5.2. Основные показатели среднего уровня вариационного ряда

Вычисление средней арифметической

При изучении особенностей статистического распределения прежде всего следует найти его центральное значение, т.е. средний уровень. Для характеристики центра распределения применяются показатели, получившие название средних величин.

Как уже отмечалось, в статистике применяются различные виды (формы) средних величин.

Средняя арифметическая простая

х{+ х2 + ... + х„ 1

X =

*- = -Их,. (5.1)

применяется, когда объем совокупности варьирующего признака представляет сумму всех индивидуальных значений.

Расчет средней арифметической простой возможен, например, на основе несгруппированных данных об активах 50 банков (см. с. 84): 228,7

+ 187,3 + ... + 10,9 2081,3

х = й ' 15“ ' 41'6млрдруб-

Для построенного интервального вариационного ряда (см. табл. 5.3) расчет средней арифметической должен быть выполнен по формуле средней арифметической взвешенной, где совокупный объем активов 50 банков находится не путем суммирования всех значений признака, а путем перемножения (взвешивания) вариантов признака на их частоты и последующего сложения произведений х./и., число которых (произведений) равно количеству интервалов. Следовательно, взвешивание — это лишь технический прием, посредством которого суммирование одинаковых значении заменяется умножением этих значении на их частоты. В основе взвешивания лежит равенство

х,т, + х,/Ят + ... + х т = хт, + х/я, + ... + хт =

II II п п I I п

= х(тх + т2 + ... + тп).

Отсюда средняя арифметическая взвешенная

X*,«,

X = -*= . (5.2)

X«,

/

В отдельных случаях веса могут быть представлены не абсолютными, а относительными величинами (в процентах или долях

единицы).

/

ет единицу, или 100%. При замене частот на частости средняя величина характеристики не изменится, а формула х примет следующий вид:

5>Л-

х = -(= .

5>,-

/

Обычно формулу средней арифметической взвешенной записывают в виде

1-Г,/,

*" и" <5-3)

/

где/? — веса, в роли которых могут выступать и частоты, и частости.

В формулах средней арифметической взвешенной, рассчитываемой для интервального вариационного ряда, в качестве х(. принято брать середину интервала, исходя из предположения о равномерном распределении единиц совокупности на данном интервале. Середину интервала найдем как полусумму значений его нижней и верхней границ (при условии, что верхняя граница данного интервала совпадает с нижней границей следующего интервала). Тогда на основе данных графы 4 табл. 5.3 средняя арифметическая получит значение

2289

х = -(= = —— = 45,78 млрд руб.

Хот,- 50

Несовпадение средних арифметических, вычисленных на основе исходных данных, приведенных на с. 84, и на основе вариационного ряда (41,63 < 45,78), вызвано тем, что сделанное нами допущение о равномерном распределении значений на интервале не всегда выполняется. Средние, исчисленные на основе интервального ряда, являются приближенными. Степень точности зависит от того, в какой мере распределение единиц внутри интервала приближается к такому распределению, для которого средняя арифметическая взвешенная совпадает с серединой интервала. Точность средней зависит также от длины интервала. Чем уже интервал, тем меньше ошибка, вызванная тем, что середина интервала принимается в качестве среднего его значения (см. графу 3 табл. 5.3). При неравных интервалах точность средней меньше, чем при равных.

Средняя арифметическая обладает рядом свойств (см. с. 73).

Поскольку средняя арифметическая вычисляется как отношение суммы значений х к их общей численности, то она никогда не выходит за пределы этих значений, а находится между минимальным и максимальным значениями х- При увеличении или уменьшении каждого значения х.

Частоты (веса) вариационного ряда показывают, сколько раз повторяется каждое значение осредняемого признака, положенного в основу группировки. Однако в случае, когда единица измерения признака, положенного в основу группировки, не совпадает с единицами измерения элемента совокупности, частоты вариационного ряда не могут служить весами для определения средней. Примером такого вариационного ряда может служить приведенное в табл. 5.4 распределение 20 фермерских хозяйств по урожайности зерновых (см. графы 1 и 2).

Таблица 5.4

Распределение 20 хозяйств по урожайности зерновых культур Урожайность,

ц/га

Х1 Число

хозяйств

ті Посевная площадь под зерновыми по группам хозяйств, га Валовой сбор зерновых, ц хД. 1 2 3 4 25 4 50 1250 27 5 100 2700 28 8 220 6160 30 3 130 3900 Итого 20 500 14010 При расчете средней урожайности зерновых по всем 20 хозяйствам в качестве весов для средней арифметической взвешенной надо брать не число хозяйств в каждой группе как частоты, а их посевную площадь под зерновыми 5. (см. графу 3 табл. 5.4). Тогда, умножая урожайность на посевную площадь, получим ва-

\

ловой сбор зерновых по группам хозяйств и в целом

(см. графу 4 табл. 5.4), который необходим для расчета средней урожайности зерновых:

?*'?/'' ^ х^< 14010

1_ ХГ = 1^ = 15Г=28'02и/га'

/ /

Рассмотрим еще один пример: распределение предприятий оптовой торговли по объему товарооборота, где одновременно дано и распределение численности работников по этим группам предприятий (табл. 5.5).

Таблица 5.5

Группировка предприятий оптовой торговли по объему оптового товарооборота по состоянию на 1 мая 1995 г. Объем оптового товарооборота за апрель 1995 г., тыс. руб. Число

предприятий Среднесписочная численность работников тыс.

единиц

т; % от общего числа предприятий

V/.

1 тыс.

чел.

Т, % от общей численности работников

Т.

=7—100%

Ът,

/ на одно предприятие, чел.

Т./т, А 1 2 3 4 5 Менее 1 15,620 37,5 69,6 10,5 4 1-25 9,362 22,5 71,4 10,8 8 25-50 3,633 8,7 37,3 5,6 10 50—100 3,618 8,7 52,2 7,9 14 100-200 3,261 7,8 61,9 9,3 19 200-500 3,034 7,3 88,8 13,4 29 Свыше 500 3,100 7,5 283,1 42,5 91 Итого 41,628 100,0 664,3 100,0 16 Для расчета среднего товарооборота, приходящегося на одно предприятие, весами будут служить частоты вариационного

ряда — число предприятии, а вариантами — средние значения интервалов:

_ ^ ^ 0,5 15,62 + 13 9,362 + 37,5 3,633

41,628

/

75-3,618 + 150-3,261 + 350-3,034 + 650-3,1 =

+ 41,628

4238,8285

41 528 >8 тыс.

По данным табл. 5.5 можно рассчитать и средний товарооборот, приходящийся на одного работника, для чего найдем соотношение объема товарооборота и числа работающих:

_ 4238,8285 „„„ „ „ ,

* = = ~шТ~ " 6380’9РУб-/чел-

/

Наряду с этой общей средней для аналитических целей можно найти в каждой группе предприятий объем товарооборота, приходящийся на одного работника, т.е. частные или групповые средние как показатели эффективности для мелких, средних и крупных предприятий.

Для оценки размера предприятий оптовой торговли найдем среднесписочное число работников, приходящееся на одно предприятие: -

664,3

Т= ф— = —= 16 чел./предприятие. 2,

/и(. 41,628 /

Эту общую среднюю можно дополнить групповыми средними (см. графу 5 табл. 5.5).

С помощью средних обобщаются не только абсолютные, но и относительные значения варьирующего признака. Способ расчета средних из относительных величин зависит от того, какие относительные величины обобщаются и какие данные известны. Однако общее определение средней арифметической сохраняет силу и в этом случае. При вычислении таких средних необходи- т.е. чтобы числитель в формуле средней арифмети

ка

ческой был неизменным. В качестве весов при расчете средней арифметической относительного показателя необходимо принять значения того признака, который является знаменателем при определении относительного показателя.

Рассмотрим пример расчета среднего удельного веса женщин в численности экономически активного населения (табл. 5.6).

Таблица 5.6

Распределение по группам численности экономически активного населения России в 2002 г. Млн чел. т> Доля женщин в группе

*1 Численность женщин в группе, млн чел. х,т, А 1 2 3 Экономически активное население:

занятые в экономике 65,766 0,489 32,151 безработные 6,153 0,460 2,831 Всего 71,919 0,486 34,982 Средний удельный вес (доля) женщин в экономически активном населении

_ 0,489-65,766 + 0,46-6,153 34,982 п АО,,

х = — „ „ - = —: = 0,486 (или 48,6%).

65,766 + 6,153 71,919

Средняя доля ближе по значению к доле занятых в экономике, так как они преобладают в экономически активном населении.

2

Числитель средней величины X х.т.

/=1

женщин в обеих группах, т.е. техника расчета средней из относительных величин аналогична технике расчета средней из групповых средних. Отметим, что средняя из относительных величин остается относительной величиной.

Вычисление средней гармонической

Кроме средней арифметической в статистике используется и

п 1

так и взвешенная

средняя гармоническая, как простая х = х =

, где V. — веса для обратных значений х..

Рассмотрим примеры вычисления средней гармонической.

Пример. Найти средний процент изменения объема производства продукции за восемь месяцев 1997 г. на основе представленных в табл. 5.7 данных (графа 3).

Таблица 5.7

Производство минеральных удобрений предприятиями химической промышленности России в 1997 г. Годовая мощность выпуска минеральных удобрений, тыс. т Коли

чество

предпри

ятий Произведено продукции в январе—августе 1997 г. тыс. т

V.

1 % к январю- августу 1996 г. *1 А 1 2 3 Менее 100 6 27 133,7 100-500 11 957 103,5 500-1000 8 1883 92,0 Свыше 1000 2 2020 147,1 Итого 27 4887 7 Рассчитаем средний процент изменения объема выпуска минеральных удобрений по всем предприятиям в январе—августе 1997 г. по сравнению с объемом за аналогичный период предыдущего года. Для этого объем производства в текущем периоде (числитель) нужно сравнить с объемом производства за аналогичный период предыдущего года (знаменатель):

27 + 957 + 1883 + 2020 27

957

0,92

1,471 4887

20,2 + 924,6 + 2046,7 + 1373,2 4364,7

,337 1,035 4887

1883 2020

100 = 112%.

+

Расчет средней величины при имеющихся исходных данных осуществлен по формуле средней гармонической взвешенной.

Если же в табл. 5.7 заменить исходные данные о производстве продукции в январе-августе 1997 г. на данные 1996 г. (табл. 5.8), расчет среднего процента изменения объема выпуска следует осуществлять по формуле средней арифметической.

Таблица 5.8

Производство минеральных удобрений предприятиями химической промышленности России в 1996 г. Годовая мощность выпуска минеральных удобрений, тыс.

чество

предпри

ятий Произведено продукции в январе—августе 1996 г., тыс. т

V, 1997 г.,

% к январю- августу 1996 г. х,- А 1 2 3 Менее 100 6 20,2 133,7 100-500 11 924,6 103,5 500-1000 8 2046,7 92,0 Свыше 1000 2 1373,2 147,1 Итого 27 4364,7 7 Смысл вычислений не изменился: объем выпуска 1997 г. сравнивается с объемом выпуска 1996 г., но для этого нужно найти числитель — объем выпуска продукции за 1997 г. Здесь при осреднении относительных величин весами служат величины из знаменателя, принятые в качестве базы сравнения:

_ = 1,337-20,2 + 1,035-924,6 + 0,92-2046,7 + 1,471-1373,2 = *

20,2 + 924,6 + 2046,7 + 1373,2

27 + 957 + 1883 + 2020 4887 1ПП = 4364~7 = 4364/7 = Ш%'

Выбор вида средней арифметической или гармонической обусловлен наличием исходных данных (какие данные имеются: для числителя или для знаменателя), так как, вычисляя процент выполнения бизнес-плана или процент изменения объема выпуска при сравнении отчетного и базисного периодов, следует сопоставлять фактический выпуск с плановым или с выпуском за прошлый период.

Если известны данные за прошлый (или планируемый) период и процент изменения объема выпуска в отчетном периоде, применяют среднюю арифметическую, для чего следует найти числитель — фактический выпуск.

Если известны фактический выпуск и процент изменения его по сравнению с выпуском за прошлый (базисный) период, применяют среднюю гармоническую, для чего следует найти знаменатель — выпуск за предыдущий период или планируемый.

В общем виде формула средней гармонической взвешенной (обо

значаемой как хгарм) имеет вид V. + V. + ... + V

(5.4) -

1 2

гарм V. К V „ V.

I л. -А- л • « .

X, Х2 Хя , X,

+ I

(5.5)

а формула средней гармонической простой —

Х„

гарм 1

I-1

/ X.. В формуле средней гармонической веса обозначены другой буквой (не т.). В данном случае также необходимо, чтобы средние не только из прямых, но и из обратных значений признака определялись на основе соотношения

Объем варьирующего признака Объем совокупности

Область применения средней гармонической довольно узкая. Ее применяют в тех случаях, когда изучаемые показатели связаны

между собой как х и (например, показатели выхода продукции

на единицу сырья и соответствующие им обратные показатели удельного расхода сырья, материалов, электроэнергии или затраты времени на единицу продукции и выработка продукции в единицу времени).

Пример. Допустим, что шесть рабочих заняты обработкой деталей: Рабочий 1 2 3 4 5 6 Затраты времени на обработку одной детали, мин (ч) 5

0/12) 6

(‘/ю) 10

(1/6) 6

(1/,о) 5

0/12) 6

(1/ю) Определить средние затраты времени на одну деталь. Для этого нужно общие затраты времени всех рабочих разделить на количество деталей. Общие затраты времени шести рабочих (если их время работы один час или одинаковое) можно принять за 6 человекочасов. Количество деталей, обработанных ими за один час, найдем в знаменателе. Средняя гармоническая 1

+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 гарм

1

I1

; X;

1

1/6

1

+

+

[/12

_6_

60

12+10 + 6+10+12+10

1/10

6

+

1

1/10 1/12 1/10

= 0,1ч,

+

1

т.е. на одну деталь затрачивалось в среднем 0,1 ч, или 6 мин.

Среднюю гармоническую взвешенную будем применять при наличии данных о фактически отработанном времени каждым рабочим или группой рабочих.

Такие данные приведены в табл. 5.9. Эта группировка, как и при вычислении средней арифметической, позволяет заменить суммирование одинаковых слагаемых умножением их на веса К..

В нашем примере некоторые рабочие имеют одинаковые затраты времени: трое рабочих по 6 мин, а двое - по 5 мин. Поэтому группировка рабочих по затратам времени получит вид, приведенный в табл. 5.9 (графы А и 1).

Таблица 5.9 Затраты времени на одну деталь, ч х< Число

рабочих Количество деталей, обработанных в течение часа Отработанные в течение 8-часового рабочего дня человекочасы

V, А 1 2 3 1/6 1 6 8 1/10 3 10 24 1/12 2 12 16 Итого 6 48 В графе 2 табл. 5.9 показана выработка деталей в час одним рабочим. Определим средние затраты времени на одну деталь при условии, что рабочие заняты обработкой деталей в течение 8-часового рабочего дня. В графе 3 табл. 5.9 приведены данные о затратах времени группой рабочих в течение рабочего дня, которые и выступают в качестве весов при расчете средней гармонической взвешенной.

На основе данных, приведенных в табл. 5.9, получим

ТУ-

7 ' 8 + 24 + 16 48

= = _8 М і^-щ-О.Іч.илибмин. V

—L + +

і хі 1/6 1/10 1/12

Эта же формула применима для случая, когда продолжительность рабочего дня различна у отдельных категорий рабочих.

Мода

Важнейшей характеристикой центра распределения, кроме средней арифметической, является мода.

Мода — это значение признака, которое чаще всего встречается в вариационном ряду. Во многих случаях эта величина наиболее характерна для ряда распределения и вокруг нее концентрируется большая часть вариантов. При изменении распределения в его концах мода не меняется, т.е. она обладает определенной устойчивостью к вариации признака. Поэтому моду наиболее удобно применять при изучении рядов с неопределенными границами.

Для дискретного ряда мода находится непосредственно по определению. Так, по данным табл. 5.1 исходя из наибольшего значения частоты определяем, что типичное число членов домашних хозяйств — 2 человека. Из 1000 домашних хозяйств 276 состоят всего из 2 человек (276 — максимальная частота ряда, а 2 - значение признака, которое встречается чаще всего).

Для интервального ряда с равными интервалами сначала определяется модальный интервал хк_х — хк, которому соответствует максимальная частота тк или частость ц>к. Значение моды внутри модального интервала определяется по интерполяционной формуле10

т. — т.,

Мо = хк~\ + Ьк~, (5-6)

К (тк - тк_х) + (тк - тк+])

где хк_} - нижняя граница модального интервала;

Нк — длина модального интервала;

тк-1> тк’ тк + \~ частота интервала, соответственно предшествующего модальному, модального и следующего за модальным.

Для ряда с неравными интервалами модальный интервал определяется по наибольшей плотности распределения. Строго говоря, мода — это значение признака, которому соответствует максимальная плотность распределения. Поэтому в формуле моды вместо частот тк_], тк, тк+] следует взять плотности распределения^,,^, ук+г

В табл. 5.3 плотности распределения представлены в графе 7. Наибольшая плотность, равная 6, соответствует интервалу 10—12. Это означает, что чаще всего встречаются банки с активами от 10 до 12 млрд руб. В этом случае значение моды

= 10+2

Мо = хк

Таким образом, наиболее типичный объем активов банков (11,79 млрд руб.) оказался гораздо меньше средней арифметической (45,78 млрд руб.). Это обстоятельство следует учитывать, принимая решение, например, об изменении нормативной (минимальной) величины уставного фонда. Задачи, связанные с отысканием моды, обычно решаются применительно к одновершинным (одномодальным) распределениям.

Графически моду определяют по гистограмме распределения. Для этого выбирают самый высокий прямоугольник, который и является модальным, далее верхнюю правую вершину модального прямоугольника соединяют с верхней правой вершиной предшествующего прямоугольника, а верхнюю левую вершину модального прямоугольника с верхней левой вершиной последующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения этих отрезков и будет модой распределения.

Медиана

В статистическом анализе часто применяют структурные, или порядковые, средние, например медиану.

В отличие от средней арифметической, на которую оказывают влияние все значения хп структурные средние не зависят от крайних значений признака.

Медианой называют такое значение признака, которое приходится на середину ранжированного ряда. Таким образом, в ранжированном ряду распределения одна половина ряда имеет значения признака больше медианы, другая — меньше медианы.

В дискретном ряду медиана находится непосредственно по определению на основе накопленных частот. Для распределения домашних хозяйств (см. табл. 5.1) номер медианы 1000 : 2 = = 500. Накапливаем частоты до тех пор, пока не будет превзойден номер медианы. Так, 223 домашних хозяйства имеют не более одного человека, 223 + 276 = 499 домашних хозяйств — не более 2

человек, а 499 + 238 = 787 домашних хозяйств — не более 3, т.е. 500-е и 501-е домашние хозяйства состоят из 3 человек. Таким образом, медиана данного ряда равна 3.

Ряд с четным числом единиц делит пополам не одна, а две единицы совокупности. Так, в распределении 50 коммерческих банков в середине ряда расположены единицы совокупности под номерами 25 и 26.

'Г 1/Г Х25 *26 21,5 + 20,9

Тогда Ме = = —— =21,2 млрд руб. (см. ранжированные исходные данные на с. 84).

Однако на практике для простоты счета номер медианы

при четном числе членов ряда определяется как либо

А I / /

м+ 1

Номер медианы для рада с нечетным числом членов равен —-—.

В случае интервального вариационного ряда медиану определяют в такой последовательности. Прежде всего находят медианный интервал. Для этой цели используются накопленные частоты (или частости). Соответственно номер медианы равен

-2>(. или

Так, по данным табл. 5.3 номер медианы, рассчитанный на ос-

50 ,

или 50

'юо'

нове накопленных частот, равен 25

\

ходить из частостей.

Далее на основе накопленных частот (см. графу 5 табл. 5.3) определяют, что 25-й банк находится в интервале 20—30. Точное нахождение медианы на данном интервале осуществляется по следующей интерполяционной формуле:

у5>,' -

Ме = х + И.—'? , (5.7)

К I к т

к

где хк_х — нижняя граница медианного интервала;

Нк — длина медианного интервала;

Рк_{ — накопленная частота интервала, предшествующего медианному; тк — частота медианного интервала.

Таким образом,

25 - 24

Ме = 20 + 10 = 21,25 млрд руб.

О

Аналогичный ответ получится, если вместо частот использовать частости.

Номер медианы Л^е = = 50.

Накапливаем частости в графе 6 табл. 5.3 до тех пор, пока не будет превзойден номер медианы, равный 50. Итак, активы 48% банков не превышают 20 млрд руб. Следовательно, 50-я единица, т.е. медиана, находится в интервале 20—30:

IV

2 М>> Рк~\ 50 - 48 Ме = хк Х + !гк—!— = 20+ 10———= 21,25 млрд руб.,

к

где рк ] — накопленная частость интервала, предшествующего медианному; у/к — частость медианного интервала.

Из определения медианы следует, что она не зависит от тех значений признака, которые расположены по обе стороны от нее. В связи с этим медиана является лучшей характеристикой центральной тенденции в тех случаях, когда концы распределений расплывчаты (например, границы крайних интервалов открыты) или в ряду распределения имеются чрезмерно большие или малые значения.

Значение медианы можно использовать, например, для установления официального прожиточного минимума или уровня бедности. В разных странах за прожиточный минимум принимают 40, 50 или 60% медианного дохода.

В интервальном ряду медиану можно определить графически. Медиана рассчитывается по кумуляте (см. рис. 5.3). Для этого из точки на шкале накопленных частот (частостей), соответствующей (или 50%), проводится прямая, параллельная оси ^ /

абсцисс, до пересечения с кумулятой. Затем из точки пересечения указанной прямой с кумулятой опускается перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения и является медианой.