7.5. МАЛЫЕ ВЫБОРКИ

Как уже указывалось, для определенного способа отбора единиц величина стандартной ошибки зависит от объема выборки и степени колеблемости изучаемого признака в генеральной совокупности. Причем чем меньше объем выборки, тем большую величину стандартной ошибки следует ожидать, а это в свою очередь снижает точность оценки параметров генеральной совокупности.

143

выборках небольшого объема величина выборочной дисперсии, используемой в качестве оценки дисперсии генеральной совокупности,- может быть в значительной мере подвержена влиянию случайностей выборки. Поэтому при выборках небольшого объема методы оценки результатов выборочного наблюдения видоизменяются в сравнении с применяемыми в теории больших выборок. (К безусловно малым относятся выборки объемом менее тридцати единиц.)1

Для оценки возможных пределов ошибки малой выборки пользуются так называемым отношением Стьюдента:

X — X

t=

s:

?.yn-l

Знаменатель приведенной формулы 'представляет собой меру случайных колебаний выборочной средней в малой выборке:

ц.м.в — — . yn-i

где s — величина среднего квадрэтического отклонения для данной выборки s= у Чх-i—*)2.не рассматриваемая как оценка гене-* п

ральной дисперсии. 'Таким образом, теоретическое распределение отношения Стьюдента t имеет дело с величинами, определяемыми непосредственно по данным выборки.

Закон распределения величины t носит название «Закон распределения Стьюдента», согласно которому плотность распределения ошибок малой выборки [эщ)] равна:

(р. \ - ft+i , ,+Х) 2

где k — число степеней свободы варьирования при определении выборочной дисперсии, равное п— 1; А — определяется в зависимости от числа степеней свободы k с помощью гамма-функции (Г-функции)

А = .

га

(T)v«*

г

Вероятность того, что ошибка выборки будет не" больше заданной величины ?ц.м.в, определяется интегральной функцией

Следует учитывать, что распределение Стьюдента приложимо только к оценке ошибок выборок, взятых из генеральной совокупности с нормальным распределением (признака.

Кривая ^-распределения симметрична относительно оси ординат. Как видно из приводимой функции, плотности ординаты кривой распределения Стьюдента зависят не только от /, но и от числа степеней свободы k. Для больших значений k (больших 30) кривая Sft(t) очень близка ж кривой нормального распределения. Но при малом числе степеней свободы она значительно отклоняется от кривой нормального распределения, медленнее спускаясь к оси абсцисс (рис. 7.2), а это означает, что большие отклонения от средней имеют здесь большую вероятность, чем для нормального распределения. Следовательно, вероятность больших ошибок в малой выборке больше, чем при больших выборках.

Составленные таблицы распределения Стьюдента облегчают применение отношения t на практике. Приведем выдержку из таблицы вероятностей Sk(t) для некоторых значений k и t (табл. 7.7).

Рис. 7.2. 1 — кривая распределения Стьюдента; 2—кривая нормального распределения

Таблица 7.7 4 5 9 ю 15 20 25 Нормальное распределение 1,0 2,0 3,0 0,813 0,942 0,980 • 0,818 0,949 0,985 0,828 0,962 0,992 0,830 0,963 0,993 0,833 0,968 0,995 0,835 0,970 0,996 0,838 0,973 0,997 0,841 0,977 0,999 Приведенная таблица показывает вероятность того, что фактическое отношение Стьюдента tф в условиях случайной выборки будет не больше приведенного в таблице, т. е. P(tР(*ф< И ) =5Й(0- [1 -ЗД =25ад- 1. Например, при k = 20 вероятность того, что предельная ошибка выборки будет не более Зц, равна 0,996 (см. табл. 7.7). Вероятность того, что ошибка, заключенная в пределах ±3ц., будет равна 2-0,996—1=0,992. Таблицу вероятностей Стьюдента часто излагают в краткой удобной для практического использования форме: для каждого числа степеней свободы k указывают величину отношения Стьюдента t, которая с заданной вероятностью (0,95 или

10. Заказ 4789 . 145

0,99) не будет превышена по абсолютной величине в силу случайностей отбора. Представим выдержку из таблицы значений отношения Стьюдента t (табл. 7.8).

Таблица 7.8 \ р к \ 0,95 0,99 0,997 N\ р k \ 0,95 0,99 0,997 4 2,776 4,604 6,435 20 2,086 2,845 Я 37fi 9 2,262 3,250 4,024 24 2,064 2,797 u,OIU

3 309 14 2,145 • 2,977 3,583 28 2,048 2,763 3,250 Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение распределения Стьюдента: по 15 партиям деталей была установлена величина среднего времени межоперационных перерывов между двумя смежными операциями технологического процесса, равных соответственно 1,47; 0,76; 0,61; 1,26; 0,60; 0,57; 1,37; 0,69; 0,52; 0,61; 0,50; 0,37; 0,47; 0,36; 0,32 ч.

Выборочная средняя величина времени межоперационных перерывов составляет дг=0,70 ч, а выборочная дисперсия s2=0,l 14: '

Средняя квадратическая ошибка выборки составит 0,09 ч:

По таблице &=14 и вероятности 0,99 соответствует t=2,977. Таким образом можно предполагать, что ошибка выборочной средней будет не больше 0,268 ч (2,977X0,09) с вероятностью 0,99.

Можно поставить другой вопрос: какова вероятность того, что величина среднего времени межоперационных перерывов обрабатываемых на участке партий не выйдет за 1 ч?

Исходя из того, что предел расхождений между выборочной и

генеральной средней составляет 0,3 ч (Аг=]х— х| = |0,7—1,0|),

Д7 0,3

определим величину /ф: f= —^ = Q ш =3,33.

По таблице распределения Стьюдента 5вд находим, что при k— 14 значению /$=3,33 соответствует вероятность 0,906.