5.6. Моменты распределения. Показатели формы распределения

Моменты распределения

Для подробного описания особенностей распределения используют дополнительные характеристики — моменты распределения, предложенные русским математиком П.Л.

Моментом к-то порядка называют среднюю из к-х степеней отклонений вариантов х от некоторой постоянной величины А:

К*, - А)кт,

К = ' 1М| • (5-45)

/

Порядок момента определяется величиной к. При исчислении моментов в качестве весов можно использовать частоты или частости. В зависимости от выбора постоянной величины А различают начальные, условные и центральные моменты. 1.

Если А = 0, то моменты называются начальными:

мк = -^7—? (5.46)

5>,Ч

5>,-

/

При к = 0 получаем начальный момент нулевого порядка

5»,

М0 = -(= = 1;

/

при к = 1 — начальный момент первого порядка

5>,«,

Мх = -(= = х.

1ёт.1

/

Примечание. Согласно определению начальный момент первого порядка есть средняя арифметическая;

при к = 2 — начальный момент второго порядка

2>;Ч —

м2 = -*= = X2

2>,

/

И т.д.

Практически используют моменты первых четырех порядков. 2.

Если /1 равно не нулю, а некоторой произвольной величине х(] (начало отсчета), то моменты называются начальными относительно х0 или условными:

ХЦ - »о)*"1/

= 1 2>, ? (5'47)

/

С их помощью упрощают вычисления основных характеристик.

При к = 0 получаем начальный момент относительно х0 нулевого порядка

?(х; - х0)°т;

М'й = ^ = 1;

I

при к = 1 — первого порядка

Х(х. - х0)от(. Хху-/и(. Хх0т; х02>.

— “X — = г — X

1>, 2>, 1«, 1/я,

/ / / /

И т.д.

Из последней формулы вытекает, что х = М[ + х0, т.е. средняя арифметическая равна условному моменту первого порядка плюс начало отсчета.

Если отклонения (х(. — х0) имеют общий множитель с, то на него можно разделить отклонения, а по окончании вычислений полученный момент умножить на этот множитель в соответствующей степени.

\1

т.

I

м; = -1А.

I>,.

/

Отсюда следует, что х = М'с + х0. Вычисление средней методом отсчета от условного нуля иногда называют методом моментов.

Практически начальные моменты относительно х() определяют следующим образом: •

из всех вариантов вычитают начало отсчета и находят отклонения (х(. - х0);

г „ */ - хо _ г,. •

делят эти отклонения на общим множитель: — х ,

с •

вычисляют начальные моменты относительно х'; •

умножают найденные начальные моменты на с.

В результате такого умножения получают искомые начальные моменты относительно х0.

3.

Если за постоянную величину А принять среднюю (т.е. А = х), то моменты называются центральными и обозначаются

(5.48)

Центральный момент нулевого порядка равен 1:

/

= х — х = 0;

центральный момент первого порядка равен 0:

2>; I>; 1>,

центральный момент второго порядка равен дисперсии:

центральный момент третьего порядка

Показатели формы распределения

Центральный момент третьего порядка используется при исчислении показателя асимметрии распределения. Для того чтобы показатель асимметрии не зависел от масштаба, выбранного при измерении варианта, вводят безразмерную характеристику - коэффициент асимметрии (нормированный момент третьего порядка):

(5.49)

При симметричном распределении варианты, равноудаленные от х, имеют одинаковую частоту, поэтому |13 = 0, а следовательно, и г3 = 0. Если г3 < 0, то в вариационном ряду преобладают (имеют большую частоту) варианты, которые меньше, чем средняя, т.е. ряд отрицательно асимметричен (или с левосторонней скошенностью - более длинная ветвь влево). Положительная асимметрия (правосторонняя скошенность — более длинная ветвь вправо) характеризуется значением г3 > 0 (рис. 5.6).

Рис. 5.6.

В качестве показателя асимметрии применяется и коэффициент асимметрии Пирсона, представляющий собой отношение разности между средней арифметической и модой к среднему квадратическому отклонению:

А - (5.50)

а

Если Ая > 0, скошенность правосторонняя (как и для г3); если Ая < 0, скошенность левосторонняя; если Ау = 0, вариационный ряд симметричен.

Для характеристики крутизны распределения используется центральный момент четвертого порядка

Для образования безразмерной характеристики определяется отношение = гА (нормированный момент четвертого порядка).

о

Данное отношение и характеризует крутизну (заостренность) графика распределения.

При измерении асимметрии эталоном служит симметричное распределение, для которого г3 = 0.

гт 1~*'4 т

Для нормального распределения — = 3, поэтому для оценки

ст

крутизны данного распределения в сравнении с нормальным вычисляется эксцесс распределения (рис. 5.7):

(5.51)

у

х

о

Рис. 5.7. Эксцесс распределения Пример. По данным табл. 5.1 найти коэффициент асимметрии и нормированные моменты третьего и четвертого порядков.

Необходимые для расчета нормированных моментов величины приведены в табл. 5.16.

Таблица 5.16

Расчет нормированных моментов Х1 т, х.т. 1 1 X,. -X [х, - 4т, {х, - х)3ті А 1 2 3 4 5 6 1 223 223 -1,669 621,180 -1036,7 1730,3 2 276 552 -0,669 123,527 -82,6 55,3 3 238 714 0,331 26,076 8,6 2,8 4 170 680 1,331 301,165 400,8 533,5 5 58 290 2,331 315,146 734,6 1712,4 6 35 210 3,331 388,345 1293,6 4309,0 ъ 1000 2669 - 1775,439 1318,3 8343,3 Сначала найдем среднюю арифметическую:

_ 2669

^ 1^-“Тооо ?2’669,ел'

/

Далее найдем среднее квадратическое отклонение (стандарт) (см. графу 4 табл. 5.16):

Х(х. -х)1т1

= Г^39 = л/і ,775439 = 1,33.

1

5>. V юоо

Центральный момент третьего порядка (см. графу 5 табл. 5.16)

?(*/ - *)Ч В18 3 *

= —= 1Ш- = и183’

І

а нормированный момент третьего порядка

Коэффициент асимметрии Пирсона

?-М, = 2,669 -2 а 1,33

(мода была найдена ранее в параграфе 5.2).

В данном случае асимметрия заметная и скошенность правосторонняя.

Найдем центральный момент четвертого порядка (см. графу 6 табл. 5.16):

У(х. — х) т. „

? ' ' > 1 8343 3

= — = Ж^8’343’

і

а также нормированный момент четвертого порядка _ ц4 8,343

= 2,666.

о4 1,334

Эксцесс распределения

Ех = г4 - 3 = 2,666 - 3 = -0,334.

Так как Ех < 0, распределение низковершинное.