5.2. Ошибки выборочного наблюдения Средняя ошибка

Принцип равных возможностей попадания в выборку каждой единицы генеральной совокупности исключает формирование выборочной совокупности только за счет лучших или худших единиц и появления систематических (тенденциозных) ошибок.

5.2.

291

В то же время выборочная совокупность — это только часть генеральной совокупности, состоящей из единиц с варьирующими признаками. Отсюда обобщающая характеристика генеральной совокупности отличается от соответствующей характеристики выборки на среднюю ошибку Выборки р..

Средняя ошибка выборки показывает, как генеральная средняя (или доля) отклоняется в среднем от выборочной средней (или доли) в ту и другую сторону. Она имеет ту же единицу измерения, что и количественный признак, и представлена коэффициентом, если изучается альтернативный признак. Формула расчета средней ошибки выборки определяется видом исследуемого признака единиц совокупности (количественный или альтернативный) и способом отбора (бесповторный или повторный).

Если признак количественный, а отбор повторный, средняя ошибка выборки исчисляется по средней квадратической простой:

^0"в1ь1б —'

где ав2ь,б — дисперсия признака в выборочной совокупности; п — число единиц в выборке.

Если признак количественный, а отбор бесповторный:

где .V— число единиц в генеральной совокупности. Если признак альтернативный, отбор повторный:

м> -г выборочная доля.

Если признак альтернативный, отбор бесповторный:

Из формул видно, что средняя ошибка выборки зависит от варьи-руемости изучаемого признака, численности отобранных единиц и способа отбора. Бесповторная выборка дает меньшее значение средней ошибки выборки. Сильная варьируемость признака (большая величина ав2ь,б) увеличивает ошибку. Более точные результаты можно по

19*

292

Глава 5. Выборочное наблюдение

лучить при обследовании большего числа единиц п, поэтому среднюю ошибку называют ошибкой репрезентативности (представительства генеральной совокупности в отобранных единицах).

На основании средней ошибки исчисляется предельная ошибка выборки А, с определенной степенью вероятности устанавливающая пределы отклонения генеральной средней (или доли) от выборочной средней (или доли).

Влияние вероятности на пределы отклонения х(р) от х(м>) задается коэффициентом доверия (или кратности ошибки) I В экономических исследованиях наиболее часто применяются следующие значения /:

Вероятность 0,0000 0,0797 0,3829 0,6827 0,8664 0,9545 0,9876 0,9907 0,9973 0,9999 t 0,0 0,1 0,5 1,0 1,5 .2,0 2,5 2,6 3,0 4,0

Значение предельной ошибки выборки с заданной степенью вероятности:

Границы изменения генеральной средней и доли с заданной степенью вероятности:

Для изучения среднего возраста молодых специалистов города проведена 5%-ная случайная бесповторная выборка, в результате группировки первичных данных получено следующее распределение специалистов по возрасту:

Предельная ошибка

А* і Ц*> Аи> і \іп •

х - Ах < х < х + Ах; у-Ан^р^мг + Аы

Возраст, лет

Число специалистов, чел. 5

До 24 24-26 26-28

40

20

28-30

30

30 и больше

5

Итого

100

5.2. Ошибки выборочного наблюдения

293

С вероятностью 0,954 определим:

1) пределы, в которых находится средний возраст всех молодых специалистов города;

2) долю молодых специалистов в возрасте менее 26 лет в общей численности молодых специалистов города.

Определим средний возраст отобранных 100 специалистов по интервальному ряду распределения, построив расчетную таблицу: Возраст, лет X / хГ х—х (х-х)2 (х~х)2/ До 24 (22-24) ' 23 5 115 -4,2 17,64 88,2 24-26 25 20 500 -2,2 4,84 96,8 26-28 27 40 1080 0,2 0,04 1,6 28-30 29 30 870 1,8 3,24 97,2 30 и больше (30-32) 31 5 155 3,8 14,44 72,2 Итого ' •_ 100 2720 ?' — ?'- ? ? _ • 356,0 Х-'

X*/

Х/:

2720 100

= 27,2 года.

Средний возраст отобранных в случайном порядке ста молодых специалистов составляет 27,2 года.

Проверим типичность исчисленной средней для ста специалистов выборочной совокупности.

Овыб —•

Х^-^)2/_ 356__ - 1()0- ?,30.

X/

Среднее квадратическое отклонение:

ствыб = V ав2ыб = V 3,56 =±1,9 года.

Фактический возраст отобранных ста специалистов отклоняется от их среднего возраста, равного 27,2 года, в ту и другую сторону в среднем на 1,9 года.

Коэффициент вариации:

Ри = ^- 100=^- 100 = 7%(<30%).

X 11,1

Средний возраст 27,2 года можно считать типичной обобщающей характеристикой возраста специалистов выборочной совокупности.

294

Глава 5. Выборочное наблюдение

Определим среднюю ошибку выборки (признак количественный, отбор бесповторный, 5% -ный):

: = л/_|_(1-.|) =^^(1-0^=^0Щ4" = ±0,2

года.

Средний возраст всех 2000 (100 : 0,05) молодых специалистов города отклоняется от среднего возраста отобранных 100 специалистов в ту и другую сторону в среднем на 0,2 года.

Для вероятности 0,954 коэффициент доверия I — 2, откуда предельная ошибка выборки:

Л* = /Ц* = ±2 • 0,2 = ±0,4 года.

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний возраст всех молодых специалистов города находится в пределах:

х- Дх<х< х + Ах; 27,2-0,4 <х< 27,2 + 0,4;

26,8лет <.5ё< 27,6года.

Доля молодых специалистов в возрасте менее 26 лет является альтернативным признаком (возраст либо менее 26 лет, либо 26 и более).

5 + 20 25 п «. М! = =-щ = 0,25, или 25%.

В численности отобранных молодых специалистов удельный вес специалистов в возрасте менее 26 лет составляет 25%.

Средняя ошибка выборки (признак альтернативный, отбор бесповторный, 5%-ный):

,. = Л/-^(1-А)=^0,25(1о-0,25)(1_005) =

= ^0,0018 =±0,042, или 4,2%.

Доля молодых специалистов в возрасте менее 26 лет в общей численности молодых специалистов города отклоняется от соответствующей доли в численности отобранных специалистов в ту и другую сторону в среднем на 4,2%.

Для вероятности 0,954 предельная ошибка выборки:

Д„ = гЦн, = ±2 • 0,042 = ±0,084, или 8,4%.

5.3. Расчет необходимой численности выборки

295

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля молодых специалистов в возрасте менее 26 лет в общей численности молодых специалистов города находится в пределах:

Величина средней ошибки выборки ц. зависит от численности единиц выборочной совокупности п. Чем больше отобрано единиц, тем меньше ошибка. В то же время увеличение п приводит к росту затрат на обработку данных или к разрушению большого количества исследуемых единиц. Отсюда важно установить оптимальный объем выборки п исходя из заданного значения предельной ошибки А.

Определение числа единиц выборочной совокупности при повторной выборке.

Если выборка повторная, признак количественный:

м>- А» <р < ц> + А„,; 25-8,45.3. Расчет необходимой численности выборки

Если выборка повторная, признак альтернативный:

Численность единиц бесповторной выборки

Если выборка бесповторная, признак количественный:

Д2 = г2

ав2ыб п) і2 ав2ыб ІУ- і1 ав2ь,б п

296

Глава 5. Выборочное наблюдение

Если выборка бесповторная, признак альтернативный:

Aw=t [L=f\j---(1-д?) ,

Al = t2

w (1 - w) (N-n) t1 w [(1 ~w)N~w(\- w) n] nN nN '

AI nN+11 w (1 - w) n -t2 w (1 - w) N;

AlN+flw(l -w)'

Для проверки массы батонов из партии размером 2000 шт.

Изучается количественный признак — масса батона. При повторной выборке:

;2Ов2ыб_ 32-142 1 76 4 7 ьд П А! (0,03 -500)2 225 /'б4шт' Если выборка бесповторная:

В городе проживает 10 000 семей. С целью определения доли семей, имеющих детей в возрасте до трех лет, необходимо провести выборочное наблюдение. Предварительно установлено, что доля таких семей в выборке должна равняться 25%, а предельная ошибка выборки с вероятностью 0,954 не может превышать 10%.

При повторном отборе и изучении альтернативного признака (возраст либо до трех лет, либо свыше трех лет):

f?leN З2- 142 - 2000 3 528 000

= 7,81 шт.

п =

A2N+t2aL6 152 ? 2000 +? З2 • 142 451 764

п t2w(\-w) _ 22-0,25 (1 -0,25) 0,75

75 семей.

Л2 . (ОД)2 0,01

5.4. Способы отбора единиц из генеральной совокупности

297

п =

Если отбор бесповторный:

22 • 0,25 (1 - 0,25) • 10000

7500

ММ+?\ч(\-у>) (ОД)2 • 10000+ 22 • 0,25 (1 -0,25) 100,75 семьи.

= 74

4 При бесповторной выборке необходимая точность результатов достигается при меньшем объеме выборочной совокупности.