака

а2 = (1.-г)У.±..(0 -_р1ч = 1р_и\ , (5.17)

Р+ Я Р+ Я

т.е. дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих данным признаком, и доли единиц, не обладающих этим признаком.

Если значения 1 и 0 встречаются одинаково часто, т.е. р = <7, то дисперсия достигает своего максимума рд = 0,25.

Дисперсия альтернативного признака используется в выборочных обследованиях, например, качества продукции.

<< | >>
Источник: Г.Л. Громыко. Теория статистики: Учебник. — Т11 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ИНФРА-М,. - 476 с. — (Классический университетский учебник)., . 2005

Еще по теме 5.3. Показатели вариации и способы их расчета:

  1. 4.5. Показатели вариации Значение показателей вариации
  2. 6.5. ПОКАЗАТЕЛИ КОЛЕБЛЕМОСТИ (ВАРИАЦИИ) ПРИЗНАКА
  3. Раздел 2. Расчет нормативного размера маржи платежеспособности по виду обязательного страхования с согласованными величинами процентов, используемыми при расчете первого и второго показателей и Справка к разделу 2
  4. 7.2.3.1. Расчет показателя EVA™
  5. I. Расчет показателей динамики и структуры валовой продукции промышленности и сельского хозяйства КНР
  6. 8.3.6. Характеристика способов принятия решений на основе оптимизации показателей
  7. 3.4. МОДЕЛИ РАСЧЕТА ПОКАЗАТЕЛЕЙ РИСКА БАНКРОТСТВА И НЕВОЗВРАТА КРЕДИТА В СИСТЕМЕ АНТИКРИЗИСНОГО УПРАВЛЕНИЯ ФИРМОЙ
  8. 6.2. Алгоритм расчета индивидуальных индексов Методика расчета
  9. Особенности формирования расчета по форме-4 ФСС РФ в целях расчета взносов на страхование от несчастных случаев и профзаболеваний
  10. 8.2.3. Сбор и обработка информации при помощи показателей и систем показателей
  11. 6.3. Учет внутрихозяйственных расчетов и расчетов по доверительному управлению
  12. Средние величины и коэффициенты вариации
  13. 3. ВАРИАЦИИ
  14. Какую вариацию модели GE/McKinsey предложил Дэй?
  15. ПОНИМАНИЕ ВАРИАЦИЙ