Глава 9. Цена страховой услуги. Методические основы расчета страховых тарифов

«обратный» экономический цикл, при котором страховая услуга оплачивается заранее, а предоставляется потребителю в течение промежутка времени, когда могут сказаться такие факторы, как инфляция и изменение самого застрахованного объекта; —

возможность реализации услуги в неявной форме, не обязательно в форме страховой выплаты, но также в форме потенциального обещания; —

неопределенность количества и размера будущих страховых выплат; —

возможность передачи части обязательств в перестрахование, что может повлиять на цену услуги.

В имущественном страховании страховые выплаты зависят от характера обязательств страховщика, перечня застрахованных рисков, частоты (вероятности наступления) и тяжести проявления риска (соотношения фактического убытка и страховой суммы), которые определяются особенностями объекта страхования. В личном страховании на размер страховых выплат влияют вероятность смерти, инвалидности и заболевания застрахованного, характер обязательств страховщика и размер страховой суммы.

Убытки при страховых случаях зависят от случайных факторов, общие закономерности и статистические характеристики которых удается надежно оценивать только при большой совокупности застрахованных. Размер страховой выплаты является случайной величиной, предельным значением которой является по определению страховая сумма.

Складывающаяся величина страховых выплат по виду страхования формирует стоимость страховой услуги, которая представляет собой статистически определяемое значение. При увеличении числа застрахованных объектов и общей суммы выплат их величина приближается к установившемуся значению, исходя из которого страховщик устанавливает стоимость страховой услуги по конкретному виду страхования.

Цена страховой услуги, оплаченная потребителем, является платой за страхование или, по терминологии страхового рынка, — страховой премией.

Страховая премия (страховой взнос, в практике страхования — страховой платеж) — плата за страхование, которую страхователь вносит (уплачивает) страховщику за принятое им на себя обязательство осуществить страховую выплату страхователю при наступлении страхового случая, предусмотренного в договоре страхования.

Страховая премия отражает возмездный характер страховой сделки, совершаемой страхователем и страховщиком, и является платой за услугу, оказываемую страховщиком страхователю по договору добровольного страхования или в порядке обязательного страхования, предусмотренного законом.

Страховая премия определяет долю участия каждого страхователя в формировании страхового фонда страховщика, который служит источником страховых выплат. Размер страховой премии должен быть достаточным для того, чтобы покрыть ожидаемые претензии, финансировать расходы по ведению страховых операций. Поскольку страховая организация является коммерческой организацией, в цену услуги может быть заложена прибыль. На размер страховой премии влияют и такие коммерческие факторы, как темп инфляции в стране, размер процентных ставок, уровень конкуренции.

Часть страховой премии, предназначенная для формирования страхового фонда .(только для страховых выплат), называется нетто-премией, а часть, предназначенная для покрытия расходов страховщика на ведение дела, и формирование плановой прибыли — нагрузкой. В совокупности они составляют страховую премию, или брутто-премию.

Нетто-премия составляет часть стоимости страхования, которая зависит только от страховых выплат, тогда как полная стоимость определяется нетто-ставкой и затратными составляющими нагрузки.

Расходы по ведению страховых операций включают: —

аквизиционные, т.е. первоначальные расходы по заключению новых договоров страхования, основную часть которых составляет комиссионное вознаграждение страховым агентам за заключение договоров страхования; —

ликвидационные расходы по урегулированию страховых случаев; —

инкассационные расходы, связанные с затратами на обслуживание наличного денежного оборота поступающих страховых взносов и выплат; —

административно-хозяйственные (управленческие) и прочие расходы страховщика по управлению страховой организацией и хозяйственному обеспечению ее работы (аренда помещения, зарплата сотрудникам и др.).

Страхование является замкнутым распределением ущерба между страхователями. По рисковым видам страхования страховой фонд формируется только из поступающих страховых премий страхователей. По видам страхования, относящимся к страхованию жизни (ренты, пенсии), страховой фонд формируется из нетто-взносов страхователей и дохода, полученного страховщиком от временного их использования в качестве инвестиционных ресурсов. Эта часть дохода учитывается в виде нормы доходности, принятой страховщиком при расчете страховых тарифов, на основании которых рассчитываются страховые премии. Величина страховой премии зависит от страховой суммы, особенностей застрахованного объекта и объема страховой ответственности страховщика (набора рисков, на случай наступления которых проводится страхование, и установленного размера страховых выплат по каждому из них) и рассчитывается на основании страховых тарифов с единицы страховой суммы либо объекта страхования. При правильно рассчитанных страховых тарифах обеспечивается необходимая финансовая устойчивость страховых операций, т.е.

Под влиянием рыночных факторов — спроса и предложения — цена страховой услуги подвержена колебаниям, при появлении конкурентов или уменьшении спроса она снижается. Возможно чрезмерное занижение цены и формирование страховщиком страхового фонда, недостаточного для обеспечения необходимых страховых выплат. В этом случае говорят о финансовой неустойчивости страховых операций и низкой платежеспособности страховщика.

Расчет величины страхового фонда, соответствующего страховым обязательствам страховщика, является важнейшей задачей актуарных расчетов страховщика и проводится на основе принципа "эквивалентности обязательств сторон", т.е. предполагается, что должно обеспечиваться равенство между поступающими нетто-премиями страхователей (^ НПР) и страховыми выплатами страховщика (^ В), т.е. выполняется условие:

ХНПР=?В.

В формировании стоимости страховой услуги участвует нагрузка. По рисковым видам страхования доля нагрузки в страховой премии — { составляет от 15 до 30%, по страхованию жизни она меньше и составляет 5—10%, однако при одинаковых с рисковыми видами страхования страховых суммах это обеспечивает достаточно большие абсолютные суммы из- за значительно больших страховых премий.

Величина страховой премии по договору страхования определяется по формуле:

ПР1 = 81 *Тб/100 ,

где: — страховая сумма по договору страхования;

Тб — брутто-ставка в руб. со 100 руб. страховой суммы или в процентах от страховой суммы.

Окончательная величина страховой премии по договору добровольного страхования определяется соглашением сторон при его заключении.

Страховая премия может быть уплачена единовременным взносом либо вноситься по частям, в рассрочку, в размерах и в сроки, установленные при заключении договора страхования. По рисковым видам страхования страховая премия обычно уплачивается единовременно или в два срока, если условиями договора не установлено другое количество взносов.

При страховании жизни (по накопительным видам страхования) уплата страховой премии чаще всего осуществляется в форме ежегодных, ежеквартальных или ежемесячных взносов.

Например, при страховании жизни сроком на два года премия, рассчитанная для условно застрахованного в возрасте (х) лет при норме доходности 10% годовых составит 100 тыс. руб. при единовременном взносе, или около 100 тыс. 93 руб. при ежегодных взно- 92 сах, т.е. разница составит 93 руб. С увеличением нормы доходности, принятой страховщиком при расчете страховых тарифов, срока страхования и частоты внесения взносов такая разница увеличивается.

Для приведения стоимости страховых услуг в соответствие с действительной степенью риска применяется система скидок и надбавок к базовой премии. Например, при страховании морских судов используется система скидок и надбавок в зависимости от района плавания, года постройки, флага страны приписки и др. Применение скидок и надбавок в зависимости от индивидуальной оценки риска по договору страхования является эффективным приемом, позволяющим страховщику при заключении договора страхования адекватно учитывать особенности принимаемого на страхование риска.

Страховой тариф (в практике страхования — тарифная ставка, или брутто-ставка) — ставка страховой премии (страхового платежа) с единицы страховой суммы или объекта страхования, на основании которой рассчитывается страховая премия. Значения страховых тарифов устанавливаются в рублях со 100 руб. страховой суммы или в процентах к страховой сумме, численно они равны. Например, страховой тариф по страхованию граждан от несчастного случая составляет 0,5 — 3 руб. со 100 руб. страховой суммы, что равнозначно 0,5 — 3% от страховой суммы.

Страховые тарифы по обязательным видам страхования устанавливаются в законодательном порядке.

Страховые тарифы по добровольным видам страхования (личного и имущественного) рассчитываются страховщиком самостоятельно на основе страховой статистики с использованием методов теории вероятности, статистики и финансовой математики и получили название актуарных.

Страховая статистика на основе наблюдения множества страховых случаев в прошлом представляет данные для прогнозирования статистической (априорной) вероятности существования риска в будущем. Анализ полученного массива информации позволяет выявить особенности наступления страховых случаев и провести оценку возможного размера ущерба в будущем. Чем больше число объектов наблюдения, тем более достоверна оценка, т. к. закон больших чисел реализуется только для большой страховой совокупности.

Актуарные расчеты позволяют провести оценку необходимых страховых показателей, в том числе рассчитать вероятность наступления страховых случаев, величину возможных убытков, величину тарифных ставок, необходимый размер страхового фонда и другие показатели.

Страховщик проводит расчет страховых тарифов исходя из условия соответствия собранных в страховой фонд взносов страхователей сумме ожидаемых страховых выплат. Поэтому рассчитанные страховщиком тарифные ставки и страховые премии носят обоснованный характер и определяются затратами на страховые выплаты с учетом особенностей застрахованных объектов и объема ответственности страховщика. Чем больше опасностей (рисков) включается в число застрахованных, тем выше страховой тариф. Так, при страховании имущества предприятия в перечень рисков, от которых оно страхуется, могут быть внесены: опасность пожара, залива водой, воздействие стихии, хищения и др. При страховании имущества предприятия только от риска огня страховой тариф для различных видов имущества может составить от 0,2 до 0,5 руб. со 100 руб. страховой суммы, тогда как при страховании того же имущества от рисков огня, залива водой и хищения он может составлять от 0,5 до 2 руб. со 100 руб.

При расчете страховых тарифов по рисковым видам страхования используются показатели страховой статистики и расчетные показатели за тарифный период — г, который составляет не менее 1 года, обычно 5 лет, по отдельным видам (страхование сельскохозяйственных культур) — 10 лет.

Расчет тарифных ставок по страхованию жизни проводится на основе данных демографической статистики по таблицам смертности, составляемым по итогам переписи населения, и ожидаемой нормы доходности, принятой при расчетах страховщиком.

Страховой тариф (брутто-ставка) состоит из нетто-ставки, предназначенной для формирования страхового фонда для страховых выплат, и нагрузки, предназначенной для покрытия расходов страховщика по проведению страхования. Соотношение составных частей страхового тарифа отражается в его структуре, которая показывает долю каждой составляющей (нетто-ставки, нагрузки) в брутто-ставке.

Методики расчета страховых тарифов по рисковым и по накопительным (относящимся к страхованию жизни) видам страхования существенно отличаются, но в любом случае вначале определяют нетто-ставку и, добавляя к ней нагрузку, получают брутто- ставку.

Страховые нетто- и брутто-тарифы рассчитываются по каждому виду и варианту страхования, их величина зависит от особенностей объекта страхования и объема страховой ответственности страховщика, изменение которой приводит к изменению страховых тарифов.

Страховые тарифы по рисковым видам страхования рассчитываются на основе убыточности страховой суммы — экономического показателя, определяемого на основе страховой статистики и характеризующего соотношение страховых выплат и принятых страховых обязательств страховщика за определенный — тарифный период. Этот показатель имеет интегральный характер и позволяет в общем виде учитывать многообразие факторов, влияющих на наступление страховых случаев и величину страховых выплат. Например, такой фактор, как погодные условия в отдельные годы, учитывается при автостраховании в показателе убыточности страховой суммы. Рассчитанное значение убыточности принимается в качестве основной части нетто-ставки — То.

Для учета возможного повышения убыточности в отдельные неблагоприятные годы к основной части нетто-ставки добавляют рисковую надбавку — Тр, которая также рассчитывается страховщиком на основании имеющейся статистики. Таким образом, нетто-ставка по рисковым видам страхования Тн складывается из основной части То — убыточности и рисковой надбавки Тр, т.е.:

Тн = То + Тр.

Долю нетто-премии, соответствующую То, в страховой литературе часто называют рисковой премией, а долю, соответствующую Тр, — гарантийной надбавкой.

Структура тарифа по рисковым видам страхования имеет вид: БРУТТО-СТАВКА

(виды страхования иные, чем страхование жизни) НЕТТО-СТАВКА НАГРУЗКА Основная часть нетто-ставки Рисковая

надбавка Расходы на ведение дела Плановая

прибыль Агентское вознаграждение По видам страхования, относящимся к страхованию жизни, для расчета нетто-ставок используются данные о смертности и продолжительности жизни населения по таблицам смертности, а также норма доходности по инвестированию поступивших страховых нетто- взносов, которые используются страховщиком в качестве инвестиционных ресурсов.

Расчеты тарифных ставок по страхованию жизни в истории развития страхования получили название актуарных, хотя в настоящее время к актуарным относят все расчеты тарифов, включая и по рисковым видам.

Нетто-ставка по страхованию жизни представляет собой сумму нетто-ставок по рискам, включенным в объем ответственности страховщика. Она складывается из нетто-став- ки для выплат по дожитию до установленного договором срока или события и нетто-ставки на случай смерти. Структура тарифа по смешанному страхованию жизни имеет вид: БРУТТО-СТАВКА

(смешанное страхование жизни) НЕТТО-СТАВКА НАГРУЗКА Нетто-ставки по застрахованным рискам Расходы на ведение дела Плановая

прибыль Дожитие Смерть Агентское

вознаграждение Величина нетто-ставки (и всего страхового тарифа) по страхованию жизни зависит от возраста и пола застрахованного, нормы доходности, принятой страховщиком при расчете тарифов, объема его ответственности, размера и периодичности страховых выплат и взносов.

Доля нагрузки в страховом тарифе — ( зависит от расходов страховщика на ведение дела, включая вознаграждение страховым агентам, и формирование плановой прибыли.

Расчет брутто-ставки при известной нетто-ставке и заданной нагрузке ( производится по формулам:

Тб = Тн / (1-0,

Тб = 100 *Тн / (100-0,

где: Тн — нетто-ставка;

( — доля нагрузки в тарифной ставке в относительных единицах (в первой формуле) или в процентах к брутто-ставке (во второй формуле).

По добровольным видам страхования доля нагрузки в тарифной ставке устанавливается страховщиком самостоятельно исходя из соотношения совокупных затрат, связанных с проведением соответствующего вида страхования, и суммы нетто-премий, поступающих за год.

Страховые тарифы по большинству рисковых видов страхования (имущественному, страхованию ответственности) не превосходят 2—3% от страховой суммы. По добровольному медицинскому страхованию они значительно выше и существенно зависят от выбранной застрахованным медицинской программы и лечебных учреждений. Наибольшие значения имеют страховые тарифы по страхованию жизни (накопительным видам страхования), по которым тарифные ставки при единовременной уплате страховой премии и малых сроках страхования могут достигать 80—90% от страховой суммы, в зависимости от условий страхования, объема ответственности страховщика и нормы доходности, принятой при расчете страховых тарифов. При увеличении срока страхования эти значения постепенно уменьшаются.

Различают средние тарифные ставки по виду страхования (однородной группе объектов страхования или группе рисков) и индивидуальные ставки, в максимальной степени соответствующие степени риска по конкретным договорам страхования.

В целях проведения успешного и безубыточного страхования страховщик проводит определенную тарифную политику, т.е. осуществляет комплекс мер, направленных на разработку, применение и уточнение базовых тарифных ставок и их применение при заключении договоров страхования. Основные принципы тарифной политики страховщика включают: 1.

Обеспечение эквивалентности страховых экономических отношений между страховщиком и страхователем на основе равенства полученной за тарифный период страховой нетто-премии и общей суммы убытков (страховых выплат) в связи со страховыми случаями. 2.

Доступность страховых тарифов для широкого круга потенциальных страхователей, т.е. обеспечение экономической целесообразности страхования для потребителя. 3.

Стабильность страховых тарифов и расширение по возможности страховой ответственности при постоянных тарифах. 4.

Обеспечение самоокупаемости и рентабельности страховых операций. 5.

Обеспечение гибкости и индивидуальный подход при разработке и применении страховых тарифов при заключении договоров страхования, т.е. проведение страховщиком гибкой ценовой политики.

На практике важную роль играет дифференциация страховых тарифов, т.е. разработка страховщиком системы базовых тарифов — тарифной сетки с учетом особенностей объектов страхования, застрахованных рисков и объема страховой ответственности. Например, при страховании имущества юридических лиц используются значения страховых тарифов в зависимости от вида имущества (основные и оборотные фонды, материалы и товарные запасы на складе, незавершенное строительство и т.п.) и перечня застрахованных рисков (огонь, вода, противоправные действия третьих лиц и т.д.). Иногда страховые тарифы зависят от стоимости имущества или страховой суммы по договору страхования. Играет роль использование франшизы, ее вид и величина, а также система страховых выплат, принятая страховщиком по страхованию имущества — пропорциональная или «по первому риску».

Если принимаемый на страхование риск отличается от типичного, для которого рассчитывались базовые тарифные ставки, страховщик корректирует тариф по конкретному договору страхования, применяя повышающие или понижающие коэффициенты к базовым ставкам, т.е. использует систему скидок и надбавок к базовой страховой премии. В этих же целях страховой портфель делят на качественно однородные группы — «субпортфели», для каждого из которых устанавливают базовые средние тарифные ставки.

Средняя тарифная ставка применяется в следующих случаях: —

страховщика не интересуют индивидуальные особенности объекта, подлежащего страхованию; —

страховщик не располагает достаточной информацией об уровне риска и особенностях объектов, включенных в страховой портфель.

Средние тарифные ставки широко используются по массовым рисковым видам страхования, когда наблюдается однородность как по характеру застрахованных рисков, так и по составу застрахованных объектов, а также достаточно большое их число. Такие ставки целесообразно применять при устойчивом показателе убыточности страховой суммы, т.к. иначе, при росте убыточности, страховые операции будут дефицитными.

Индивидуальные тарифные ставки применяются при страховании крупных объектов и редко встречающихся или нетрадиционных рисков, когда страховщик стремится максимально точно оценить степень риска и обстоятельства, влияющие на стоимость страхования.

Методика расчета страховых тарифов по рисковым видам страхования

Основу страхового тарифа составляет нетто-ставка, ее величина определяет долю средств страховой премии, направляемую на страховые выплаты.

Нетто-ставка соответствует степени опасности страхового риска, складывающейся из вероятности его наступления и возможной величины убытка. Одновременно нетто-ставка отражает вероятное значение необходимой доли взноса каждого страхователя в страховой фонд в соответствии с той степенью риска, которую он добавляет своим страхованием в общий фонд исходя из объема ответственности страховщика. Достоверный расчет непоставок является важнейшей задачей страховщика.

Расчет нетто-ставок по рисковым видам страхования проводится на основе страховой статистики по страхованию аналогичных объектов при одинаковых условиях. Основными расчетными показателями являются: —

Ч — частота ущерба или вероятность наступления страхового случая — это отноше

ние числа объектов, пострадавших при страховых случаях (ш), к общему числу застрахованных объектов за тот же (тарифный) период (п), т.е. ч = ш / п (если риски независимы, а число страховых случаев на объект не превосходит один). Например, при страховании автомобилей от всех рисков вероятность наступления страхового случая составляет 0,12 — 0,15.

Если возможно наступление нескольких страховых случаев по договору или объекту страхования, вероятность страхового случая рассчитывается как совместная вероятность. —

g — тяжесть ущерба (или отношение рисков) — отношение величины ущерба (убыт

ка), наступившего в результате страхового случая (8в1), к страховой сумме по договору страхования (81). При страховании имущества следует учитывать, что оно может быть «недостраховано», т.е. страховая сумма установлена меньше, чем действительная стоимость имущества. В любом случае далее под тяжестью ущерба понимается его отношение к той страховой сумме, на которую было застраховано имущество, т.к. с позиции страховщика в этом случае важна не столько действительная стоимость имущества, сколько предел его ответственности перед страхователем, ограничиваемый страховой суммой. —

— убыточность страховой суммы представляет собой отношение суммы страховых выплат к сумме страховых сумм по всем действовавшим за определенный (тарифный) период времени договорам страхования:

т

У 8вк I

\=\

где: ввк — страховое возмещение при страховом случае по к-му договору, к = 1, 2, , т;

81 — страховая сумма при заключении 1-го договора, [ = 1, 2, , п;

ш — число страховых случаев по п договорам страхования, или число объектов, пострадавших от событий, охваченных страхованием; п — общее количество договоров, заключенных за некоторый период времени (I) в прошлом, или общее количество объектов, которые были застрахованы.

В качестве минимального тарифного периода принимается один год.

Убыточность страховой суммы можно также рассчитать по формуле:

= То = ч * (8в / 8§),

где: 8в — среднее возмещение (страховая выплата) по договору страхования при наступлении страхового случая;

вз — средняя страховая сумма по договору страхования.

Значения q, вв, Бв могут быть оценены по формулам:

Ч = т/п ;

т п

5>к 5; я

Бв = — ^ = ——

т п

Расчет страховых тарифов проводится страховщиком: —

при разработке новых страховых продуктов. В случае отсутствия страховой возможно использование нестраховой статистики. Например, вероятность функционального отказа нового типа спутника на орбите возможно оценить только по данным организаций аэрокосмического комплекса, т.к. нет достаточного опыта страхования таких объектов; —

при периодических проверках соответствия используемых тарифных ставок складывающимся реальным условиям страхования и финансовым результатам — проверочные расчеты; —

для целей анализа, прогнозирования и оценки возможности снижения стоимости страхования и повышения конкурентоспособности.

С точки зрения особенностей расчета страховых тарифов можно выделить: —

массовые виды страхования, т.е. страхование большого числа однородных, сходных по характеру реализации риска и тяжести последствий объектов; —

страхование индивидуальных рисков — единичных крупных рисков и редких событий.

К массовым рисковым видам страхования относится, например, страхование от несчастного случая, имущества от пожара, грузов и т.п.

К страхованию индивидуальных рисков относится страхование от ураганов и других природных катастроф, авиационных, космических, ядерных и других специфических рисков.

Для первого типа страхования, т.е. массовых рисковых видов страхования, характерно то, что количество застрахованных объектов (договоров страхования) довольно велико, составляет у крупных страховщиков десятки и сотни тысяч. Для такой совокупности усредненные оценки дают хорошие результаты и в качестве достаточного показателя при расчете тарифных нетто-ставок часто используется убыточность страховой суммы. Однако на практике при расчете страховых тарифов применяют также и сложные математические модели с учетом законов распределения при описании характеристик случайных величин: размеров страховых выплат по отдельным рискам и портфелю в целом, частоты их наступления и других показателей. Например, для характеристики распределения числа выплат по портфелю часто применяют биноминальное и распределение Пуассона, при оценке величины страховых выплат — экспоненциальное, гамма- и распределение Парето и т.д.

При расчетах используется как собственная страховая статистика, так и статистика других страховщиков, которая в развитых странах обычно накапливается специализированными актуарными органами.

Рискам второго типа присуща высокая степень индивидуальности и редкая реализация, что не позволяет использовать усредненные оценки при расчете нетто-ставок. В этом случае используются более сложные законы и модели, например на основе теории подобия, модели индивидуального риска и другие.

В общем случае расчет страховых тарифов относится к сфере деятельности математи- ков-актуариев — специалистов в области страховой и финансовой математики, проводится на основе методов этих дисциплин и является самостоятельным направлением, выходящим за рамки данной работы. Поэтому дальнейшее изложение материала ограничим рассмотрением методики расчета страховых тарифов на основе убыточности страховой суммы, которая используется в практике страховщиков по распространенным, массовым видам страхования и которая нашла отражение, в частности, в Методиках расчета страховых тарифов по массовым рисковым видам страхования (утверждены Приказом Росстрахнадзора № 02-0336 от 8.07.93).

По рисковым видам страхования брутто-ставка страхового тарифа рассчитывается на основе нетто-ставки Тн, которую принято рассматривать как сумму двух составляющих:

Тн = То + Тр

Основная часть нетто-ставки — То соответствует среднему сложившемуся уровню выплат страховщика, ее величина принимается равной наблюдаемой убыточности страховой суммы по результатам страхования за предшествующий период. В качестве значения То принимают: —

среднее значение убыточности, рассчитанное по результатам страхования за ряд лет; —

ожидаемое значение убыточности на планируемый период, рассчитанное с учетом динамики ее изменения в прошлом. В этом случае фактическая убыточность

рассчитывается по каждому году, устанавливается закон ее изменения и рассчитывается значение на перспективу.

Рисковая надбавка Тр предназначена для покрытия возможного отклонения реальных выплат в предстоящий период от их среднего уровня.

Недостатком использования среднеарифметического значения убыточности за ряд лет является то, что оно не отражает развития застрахованного риска во времени. Поэтому удобнее представлять значение убыточности, рассчитанное в динамике по годам. Используя далее выбранный закон аппроксимации, оценивают прогнозируемый уровень убыточности на предстоящий период, например, год. В простейшем случае используется модель линейного тренда, при которой фактические данные об убыточности страховой суммы выравниваются на основе линейного уравнения. Полученное значение принимают в качестве основной части нетто-ставки То, а значение рисковой надбавки — Тр оценивается одним из известных методов, например, как среднее квадратическое отклонение от выровненных значений.

Изложенная методика используется для расчета страховых тарифов по видам страхования, по которым имеется надежная страховая статистика и возможно оценить величину и динамику убыточности страховой суммы за ряд, п лет. Предполагается, что портфель договоров страхования не будет подвергаться влиянию опустошительных событий. Точность оценки существенно повышается, если зависимость убыточности от времени близка к линейной. Такой случай иллюстрирует график на стр. 100. Значения убыточности за период 1996—2001 гг., приведенные на графике, рассчитаны страховщиком по фактическим данным проведения страхования. Убыточность на 2001 г. является прогнозируемым значением, рассчитанным с учетом линейного тренда.

При использовании линейного тренда в качестве закона изменения убыточности страховой суммы расчет тарифных ставок проводится следующим образом.

По имеющимся исходным данным для каждого года рассчитывается фактическая убыточность страховой суммы

На основании полученного ряда значений основная часть нетто-ставки То определяется как прогнозируемая убыточность на очередной год, рассчитанная с использованием модели линейного тренда по формуле:

То = УЧ = аО + аЬ ^

где: У* I — выровненный показатель убыточности страховой суммы; ао, а1 — параметры линейного тренда;

I — порядковый номер года.

Динамика убыточности за период 1996 — 2001 гг.:

Параметры уравнения линейного тренда определяются методом наименьших квадратов решением системы уравнений:

]ГУ1 = а0*п + а1* ?4

Х(?1-1) = а0.?1 + а1.]Г12

1=1 1=1 1=1

Для определения рисковой надбавки Тр рассчитывается среднее квадратическое отклонение фактических значений убыточности от выровненных значений: где: п — число лет, за которое учитывается убыточность.

Ц(?Ч-?1)2 (п-1)

Рисковая надбавка определяется по формуле:

Тр = /3(у,п) * а,

где: /3(у, п) — коэффициент, зависящий от выбранной гарантии безопасности у (вероятности, с которой собранных взносов должно быть достаточно для страховых выплат) и числа анализируемых лет наблюдений — п, выбирается по таблице.

Таблица

Табличные значения коэффициента гарантии безопасности п/7 0,8 0,9 0,95 0,975 0,99 3 2,972 6,649 13,640 27,448 68,740 4 1,592 2,829 4,380 6,455 10,448 5 1,184 1,984 2,850 3,854 5,500 6 0,980 1,596 2,219 2,889 3,900 Далее определяют значение нетто-ставки:

Тн = То + Тр.

Брутто-ставка Тб рассчитывается по ранее приведенным формулам, например:

Тб = Тн / (100 - О,

где: Т (%) — доля нагрузки в тарифной ставке, установленная страховщиком (в процентах).

По видам страхования, по которым прогнозируемая убыточность на очередной год, рассчитанная по модели линейного тренда, составляет величину меньше среднеарифметического фактической убыточности за ряд лет (выровненная убыточность убывает) при расчете нетто-ставки за расчетное значение убыточности принимается большее из значений, т.е. среднеарифметическое значение фактической убыточности. Этим снижается инфляционное влияние и повышается финансовая устойчивость страховых операций.

Если отдельные факторы оказывают особенно заметное влияние на размеры убытков при страховых случаях и возможно их выделить и собрать статистику влияния на страховые выплаты, то при расчете убыточности их выделяют в самостоятельную составляющую. Расчет в этом случае проводят на основе суммы двух значений убыточности: вследствие выделенного фактора и по остальным причинам. Расчет сетки тарифных ставок по виду страхования для различных объектов и рисков проводится аналогичным образом по группам однородных объектов и рисков на основе соответствующей выборочной страховой статистики.

Дифференциация тарифов проводится также путем применения коэффициентов повышения и понижения к рассчитанной базовой тарифной ставке по виду страхования. Например, в Германии по огневому страхованию страховщики применяют нормативные коэффициенты к базовым ставкам, учитывающие разнообразие объектов страхования, видов установок и сооружений, использованных строительных материалов, расположения и т.д.

При расчете страховщиком тарифных ставок с использованием «чужой» страховой статистики должно обеспечиваться ее соответствие страховым рискам и условиям страхования страховщика.

В качестве примера приведем расчет тарифных ставок по страхованию имущества предприятий. Предполагается, что имеется страховая статистика по результатам работы данного страховщика за несколько лет как в целом по виду страхования, так и по отдельным группам имущества и страховым рискам. Оценка значений тарифных ставок проводится на очередной год. Ниже приведен расчет базовой тарифной ставки в целом по виду страхования (все данные отнесены на 100 руб. страховой суммы). *

Основная часть нетто-ставки То определена как прогнозируемая убыточность на очередной год, рассчитанная по модели линейного тренда.

При расчете рисковой надбавки Тр среднее квадратическое отклонение фактических значений убыточности от выровненных значений определено при значении коэффициента гарантии безопасности /3(у,п), соответствующего уровню гарантии безопасности у = 0,95 и числу лет наблюдений а = 5. Страховщик устанавливает нагрузку по виду страхования в размере 1=30%.

Исходные значения убыточности страховой суммы по виду страхования и промежуточные результаты расчета представлены в таблице. Таблица

Динамика убыточности страховой суммы за 1996 — 2000 гг.

Фактич.

убыточ

ность

т

Расчетные показатели

Год

(О2

(УЧ—\Ч)2

УЧ

(УЧ—УО

0.78

0.78

0.782

1996

-0.002

0.000004

1997

0.85

1.70

0.820

0.030

0.000900

0.858

-0.038

1998

0.82

2.46

0.001444

1999

0.89

3.56

16

0.896

-0.006

0.000036

0.934

0.016

2000

0.95

4.75

25

0.000256

0.000

Суммы:

15

4.29

13.25

55

0.002640

Рассчитанные значения коэффициентов составляют:

аО = 0,744; а1 = 0,038

Основная часть нетго-ставки равна:

То = У6 = 0,744 + 0,038 * 6 = 0,97

Рисковая надбавка при у= 0,95, п= 5 и соответствующем значении /3 (у,п) = 2,85 составляет:

Тр = 2,85 * = 0,07

(5-1)

Нетто-ставка равна :

Тн = То + Тр = 0,97 + 0,07 = 1,04 Брутто-ставка, при нагрузке і = 30% составляет (со 100 руб. страховой суммы):

Тб = Тн 100 / (100—0 = 1,04*100/(100-30) =1,49.

Рассчитанное значение брутго-ставки является базовым значением по виду страхования. Для практической работы аналогичным образом рассчитывают тарифные ставки по группам имущества и видам рисков. Пример результатов такого расчета представлен в таблице.

При заключении договоров страхования в зависимости от степени конкретного риска к базовым ставкам применяются коэффициенты понижения и повышения в диапазоне от 0,5 до 2,0.

Таблица ТАРИФНЫЕ СТАВКИ

по страхованию имущества предприятий (со 100 руб. страховой суммы) Застрахованное

имущество Риски пожар вода стихийные

бедствия механические повреждения противоправные действия третьих лиц Здания и отдельные помещения, сооружения, хозяйственные постройки 0.34 0.16 0.15 0.19 0.51 Оборудование 0.36 0.19 0.17 0.20 0.57 Продукция, товары, сырье и материалы 0.39 0.23 0.18 0.20 0.67 Инвентарь, мебель 0.35 0.18 0.12 0.21 0,70 Базовые ставки по пакету рисков (страхование от пожара, действия воды и повреждений) составляют: —

здания и отдельные помещения, сооружения, хозяйственные постройки — 0,75 (с ответственностью за противоправные действия третьих лиц — 1,05); —

оборудование — 0,90 (с ответственностью за противоправные действия третьих лиц — 1,30); —

продукция, товары, сырье и материалы — 0,90 (с ответственностью за противоправные действия третьих лиц — 1,50); —

инвентарь, мебель — 0,80 (с ответственностью за противоправные действия третьих лиц — 1,40).

Тарифные ставки по пакету рисков составляют величину меньше, чем простая сумма ставок по включенным рискам, если их одновременная реализация невозможна, как это часто наблюдается на практике.

При ограниченном объеме страховой статистики (например, только за год) достоверность оценки страховых тарифов существенно уменьшается. Однако для приближенной оценки диапазона разброса значений убыточности может быть использована формула из упоминавшихся методик Росстрахнадзора. В этом случае после расчета То как убыточности страховой суммы на основании имеющейся статистики за год величина рисковой надбавки Тр определяется по следующей приближенной формуле:

Тр = 1,2*То *а(т)%Е^,

где: а(у ) — коэффициент гарантии безопасности, зависит от принимаемой при расчете гарантии безопасности — у того, что собранных средств страхового фонда окажется достаточно для всех страховых выплат. Коэффициент а(у) определяется по таблице*:

Таблица У 0,84 0,90 0,95 0,98 0,9986 а 1,0 1,3 1,645 2,0 3,0 q — вероятность наступления страхового случая;

п' — число договоров страхования, планируемое на очередной год.

Значения То и д рассчитываются по имеющимся данным за прошедший год, п’ устанавливается страховщиком в соответствии с перспективным планом работы или бизнес- планом.

Приведенная формула наглядно демонстрирует влияние размера страхового портфеля на величину тарифной ставки, т.е. чем больше договоров страхования и масштабы бизнеса, тем более низкие значения тарифных ставок могут быть использованы страховщиком. Например, при вероятности наступления страхового случая q = 0,2, рассчитанном значении То = 1,0 и уровне гарантии безопасности у = 0,95 в зависимости от планируемого числа договоров п’ = 1000 или и' = 10000 значения рисковой надбавки Тр составляют соответственно 0,125 или 0,039, что дает значения нетто-ставки 1,125 или 1,039. Таким образом, разница значений нетто-ставки составляет более 8%.

Методика расчета страховых тарифов по страхованию жизни

Стоимость страховых услуг по договорам страхования жизни зависит от двух важных их особенностей: длительных сроков страхования, в течение которых изменяются возрастные характеристики застрахованных лиц, и наличия инвестиционной составляющей, участву-

103 ющей в формировании страхового фонда. Эти особенности определяют специфику расчета страховых тарифов, который проводится с учетом следующих обстоятельств: —

увеличение возраста застрахованного в течение срока действия договора страхования жизни изменяет вероятность наступления страхового случая, которая оценивается на основании показателей таблиц смертности; —

страховые суммы, подлежащие выплате при наступлении страхового случая, формируются с участием инвестиционного дохода от размещения средств страховых резервов (уплаченной нетто-премии).

Основными рисками по договорам страхования жизни являются: —

дожитие до даты или события, определенного договором страхования; —

смерть в течение срока действия договора.

Обязательства страховщика по договору страхования жизни, определяющие необходимый размер страхового фонда, складываются из перечня застрахованных рисков, установленных в договоре, страховых сумм по каждому из них, варианта выплаты страховой суммы — единовременно или в рассрочку, наличия дополнительных условий, например, возврата взносов при досрочном прекращении договора страхования. Размер страхового фонда и соответственно величина страховых тарифов зависят также от периодичности внесения страхователем страховых взносов, т.к. формирование страхового фонда (страховых резервов) по страхованию жизни осуществляется с участием инвестиционной составляющей, поэтому различные сроки внесения страховых взносов приводят к различной величине накопленного инвестиционного дохода, участвующего в формировании страхового фонда.

Таким образом, можно определить следующие особенности расчета тарифных ставок по страхованию жизни: —

расчеты проводятся на основе демографической статистики методами теории вероятности; —

при расчетах проводится исчисление долгосрочных финансовых обязательств с применением методов финансовой математики; —

тарифные ставки складываются из составляющих ставок по каждому риску, включенному в объем обязательств страховщика.

Расчеты тарифных ставок по страхованию жизни проводятся, как уже отмечалось, актуарными методами, т.е. методами, включающими аппарат теории вероятности, демографической статистики и финансовой математики.

Нетто-ставки страховых тарифов по страхованию жизни исчисляются исходя из условия обеспечения эквивалентности между страховыми взносами и доходностью от инвестирования средств страховых резервов, с одной стороны, и размером подлежащего выплате страхового обеспечения, с другой.

Размер нетто-ставки страхового взноса по страхованию жизни исчисляется в зависимости от следующих факторов: 1)

возраста и пола страхователя на момент вступления договора страхования в силу, либо застрахованного лица, если договор страхования заключается о страховании третьего лица; 2)

вида, размера и срока выплаты страхового обеспечения; 3)

срока и периода уплаты страховых взносов; 4)

срока действия договора страхования; 5)

планируемой нормы доходности от инвестирования средств страховых резервов по страхованию жизни, принятой при расчете; 6) наличия обязательств страховщика по возврату взносов при досрочном прекращении договора и других условий.

Страховое обеспечение (страховая сумма) по договорам страхования жизни может выплачиваться страховщиком в виде единовременной выплаты или серии последовательных выплат — ренты (срочной — в течение некоторого срока, или пожизненной).

При расчете страховых тарифов по договорам страхования жизни, заключенным на случай смерти застрахованного, имеют в виду, что страховой случай и обязанности по страховой выплате возникают у страховщика в течение срока, установленного в договоре страхования — срока страхования. При этом договор страхования может быть заключен на определенный срок либо пожизненно. В договоре страхования жизни выделяют период уплаты страховой премии, выжидательный период и период страховых выплат.

Период уплаты страховой премии — срок, определенный в договоре страхования жизни, в течение которого страхователь обязан уплатить установленную договором страховую премию. Страховая премия может быть уплачена единовременным платежом или в рассрочку в течение срока, установленного в договоре страхования, в том числе до момента события (возможного страхового случая), с наступлением которого у страховщика возникает обязанность по страховой выплате. При уплате страховой премии в рассрочку при определении величины страховых взносов используются коэффициенты рассрочки, величина которых определяется как аннуитет для соответствующей периодичности и условий внесения взносов.

Выжидательный период устанавливается в договорах страхования жизни, заключенных с условием дожития застрахованного до срока, определенного в договоре страхования, и представляет собой период времени между исполнением страхователем в полном объеме обязательств по уплате страховой премии и наступлением периода страховых выплат.

Период страховых выплат — срок, в течение которого страховщик исполняет обязательства по страховым выплатам, устанавливается в договоре страхования. Страховая сумма может быть выплачена единовременно или в виде страховой ренты: срочной или пожизненной.

Рента — последовательные выплаты, производимые в сроки, установленные договором страхования, например, ежегодно, раз в месяц и т.п. Различают: немедленную ренту, выплата которой производится с первого года действия договора, и отсроченную, выплата которой начинается после дожития застрахованного до определенного срока. Рента может быть пожизненной — до момента смерти застрахованного, и временной — выплачивается в течение определенного срока или определенное число раз. Рента пренумерандо выплачивается в начале каждого страхового года или другого установленного договором страхования периода, рента постнумерандо выплачивается в конце очередного периода, установленного для страховых выплат.

По размеру выплачиваемой ренты (пенсии) различают условия страхования с постоянной и переменной величиной страховых выплат. В последнем случае размер ренты (пенсии) изменяется во времени, следуя установленной договором страхования закономерности.

Аннуитет — ожидаемая дисконтированная (приведенная на определенный момент действия договора страхования) стоимость последовательности страховых взносов или выплат с учетом доживающего до этого срока числа плательщиков взносов или получателей выплат. Аннуитеты используются в актуарных расчетах для оценки современной или наращенной стоимости ренты (пенсии), а также в качестве коэффициентов рассрочки при определении размера тарифных ставок, уплачиваемых в рассрочку с определенной периодичностью (годичных, месячных и т.п.), применяются также при расчете выкупных сумм, при выплате страхового обеспечения в виде ренты (пенсии) и т.п. Аналогично тому, как принято для ренты, различают аннуитеты пренумерандо и постнумерандо.

Расчет страховых тарифов по страхованию жизни проводится с использованием показателей демографической статистики (по таблицам смертности), характеризующих вероятность застрахованного лица дожить до установленного договором события или срока или умереть, а также с учетом прогнозируемой страховщиком нормы инвестиционной доходности в течение срока действия договора.

Основными показателями, используемыми при расчете страховых тарифов, являются следующие данные таблиц смертности: —

число лиц, доживающих до возраста полных (х) лет — 1х; —

число лиц, умирающих при переходе от возраста (х) к возрасту (х+1) полных лет — <1х.

Таблица смертности представляет собой упорядоченную последовательность убывания с возрастом условной группы людей, рассматриваемой в качестве некоторого поколения, характеризует процесс дожития и вымирания этого поколения. Таблицы смертности составляют обычно для условной группы 10 или 100 тысяч родившихся.

Таблицы смертности составляются по итогам переписи населения и в общем случае могут строиться различным образом: быть общими (универсальными) для всего населения страны или специализированными (селективными), составленными для групп населения с отбором по различным признакам, например, в зависимости от местности проживания или профессии. При расчете тарифных ставок необходимо использовать таблицы смертности, рассчитанные для региона, в котором проводится страхование, раздельно для мужчин и женщин в силу их различной средней продолжительности жизни. Кроме того, при страховании жизни групп населения, объединенных специфическими признаками, например, родом деятельности (шахтеры, металлурги и др.) или местом проживания (город, сельская местность), использование таблиц смертности, составленных конкретно для этих групп, обеспечивает более высокую надежность актуарных расчетов. Фрагмент таблицы смертности представлен ниже.

Таблица

Таблица смертности (по данным Госкомстата РФ, 1994 г.) Пол: мужчины Пол: женщины Возраст, х лет Число доживающих, 1х Число

уми

рающих,

ёх Вероятность смерти за год, чх Возраст, X лет Число доживающих, 1х Число

уми

рающих,

(1х Вероятность смерти за год, qx 0 100000 2084 0,020840 0 100000 1542 0,015420 1 97916 193 0,001971 1 98458 165 0,001685 2 97723 111 0,001136 2 98293 92 0,000941 18 96291 255 0,002648 18 97469 87 0,000904 . . . 30 91306 604 0,006615 30 96192 142 0,015553 40 83333 1087 0,013044 40 94086 315 0,003780 41 82246 1146 0,013934 41 93771 344 0,004182 42 81100 1208 0,014895 42 93427 379 0,004673 43 79892 1273 0,015934 43 93048 420 0,005257 44 78619 1344 0,017095 44 92628 464 0,005902 45

77275

1419

0,018363

45

92164

0,006587

509

80404

60

50142

2101

0,041901

60

1087

0,021678

100

26

26

1,000000

100

129

129

1,000000

Значение показателей, приведенных в таблице смертности:

(х) — лицо в возрасте полных х лет;

1х — показатель таблицы смертности, характеризующий число лиц из наблюдаемой совокупности, доживших до возраста х лет. Значения 1 приводятся в таблице смертности при целых х (х = 0,1,2,...,\У, где \у — предельный возраст таблицы смертности);

с1х — Iх — /х+1— показатель таблицы смертности, характеризующий число лиц, умерших в возрасте от х лет до возраста х+1 год;

1ЩХ — вероятность для лица в возрасте х лет умереть в течение предстоящих п лет.

На основании данных таблиц смертности страховщики рассчитывают показатели, необходимые для расчета тарифных ставок и оценки необходимого размера страхового фонда, в том числе следующие:

1

п Рх | —

вероятность застрахованного лица, вступающего в страхование в возрасте (х) лет, дожить до возраста (х+п) полных лет;

\ _\

д _ _?=] _ Ах Ах + п

" х 1 1 —

вероятность лица в возрасте х лет умереть в течение предстоящих п лет;

п\Я.х — вероятность того, что лицо возраста х лет умрет в возрасте от (х+п) до (х+п+1) лет (отложенная вероятность).

При расчете страховых тарифов по страхованию жизни используются показатели долгосрочных финансовых расчетов, приведем два из них: —

I — эффективная процентная ставка. Определяет размер дохода, получаемого в конце года при инвестировании единичной денежной суммы на один год. При инвестировании единичной денежной суммы с эффективной процентной ставкой \ через год будет получена сумма, равная (1+0. у — дисконтирующий множитель за 1 год , определяемый в соответствии с формулой:

у = 1/(1 + 0

Дисконтирующий множитель показывает, какая сумма должна быть инвестирована в начале года с эффективной процентной ставкой [ для получения в конце года денежной суммы в размере 1.

Современная (дисконтированная) стоимость будущей выплаты (взноса) равна величине этой выплаты (взноса) 8, умноженной на дисконтирующий множитель за соответствующее число лет: Величина уп называется дисконтирующим за п лет множителем.

Норма доходности, принимаемая при расчетах страховых тарифов, может быть постоянной в течение срока действия договора страхования или, в общем случае, переменной. Доход от инвестирования средств страховых резервов определяется по формуле сложных процентов.

При проведении актуарных расчетов по страхованию жизни используют международную систему актуарных обозначений, в окончательной редакции утвержденную в 1954 году 14-м Международным конгрессом актуариев. Ее важнейшей особенностью является то, что применяемые обозначения отражают основные условия договора страхования и финансовые обязательства сторон. Для этого к каждому основному символу, принятому для обозначения нетто-ставки или другого показателя, добавляют знаки и символы, расположенные в четырех зонах индексов сверху и снизу, слева и справа от основного символа, характеризующие условия исполнения договора. Например, индекс справа внизу (х) характеризует возраст застрахованного на момент заключения договора страхования, а если буквы индекса внизу справа от символа разделены двоеточием, то последний знак (^) в индексе означает срок действия договора страхования или период выплаты ренты (пенсии). Индекс вверху справа от основного символа, заключенный в круглые скобки (ш), предназначен для указания числа периодических выплат ренты и пенсии или уплаты страховых взносов в течение года.

Примеры обозначений:

^х'Ц ~~ единовременная нетто-ставка по договору страхования на срок п лет для лица в возрасте х лет с условием выплаты страховой суммы выгодоприобретателю сразу после смерти застрахованного (черта над символом), если она наступит в течение срока действия договора;

а(т)_

п| х:к| . —

аннуитет постнумерандо для лица в возрасте х лет сроком к лет, с началом выплат через п лет после начала действия договора страхования (индекс слева внизу, отделенный вертикальной чертой) и частотой выплат ш раз в год.

Символом а (с двумя точками сверху) обозначается аннуитет пренумерандо.

Стоимость аннуитета для серии последовательных взносов или выплат рассчитывается следующим образом. Рассмотрим, например, стоимость серии годичных взносов за к лет, уплачиваемых в начале года, приведенную к началу срока действия договора страхования с учетом числа доживающих плательщиков взносов на каждую последующую дату — аннуитет пренумерандо. Такой аннуитет можно представить схемой, из которой видно, что если принять стоимость каждого очередного вносимого взноса равной 1 и учитывать приращение со временем стоимости внесенных средств исходя из нормы доходности за ГОД — 1, то стоимость такой серии взносов, приведенную к началу срока действия договора (момент х) и приходящуюся на каждого вступающего в страхование, можно определить следующим образом (см. рисунок на стр. 109).

Стоимость единичных взносов, приведенная к моменту начала договора (х) через коэффициенты дисконтирования, будет складываться как сумма числа доживших, уплачивающих взнос за каждый очередной год, умноженная на единичный взнос — 1 и умноженная на дисконтирующий множитель в степени, соответствующей номеру года внесения взноса минус единица, т.е. последовательно, на множители: у°,г V ук |.

108 ’ ’ 111 11 Т Т Т П Т т

время 0

1 2 ' ' К-2 К-1 К

1 1 1 ^ ^ 1 1 1 }— возраст

х х+1 х+2 х+К-2 х+К-1 х+К ^ смерть х :"к1

Приведенная стоимость взносов, распределенная на число вступающих в страхование 1х, т.е. аннуитет пренумерандо а^,, равен:

•• _ 1Х + 1Х + 1*Г + 1Х + 2*У^ + + 1х + к-1*у^~^ х4р1 (1-х)

а-, = \ = I &

* Х ".Х.

Здесь для удобства при суммировании введена переменная I. Величина аХ:к| соответствует приведенной на начало действия договора страхования ожидаемой стоимости взносов в размере единичной денежной суммы, уплачиваемой ежегодно в течение срока, установленного договором страхования к лет, в начале каждого страхового года при условии, что застрахованный жив, т.е. уплачивается (к—1) раз. Полученное значение одновременно является коэффициентом рассрочки для перехода от единовременного взноса по договору страхования к ежегодным взносам. Аналогичным образом выводятся формулы для оценки приведенной на начало срока действия договора страхования стоимости взносов, уплачиваемых с любой периодичностью, стоимости серии выплат ренты, начиная с какого-то момента в будущем и другие.

Методика расчета страховых тарифов по видам страхования, относящимся к страхованию жизни, включает следующие основные этапы: —

по каждому риску рассчитывается ожидаемая стоимость страхового обеспечения на единицу страховой суммы, приведенная на момент заключения договора страхования (современная ожидаемая стоимость страхового обеспечения). Полученная величина принимается за единовременную нетто-ставку для конкретного риска. Совокупность нетто-ставок по всем составляющим рискам, рассчитанная с учетом их характера и соотношения, представляет собой единовременную нетто- ставку по договору страхования; —

с учетом порядка уплаты взносов страховой премии, установленного договором страхования, определяется их ожидаемая стоимость, приведенная на начало действия договора страхования. В том случае, если условия договора страхования предполагают уплату страховой премии в рассрочку, полученная величина используется в качестве коэффициента рассрочки для расчета периодической годовой (месячной, квартальной, полугодовой) нетто-ставки; —

нетто-ставка по договору страхования, предусматривающему уплату страховой премии в рассрочку, определяется на основе единовременной нетто-ставки и соответствующих условиям страхования коэффициентов рассрочки; —

брутто-ставка рассчитывается на основании полученного значения нетто-ставки и принятой страховщиком величины нагрузки с учетом в необходимых случаях характера распределения во времени расходов, входящих в нагрузку страховщика.

Изложенную методику проиллюстрируем на примере срочного договора страхования жизни на п лет, по условиям которого страховщик обязуется за внесенные страхователем взносы выплатить застрахованному по окончании срока действия договора страховую сумму Б либо выплатить выгодоприобретателям такую же страховую сумму в случае смерти застрахованного в течение срока действия договора. Исходные условия расчета: —

застрахованными рисками (страховыми событиями) являются: дожитие застрахованного до окончания срока действия договора или его смерть в течение этого срока. С наступлением страхового случая страховщик обязуется выплатить установленные договором страховые суммы; —

срок действия договора страхования — п лет; —

взносы вносятся единовременно либо в рассрочку с ежегодной или ежемесячной периодичностью; —

возраст застрахованного на момент заключения договора страхования х полных лет; —

выплата по смерти осуществляется сразу после ее наступления (как вариант — в конце года смерти).

Условия договора иллюстрирует рисунок, приведений ниже.

Тб Зд

Нагр.ф

Тнсм=пЛх

Тнд=пЕх

Бем

Т^н

х+п-1 Х+П

X х+1 х+2 х+3 В соответствии с изложенным порядком расчета определим вначале единовременные нетто-ставки по рискам, включенным в объем ответственности страховщика, и, далее, общую нетто-ставку — как сумму составляющих.

Страховые суммы на дожитие и смерть в общем случае могут быть различными, в данном примере принимаем их одинаковыми, т.е. 8д = 8см = 8.

Нетто-ставка на дожитие определяется как сумма средств страхового фонда, необходимых для выплат страховых сумм всем застрахованным, дожившим до окончания срока действия договора страхования (выплат по дожитию), приведенная (продисконтированная с учетом инвестиционного прироста взносов) на начало действия договора страхования и деленная на всех вступивших в страхование. Если представить, что число застрахованных в момент заключения договора страхования составляет 1х, а согласно таблице смертности до возраста полных п лет доживут только 1х+п человек, то необходимая сумма средств составит:

Фд = 1х+п*уп *3.

Разделив полученное значение на число вступивших в страхование 1х, определим нетто-ставку на дожитие для названных условий страхования при страховой сумме 8. С учетом принятого обозначения единовременной нетто-ставки на дожитие — пЕх формула для ее расчета запишется следующим образом: 1 *

*х + п

= ТнЭ =

1Х

Формула расчета единовременной нетго-ставки для выплат на случай смерти выводится сходным образом, если сумму средств, выплачиваемых в связи со смертью застрахованных в течение срока действия договора страхования, рассматривать как сумму средств, выплачиваемых ежегодно по окончании года смерти застрахованных. Тогда формулу для расчета нетто-ставки (пАх) для выплат по смерти можно записать в виде:

А ^ С1Х*У + (1Х + 1*У^+ + (к + п-1*гп*с _ х+?-1„0-х-1) ^ +с

ПАХ - Тнсм - : 5 - 2, V 5

X I = X Ах

Если страховая выплата производится сразу же после смерти, то доля средств, причитающаяся для выплат в текущем году, не успеет обеспечить годичный инвестиционный доход, учтенный в приведенной формуле, поэтому фактическая нетто-ставка по смерти должна быть больше рассчитанной по этой формуле. Для практических целей при небольшой величине годового инвестиционного дохода (10%—20%) хорошие результаты дает приближенная формула из «Методики расчета страховых тарифов по видам страхования, относящимся к страхованию жизни» (рекомендована Приказом Росстрахнадзора № 02-02/18 от 28.06.96):

где: 6 = 1п(1+1).

Полная единовременная нетто-ставка определится как сумма: Тн=пЕх+пАх •

Брутто-ставка при нагрузке, установленной страховщиком, — f составит:

Тб = Тн/(1—О,

„Ах = Ах - ^(1 + 1) *„ Ах

О

Для упрощения записи актуарных формул и снижения трудоемкости расчетов, проводимых вручную, используются специальные коммутационные функции: Ох,Мх,5х,Сх,Мх,11х, которые представляют собой:

\?

Е>х = 1хуХ.Ых = 1>х + 0х + 1 + " = 1?хЕ>1.

\У XV

Б = N + N ,+...= I N = I а - х + 1)Б. х х Х+1 1=Х 1 1=х 1

\?

п х + 1Л М = С + С *+...= X С.

С = у а х х х +1 ^ г х х. г = х

w ш

Я = М + М .+...= I М. = I 0-х + 1)С х х Х+1 1=х 1 1=х 1

где : w — предельный возраст по таблице смертности.

Используя коммутационные функции и вводя дополнительные множители (подобно тому, как ниже показано для пЕх), приведенные ранее формулы расчета единовременных негго-ставок на дожитие и смерть можно записать в следующем виде: 1 V11 1

Б

* — X + 11 * о.

” В ’ х

V« Vх

р - Х + П * с _ X + П

" х 1 1

X X М -М

х х + п * с.

х : п М -М

и 9

х

... , М -М

х : п

х х + п о* х х + п * Б

X X Формулы для расчета нетто-ставок при уплате взносов в рассрочку приведем далее без вывода, воспользовавшись упомянутой выше методикой.

Коэффициент рассрочки для ежегодных взносов (годичный аннуитет пренумерандо, рассмотренный ранее) определяется по формуле:

а „П. N -К (I - х) I _ X X + п

О

аХ:п| = V

Т

Р= н

Эх:п|

1=х

ежегодный негго-взнос составляет:

Коэффициент рассрочки для суммы взносов за год, вносимых с периодичностью раз в месяц, равен: (т) х + п-1 , 1

". - 2 V1-* <

Лх: п| 1 = х

т ? 1 (1 - УП Х + П )

2т 1х

1

X

_ Ых ^х + П _ т “ 1 (1 _ °Х + П ч

Э 2т Э ;

х х

Тн

Годичная сумма нетто-взносов, вносимых ежемесячно, с учетом приведенного значения коэффициента рассрочки составляет:

,(12) •

( } а ежемесячный нетто-взнос равен: Р^12^/12

ах:п|

Рассчитаем тарифные ставки (на 1000 руб. страховой суммы) для рассматриваемых условий страхования при следующих численных значениях: х=40, п=5,1=0,06; Г=0,05, 8=1000. При расчете воспользуемся таблицей смертности, фрагмент которой приведен выше, дисконтирующие множители при норме доходности 1=6% годовых приведены в таблице.

Таблица. Дисконтирующие множители при норме доходности 1=6% п, лет 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Vй,

дисконт 0,9434 0,8900 0,8396 0,7921 0,7473 0,7050 0,6651 0,6274 0,5919 0,5584 Коммутационные числа при 1=6% по данным переписи населения РФ в 1994 г. представлены ниже.

Таблица

Таблица коммутационных чисел по переписи населения в 1994 г.

Пол: мужчины Возраст, х лет Число доживающих, 1х Число умирающих, dx Вероятность смерти, дх Dx Nx м* 0 100000 2084 0,020840 100000,0 1632601,0 7588,54 1 97916 193 0,001971 92373,6 1532601,0 5622,50 2 97723 111 0,001136 86973,1 1440228,0 5450,73 18 96291 255 0,002648 33735,0 513284,0 4681,04 30 91306 604 0,006615 15897,3 218765,0 3514,33 40 83333 1087 0,013044 8101,8 98585,8 2521,41 41 82246 1146 0,013934 7543,5 90484,0 2421,72 42 81100 1208 0,014895 7017,4 82940,5 2322,56 43 79892 1273 0,015934 6521,6 75923,1 2223,95 44 78619 1344 0,017095 6054,1 69401,6 2125,61 45 77275 1419 0,018363 5614,0 63347,5 2028,25 60 50142 2101 0,041901 1520,0 12968,2 785,90 70 28542 2125 0,074452 483,1 3151,0 304,71 100 26 26 1,000000 0,1 0,1 0 Пол: женщины Возраст, д: лет Число доживающих, 1х Число уми- раю-щих, dx Вероятность смерти, дх Dx Nx Mx 0 100000 1542 0,015420 100000 1691632 4246,9 1 98458 165 0,001685 92884,9 1591632 2792,2 2 98293 92 0,000941 87480,4 1498747 2645,3 18 97469 87 0,000904 34147,7 564935 2169,8 30 96192 142 0,015553 16748,0 262927 1865,0 40 94086 315 0,003780 9147,2 133232 1605,4 41 93771 344 0,004182 8600,6 124085 1576,6 42 93427 379 0,004673 8084,0 115484 1546,8 43 93048 420 0,005257 7595,5 107400 1515,8 44 92628 464 0,005902 7133,2 99804,8 1483,5 45 92164 509 0,006587 6695,7 92671,6 1449,8 60 80404 1087 0,021678 2437,4 26647,3 928,7 .. . 100 129 129 1,000000 0,4 0,4 0 Результаты расчета по приведенным формулам с использованием коммутационных чисел представлены в таблице. Как видно из таблицы, тарифные ставки зависят от пола застрахованного, момента выплаты страховой суммы в связи со смертью, принятой частоты уплаты страховых взносов.

Таблица

Расчет тарифных ставок по страхованию жизни на 1000 руб. страховой суммы (срок страхования: 5 лет, норма доходности i=0,06, нагрузка/=5%) Показатели Расчетные формулы Мужчины Женщины Е (5Е40) единовременная нетто-ставка на дожитие Е _ 145у5 _ °45

5 40 " 1 ~ п

40 и40 692,93 731,99 А (5А40) единовременная нетто-ставка на смерть, выплата сразу после смерти х м40 - м 45

40:5'| °40 60,87 17,01 пАх(5 А 40) единовременная нетто-ставка на смерть, выплата в конце года смерти ; М -М

_ 1 » X X + П X:п 1 6 62,67 17,51 Тн — нетто-ставка, выплата сразу после смерти Тн = 5Е40 + 5 А 40 755,60 749,50 Тн — нетто-ставка, выплата в конце года смерти Т’н = 5Е40 + 5А40 753,80 749,00 Коэффициент рассрочки ежегодных взносов:

ах : п | (а40 : 5 |) " _К«ГК45 40 : 5 | Ъщ 4,349 4,434 Рх:п (Р40:5\) ежегодная нетто-ставка, выплата сразу после смерти Р40:5| = Тн /а 40:5| 173,74 169,03 Р'х:п (Р'40:5\) ежегодная нетто-ставка, выплата в конце года смерти Р’40:5| = Т’н /а 40:5| 173,33 168,92 Коэффициент рассрочки

ежемесячных взносов:

12 12

а х : п | (а 40 : 5 |) - N^n~N4< 12-1 D.,

а40 *51= 0 5 (1 45) 1 D40 24 ' D40 4,209 4,311 Рх;п\ (Р*40:51)ежемесячный нетто-взнос, выплата сразу после смерти (12) _ 1 * Тн 40:5 | 12 (12) ’ 340:5 j 14,96 14,49 Тб — единовременная брутто- ставка, выплата сразу после смерти Тб= Тн / (1-f) 795,37 788,95 Тб — единовременная брутто- ставка, выплата в конце года смерти Т'б= Т’н / (1-0,05) 793,47 788,42 Рб —ежегодная брутто- ставка, выплата сразу после смерти Рб=(Р40:5) / (1-0,05) 182,88 177,93 Р'б —ежегодная брутто- ставка, выплата в конце года смерти Р'б=(Р'40:5) / (1-0,05) 182,45 177,81 — ежемесячная брутто-

ставка, выплата сразу после смерти Р!Р-<Р<^5|>/<1-0,05> 15,75 15,25 Если границы примера расширить для различных возрастов застрахованных на момент их вступления в страхование, то можно показать, что тарифные ставки зависят также от возраста застрахованного, с увеличением которого, при прочих равных условиях, они также (у взрослых) увеличиваются. Кроме того, изменяется структура общей нетто-ставки, т.к. с возрастом увеличивается доля нетто-ставки на смерть и снижается доля на дожитие.

В заключение рассмотрим пример расчета тарифных ставок, связанный со страхованием ренты и, как частного случая, пенсии. Расчет тарифных ставок по такому страхованию при периодической уплате страховых взносов и регулярных страховых выплатах представляет, по сути, оценку двух видов аннуитетов: —

отложенного аннуитета (обычно пренумерандо), соответствующего приведенной на начало срока действия договора страхования ожидаемой стоимости регулярных выплат страховых пенсий (обычно — в начале очередного срока) в течение определенного периода, если договором предусмотрена срочная рента (пенсия), или бессрочно, вплоть до смерти застрахованного, если договором предусматривается пожизненная рента или пенсия. Такая приведенная стоимость является единовременной ставкой страхового взноса для соответствующих условий страхования. Если выплату очередной пенсии планируется проводить в конце очередного срока выплаты, то в расчете необходимо использовать аннуитеты постнумеравдо; —

аннуитета (обычно пренумерандо), соответствующего приведенной на начало срока действия договора страхования стоимости регулярных взносов, который пред ставляет собой коэффициент рассрочки по отношению к единовременному взносу и используется для расчета суммы взносов, уплачиваемых за год при любой принятой при расчете частоте уплаты в году.

Рассчитаем тарифные ставки по страхованию пенсии мужчин при ежемесячных страховых взносах и пожизненной, либо на срок к лет, выплате ежемесячной страховой пенсии (выплата в начале срока — пренумерандо), возраст застрахованного в момент заключения договора страхования — х полных лет, начало выплаты пенсии — 60 лет, взносы уплачиваются пренумерандо вплоть до наступления пенсионного возраста. Расчет проведем с использованием формул Методики Росстрахнадзора (рекомендована Приказом Росстрахнадзора № 02-02/18 от 28.06.96), ссылки в квадратных скобках указывают номера таблиц методики.

Для названных условий страхования ежемесячные тарифные ставки определятся следующим образом.

Для лица в возрасте х лет стоимость обязательств страховщика по выплате ежемесячной страховой пенсии, пока застрахованный жив, приведенная на начало срока действия договора, представляет собой отсроченный на п=(60—х) лет аннуитет пренумерандо. Значение такого аннуитета представляет собой ставку единовременного взноса, достаточного для исполнения страховщиком своих обязательств, и определяется по формуле [Табл.4]:

..(m) N (т - 1)D

niax =_?±a_: -JL+?

1 D 2mD

X X

В случае, если договором страхования предусматривается выплата страховой пенсии ежемесячно в течение ограниченного срока, например к лет, сумму обязательств страховщика, приведенную на начало срока действия договора, т.е. ставку единовременного взноса, можно представить отсроченным на п лет срочным аннуитетом пренумерандо, который определяется по формуле [Табл.5]:

..(m) N - N . (т - 1)(D - D ,)

„ а, . U I _ x + n x + n + k v /vx + n x + n + k7

п ах. k - - - ~ ^

1 D 2mD

x x

При использовании этих формул следует учитывать то обстоятельство, что они предполагают ежемесячную выплату в размере (1/т), в данном случае — (1/12), а сумма месячных выплат за год является страховой суммой, равной единице.

Сумма страховых взносов, уплачиваемых раз в месяц, приведенная на начало действия договора страхования, т.е. коэффициент рассрочки для годичной суммы ежемесячных взносов, представляет собой аннуитет пренумерандо [Табл.5]:

(12)

Nx Nx + n 12 - 1 * /, Dx + пч

ах : п | = Х п " V*(1 п >’ 1

Dx 24 Dx

где: п=(60—х) — период уплаты ежемесячных взносов.

Численный расчет выполним с использованием приведенной выше таблицы коммутационных чисел при следующих значениях: годовая норма доходности 1=6%, возраст застрахованного х=30 лет, ежемесячная пенсия 1000 руб., соответственно сумма пенсии за год или страховая сумма на год составляет S=12000 руб., срок срочной пенсии — 10 лет (к=10 лет).

Используя приведенные формулы, последовательно определяем необходимые значения.

Единовременная ставка пожизненной пенсии составляет:

..(12) N.n (12-l)*D.n а ; = _60 * 60 * !2000

(60-30)| 30 D30 2*I2*D30

Подставив из таблицы численные значения коммутационных чисел, определим величину единовременной тарифной ставки, которая равна 9263,1 руб.

Единовременная ставка пенсии, выплачиваемой ежемесячно в течение 10 лет (к=10), составляет:

• (12) Ы<п-Ы7П (12 — 1) * (D«cn — D7fl)

(60-30) аЗО : 10 | = 6(’ 70 - V* п * п * 12000

и30 30

Подставив из таблицы численные значения коммутационных чисел, определим величину единовременной тарифной ставки для срочной пенсии, выплачиваемой ежемесячно в течение 10 лет, которая составит 7051,71 руб.

Учитывая, что по условиям страхования взносы вносятся ежемесячно, определим их величину для обоих вариантов страхования. При этом вначале необходимо определить коэффициент рассрочки для годичных взносов при ежемесячной их уплате, который рассчитаем по формуле:

N - N n 1 D +30

аЗО : 30 | = ?° ^3° ± 30 - 12 ~ 1 * (1 - 3« )

30 24 30

После подстановки значений коммутационных чисел получим величину коэффициента рассрочки, равную 12,53.

Ежемесячный взнос для пожизненной пенсии составляет:

(12)

1 1 *30|а30 1 , 9263,1

12 12 (12) 12 12,53 ’ аЗО : 30 |

Ежемесячный взнос для пенсии, выплачиваемой 10 лет, составляет:

02)

1 = 1 * 30 |а30 : 10 | _ 1 * 7051,71 12 Ю 12 (12) 12 12,53 ’

аЗО : 30 | *

Приведенные примеры расчета страховых тарифов по страхованию жизни и ренты (пенсии) для простых условий страхования показывают, что после оценки риска они сводятся к четкому алгоритму решения и их проведение не составляет больших трудностей. Однако по мере усложнения условий страхования и обязательств сторон по уплате взносов, страховым выплатам, возврату взносов при определенных условиях и т.д. расчет тарифов существенно усложняется. Кроме того, в современных страховых продуктах по страхованию жизни типа Universal Life сроки внесения страховых взносов и их размер могут быть жестко не регламентированы, что существенно затрудняет, а в ряде случаев делает невозможным расчет страховых тарифов без использования соответствующих технических средств и компьютерных программ. Поэтому в практике работы страховых организаций расчет страховых тарифов, так же как и страховых резервов, является областью профессиональной деятельности актуария.