<<
>>

5.4. ДРУГИЕ ВИДЫ СТЕПЕННЫХ СРЕДНИХ

К числу других видов степенных средних относятся средняя квадратическая, средняя гармоническая и средняя геометрическая.

Если в степенной средней показатель /C=-f-2, то получим формулу средней квадратической простой: JCKb= j/~1л'г .

Формулу

средней квадратической можно получить и на основе определяющего показателя. В этом случае определяющая функция w=x2 и

уравнение средних w = x2, и отсюда x=V~w2. Средняя квадратическая применяется главным образом для расчета показателей вариации — среднего квадратического отклонения, вычисляемого на основе квадратов отклонений значений признака xt от средней арифметической (см. гл. 6).

Если в степенной средней показатель К= — 1, то получим формулу средней гармонической простой: л;Гарм= —•

х_ *i

Например, в течение рабочего дня один рабочий затратил 2 мин на обработку детали, а второй — 6 мин. Средние затраты времени на обработку одной детали вычисляются по формуле средней

_ 2 + 6

арифметической: Яарифм.=—-— = 4 мин. Следовательно, в час вырабатывается в среднем (60:4) = 15 шт. одним рабочим, а за 8 ч (15-8) = 120 шт. Два рабочих выработают 240 шт. Проверим правильность расчета на основе затрат времени каждым рабочим. Первый рабочий за час выработает (60: 2) =30 шт., а за 8 ч — 240 шт., второй рабочий — соответственно (60:6) = 10 шт. и 80 шт. Два рабочих вырабатывают 320 шт. В данном случае формула средней арифметической для расчета средних затрат времени не соответствует особенностям явления.

Дело в том, что логически средние затраты времени на одну деталь — это отношение затрат времени всеми рабочими к числу обработанных деталей. В рассматриваемом примере нет данных о количестве деталей, фактически обработанных каждым рабочим, чо эти величины можно подсчитать отношением затрат времени к индивидуальным нормам времени каждого рабочего хи Если каждый рабочий затратил по норме I мин рабочего времени, то средние затраты времени у всех рабочих равны 3 мин. Такой результат получен по формуле средней гармонической простои:

32

~ Х{ 2 6

за час рабочий выработает (60:3) = 20 шт., за день — (8 • 20) =» = 160 шт. и за день два рабочих —320 шт. Таким образом, получен ответ, характеризующий реальные величины.

Средняя гармоническая представляет собой величину, обратную средней арифметической, вычисленной из обратных значений признака. В рассматриваемом нами примере

"*аР„фМ= ( 4~ + 4" ) :2= Т" мин' а — 1 12

*гарм= =-= ~— =3 МИН.

Харифм 4

Следует иметь в виду, что для одной и той же величины признака можно вычислять арифметическую и гармоническую среднюю; численные значения средних совпадут. Если известны данные о затратах времени (всего) и индивидуальные затраты времени, то применяется средняя гармоническая; если же известны число деталей и индивидуальные затраты времени, то применяется средняя арифметическая. Однако для каждого вида средней применяются в качестве веса различные величины — иначе получится расхождение ответов.

Для средней гармонической определяющая функция равна:

ш=— . Например, объем продукции q за определенный период

X

времени для отдельного рабочего может быть подсчитан отношением числа часов работы рабочего t в течение того же периода времени к средним затратам времени на единицу продукции х.

Вид определяющей функции при наличии совокупности рабочих (единиц) остается без изменения.

Вычислим среднюю заработную плату рабочих двух заводов, применяя формулу средней гармонической взвешенной, по следующим данным: Таблица 5.0 Завод Средняя месячная заработная плата рабочего, руб. Фонд заработной платы рабочих, руб. А Б 140

155 22400 29600 Средняя заработная плата одного рабочего равна: фонд заработной платы фонд заработной платы число рабочих фонд заработной платы

средняя заработная плата

83

22 400+29 600

= "J-J-= H8 руб

-—•22 400+--29 600

140 155

Расчет выполнен по формуле средней гармонической взвешенной:

- 2 Л

А'гарм— "-[- >

которая применяется в случаях, если неизвестны данные о численности единиц совокупности (частоты), а располагаем тольк произведением значений признака х, на численность единиц /,?— частоту.

Применение средней гармонической оправдано для расчета средней трудоемкости единицы продукции, средней продолжительности строительства объектов и др.

Если в степенной средней показатель степени /С=0, то после преобразований формулы степенной средней получим формулу

средней геометрической простой: х7еом= Х\-х2-хг ... х„.

Определяющая функция для средней геометрической имеет вид: to = log*, и тогда уравнение средних равно w = \ogx. Преоб-

Eif ? loc х —

разуем уравнение средних: ?- = -§— = log х. Потенци-

п п

рованием получаем формулу средней геометрической. Этот вид средней нельзя применять для характеристики признака совокупности, но обычно пользуются такой формулой для целей прогнозирования, для расчета среднего годового относительного роста. Необходимо заметить, что среднюю величину нужно вычислять по такой формуле, чтобы замена реальных значений количественного признака у каждой единицы совокупности средней величиной не изменила бы суммарного итога совокупности — определяющего показателя. Если ставится задача определить изменение уровня ряда за весь период времени, то произведение начального уровня на /( — коэффициент роста (отношение уровня каждого периода к уровню предшествующего периода), соответствует величине конечного уровня — определяющего показателя: y\-K\-Ki ... Кп~уп, и тогда у\-К-К ... К=Уп.

Приравниваем левые части равенства К-К .. .К= К\-К2 ??? Кп, а затем получаем формулу средней геометрической простой для расчета среднего коэффициента роста:

По данным отчетности строительного управления вычислим средний коэффициент роста:

84

Таблица 5.10 Показатели 1976 1977 1978 1979 1980 Объем строительно-монтажных работ, млн. руб. (yi) Коэффициент роста {K.=yi:y*-i) 1,2

1,0 1,6 1,33 1,7

1,06 1,9

1,11 2,2 1,16 Средний годовой коэффициент роста объема строительно-мон тажных работ, выполняемых строительным управлением, равен:

Х-Геом= f 1,33- 1,06- 1,11 -1,16= 1,16,

или увеличение объема строительно-монтажных работ в среднем, на 16% ежегодно.

Возникает вопрос: какую форму средней величины применить для характеристики уровня изучаемого признака совокупности? Следует иметь в виду, что каждый вид средней отличается особыми свойствами, благодаря которым она способствует решению определенной задачи исследования. Приведенные выше формулы средних нельзя считать пригодными для одновременного расчета среднего значения признака единиц одной и той же совокупности. Средняя— типичная характеристика единиц совокупности по данному признаку. Поэтому при выборе вида средней в каждом конкретном явлении надо принимать во внимание условия развития и особенности изучаемого общественного явления, характер исходного статистического материала и задачи, поставленные в связи с расчетом средней величины. Кроме того, среднюю надо выбрать так, чтобы необходимые для ее расчета величины (числитель и знаменатель) были логически взаимосвязаны и полученная средняя также должна иметь реальное содержание. Например, средняя выработка продукции одним рабочим представляет результат отношения объема продукции, произведенной всеми рабочими, к числу рабочих в данном отчетном периоде.

Выбор формы средней может быть обоснован определяющим показателем, и в этом случае надо учитывать качество реальной совокупности и характер осредняемого признака.

Для расчета степенной средней по данным об индивидуальных (абсолютных) значениях признака необходима средняя арифметическая, так как определяющий показатель — сумма индивидуальных значений признака единиц совокупности. Например, если известны общий объем продукции во всех партиях в натуральном выражении (шт., м, кг и др.) и себестоимость каждой единицы в партии, то средняя себестоимость одной единицы рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной. Если же известны средняя себестоимость единицы продукции в партиях и себестоимость всей продукции, то для определения средней себестои

85

мости единицы продукции во всех партиях применяется формула средней гармонической взвешенной.

Для вычисления степенной средней по данным об абсолютных отклонениях индивидуальных значений признака от средней арифметической величины применяются средняя квадратическая и средняя третьей и четвертой степени (расчет моментов). Такие виды средних необходимы, например, для изучения формы распределения единиц (см. гл. 6). Расчет степенной средней по относительным величинам, характеризующим изменение явления во времени, выполняется по средней геометрической.

<< | >>
Источник: Т. В. Рябушкин. Общая теория статистики: Учебник/Т. В. Рябушкин, 0-28 М. Р. Ефимова, И. М. Ипатова, Н. И. Яковлева. — М.: Финансы и статистика. — 279 с, ил.. 1981 {original}

Еще по теме 5.4. ДРУГИЕ ВИДЫ СТЕПЕННЫХ СРЕДНИХ:

  1. 4.4. Другие виды средних величин Средняя квадратическая
  2. 4.1. Сущность и виды средних Понятие средней
  3. §1. ВИДЫ СОСТЯЗАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА И СТЕПЕНЬ ОБЩЕСТВЕННОЙ СВОБОДЫ
  4. §1. Виды состязательного процесса и степени социальной свободы
  5. 4.6. Структурные средние Сущность и виды
  6. § 112. Другие виды попечительства
  7. 4.5. Другие виды льгот
  8. 29.5. Другие виды и формы государственной экономической политики
  9. §4. Другие виды следственного осмотра
  10. 7. Юридическая ответственность и другие виды государственного принуждения
  11. СТРАТЕГИЧЕСКАЯ РАЗВЕДКАИ ДРУГИЕ ВИДЫ РАЗВЕДКИ