<<
>>

7.5.2. Параболическая корреляция

Эмпирическая линия регрессии, отражающая на графике зависимость между х и у, не всегда дает основание для выдвижения гипотезы о линейной зависимости. Характер ломаной линии может быть самым различным.

Например, если рассматривать зависимость урожайности ка- кой-либо сельскохозяйственной культуры (у) от количества выпавших осадков (х), то вполне можно предположить, что с увеличением х будет возрастать и у, но может наступить момент, когда с увеличением х (избыток осадков) урожайность начнет падать.

На графике такие данные дадут ломаную, близкую к параболе 2-го порядка.

Вообще при выборе вида аппроксимирующей функции, отражающей зависимость между коррелируемыми показателями х и у, там, где это возможно, необходимо руководствоваться и логическими рассуждениями (как показано выше). Если же это невозможно, то основным обоснованием выбора той или иной аналитической формулы для уравнения регрессии является форма (вид) эмпирической линии регрессии.

Если при равномерном возрастании х значения у возрастают или убывают ускоренно либо возрастают, а затем убывают, то чаще всего в этом случае зависимость между коррелируемыми величинами может быть выражена в виде параболы 2-го порядка

ух = а0 + а,х + а2х*.

Параметры данного уравнения находят по методу наименьших квадратов. Напомним, что его суть сводится к нахождению параметров такой математической модели (уравнения регрессии), при которой обеспечивается минимальная сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) значений результативного показателя (у) от теоретических (ух), рассчитанных по уравнению регрессии.

Так, если Ух — а0 + а,х + а2х2, должно соблюдаться следующее требование:

S = Цу — а„ — а,х — fljX2)2 —» min.

Найдя частные производные данной функции по а0, а, и а2 и приравняв их к нулю, после несложных алгебраических преобразований получим следующую систему нормальных уравнений:

па0 + а,Хх + а21х2 = ?У> -

а0?х + а,2>2 + a2Y,x3 = ?ху, (7.34)

а02>2 + + а21х4 = ?х2у.

Решив эту систему, находим параметры искомого уравнения параболы 2-го порядка.

Рассмотрим конкретный пример нахождения уравнения регрессии в форме параболы 2-го порядка, отражающего зависимость между урожайностью озимой пшеницы (у) и количеством внесенных органических удобрений (х) по данным наблюдения на пяти участках (данные условные).

Исходные данные и все необходимые для решения системы суммы приведены в табл. 7.18.

Таблица 7.18

Расчетная таблица для определения параметров параболы 2-го порядка Внесено органических удобрений, т/га х Урожайность,

ц/га

У х2 х3 х4 ху Л Ух 1 2 3 4 5 6 7 8 1 16 1 1 1 16 16 16,2 2 19 4 8 16 38 76 18,5 3 20 9 27 81 60 180 20,4 4 22 16 64 256 88 352 21,9 5 23 25 125 625 115 375 23,0 п = 5 100 55 225 979 317 1199 100 По данным табл. 7.18 записываем систему уравнений:

5 а0 + 15а, + 55а2 = 100, •

15а0 + 55а, + 225а2 = 317,

55а0 + 225а, + 979а2 = 1199.

Решив эту систему, получим:

а0= 13,41, а, = 2,98, а2 =-0,214.

Отсюда искомое уравнение

ух = 13,41 + 2,98х - 0,214л2.

Подставляя в него последовательно значения х получаем теоретические значения результативного показателя, т.е. ух (приведены в графе 8 табл. 7.18).

Расчет параметров существенно упрощается, если вместо значений х пользоваться их отклонениями от средней величины, т.е. (х — х). Тогда система уравнений примет вид

па0 + я,?(х - х) + о2Х(х - х)2 = ]>>, •

а^{х - х) + а,Х(х - х)2 + я2Х(х - х)3 = ?(х - х)у, я0Х(* - х)2 + Я[Х(х - *)3 + - х)4 = ?(х - х)2у.

Поскольку Х(х — х) = 0, а также ?(х - х)3 = 0, то эту систему можно упростить:

па0 + а2Х(х - х)2 = 5>,

’ а{Ъ(х - х)2 = ?(х - х)у, (7.35)

ао1,(х - X)2 + Я2Х(х - х)4 = Х(х - х)2у.

Откуда а, рассчитывается непосредственно из второго уравнения, а а0 и а2 — путем решения системы двух уравнений (первого и третьего) с двумя неизвестными.

Однако надо иметь в виду, что найденные таким образом параметры не являются окончательными (искомыми), так как они определены для уравнения регрессии у по (х — х). Только подставив в последнее выражение значение х, после несложных алгебраических преобразований получим искомое уравнение у по х.

Проиллюстрируем этот способ на том же примере, переписав исходные данные и дополнив их необходимыми расчетами в табл. 7.19.

Таблица 7.19

Расчетная таблица для определения параметров параболы 2-го порядка при замене х на (х - х) X У X — X (х- х)2 1

^1 у(х- X) у(х - х)2 -У* 1 16 -2 4 16 -32 64 16,2 2 19 -1 1 1 -19 19 18,5 3 20 0 0 0 0 0 20,4 4 22 1 1 1 22 22 21,9 5 23 2 4 16 46 92 23,0 Ех = 15 Еу = 100 0 10 34 17 197 100 Подставим полученные суммы в систему (7.35):

5а0 + 10Й2 = 100,

? 10а, = 17,

Юа0 + 34 а2 = 197.

Отсюда а, = 1,7, а параметры а0 и а2 находим из

[5а0 + 10а2 = 100, [а0 + 2а, = 20,

л ИЛИ ^

|Юа0 + 34а2 = 197, [а0 + 3,4 а2 = 19,7,

1,4а2 = -0,3.

Итак, а2 = -0,214, а0 = 20 - 2(—0,214) = 20,428.

Уравнение у по (х — х) будет иметь вид

У(х- х) = 20>428 + 1>7(х - *) - 0,214(х - х)2.

Так как х = 3, то после несложных алгебраических преобразований последнего уравнения получим искомое уравнение регрессии у по х:

у = 20,428 + 1,7(х - 3) - 0,214(х - З)2 = 20,428 + 1,7х - 5,1 - -

0.214Х2 + 1,284л: - 1,926 = 13,4 + 2,984я: - 0,214**,

т.е.

результат тот же (небольшие расхождения в сотых и тысячных знаках у первых двух параметров — результат округлений при расчете а2).

Теоретические значения результативного признака ух можно найти не применяя последнее уравнение. Проще использовать предпоследнее уравнение: подставив в него значения (х — 3), т.е. отклонения от средней величины, можно сразу получить ух. Естественно, результат не изменится.

Зависимость между х и у может выражаться также уравнением параболы более высокого порядка.

<< | >>
Источник: Г.Л. Громыко. Теория статистики: Учебник. — Т11 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ИНФРА-М,. - 476 с. — (Классический университетский учебник)., . 2005

Еще по теме 7.5.2. Параболическая корреляция:

  1. 245. Каково содержание понятия "заработная плата"?
  2. Эффективность работы персонала
  3. 10.7. ТЕХНИКА НА ОСНОВЕ РАНГОВЫХ КОРРЕЛЯЦИЙ
  4. 9.5. КОЭФФИЦИЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИИ РАНГОВ
  5. 9.6. МНОЖЕСТВЕННАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ
  6. 10.6. КОРРЕЛЯЦИЯ В РЯДАХ ДИНАМИКИ
  7. 7.4.1. Линейный коэффициент корреляции
  8. 7.4.2. Коэффициенты корреляции рангов
  9. 7.5.2. Параболическая корреляция
  10. 7.5.3. Гиперболическая корреляция
  11. 7.8. Множественная корреляция
  12. 8.8. Корреляция рядов динамики
  13. 10.7. ТЕХНИКА НА ОСНОВЕ РАНГОВЫХ КОРРЕЛЯЦИЙ
  14. Эффективность работы персонала