5.8. Критерии согласия

Так как все предположения о характере того или иного распределения — это гипотезы, а не категорические утверждения, то они, естественно, должны быть подвергнуты статистической проверке с помощью так называемых критериев согласия.

о характере распределения в эмпирическом ряду и дать ответ, можно ли принять для данного эмпирического распределения модель, выраженную некоторым теоретическим законом распределения.

Существует ряд критериев согласия. Чаще других применяют критерии Пирсона, Романовского и Колмогорова. Рассмотрим их.

Критерий согласия Пирсона %2 (хи-квадрат) — один из основных критериев согласия. Критерий предложен английским математиком Карлом Пирсоном (1857—1936) для оценки случайности (существенности) расхождений между частотами эмпирического и теоретического распределений. Критерий Пирсона где к

ті

т'

число групп, на которые разбито эмпирическое распределение;

наблюдаемая частота признака в і-й группе; теоретическая частота, рассчитанная по предполагаемому распределению. Для распределения у} составлены таблицы, где указано критическое значение критерия согласия %2 для выбранного уровня значимости а и данного числа степеней свободы V (см. Приложение 4).

Уровень значимости а — вероятность ошибочного отклонения выдвинутой гипотезы, т.е. вероятность того, что будет отвергнута правильная гипотеза. В статистических исследованиях в зависимости от важности и ответственности решаемых задач пользуются следующими тремя уровнями значимости: 1)

а = 0,10, тогда Р = 0,90; 2)

а = 0,05, тогда Р = 0,95; 3)

а = 0,01, тогда Р = 0,99.

Например, вероятность 0,01 означает, что в одном случае из 100 может быть отвергнута правильная гипотеза.

Кроме того, %2-критерий, определяемый по таблице, зависит и от числа степеней свободы. Число степеней свободы V определяется как число групп в ряду распределения к минус число связей с V

= к - г.

о,

Под числом связей понимается число показателей эмпирического ряда, использованных при исчислении теоретических частот, т.е. показателей, связывающих эмпирические и теоретичес- / л

кие частоты

Так, в случае выравнивания по кривой нормального распределения имеется три связи:

х ~ х' ' СУ = а' * х Ш = У

ЭМП теор’ ЭМП ТеОр> ^ 1ЭМП ^ /теор*

/ /

Поэтому при выравнивании по кривой нормального распределения число степеней свободы определяется как V = к — 3, где к — число групп в ряду.

В случае выравнивания по кривой Пуассона V = к — 2, так как при построении частот используются две ограничивающие связи: х, 1тг /

Для оценки существенности расчетное значение %2расч сравнивается с табличным %2табл.

При полном совпадении теоретического и эмпирического распределений %2 = 0, в противном случае %2 > 0.

Если Храсч > Xтабл’ Т0 ПРИ заданном уровне значимости а и числе степеней свободы V гипотезу о несущественности (случайности) расхождений отклоняем.

В случае если %2асч ^ Х2табЛ’ заключаем, что эмпирический ряд хорошо согласуется с гипотезой о предполагаемом распределении и с вероятностью (1 — а) можно утверждать, что расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами случайно.

Используя критерий согласия ?2, необходимо соблюдать следующие условия: 1)

объем исследуемой совокупности должен быть достаточно большим (УУ> 50), при этом частота или численность каждой группы должна быть не менее 5. Если это условие нарушается, необходимо предварительно объединить маленькие частоты; 2)

эмпирическое распределение должно состоять из данных, полученных в результате случайного отбора, т.е.

Если в эмпирическом ряду распределение задано частостями / \ т.

w:

то у} следует исчислять по формуле

2>(. -

«О1

W

Критерий Романовского Кр основан на использовании критерия Пирсона %2, т.е. уже найденных значений %2, и числа степеней свободы v:

К = I*2 ~V1

V2v '

Он весьма удобен при отсутствии таблиц для %2.

Если Кр < 3, то расхождения между теоретическим и эмпирическим распределением случайны, если же К? > 3, то не случайны

и, соответственно, теоретическое распределение не может служить моделью для изучаемого эмпирического распределения.

Критерий Колмогорова X основан на определении максимального расхождения между накопленными частотами или частостями эмпирических и теоретических распределений:

X = -2= или X = , iN

где Dud— соответственно максимальная разность между накопленными частотами (F — F') и между накоплен-

ными частостями (р — р') эмпирического и теоретического рядов распределений;

N — число единиц в совокупности.

Рассчитав значение X, по таблице Р(к) (см. Приложение 6) определяют вероятность, с которой можно утверждать, что отклонения эмпирических частот от теоретических случайны. Вероятность Р(к) может изменяться от 0 до 1. При Р(к) = 1 происходит полное совпадение частот, при Р(к) = 0 — полное расхождение. Если А, принимает значения до 0,3, то Р(к) = 1.

Основное условие для использования критерия Колмогорова — достаточно большое число наблюдений.

Пример. Используя данные табл. 5.17, проверить правильность выдвинутой гипотезы о распределении призывников района по закону нормального распределения. Величины, необходимые для расчета критериев согласия, приведены в табл. 5.19.

Таблица 5.19

Расчет величин для определения критериев согласия Пирсона х2 и Колмогорова X Рост, см Частоты ряда распределения (/п - т')2 т' F F' к- р,\ т т' А 1 2 3 4 5 6 156-160 8 5 1,8 8 5 3 161-165 17 16 0,1 25 21 4 166-170 42 40 0,1 67 61 6 171-175 54 65 1,9 121 126 5 176-180 73 73 0 194 199 5 181-185 57 57 0 251 256 5 186-190 38 30 2,1 289 286 3 191-195 11 11 0 300 297 3 X 300 297 6,0 Сначала рассчитаем критерий Пирсона

2

2 = (т-т')

Л-расч >

т

Затем выберем уровень значимости а = 0,05 и определим число степеней свободы V.

Так как %2расч < Х2абл, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что в основе эмпирического распределения призывников по росту лежит закон нормального распределения, т.е. выдвинутая гипотеза не отвергается, а расхождения объясняются случайными факторами.

Проверим выдвинутую гипотезу, используя критерий Романовского:

I X2 - V I 16,0 — 5 I 1

кр = ] Г=^ = 1 = ——г = 0,3.

р 3,16

Так как Кр < 3, гипотеза не отвергается.

Критерий Романовского также подтверждает, что расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами несущественны.

Рассмотрим теперь применение критерия Колмогорова А,. Как видно из табл. 5.19, максимальная разность между кумулятивными частотами равна 6, т.е. Б = шах!/1— Р'\ = 6. Следовательно, критерий Колмогорова

X = -?= = = 0,35.

л/ЛГ л/300

По таблице Приложения 6 находим значение вероятности при X = 0,35: Р(Х) = 0,9997. Это означает, что с вероятностью, близкой к единице, можно утверждать, что гипотеза о нормальном распределении не отвергается, а расхождения эмпирического и теоретического распределений носят случайный характер.

Теперь, подтвердив правильность выдвинутой гипотезы с помощью известных критериев согласия, можно использовать результаты распределения для практической деятельности.

Пример. Используя данные табл. 5.18, проверить гипотезу о подчинении распределения числа неисправностей в автомобилях закону Пуассона.

Исходные данные и расчет величин, необходимых для определения критериев согласия, приведены в табл. 5.20.

Подсчитаем величину %2: 2

(/я - т’)2

Дфасч ^ / 9

т

(см. табл. 5.20). х< т т' (т — т')2 т' F F’ | F — F | А 1 2 3 4 5 6 0 215 220 0,11 215 220 5 1 135 132 0,07 350 352 2 2 38 39 0,03 388 391 3 3 8 8 0 396 399 3 4 3 1 4 399 400 1 5 1 0 0 400 400 0 Z 400 400 4,21 При уровне значимости а = 0,05 и числе степеней свободы v = 6 - 2 = 4

Хтабл = 9>49

(см. Приложение 4).

Поскольку %2расч < Х^абл’ можно сделать вывод о том, что расхождения эмпирических и теоретических частот случайны.

Таким образом, выдвинутая гипотеза о распределении числа неисправностей в автомобилях по закону Пуассона не отвергается.

Критерий Романовского также подтверждает выдвинутую гипотезу: