<<
>>

7.5.3. Гиперболическая корреляция

Обратная зависимость между двумя признаками может выражаться либо уравнением прямой (т.е. линейной регрессии) с отрицательным коэффициентом регрессии, либо уравнением гиперболы

Ух = ао + а17

(уравнение гиперболы предпочтительнее использовать в тех случаях, когда значение результативного признака, равное нулю, лишено смысла, что теоретически возможно при обратной линейной зависимости).

Согласно МНК система для нахождения параметров гиперболы а0 и а, будет иметь вид

па„

+ а. X,- = Ху,

(7.36)

+ о,Х

= 1- х

Проиллюстрируем нахождение уравнения регрессии в форме гиперболы на конкретном примере.

Пример. В табл. 7.20 (графы 1, 2) по пяти предприятиям, выпускающим одноименную продукцию, приведены условные данные о размерах выпуска х (тыс. единиц) и себестоимости единицы продукции у (руб.). Требуется найти уравнение регрессии у по х.

Расчет всех необходимых для решения задачи показателей показан в графах 3—5 табл. 7.20.

Таблица 7.20

Расчетная таблица для определения параметров уравнения гиперболы по индивидуальным данным X У 1

X ш2 У

X 1 2 3 4 5 6 5 72 0,200 0,040000 14,40 72,2 8 68 0,125 0,015625 8,50 67,6 10 64 0,100 0,010000 6,40 66,0 12 66 0,083 0,006889 5,50 65,0 14 65 0,071 0,005041 4,64 64,3 I 335 0,579 0,077555 39,44 335,1 Предположим, что зависимость между х и у можно выразить функцией

1

Ух = ао + й|--

Определим параметры данной гиперболы, используя систему нормальных уравнений (7.36). Подставив в данную систему рассчитанные в табл. 7.20 суммы ХУ> — I > Х~> получим

х х

[5 а0 + 0,579а, = 335,

[0,579а0 + 0,077555а, = 39,44.

Решив систему, имеем а0 = 59,9, ах = 61,6. Следовательно,

у = 59,9 + 61,6—. *

х

Подставляя в данное уравнение значения х = 5, 8, 10, 12, 14, получаем выравненные (теоретические) показатели себестоимости единицы продукции (ух). Они приведены в последней графе табл. 7.20.

Если параметры рассчитываются по сгруппированным данным, т.е. при наличии частот, система уравнений принимает вид

= 1У/У,

/? ґ У/

в0Х- + «1Іі7 = 2-

х (7.37)

’ х _ ?у •' У X X2 X

Если исходные данные представлены в форме корреляционной таблицы, решается система уравнений (7.37).

Рассмотрим расчет параметров гиперболы по данным табл. 7.4, где приведено распределение 80 хозяйств по урожайности зерновых х и себестоимости зерна у.

Предположив зависимость между х и у в форме гиперболы, рассчитаем все необходимые для решения системы уравнений (7.37)

суммы в дополнительных графах табл. 7.21.

Таблица 7.21

Расчетная таблица для нахождения параметров уравнения гиперболы Середина интервала X Середина интервала у Итого

fx к

X Л

Xі II М ^ II 7* 125 135 145 155 14 — — — 2 2 0,143 0,010 310 22,143 161,1 16 — 1 2 3 6 0,375 0,023 890 55,625 152,7 18 — — 7 1 8 0,444 0,025 1170 65,000 146,2 20 — 8 8 — 16 0,800 0,040 2240 112,000 140,9 22 2 20 12 — 34 1,545 0,070 4690 213,182 136,7 24 1 8 1 — 10 0,417 0,017 1350 56,25 133,1 26 3 1 — — 4 0,154 0,006 510 19,615 130,0 Итого / 6 38 30 6 ?/= 3,878 0,191 11160 543,815 = 80 У/у 750 5130 4350 930 = 11160 /? /?

Из табл. 7.21 имеем: п = 80, =3,878, X-2~ = 0,191, =

X X

у/

= 11160, X—~ = 543,815.

х

Подставим значения в систему уравнений (7.37):

Г80<я0 + 3,8780, = 11160,

|3,878а0 + 0,191а, = 543,815.

Решив систему, получим: д0 = 93,92 и д, = 940,28. Таким образом, искомое уравнение гиперболы

уг = 93,92 + 940,28-, *

х

Подставляя в него последовательно значения х (14, 16, 18 и т.д.), находим теоретические значения себестоимости ух (показаны в последней графе табл. 7.21).

Сумма всех ух, найденная с учетом соответствующих весов по группам, т.е. по/^., должна совпасть с суммой всех фактических у:

5>/, = ЪУх Л-

Итак,

1У/У = И160,

ЛУх/х = 161,1-2 + 152,7-6 + 146,2-8 + 140,9-16 + 136,7-34 + + 133,1 • 10 + 130,0-4 = 11161,2.

Расхождение на 1,2 — результат округлений.

Выбор той или иной формы уравнения регрессии не всегда прост и однозначен, так как зависимость между одними и теми же признаками х и у с большей или меньшей точностью можно выразить несколькими формулами (уравнениями регрессии). Предпочтение следует отдавать тому уравнению, параметры которого рассчитываются более просто и при этом имеют определенную экономическую (логическую) интерпретацию.

<< | >>
Источник: Г.Л. Громыко. Теория статистики: Учебник. — Т11 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ИНФРА-М,. - 476 с. — (Классический университетский учебник)., . 2005

Еще по теме 7.5.3. Гиперболическая корреляция:

  1. 7.4.1. Линейный коэффициент корреляции
  2. 9.6. МНОЖЕСТВЕННАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ
  3. 7.4.2. Коэффициенты корреляции рангов
  4. 10.6. КОРРЕЛЯЦИЯ В РЯДАХ ДИНАМИКИ
  5. 7.8. Множественная корреляция
  6. Коэффициент внутригнездовой корреляции
  7. 8.8. Корреляция рядов динамики
  8. 9.5. КОЭФФИЦИЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИИ РАНГОВ
  9. График. (Поле корреляции, диаграмма рассеивания)
  10. 7.5.2. Параболическая корреляция
  11. 10.7. ТЕХНИКА НА ОСНОВЕ РАНГОВЫХ КОРРЕЛЯЦИЙ
  12. Иллюстрация Корреляция между пространством и правовой системой
  13. 7.4. Показатели тесноты связи между двумя количественными признаками
  14. 5.2.2. Общая характеристика внешней среды