<<
>>

8.8. Корреляция рядов динамики

Во многих экономических исследованиях приходится изучать динамику нескольких показателей одновременно, т.е. рассматривать параллельно несколько динамических рядов. Естественно, что в этих случаях можно встретить ряды, у которых колебания уровней взаимообусловлены.

Например, динамика рыночных цен на какую-либо продукцию земледелия в известной степени связана с динамикой урожайности данной культуры. В свою очередь, динамика урожайности или валовых сборов зависит от динамики количества осадков. Динамика перевозок грузов определенным образом зависит от динамики производства промышленной и сельскохозяйственной продукции и т.п. При изучении таких рядов динамики, естественно, возникает необходимость измерить зависимость между ними, вернее, определить, насколько изменения уровней одного ряда зависят от изменения уровней другого ряда. Эта задача решается обычно путем коррелирования рядов динамики, т.е. путем исчисления коэффициента корреляции между уровнями двух рядов:

Х*ХУ а»2

(ХУ)2

X*2 -

ху — XV г = или г

о а

х у

Однако при этом возникает следующая проблема. Если показатели ряда х и ряда у рассматривать как функцию времени, т.е. х = /(/) и у =/(?), то при однонаправленности их трендов можно получить большое значение коэффициента корреляции между х я у даже тогда, когда они независимы, именно в силу однонаправленности их изменения.

Поэтому, прежде чем коррелировать ряды динамики, необходимо установить, возможна ли связь между исследуемыми показателями х и у. Ответ на этот вопрос дает логический (качественный) анализ.

Кроме того, одно из условий корреляции — независимость отдельных значений переменных множества х, так же как и множества у. Для рядов динамики это равнозначно отсутствию автокорреляции между уровнями ряда, т.е. коррелировать уровни рядов динамики можно лишь в том случае, если в каждом из них отсутствует автокорреляция.

Следовательно, прежде чем коррелировать уровни рядов динамики, необходимо проверить каждый ряд на автокорреляцию [по формуле (8.25)].

Коррелирование уровней рядов динамики

Как установить, возможна ли корреляция уровней двух рядов динамики? Рассмотрим конкретный пример.

Пример. Пусть имеются следующие данные по одному из регионов за 5 лет (табл. 8.32).

По логике расход кормов на одну голову скота, несомненно, влияет на продукцию выращивания скота (его прирост, привес). Поставим задачу измерить тесноту этой связи. Однако прежде чем коррелировать уровни, проверим каждый ряд на автокорреляцию. Расход кормов и продукция выращивания скота в расчете на одну условную голову крупного рогатого скота, кг Год 1998 1999 2000 2001 2002 Расход кормов (кормовых единиц) х 30,4 30,3 28,8 29,3 30,2 Продукция выращивания скота у 118 111 102 103 95

Сначала рассмотрим ряд показателей х — расход кормов. Все расчеты по нему приведены в табл. 8.33.

Таблица 8.33

Расчет величин для проверки наличия автокорреляции в ряду х Год х, х,х,-\ А 1998 30,4 (30,2) 918,08 924,16 1999 30,3 30,4 921,12 918,09 2000 28,8 30,3 872,64 829,44 2001 29,3 28,8 843,84 858,49 2002 30,2 29,3 884,86 912,04 2 149,0 149,0 4440,54 4442,22 Среднее значение уровней - _

149

"Т = 29,1

Подставляя рассчитанные показатели в формулу (8.25), получаем 2

= 0,168.

г. —

4442,22-5-29,?

?-я(*,)2 = 4440,54-5-29,1 5>2-л(х,)2

По таблице Приложения 7 определяем предельное (критическое) значение коэффициента автокорреляции для п = 5 и а = 0,05. Оно равно 0,253. Так как рассчитанный нами г& = 0,168 меньше табличного, делаем вывод об отсутствии автокорреляции между уровнями в ряду X.

Аналогичные выводы получим и для уровней ряда у. (Расчеты в целях экономии места опускаем.)

Следовательно, в примере, приведенном в табл. 8.32, можно коррелировать уровни рядов х и у.

Расчет величин, необходимых для исчисления линейного коэффициента корреляции между х и у, показан в табл.

8.34.

Таблица 8.34

Расчет величин для определения коэффициента корреляции между х и у Год X У х2 ху у2 1998 30,4 118 924,16 3587,2 13924 1999 30,3 111 918,09 3363,3 12321 2000 28,8 102 829,44 2937,6 10404 2001 29,3 103 858,49 3017,9 10609 2002 30,2 95 912,04 2869,0 9025 ? 149 529 4442,22 15775,0 56283 Воспользовавшись полученными в табл. 8.34 суммами, рассчитаем линейный коэффициент корреляции между х и у по следующей формуле:

5>- 5>2-

(2>)2 2

(1У)2

5У- 15775-

149-529 0,43. 149

529

56283?

4442,22-

Полученное значение коэффициента корреляции (0,43) характеризует среднюю тесноту связи между изменением продукции выращивания скота у и расходом кормов на одну голову х.

Исключение автокорреляции в рядах динамики

Если между уровнями ряда (при корреляции рядов динамики) существует автокорреляция, она должна быть устранена.

Есть несколько способов исключения автокорреляции в рядах динамики. Рассмотрим два из них: коррелирование отклонений от выравненных уровней и коррелирование последовательных разностей. 1.

Коррелирование отклонений от выравненных уровней. Один из способов исключения автокорреляции заключается в том, что коррелируются не сами уровни, а отклонения фактических уровней от выравненных, отражающих тренд, т.е. коррелируются остаточные величины. Для этого каждый ряд динамики выравнивают по определенной характерной для него аналитической формуле (т.е. находят х, и уг), затем из эмпирических уровней вычитают выравненные (т.е. находят с!х = х — х, и с1у = у — у,) и определяют тесноту связи между отклонениями с1_ и с1. Формулу

Л. у

г =

коэффициента корреляции между остаточными величинами можно записать в следующем виде:

(8.29)

Рассмотрим измерение тесноты связи между остаточными величинами на конкретном примере.

Пример. Предположим, по одному из районов имеются данные о поголовье коров х и производстве молока у за 10 лет (табл. 8.35). Измерить корреляцию между изменением уровней в двух рядах X и у.

Рассчитаем линейный коэффициент корреляции между уровнями х и у по формуле

ху - ху

г

ху

Он равен 0,95.

Однако можно предположить, что такое большое значение г обусловлено тем, что оба ряда имеют однонаправленный тренд.

Проверяем уровни каждого ряда на автокорреляцию и убеждаемся, что она присутствует и в одном, и в другом ряду. Поэтому коэффициент корреляции между хну, равный 0,95, явно преувеличен и не может рассматриваться как показатель тесноты связи между колебаниями уровней двух рядов. Следовательно, надо исключить автокорреляцию в каждом ряду.

Чтобы исключить влияние автокорреляции в каждом ряду, выровняем и один и второй ряд по уравнению прямой. Не приводя расчеты параметров, запишем уравнение тренда для каждого ряда при условии отсчета времени от середины ряда (для 1998 г. / = —1, для 1999 г. / = 1):

X, =4,51 + 0,07/ , у, = 12,2 + 0,22/.

Подставляя в каждое уравнение значения / = —9, —7, —5, ..., получаем выравненные значения х( и Эти значения приведены в табл. 8.35. Там же показаны отклонения фактических уровней от выравненных (с точностью до десятых) и расчет величин, необходимых для исчисления коэффициента корреляции между (1 и (1.

х у Год Пого

ловье

коров,

тыс.

голов

X Производство молока, тыс. т У Выравненные значения Остаточные

величины

Е, < d2

У d*dy Л ** =

= X - X, II

^ " 1994 4,0 10,0 3,9 10,2 0,1 -0,2 0,01 0,04 -0,02 1995 4,0 10,2 4,0 10,7 0 -0,5 0 0,25 0 1996 4,2 11,5 4,2 11,1 0 0,4 0 0,16 0 1997 4,3 11,8 4,3 11,5 0 0,3 0 0,09 0 1998 4,4 12,0 4,4 12,0 0 0 0 0 0 1999 4,5 12,6 4,6 12,4 -0,1 0,2 0,01 0,04 -0,02 2000 4,6 12,8 4,7 12,9 -0,1 -0,1 0,01 0,01 0,01 2001 4,8 13,1 4,9 13,3 -0,1 -0,2 0,01 0,04 0,02 2002 5,0 13,6 5,0 13,7 0 -0,1 0 0,01 0 2003 5,3 14,4 5,1 14,2 0,2 0,2 0,04 0,04 0,04 Е 45,1 122,0 45,1 122,0 0 0 0,08 0,68 0,03 Примечание. Чтобы различать остаточные величины е( для разных рядов, приняты обозначения dxwdy.

Находим коэффициент корреляции между остаточными величинами dud:

, - ^ . о,ш.

Л 68

Судя по значению рассчитанного коэффициента корреляции, можно сказать, что зависимость между коррелируемыми величинами незначительна (в исследуемом периоде).

При исчислении коэффициента корреляции между остаточными величинами предполагается, что отклонения фактических уровней от выравненных (т.е. dx и dy) являются случайными величинами, не зависящими от времени, т.е.

что между ними отсутствует автокорреляция. Однако, если недостаточно точно подобрано уравнение тренда или по другим причинам, остаточные величины могут содержать автокорреляцию. Поэтому, прежде чем коррелировать отклонения dx и d , необходимо убедиться, что между этими остаточными величинами автокорреляция отсутствует. В целях проверки используют коэффициент автокорреляции для рядов с нулевым значением среднего уровня Гя или критерии Дурбина — Ватсона ё\ \2

?'г-1-

ХеЛ-1 1=2 , 1=2 г = — , а = 1г2 1е

(=1 !=\

В рассмотренном примере проверка с1х и ё на автокорреляцию показала, что в каждом из них автокорреляция отсутствует. Поэтому вполне правомерно их коррелировать. 2.

Коррелирование последовательных разностей. Исключить влияние тренда при коррелировании рядов динамики можно и другим способом, в частности путем корреляции последовательных разностей уровней каждого ряда. Алгебраически легко показать, что при переходе от уровней к их разностям исключается влияние общей тенденции на колеблемость.

Если исходить из того, что каждый фактический уровень — это результат влияния главной тенденции (тренда) и случайных остаточных факторов, т.е. у = у, + е, где уг — выравненное значение, определяющее тренд, ав(- отклонение фактического уровня от выравненного значения, то при изменении ряда по прямой у, = а0 + а,/, обозначая последовательно моменты времени через ? = 1, 2, 3, ..., можно записать:

для / = 1 у, = а0 + а, + е,;

1=2 у2 = а0 + 2а, + е2;

Г = 3 у3 = а0 + За, + е3;

? = 4 у4 = а0 + 4а, + е4 и т.д.

Найдем первые разности уровней:

А, у2 у^ а, + (&2 ?|),

А2 = Уз “ У2 = а\ + (?3 - ?2);

А3 = У4 - Уз = а\ + (е4 “ ез) И Т-Д'

Так как во всех этих разностях присутствует одна и та же постоянная величина а,, то очевидно, что колебания рассчитанных разностей Д зависят только от ег, т.е. влияние общей тенденции (тренда) механически исключается.

Если уровни ряда изменяются по параболе 2-го порядка, т.е.

если у( = а0 + а,? + а2?2, то получим:

для ? = 1 у, = а0 + а, + а2 + ?,;

? = 2 у2 = а0 + 2а, + 4а2 + е2;

/ = 3 у3 = а0 + За, + 9 а2 + е3;

/ = 4 = а0 + 4а, + 16а2 + е4 и т.д.

Найдем первые разности уровней:

= У2 ~ У\ = а\ + За2 + (е2 _

А2 = Уз - У2 = а\ + 5а2 + (ез “ ггУ’

Аз = У4 ~ У3 = «і + 7а2 + (е4 - е3) и т.д.

Как видно, первые разности содержат кроме постоянного а, еще и переменные слагаемые: За2, 5а2, 1аг и (е2 — е,), (е3 — е2), (е4 - е3) и т.д.

Для того чтобы устранить влияние общей тенденции, на основе первых разностей рассчитаем вторые разности:

А" = Д2 — А' = 2а2 + (є3 - 2є2 + є1);

А" = А' — А' = 2а2 + (є4 — 2є3 + е2) и т.д.

Как видно из расчетов, различие вторых разностей определяется только е , так как 2а2 — величина постоянная во всех вторых разностях.

Таким образом, если возникает необходимость определить корреляцию между двумя рядами с исключением влияния общей тенденции в каждом ряду, можно коррелировать последовательные разности уровней:

при изменении уровней по прямой — первые разности; при изменении по параболе 2-го порядка — вторые разности;

при изменении по параболе «-го порядка — л-е разности. Формула коэффициента корреляции разностей по аналогии с формулой (8.29) имеет вид Л

(8.30) Пример. Требуется рассчитать коэффициент корреляции между последовательными разностями по данным о количестве внесенных минеральных удобрений на 1 га под зерновыми культурами и об урожайности зерновых культур в хозяйствах России за 1992—1996 гг. Исходные данные и расчет необходимых показателей приведены в табл. 8.36.

Подставляя в формулу (8.30) итоговые показатели, полученные в табл. 8.36, имеем

г. Год Внесено удобрений на 1 га, кг

X Урожай

ность

зерновых,

ц/га

У II

1 * -Я II

1 = У~У;-1 А2, А2 А Д

ху 1992 52 17,2 — — — — — 1993 46 16,3 -6 -0,9 36 0,81 5,4 1994 24 14,4 -22 -1,9 484 3,61 41,8 1995 16 11,6 -8 -2,8 64 7,84 22,4 1996 17 12,9 1 1,3 1 1,69 1,3 Е 585 13,95 70,9 Рассчитанное значение гА д свидетельствует о сильном влиянии изменения количества вносимых удобрений на изменение урожайности зерновых. (Кстати, и в ряду х, и в ряду у автокорреляция отсутствует, т.е. можно было коррелировать сами уровни, а не их разности. Линейный коэффициент корреляции между уровнями х и у равен 0,96, т.е. г = 0,96.)

ху

Корреляция рядов с лагом

Изучая корреляцию между рядами динамики, следует иметь в виду, что во многих случаях изменения уровней одного ряда могут вызвать изменение уровней другого ряда только через определенный интервал времени. Например, увеличение (или снижение) производства многих товаров в данном периоде вызовет увеличение (или снижение) объема товарооборота через определенный промежуток времени, увеличение числа браков в данном году может привести к увеличению числа родившихся через год и т.д.

Поэтому, чтобы правильно оценить влияние изменения уровней одного ряда на другой, необходимо сдвигать один ряд относительно другого на определенный промежуток времени (лаг) и коррелировать ряды с лагом. Предварительный логический анализ должен помочь исследователю определить этот лаг.

Скользящие коэффициенты корреляции

Коэффициент корреляции, отражающий тесноту связи (зависимости) между изменениями уровней двух рядов, служит своего рода средним, обобщающим показателем для конкретного периода.

Однако для длительного периода эта зависимость не является постоянной, она может меняться во времени. Поэтому, чтобы судить о том, в какие периоды зависимость между изменениями уровней двух рядов слабее или сильнее, рекомендуется рассчитывать серию скользящих коэффициентов корреляции для определенного интервала (по аналогии с расчетом скользящей средней при выравнивании динамических рядов). На основе расчета скользящих коэффициентов корреляции можно выявить те периоды, когда зависимость усиливается или уменьшается. Зная такие периоды, легче объяснить изменение этой зависимости в конкретных условиях (экономических или др.) отмеченного периода.

Определение уравнения регрессии для связанных рядов динамики

Ряды динамики, уровни которых могут рассматриваться у одних как результативные, а у других — как факторные, называют связанными.

Для таких связанных рядов не только измеряют корреляцию между ними (рассмотренными методами), но и при необходимости находят уравнение регрессии, аналогично тому, как это решается в пространственных совокупностях.

Однако в этих случаях, чтобы устранить или уменьшить автокорреляцию, в уравнение регрессии дополнительно вводится фактор времени t, причем в линейной форме. Например, если зависимость между у их предположительно линейная, уравнение регрессии примет вид

Ух,, = а0 + а]х + а21.

Если предполагается, что зависимость может быть выражена функцией параболы 2-го порядка, то

Ух I = а0+ а\Х + а2х2 + а31

И т.д.

Метод включения фактора времени в уравнение регрессии для связанных рядов динамики был предложен Фришем и Боу и известен под их именами.

Уравнение регрессии для связанных рядов может выражать модель изменения уровней одного ряда (результативного) от нескольких других, например: изменение объема перевозок грузов от изменения производства промышленной и сельскохозяйственной продукции, от изменения тарифов и других факторов.

Корреляцию между такими рядами можно рассматривать как множественную и применять к ним все приемы исследования множественной корреляции, с учетом фактора времени (см. параграф 7.8).

В заключение еще раз отметим, что, прежде чем коррелировать ряды динамики, следует подвергнуть их тщательному анализу и установить логическую связь между рассматриваемыми показателями. В противном случае (при формальном подходе) можно рассчитать довольно высокий коэффициент корреляции даже при отсутствии зависимости (в силу простого поступательного параллельного изменения во времени двух показателей).

<< | >>
Источник: Г.Л. Громыко. Теория статистики: Учебник. — Т11 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ИНФРА-М,. - 476 с. — (Классический университетский учебник)., . 2005

Еще по теме 8.8. Корреляция рядов динамики:

  1. Глйва 7. Ряды динамики
  2. 7.1. Сущность и виды рядов динамики Характеристика и классификация динамических рядов
  3. 7.2. Аналитические показатели ряда динамики
  4. 7.3. Средние показатели ряда динамики
  5. 7.4. Графическое изображение рядов динамики Диаграммы
  6. Расчет индексов сезонности в рядах динамики с тенденцией развития (к переменной средней)
  7. ГЛАВА 10 РЯДЫ ДИНАМИКИ
  8. 10.1. ВИДЫ РЯДОВ ДИНАМИКИ, ИХ ПОСТРОЕНИЕ, ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ
  9. 10.2. ПОКАЗАТЕЛИ РЯДА ДИНАМИКИ
  10. 10.3. СРЕДНИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РЯДА ДИНАМИКИ
  11. 10.4. ВЫЯВЛЕНИЕ ОСНОВНОЙ ТЕНДЕНЦИИ РАЗВИТИЯ ОБЩЕСТВЕННЫХ ЯВЛЕНИИ (СГЛАЖИВАНИЕ И ВЫРАВНИВАНИЕ РЯДОВ ДИНАМИКИ)
  12. 10.6. КОРРЕЛЯЦИЯ В РЯДАХ ДИНАМИКИ
  13. Глава 8 АНАЛИЗ РЯДОВ ДИНАМИКИ