4.4. Другие виды средних величин Средняя квадратическая

Для расчета среднего квадратического отклонения (см. п. 4.5 «Показатели вариации») применяется средняя квадратическая, простая или взвешенная. Простая используется, если каждое значение признака х встречается один раз, в общем виде имеет вид:

2

П

где х2 — квадрат значений осредняемого признака; п — число единиц совокупности.

Средняя квадратическая взвешенная применяется, если каждое значение осредняемого признака х встречается/раз:

VX xf

где/ — вес варианты х.

264

Глава 4.

Средняя хронологическая

Если значения осредняемого признака известны на несколько рав-ноотстающих дат внутри определенного временного периода, расчет производится по средней хронологической'.

- &l)Xi+X2 + ... + X„-i + {l/i)xn

х =-:-,

п - 1

где х\, Х2,... Хп~ ь х„ — значения осредняемого признака; п — число дат внутри периода, на которые заданы значения х.

Имеются данные о численности работников предприятия за I полугодие:

Дата............... 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07

Число работников, чел..... 1010 1020 1004 980 960 1002 1006

Определим среднюю численность работников предприятия по месяцам, кварталам и полугодию.

Средняя месячная численность определяется по арифметической простой, поскольку каждое значение х встречается один раз:

хтс- _ ? .

где хн — численность на начало месяца; хк — численность на конец месяца.

В январе на предприятии ежедневно работало в среднем 1015 чел.:

_ 1010+ 1020 2030 1Л1. х]=_-_-_____ 1015 чел.

В феврале на предприятии ежедневно работало в среднем 1012 чел.:

_ 1020+ 1004 2024 1Л10 х2 =--= ^ = 1012 чел.

В марте на предприятии ежедневно работало в среднем 992 чел.:

- Ю04+980 1984 ооп

х3 = —-~5-= —у- = 992 чел.

В апреле на предприятии ежедневно работало в среднем 970 чел.:

- 980 + 960 1940 П„Л

х4--_-= ___ = 970 чел>

В мае на предприятии ежедневно работало в среднем 981 чел.:

_ 960+ 1002 1962 ов1

х5 = ——-——-—-—= 981 чел.

4.4.

265

В июне на предприятии ежедневно работало в среднем 1004 чел.

_ 1002+ 1006 2008 1ПЛ, Хв =.--_ _____ - Ю04 чел.

Среднюю численность по кварталам можно найти двумя способами:

1) по средней хронологической на основании данных на начало месяцев:

- .......(1/2)х1+х2 + хг + (1/2)Х4

Хкв<~ 4-1

0,5-1010+ 1020+ 1004+0,5-980 1ЛП. =--^-= 1006 чел.;

- &2)Х4+Х5 + Хб + (}/2)Х7 Хт-~ 4-1

0,5 • 980 + 960+ 1002 + 0,5 • 1006 пос ----= 985 чел.

В первом квартале на предприятии ежедневно работало в среднем 1006 чел., во втором 985 чел.;

2) по средней арифметической простой на основании данных о средней месячной численности:

. " 3 '

1015+ 1012 + 992 3019 3 ~ 3

= 1006 чел.;

970 + 981 + 1004 2955 пос хКвд =-^-= —д— = 985 чел.

Среднюю численность за полугодие исчислим по трем вариантам:

1) по средней хронологической

_ (Уі)х\ + х% + хг + Х\ + Хь + Хв + (}/І)хі

•Хкв.пол = 7 1 —

0,5 ? 1010 + 1020+ 1004 + 980 + 960 + 1002 + 0,5 • 1006

6

- Щ± - 996 чел. 6

В первом полугодии на предприятии ежедневно работало в среднем 996 чел.;

2) по средней арифметической простой на базе средних месячных численностей

266

Глава 4. Средние величины в статистике

Хпоп — ^ ~

1015 + 1012 + 992 + 970 + 981 + 1004 5974

996 чел.;

3) по средней арифметической простой на основании средних квартальных значений

- ХХкв' ЮОб + 985 1991 ао? Хпол"—2— = ==-2-= -—-=996 чел.

По средней хронологической исчисляется средняя годовая стоимость основных фондов предприятия из данных о наличии на начало каждого месяца; средний запас материальных ценностей, если известны величины запасов на определенные даты, разделенные равными интервалами; средний остаток вкладов на счетах в банке по информации на начало каждого месяца.

Средняя геометрическая

Если значения осредняемого признака существенно отстоят друг от друга или заданы коэффициентами (темпы роста, индексы цен), то для расчета применяют среднюю геометрическую:

— к1-

х- у х\ • Хг ? ...

Если минимальный размер выигрыша в лотерее 100 руб., а максимальный 1 млн руб., то средний размер выигрыша:

5с = V 100 • 1000000 = 10 тыс. руб.

Пусть цены в первом полугодии ежемесячно возрастали следующим образом: в январе в 1,02 раза; феврале — в 1,04; марте — в 1,03; апреле — в 1,04; мае — в 1,02; июне — в 1,06 раза.

Среднее изменение цен:

Зс= V 1,02 • 1,04. 1,03 -1,04- 1,02- 1,06 = "V 1,229 = 1,035, или 103,5%.

В первом полугодии цены ежемесячно возрастали в среднем в 1,035 раза, или на 3,5%.

Средняя геометрическая применяется для исчисления среднего темпа роста (подробнее в главе «Ряды динамики»), многих биржевых индексов, отражающих динамику средней цены по определенной совокупности ценных бумаг.

4.4. Другие виды средних величин

267

В табл. 4.4 дана обобщенная характеристика степенных средних.

Таблица 4.4

Характеристика степенных средних Вид средней Показатель степени Формула расчета Условия применения Арифметическая 1 ? п Каждое значение при- простая

знака л: встречается

один раз или исходные данные не упорядочены Арифметическая 1 _ 1>/ X =-

У/ Каждое значение при- взвешенная

знака х встречается /

раз или задан дискрет-

ный ряд распределения Гармоническая -1 В исходных данных взвешенная - 2»-

х ™_-—— задан объем осредняе-

мого признака для 2и х каждого значения осредняемого признака х Гармоническая -1 Значения объема ос- простая ~ п редняемого признака \у -- х равны для всех единиц

совокупности Квадратическая 2 ? 1- Для расчета среднего простая квадратического от-

клонения а, если л — у каждое значение признаках встречается один раз Квадратическая 2 Для расчета среднего взвешенная

квадратического отклонения о, если каждое значение признака х встречается/раз Хронологическая 1 {1/г)х{ + х- +... + „Л _, + ( Уг)хп Значения признака х

существенно отстают х ~ і друг от друга или заданы цепными темпами роста или индексами Геометрическая 0 к

X -~ V X | ' ^2 * . • • * Х^ Значения признаках существенно отстают друг от друга или заданы цепными темпами роста или индексами 268

Глава 4. Средние величины в статистике