9.2. Агрегатные индексы
Агрегатный способ построения (исчисления) общих индексов сводится к выражению с помощью определенных соизмерителей итогового (суммарного) значения несопоставимых в физических единицах показателей в сложной совокупности («агрегате») и последующему сопоставлению такой суммы в отчетном и базисном периодах.
Рассмотрим построение агрегатного индекса на примере индекса физического объема как наиболее типичного для количественных показателей и на примере индекса цен как наиболее типичного для качественных показателей. 1.
Агрегатный индекс физического объема. Допустим, известны данные о производстве различной несоизмеримой в физических единицах продукции на одном предприятии за два периода и необходимо с помощью общего индекса охарактеризовать относительное изменение объема всей продукции в отчетном периоде по сравнению с объемом в предшествующем (базисном) периоде.
Неоднородную продукцию, не допускающую непосредственного суммирования, можно с помощью определенных соизмерителей выразить в одинаковых единицах измерения и, определив в них общий объем изучаемой продукции в отчетном и базисном периодах, найти отношение этих общих объемов.
Чаще всего в качестве такого соизмерителя выступает цена за единицу продукции. Умножая цены на количество произведенной продукции, получаем стоимостное (ценностное) выражение продукции каждого вида, которое допускает суммирование.
Кроме цены, соизмерителем в отдельных случаях может служить себестоимость единицы продукции или затраты труда на единицу продукции.
Общий индекс, полученный путем сопоставления итоговых показателей, количественно выражающих сложное явление в отчетном и базисном периодах с помощью соизмерителей, называют агрегатным. Соответственно, и способ исчисления общего индекса таким путем (через соизмерители) называется агрегатным.
Обозначая объем продукции (товаров) через д, а цены — через р, можно представить стоимость продукции в базисном периоде как Р0> а в отчетном — как 1дхрх.
Сопоставляя эти два показателя, получим индекс стоимости/ = (9
I ЯоРо
который показывает относительное изменение стоимости продукции как за счет изменения цен, так и за счет изменения объема отдельных товаров.
Если же продукцию двух сравниваемых периодов оценить в одних и тех же неизменных ценах, то очевидно, что стоимость продукции двух периодов будет отличаться лишь за счет изменения объема продукции. Поэтому общий индекс, исчисленный как отношение стоимости продукции двух периодов в одних и тех же ценах, называют агрегатным индексом физического объема (обозначается I или I. ,).
? ф.ОО'
В агрегатном индексе физического объема в качестве соизме- рителя различных товаров принимаются цены базисного периода р0 или цены, неизменные в течение ряда лет р. (Такие цены называют также сопоставимыми.) Соответственно, и формулу агрегатного индекса физического объема можно записать двояко21:
^ = ^ГТ1 1„ = 5тт. (9-2)
1%Р0 4
где д0 и дх - объем продукции различных видов соответственно в базисном и отчетном периоде.
Заметим, что суммы в числителе и знаменателе формулы (9.2) имеют вполне реальный смысл:
~ стоимость продукции базисного периода в базисных ценах; —
стоимость продукции отчетного периода в базисных ценах.
Таким образом, чтобы исчислить общий индекс физического объема агрегатным способом, продукцию базисного и отчетного периодов оценивают в одних и тех же сопоставимых (базисных) ценах и делят второй показатель на первый.
Внешней отличительной особенностью любого агрегатного индекса является то, что и в числителе, и в знаменателе данного индекса имеется сумма произведений двух показателей, один из которых меняется, т.е. выступает в роли индексируемой величины, а второй остается неизменным, т.е. выступает в роли соизме- рителя (или весов).
Разность между числителем и знаменателем агрегатного индекса характеризует изменение в абсолютном выражении сложного (результативного) показателя за счет изменения индексируемой величины.
Проиллюстрируем расчет агрегатного индекса физического объема на условном примере.
Пример.
Предположим, фирма выпускает три вида неоднородной продукции. Данные об их производстве и ценах на них за два периода приведены в табл. 9.1 (графы А, 1-4).Таблица 9.1 Выработано тыс. единиц Цена за единицу товара, руб. Стоимость продукции в базисных ценах, тыс. руб. Товар базисный отчетный базисный отчетный базисный отчетный период период период период период период % Ч\ Ро Р\ ЪРо А 1 2 3 4 5 6 X 80 60 13 16 1040 780 Г 50 30 18 20 900 540 2 40 35 6 8 240 210 I — — — — 2180 1530 Чтобы рассчитать агрегатный индекс физического объема, определяем общую стоимость продукции базисного и отчетного периодов в одних и тех же базисных ценах (см. графы 5 и 6) и сопоставляем вторую с первой:
/, = ^ = 0,702 (или 70,2%).
9 2>0Р0 2180
Это означает, что общий объем (выпуск) продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным составил 70,2% (или уменьшился на 29,8% (70,2 — 100)).
Вычитая из числителя знаменатель (^д]р0 — ?<70Р0 = ^30 — —
2180 = —650), определяем, что в абсолютном выражении за счет уменьшения выпуска стоимость продукции в отчетном периоде уменьшилась на 650 тыс. руб.
Как уже отмечалось, при построении агрегатного индекса физического объема могут использоваться и другие соизмерители. Так, например, если принять в качестве соизмерителей себестоимость единицы продукции в базисном периоде с0, то агрегат-
?<7|С0
ный индекс физического объема можно записать как / = =; .
4 Х<7осо
Тогда разность между числителем и знаменателем — ^%со
покажет, как изменились общие затраты (издержки) на производство в связи с изменением выпуска продукции.
Если в качестве соизмерителей принять затраты времени на единицу продукции в базисном периоде /0, то формула агрегатного индекса физического объема будет иметь вид 0 ,
а разность — будет характеризовать изменение общих
затрат времени на производство продукции за счет изменения объема выпуска. 2.
Агрегатный индекс цен. По аналогии с индексом физического объема для определенного набора товаров (продуктов) может быть построен и агрегатный индекс цен (индекс качественного показателя).
При этом рассуждения остаются теми же: если нельзя суммировать цены на различные товары, то можно суммировать и сопоставлять стоимости этих товаров.Однако, сопоставляя два значения стоимости рд, мы должны показать изменение последней лишь за счет изменения цен р, т.е. необходимо устранить влияние изменения количества производимой (или реализуемой) в разные периоды продукции <7 на стоимостный показатель продукции. Для этого один и тот же количественный набор продуктов надо оценить в ценах отчетного и базисного периодов и затем сопоставить первую величину со второй. Таким образом, в агрегатном индексе цен индексируемой величиной является, естественно, цена р, а соизмерителем (вернее, весами) — количество произведенных (реализованных) товаров д, принятое на уровне базисного или отчетного периода.
Агрегатная формула общего индекса цен была впервые предложена в 1864 г. немецким ученым Э. Ласпейресом. Он предлагал строить агрегатный индекс цен, приняв в качестве весов продукцию базисного периода д0\
Л = (9>3)
В таком виде, т.е. построенный по продукции базисного периода, этот индекс известен как индекс цен Ласпейреса.
В 1874 г. другой немецкий ученый, Г. Пааше, предложил строить агрегатный индекс цен по продукции текущего периода
/" = Iм-, (9.4)
Такой индекс, т.е. построенный по продукции текущего периода, известен как индекс цен Пааше.
Примечание. Впоследствии названия этих разных методов расчета индексов цен (с весами базисного или текущего периодов) были механически распространены и на другие индексы (физического объема и пр.), т.е. если в сводном индексе использованы веса базисного периода, то говорят, что индекс построен по методу Ласпейреса, а при весах текущего периода — по методу Пааше.
На практике используются формулы индексов цен и Ласпейреса и Пааше, хотя они и дают разные результаты. (По значению индекс Ласпейреса, как правило, больше индекса Пааше.)
Каждый из этих индексов имеет свои особенности, которым отдается предпочтение в конкретных условиях использования.
Так, индекс цен Ласпейреса удобен для оперативной (недельной, месячной, квартальной) информации об изменении цен на определенный фиксированный набор товаров, когда пересчет каждый раз на текущий набор (количество) товаров сопряжен с большими затратами труда и времени.
По формуле Ласпейреса рассчитывают индекс потребительских цен (ИПЦ).В то же время формуле Пааше отдается предпочтение, когда индекс цен рассматривается в системе с индексом стоимости и индексом физического объема. В этом случае, чтобы обеспечивать взаимосвязь между индексом стоимости =; , индексом
Х#оА)
ж л иРо '?<1\Р\
физического объема и индексом цен , последний
±%Ро Х<7,/>о
обязательно должен строиться по продукции текущего периода, т.е. как индекс Пааше. В противном случае равенство
Х^Р\ = Х^-Рр Х^Л
Хзд Хзд Хад
не будет достигнуто.
Кроме того, при расчете индекса цен по формуле Пааше, вычитая из числителя знаменатель, легко определить в абсолютном выражении сумму потерь (или прибыли) за счет изменения цен на продукцию отчетного (текущего) периода.
Рассмотрим расчет агрегатных индексов цен на примере.
Пример. Пусть имеются данные о реализации продукции одним из хозяйств за два периода (табл. 9.2, графы А, В, 1—4).
Таблица 9.2 Продукт Еди
ни
ца
из-
ме-
ре-
ния Базисный
период Отчетный
период Стоимость товаров базисного периода, руб. Стоимость товаров отчетного периода, руб. Про
да
но
еди
ниц
% Цена
за
еди
ни
цу,
руб.
Ро Про
да
но
еди
ниц
Ч\ Цена
за
еди
ни
цу,
руб.
Р\ в
базис
ных
ценах
ЗД> в
отчет
ных
ценах
ЗД в
базис
ных
ценах в
отчет
ных
ценах
?,/>, А В 1 2 3 4 5 6 7 8 Свинина кг 1000 80 900 96 80000 96000 72000 86400 Картофель кг 3000 8 4000 10 24000 30000 32000 40000 Молоко л 5000 10 6000 11 50000 55000 60000 66000 I 154000 181000 164000 192400 Легко определить изменение цен в отчетном периоде по сравнению с базисным по каждому отдельному продукту, рассчитав индивидуальные индексы цен: а) по свинине / = — = 1,2 (или 120%);
оО
б) по картофелю і = = 1,25 (или 125%);
О
в) по молоку ір = =1,1 (или 110%).
Чтобы определить, как в среднем изменились цены на все продукты (или какова средняя величина изменения цен на все продукты), рассчитаем сводный (общий) индекс цен в форме агрегатного индекса: 1)
по формуле Ласпейреса 1^; 2)
по формуле Пааше /п.
Итак,
гЛ
Необходимые для их расчета суммы (оценка продукции в базисном и отчетном периодах в ценах двух периодов) приведены в графах 5—8 табл.
9.2.тЯ 181000 ’ = ІЛА, ~ ЇЙООО “ ‘-'75 <и™ 117’5%>’ ^П _ Р\ _
192400
= 1,173 (или 117,3%), т.е. по формуле Ласпейреса цены по всем продуктам выросли в среднем на 17,5% (117,5 — 100), а по формуле Пааше — на 17,3% (117,3 - 100).
Расхождение не очень большое (на 0,2 процентных пункта), но все же есть. Какому же индексу отдать предпочтение? Думается, что на таком уровне исследования (по отдельному хозяйству и совокупности хозяйств) предпочтение следует отдать индексу Пааше, поскольку он показывает реальное изменение стоимости продукции, реализованной в отчетном периоде, за счет изменения цен. В этом индексе числитель — реальная величина, фактическая выручка, полученная от реализации продукции в отчетном периоде, а знаменатель ^дхр0 — условная величина, показывающая, какой была бы выручка, если бы продукция отчетного периода продавалась по базисным ценам. Разность между ними, т.е. ^,Я\Р\ — = 192400 — 164000 = 28400 руб., показывает в данном случае, какую прибыль дополнительно получило хозяйство при реализации продукции в отчетном периоде за счет роста цен.
В формуле же индекса цен Ласпейреса в знаменателе содержится реальная выручка (стоимость) от реализации в базисном периоде а в числителе — условная величина X\ > характеризующая, какой была бы выручка от реализации продукции базисного периода по ценам отчетного периода. Разность — —
Х<7(>Ро практически не представляет интереса, так как эта величина слишком отвлеченная: она показывает, насколько изменилась бы выручка (стоимость) в прошлом (базисном) периоде, если бы базисная продукция была реализована по текущим (отчетным) ценам.
Кроме того, при расчете индекса цен по формуле Пааше, как уже отмечалось, легко увязываются изменения трех взаимосвязанных показателей: стоимости (выручки), объема реализации и цен. Так, по данным табл. 9.2 индекс стоимости продукции
= = ШЙ5 = ''249 <ш™ 124,9%)’
т.е. стоимость продукции (выручка от продажи) в отчетном периоде увеличилась на 24,9% (124,9 — 100), что составило в абсолютном выражении 38400 руб.:
ЛяхР1 ~ 192400 - 154000 = 38400 руб.
Индекс физического объема реализации
'• ? - 1-ои <или |об-5%>'
В абсолютном выражении увеличение стоимости за счет изменения объема реализации составило 10000 руб.:
ЪяхР0 ~ Хад>= 164000 - 154000 = 10000 руб.
Таким образом, имеет место увязка индексов (относительного изменения показателей):
Ъ = V.
(в нашем примере 1,249 = 1,173 ? 1,065), а также абсолютных изменений:
5>1 Р\ - ХОД) = (Хад - Ъя\Р0) + (Х?|Р0 _ Хад)
(в нашем примере 38400 = 28400 + 10000),
т.е. общее изменение стоимости продукции равно сумме приростов за счет изменения цен и за счет изменения объема.
В начале XX в. американский экономист И. Фишер предложил вместо формул индексов цен Ласпейреса и Пааше использовать среднюю геометрическую из них, т.е. корень квадратный из произведения индексов цен Ласпейреса и Пааше:
В нашем примере индекс цен Фишера будет равен
/® = л/1,175• 1,173 = 1,174 (иди 117,4%).
Этот индекс Фишер назвал «идеальным», поскольку в нем не отдается предпочтение ни продукции базисного периода, ни продукции текущего периода.
Кроме того, этот индекс «обратим» во времени, т.е. если рассчитывать индекс базисного периода к отчетному, он будет равен обратной величине первоначального индекса (т.е. отчетного периода к базисному). Другими словами, перемножение таких «обратных» индексов дает единицу:
Однако индекс Фишера из-за его формальности и трудности экономической интерпретации используется редко, в основном при территориальных сопоставлениях.
Мы рассмотрели расчет агрегатных индексов физического объема и цен как наиболее типичных представителей агрегатных индексов соответственно для количественных и качественных индексируемых показателей.
По аналогии можно записать агрегатные индексы для некоторых других показателей. 1.
Так, по данным о выпуске <у и себестоимости с отдельных видов продукции за два периода можно рассчитать аналогично индексу цен Пааше агрегатный индекс себестоимости
В этом индексе себестоимость отдельных товаров с — индексируемая величина, а продукция отчетного периода - вес.
Данный индекс показывает, как меняются в относительном выражении общие затраты на производство XЧс за счет изменения себестоимости отдельных товаров. 2. Для группы однородных культур (например, зерновых) общий индекс урожайности в агрегатной форме выразится формулой
1У = 1^7(9-7)
где у0 и ух — урожайность отдельных культур соответственно в базисном и текущем периоде;
Я, — посевная площадь под отдельными культурами в текущем периоде.
В целом числитель индекса / характеризует фактический валовой сбор данной группы культур в текущем периоде, а знаменатель представляет собой условную величину — валовой сбор группы культур с площади текущего периода при базисном уровне урожайности. Таким образом, индекс урожайности в агрегатном виде характеризует изменение валового сбора на фиксированной площади за счет изменения урожайности сельскохозяйственных культур. 3.
Представляется целесообразным остановиться еще на одном индексе — производительности труда.
Если обозначить объем произведенной продукции через 2 (в натуральном измерении для однородной продукции это #, а для разнородной продукции в стоимостном выражении это Хм в неизменных ценах), а затраты времени на ее производство через Т (человекочасы, человекодни, человекомесяцы или средняя численность работников в месяц), то производительность труда можно измерить количеством продукции м> (в натуральном или стоимостном выражении в неизменных ценах), вырабатываемой в единицу времени, либо затратами рабочего времени / на единицу продукции.
Первый показатель называют прямым показателем производительности труда, а второй — обратным или трудоемкостью, т.е. прямой показатель производительности труда м> = ?)/Т, а. обратный (трудоемкость) г = 7У?>.
Индивидуальные индексы для указанных показателей рассчитываются по следующим формулам:
^ • ?1 I = — И I, = —.
^0 'о
Однако / — это индекс затрат времени на единицу продукции, или индекс трудоемкости. Если же на основе данных /характери-
зуется изменение производительности труда, то берется величина, обратная индексу трудоемкости, или просто базисная трудоемкость сопоставляется с текущей:
,• = ^
Сводный же индекс производительности труда в агрегатной форме рассчитывается по формуле
5>|7!
к = <9-8>
где и',, и IV, — выработка продукции в единицу рабочего
времени (или одним рабочим) соответственно в базисном и отчетном периодах: в натуральном выражении при однородной продукции или в стоимостном выражении (в сопоставимых ценах) при разнородной продукции;
= ХС?!- фактический объем продукции, произведенной в отчетном периоде (в натуральном или стоимостном выражении в сопоставимых ценах);
Хи'цГ, — условная величина, показывающая, каким
был бы выпуск продукции в отчетном периоде при численности работников отчетного периода, но базисной производительности труда.
Агрегатный индекс производительности труда можно выразить через показатель трудоемкости /:
I = ЪЗА (9 9)
" XV. ’
где — выпуск продукции отдельных видов в натуральном
выражении в отчетном периоде;
Х?,/о ~ условные затраты времени на выпуск продукции отчетного периода при базисной трудоемкости;
Х?|?| — затраты времени на весь объем продукции в отчетном периоде.
Агрегатные индексы легко интерпретировать, поэтому они считаются основной формой общих (сводных) индексов, но не единственной.
Еще по теме 9.2. Агрегатные индексы:
- 8.3.4. Характеристика способов принятия решений на основе детерминированного факторного анализа
- 6.2. Алгоритм расчета индивидуальных индексов Методика расчета
- 6.3. Агрегатная форма общего индекса Сущность и принципы построения
- 6.5. Средние из индивидуальных индексов
- 6.7. Индексы как обобщающие показатели социально-экономического развития
- 3.7. Методы расчета и анализа индексов цен
- 4.5. Анализ динамики товарооборота
- 11.1. ПОНЯТИЕ И ЗНАЧЕНИЕ ИНДЕКСОВ
- 11.3. ИНДЕКСЫ КАЧЕСТВЕННЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
- 11.5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНДЕКСОВ В ЭКОНОМИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ
- 9.1. Общее понятие об индексах. Их виды
- 9.2. Агрегатные индексы
- 9.3. Средние индексы из индивидуальных (групповых)
- 9.4. Индексы переменного и фиксированного составов. Индекс структурных сдвигов
- 9.6. Взаимосвязанные индексы и определение роли отдельных факторов в динамике сложных (результативных) показателей
- 8.3.4. Характеристика способов принятия решений на основе детерминированного факторного анализа
- Факторный анализ
- МЕЖСТРАНОВЫЕ СРАВНЕНИЯ ДОХОДОВ НАСЕЛЕНИЯ НА БАЗЕ ПАРИТЕТОВ ПОКУПАТЕЛЬНОЙ СПОСОБНОСТИ ВАЛЮТ
- ДИНАМИКА ПОТРЕБЛЕНИЯ НАСЕЛЕНИЯ И ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ ЦЕН
- § 7. Индексы