7.5.3. Гиперболическая корреляция

Обратная зависимость между двумя признаками может выражаться либо уравнением прямой (т.е. линейной регрессии) с отрицательным коэффициентом регрессии, либо уравнением гиперболы

Ух = ао + а17

(уравнение гиперболы предпочтительнее использовать в тех случаях, когда значение результативного признака, равное нулю, лишено смысла, что теоретически возможно при обратной линейной зависимости).

Согласно МНК система для нахождения параметров гиперболы а0 и а, будет иметь вид

па„

+ а.

(7.36)

+ о,Х

= 1- х

Проиллюстрируем нахождение уравнения регрессии в форме гиперболы на конкретном примере.

Пример. В табл. 7.20 (графы 1, 2) по пяти предприятиям, выпускающим одноименную продукцию, приведены условные данные о размерах выпуска х (тыс. единиц) и себестоимости единицы продукции у (руб.). Требуется найти уравнение регрессии у по х.

Расчет всех необходимых для решения задачи показателей показан в графах 3—5 табл. 7.20.

Таблица 7.20

Расчетная таблица для определения параметров уравнения гиперболы по индивидуальным данным X У 1

X ш2 У

X 1 2 3 4 5 6 5 72 0,200 0,040000 14,40 72,2 8 68 0,125 0,015625 8,50 67,6 10 64 0,100 0,010000 6,40 66,0 12 66 0,083 0,006889 5,50 65,0 14 65 0,071 0,005041 4,64 64,3 I 335 0,579 0,077555 39,44 335,1 Предположим, что зависимость между х и у можно выразить функцией

1

Ух = ао + й|--

Определим параметры данной гиперболы, используя систему нормальных уравнений (7.36). Подставив в данную систему рассчитанные в табл. 7.20 суммы ХУ> — I > Х~> получим

х х

[5 а0 + 0,579а, = 335,

[0,579а0 + 0,077555а, = 39,44.

Решив систему, имеем а0 = 59,9, ах = 61,6. Следовательно,

у = 59,9 + 61,6—. *

х

Подставляя в данное уравнение значения х = 5, 8, 10, 12, 14, получаем выравненные (теоретические) показатели себестоимости единицы продукции (ух).

Если параметры рассчитываются по сгруппированным данным, т.е. при наличии частот, система уравнений принимает вид

= 1У/У,

/? ґ У/

в0Х- + «1Іі7 = 2-

х (7.37)

’ х _ ?у •' У X X2 X

Если исходные данные представлены в форме корреляционной таблицы, решается система уравнений (7.37).

Рассмотрим расчет параметров гиперболы по данным табл. 7.4, где приведено распределение 80 хозяйств по урожайности зерновых х и себестоимости зерна у.

Предположив зависимость между х и у в форме гиперболы, рассчитаем все необходимые для решения системы уравнений (7.37)

суммы в дополнительных графах табл. 7.21.

Таблица 7.21

Расчетная таблица для нахождения параметров уравнения гиперболы Середина интервала X Середина интервала у Итого

fx к

X Л

Xі II М ^ II 7* 125 135 145 155 14 — — — 2 2 0,143 0,010 310 22,143 161,1 16 — 1 2 3 6 0,375 0,023 890 55,625 152,7 18 — — 7 1 8 0,444 0,025 1170 65,000 146,2 20 — 8 8 — 16 0,800 0,040 2240 112,000 140,9 22 2 20 12 — 34 1,545 0,070 4690 213,182 136,7 24 1 8 1 — 10 0,417 0,017 1350 56,25 133,1 26 3 1 — — 4 0,154 0,006 510 19,615 130,0 Итого / 6 38 30 6 ?/= 3,878 0,191 11160 543,815 = 80 У/у 750 5130 4350 930 = 11160 /? /?

Из табл. 7.21 имеем: п = 80, =3,878, X-2~ = 0,191, =

X X

у/

= 11160, X—~ = 543,815.

х

Подставим значения в систему уравнений (7.37):

Г80<я0 + 3,8780, = 11160,

|3,878а0 + 0,191а, = 543,815.

Решив систему, получим: д0 = 93,92 и д, = 940,28. Таким образом, искомое уравнение гиперболы

уг = 93,92 + 940,28-, *

х

Подставляя в него последовательно значения х (14, 16, 18 и т.д.), находим теоретические значения себестоимости ух (показаны в последней графе табл. 7.21).

Сумма всех ух, найденная с учетом соответствующих весов по группам, т.е. по/^., должна совпасть с суммой всех фактических у:

5>/, = ЪУх Л-

Итак,

1У/У = И160,

ЛУх/х = 161,1-2 + 152,7-6 + 146,2-8 + 140,9-16 + 136,7-34 + + 133,1 • 10 + 130,0-4 = 11161,2.

Расхождение на 1,2 — результат округлений.

Выбор той или иной формы уравнения регрессии не всегда прост и однозначен, так как зависимость между одними и теми же признаками х и у с большей или меньшей точностью можно выразить несколькими формулами (уравнениями регрессии). Предпочтение следует отдавать тому уравнению, параметры которого рассчитываются более просто и при этом имеют определенную экономическую (логическую) интерпретацию.