<<
>>

Исчисление средних показателей в рядах динамики

Каждый ряд динамики можно рассматривать как некую совокупность п меняющихся во времени показателей, которые можно обобщать в виде средних величин. Такие обобщенные (средние) показатели особенно необходимы при сравнении изменений того или иного показателя в разные периоды, в разных странах и т.д.

Обобщенной характеристикой динамического ряда может служить прежде всего средний уровень ряда у . Поскольку средняя величина в данном случае рассчитывается из меняющихся во времени показателей, то она называется средней хронологической.

Для разных видов рядов динамики средний уровень рассчитывается неодинаково.

Так, в интервальном ряду абсолютных величин с равными периодами (интервалами) средний уровень рассчитывается как средняя арифметическая простая из уровней ряда:

где у.

— отдельные уровни ряда; п — число уровней.

В примере, приведенном в табл. 8.11, средний годовой уровень производства яиц в России за 5 лет (1997-2001 гг.) составил

_ 5>, 32,2 + 32,7 + 33,1 + 34,1 + 35,2 „ ^

у = = = 33,46 млрд шт.

п 5

Аналогично определяется средний уровень в рядах средних величин. Так, по данным табл. 8.4, где представлена динамика средней урожайности зерновых по годам, среднюю урожайность, например, за 1991-1995 гг. рассчитаем как

_ 14,4 + 17,2 + 16,3 + 14,4 + 11,6 1/( 0 . у = = 14,8 ц/га,

а за 1996—2001 гг. соответственно как

12,9+16,5+12,9+14,4+15,6+19,4 , _ , ,

у = 7 = 15,3 ц/га.

6

Несколько по-иному рассчитывается средний уровень для м о - ментных рядов. Например, если имеется моментный ряд, содержащий п уровней (у,, у2, ..., уп) с равными промежутками между датами (моментами), то такой ряд легко преобразовать в ряд средних величин. При этом показатель (уровень) на начало каждого периода одновременно является показателем на конец предыдущего периода. Тогда средняя величина показателя для каждого периода (промежутка между датами) может быть рассчитана как полусумма значений у на начало и конец периода,

У( + Ум

т.е. как у! = . Количество таких средних будет (и — 1).

Как указывалось ранее, для рядов средних величин средний уровень рассчитывается по средней арифметической. Следовательно, можно записать

У\ + У2 + У 2 + ^3 + + У»-2 + У»~' + У"-\ + У»

У

п-1

После преобразования числителя получаем

V, У, + Уп у1 г

Т + У2 + Уз + ??? + Уп-1 + Т- 2

-2 : : 2_ = —±(8Л)

п-1 п-1

Эта средняя известна в статистике как средняя хронологическая для моментных рядов.

Пример. Имеются следующие данные об остатках вкладов населения в банках России в первом полугодии 1997 г. (на начало месяца): Месяц 1 2 3 4 5 6 7 Сумма вкладов у, трлн руб. 127,6 129,7 132,7 133,8 135,4 137,1 139,8 Средний остаток вкладов населения за первое полугодие 1997 г. [по формуле (8.1)] составил

127 (\ ~\~ \ 39 Я

+ 129,7 + 132,7 + 133,8 + 135,4 + 137,1

у = =

7-1 = 133,73 трлн руб.

В случае неравных промежутков между датами среднюю хронологическую для моментного ряда можно рассчитать как среднюю арифметическую из средних значений уровней на каждую пару моментов, взвешенных по величине расстояний (отрезков времени) между датами, т.е.

л-1

/, + (2 + ... + /л_,

(8.2)

_ + ум)і, 21

Пример. Пусть имеются следующие данные о наличии товарных остатков на складе за 2003 г.: Дата учета 01.01.03 01.03.03 01.06.03 01.11.03 01.01.04 Остатки товаров у, тыс.

руб. 126 130 138 150 160 Средний месячный остаток товаров за 2003 г. [по формуле (8.2)] составит

_ = (126 + 130)2 + (130 + 138)3 + (138 + 150)5 + (150 + 160)2 = У 2(2 + 3 + 5 + 2)

3376

= 140,67 тыс. руб.

В данном случае предполагается, что в промежутках между датами уровни принимали разные значения, и мы из двух известных (у;. и у.+ ,) определяем средние, из которых затем уже рассчитываем общую среднюю для всего анализируемого периода.

Если же предполагается, что каждое значение у. остается неизменным до следующего (/ + 1)-го момента, т.е. известна точная дата изменения уровней, то расчет можно осуществлять по формуле

- =

' X', ’

где Л — время, в течение которого уровень у. оставался неизменным.

Кроме среднего уровня в рядах динамики рассчитываются и другие средние показатели.

Средний абсолютный прирост (изменение) уровней рассчитывается как средняя арифметическая простая из отдельных цепных приростов, т.е.

?(«),

А, =

п

или на основе накопленного абсолютного прироста за п периодов:

х = у*~у*

п •

Так, средний годовой абсолютный прирост производства яиц в России за 1998—2001 гг. (см. табл. 8.11) составил

т ^(«ЛД 0,5 + 0,4 + 1,0 + 1,1 3 „ ^

Ау = = = — = 0,75 млрд шт.

п 4 4

или

т Уп-У0 35,2-32,2

Ау = — = = 0,75 млрд шт.

п 4

Примечание. Уровень 1997 г. обозначен через у0 как базисный для расчета приростов начиная с 1998 г. Период, для которого усредняется показатель годового прироста, составляет 4 года, с 1998 по 2001 г. включительно.

Особое значение в анализе рядов динамики придается расчету средних темпов (коэффициентов) роста.

Наиболее часто средний темп роста рассчитывается как средняя геометрическая из цепных темпов роста, т.е. рассчитанных в каждый период по отношению к предыдущему. Основанием для использования средней геометрической служат следующие рассуждения. Пусть имеется определенный ряд динамики с уровнями

у0, у,, у2, у3, ..., уп.

Цепные коэффициенты роста к. для каждого периода составят:

к к =Ух к

/V, , Ку , К

Уо У] Уп-1

На основании этого каждый уровень можно выразить через предыдущий или >>0 (базисный):

У] = У0к\> У2 = У\к2 = ^3 = У2к3 = Уък\к2кУ -5

= Уък,к2къ"К’

т.е. конечный уровень уя равняется базисному у0, умноженному на произведение цепных коэффициентов роста.

Рассчитывая средний коэффициент роста, мы предполагаем,

что замена индивидуальных коэффициентов роста к. средними к обеспечивает достижение одинакового значения конечного уровня V .

* П

Так как

уп = Уйк\к2-К и Уп = УоЕ1^Е = Уо&У'

п

ТО

Уйк\к2--К = Уо&У-

Отсюда *

= "А*2 (8-3>

т.е. средний коэффициент роста равен корню я-й степени из произведения « цепных коэффициентов роста. Заметим, что это и есть средняя геометрическая из п цепных коэффициентов роста. Если выражать темп роста в процентах, то

Т = ц1к,к, — к 100%.

р ^12 п

Используя выражение уп - у0(к)", получаем другую формулу для расчета среднего коэффициента роста, тождественную формуле (8.3):

Таким образом, если средний темп (коэффициент) роста ориентирован на достижение определенного конечного уровня, используются следующие формулы:

к = ^/П к =

где — цепные коэффициенты роста;

п — число коэффициентов (или число периодов (лет, месяцев), за которые определяется средний коэффициент);

П — знак произведения;

Уо и Уп ~ соответственно начальный (базисный) и конечный абсолютные уровни.

у

Поскольку отношение — — базисный коэффициент роста, то

^0

формула (8.4) применима не только для абсолютных уровней, но и для коэффициентов роста, приведенных к одной и той же базе.

По данным табл. 8.11 средний годовой коэффициент роста производства яиц в России за 1998—2001 гг.

составил:

по формуле (8.3)

к = ^/Щу{/_1) = 3/1.016-1,012-1,03-1,032 =

= 3/1,093 = 1,022 (т.е. Т = 102,2%);

по формуле (8.4)

к = ир. = 4 ^4 = 4/1,093 = 1,022 (т.е. Т = 102,2%).

УУ0 Р2’2

Таким образом, среднегодовой темп роста производства яиц за 1998—

2001 гг. составил 102,2%, а средний темп прироста — 2,2%.

Однако надо иметь в виду, что средний темп роста, рассчитанный по формулам (8.3) и (8.4), зависит от значений крайних уровней ряда. Одинаковый темп роста можно получить для рядов с совершенно различным характером изменения, но с одинаковыми значениями крайних уровней. Поэтому, прежде чем рассчитывать средний темп роста определенного показателя за какой-либо период, нужно тщательно проанализировать, целесообразно ли вычислять темпы роста в отдельные отрезки времени. В случае необходимости «длинные» и неодинаковые по характеру изменения периоды следует разбить на более однородные части (с похожей динамикой уровней), для которых расчет средних темпов роста будет иметь смысл.

Говоря о среднем геометрическом коэффициенте роста, следует отметить еще одну его особенность. Так, если на основе значений у0 и среднего геометрического коэффициента (темпа) роста рассчитать за все периоды «теоретические» уровни (у[ = у0к, У2 = Уо(к)2, .у' = у0(к)п), то сумма последних не будет совпа-

П

дать с суммой всех фактических уровней (Xу1), хотя значения у0 и уп в обоих рядах совпадут. 1

Вместе с тем при расчете среднего коэффициента (темпа) роста порой более важно ориентироваться на достижение общей суммы уровней, а не только конечного уровня. Например, когда речь идет о динамике таких показателей, как вложение инвестиций, ввод в действие жилой площади, строительство автомобильных дорог и т.п., важно определить средний темп роста, при котором достигается суммарное значение показателя за анализируемый период, а не только конечный уровень. При таком подходе каждый уровень можно выразить через у0 и к следующим образом:

У>=Уок, У2 = У0(к)\ ..., уп = у0(к)п.

Тогда, если ориентироваться на то, что суммы фактических и расчетных уровней должны совпадать, можно записать:

У\ + У2 + + У„ = Уок + + ••• + *<*

или

= у0\к+(к)2 +(к)3 +... + (к)” 1

1

Отсюда

П

-1 = к+(к)2+(к)3+... + (к)". (8.5)

Уо

Формула (8.5) условно названа средней параболической, а рассчитанное по ней к, — средним параболическим коэффициентом (темпом) роста. Эта формула предложена статистиком из Саратова профессором Л.С. Казинцом в книге «Темпы роста и абсолютные приросты» (1975). Он же составил таблицу, в которой для отдельных периодов (п = 2-ИО) определено значение среднего

параболического темпа роста ^параб, соответствующее тому или

иному отношению суммы уровней за период к базисному уровню

ЪУ-

. Эта таблица18 приведена в Приложении 10.

По ней определяется средний параболический темп роста показателя, обеспечивающий получение суммы фактических уровней за период.

Рассмотрим конкретные примеры расчета среднего параболического темпа роста.

Пример 1. Имеются следующие данные по России о вводе в действие жилой площади за 1985—1990 гг.: Год 1985 1986 1987 1988 1989 1990 Введено млн м2 62,6 66,2 72,8 72,3 70,4 61,7 Надо определить средний годовой коэффициент (темп) роста ввода в действие жилой площади за 1986—1990 гг.

Сначала рассчитаем средний геометрический темп роста по формуле (8.4), ориентируясь на достигнутый конечный уровень 1990 г.:

к = « — = 5 = 0,997 (или 99,7%). ро V 62,6

т.е. согласно данному расчету ввод в действие жилой площади в России в 1986—1990 гг. снижался ежегодно на 0,3%. Вместе с тем каждый год (кроме последнего) уровни повышались. Очевидно, что в данном случае расчет среднего годового темпа роста надо выполнять, ориентируясь на общую сумму ввода в действие жилья за весь период (5 лет), т.е. по средней параболической [см. формулу (8.5)]:

П

к + (к) + (к)3 + ... + (к)” = —.

Уо

В нашем примере у0 = 62,6, а

5

= 66,2 + 72,8 + 72,3 + 70,4 + 61,7 = 343,4.

1 343 4

Находим отношение = ттт- = 5,485.

У о 62,6

Обращаемся далее к таблице Приложения 10 и в графе, где п = 5, ищем значение, близкое к полученному нами отношению. В данном случае это 5,468. Этому отношению соответствует

к = 1,03 (или Т = 103%), что означает увеличение ввода в действие жилой площади в указанный период ежегодно в среднем на 3%. Это и есть средний параболический темп прироста. В нашем примере он отражает реальную картину относительного изменения уровней.

Аналогично решается задача и при снижении уровней.

Пример 2. Ввод в действие жилой площади в России за 1990— 1995 гг. характеризовался следующими данными: Год 1990 1991 1992 1993 1994 1995 Введено млн м2 61,7 49,4 41,5 41,8 39,2 41,0 ^0 ь,=

1 212,9 Для расчета среднего параболического темпа роста находим отношение

5

= ИМ = 3 45

уа 61,7 ' ?

По таблице Приложения 10 в графе, где п = 5, находим ближайшее к 3,45 значение табличного отношения: это 3,463. Ему

соответствует к = 0,88, что означает ежегодное снижение ввода жилья на 12%.

Таким образом, рассчитывая средние темпы роста (снижения), следует четко определять, что достигается при этом среднем темпе: конечный уровень показателя уп или же сумма уровней за весь

П —

период X У;. В первом случае для расчета к используют среднюю

1

геометрическую, а во втором — среднюю параболическую.

Средние темпы прироста рассчитываются на основе средних темпов роста путем вычитания из последних 100%:

Так, в примере 1 средний темп роста ввода жилья в России за 1986-1990 гг. составил 103%. Следовательно, средний годовой темп прироста составил 103 - 100 = 3%.

В примере 2, где за 1991-1995 гг. Тр = 88%, средний годовой

темп снижения ввода жилья составил Гпр = 88 — 100 = —12%.

<< | >>
Источник: Г.Л. Громыко. Теория статистики: Учебник. — Т11 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ИНФРА-М,. - 476 с. — (Классический университетский учебник)., . 2005

Еще по теме Исчисление средних показателей в рядах динамики:

  1. Расчет индексов сезонности в рядах динамики с тенденцией развития (к переменной средней)
  2. 7.3. Средние показатели ряда динамики
  3. Измерение колеблемости в рядах динамики
  4. 8.7. Автокорреляция в рядах динамики
  5. 10.6. КОРРЕЛЯЦИЯ В РЯДАХ ДИНАМИКИ
  6. Понятие о рядах динамики. Их виды
  7. 8.5. Методы выявления основной тенденции (тренда) в рядах динамики
  8. 10.3. СРЕДНИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РЯДА ДИНАМИКИ
  9. Исчисление средней заработной платы
  10. 10.2. ПОКАЗАТЕЛИ РЯДА ДИНАМИКИ
  11. 7.2. Аналитические показатели ряда динамики
  12. 5.2. Основные показатели среднего уровня вариационного ряда
  13. Достоинства и недостатки двух методов исчисления конечных макроэкономических показателей
  14. 9.6. Взаимосвязанные индексы и определение роли отдельных факторов в динамике сложных (результативных) показателей
  15. I. Расчет показателей динамики и структуры валовой продукции промышленности и сельского хозяйства КНР
  16. 4.4. Другие виды средних величин Средняя квадратическая
  17. 4.1. Сущность и виды средних Понятие средней
  18. 3. ПРОТИВОРЕЧИЯ В РЯДАХ СОЦИАЛИСТОВ