16.3. Предпочтения при принятии решений в условиях риска (теория ожидаемой полезности)

Отношение ЛПР к риску имеет важное значение для анализа принятия им различных решений. Теория полезности требует от разумного человека способности оценивать полезность, на этой основе делать выбор и принимать соответствующие решения в условиях неопределенности.

В подразд. 16.2 были рассмотрены предпочтения ЛПР в зависимости лишь от количества товара л: (или размера дохода v). При этом не учитывалось влияние различных факторов на предпочтения ЛПР и. следовательно, на вид кривых полезности. В том случае, когда речь идет о случайных величинах, для формализации предпочтений используют теорию ожидаемой полезности.

Оценим влияние на полезность некоторого дохода v степени возможности р его получения.

1 Р

Распределение ЛПР по отношению к риску

О

0,5

Рис. 16.4. Зависимость покупной цены лотерейного билета (Р) от вероятности выигрыша и склонности ЛПР к риску (р) (пояснение в тексте)

К=ІГ

Покупная цена л билета V

цена

Простейшие лотереи. Если индивид покупает лотерейный билет при вероятности р = 0,5 выигрыша (дохода) У= 100 р. за сумму Щ V] = рУ = 0,5 100 = 50 р., равную математическому ожиданию выигрыша, то он — «объективист». Если он согласен заплатить за билет менее М| К), то он «пессимист» — не любит рисковать, не верит в выигрыш. Если же он согласен заплатить за билет более ЩУ\, т.е. верит в выигрыш, то его отношение к риску положи

тельное и его можно назвать «оптимистом» или «любящим риск». Будем теперь изменять р. В результате получим графики покупной пены такого билета (рис. 16.4) для оптимиста А(р), объективиста В(р) и пессимиста С(р).

Известно, что разные люди относятся к риску по-разному: одни не любят рисковать, другие считают себя «счастливчиками», которым непременно повезет. Отношение разных ЛПР к риску можно оценить долей / площади под соответствующими кривыми на рис. 16.4 по отношению к площади квадрата: для объективиста/= 0,5 — его отношение к риску нейтральное; для пессимиста 0 Большинство людей не любит рисковать и вообще во всех серьезных решениях риск предпочитает уменьшать. Поэтому поведение инвестора, например, наиболее адекватно описывает кривая

С(р).

Рассмотрим лотерею не с конечным множеством исходов, а более общую ситуацию. Когда множество исходов является множеством всех неотрицательных денежных сумм Я* = |0, <*>|, лотерея задается функцией распределения /^(у) = Р(У< V) случайной величины дохода Vв лотерее. Если для ЛПР определена функция полезности и(у), то средняя ожидаемая полезность Лотереи V рассчитывается по формуле

М\и(У)\ = $ ы(и)/(у)где /(и) — плотность распределения вероятностей случайной величины V. Ее дискретный аналог —

Л/ИЮ] = ?Ли(1/,), (16.2)

/

где ? А = 1.

I

Средняя ожидаемая полезность лотереи Л/|м(^)| — это, во- первых, размер денежной суммы, который для ЛПР равноценен

величине | и(г)(1Г&), а во-вторых, аналог покупной пены лоте-

рейного билета.

Пример 16.1. Допустим, функция полезности м(1») = л/у, а выигрыши лотереи равномерно распределены в интервале |0, 11. Тогда средняя ожи-

I

дасмая полезность лотереи М\и(У)\ = | \fixlv =

о

Обозначим средний выифыш в лотерее V - М\У\ = | м//г(1>).

Я'

Свойство вогнутости функции полезности ы(г>) эквивалентно выполнению неравенства = и(У), (16.3)

| vdF(v) |_я*

М\и(У)\ = I и(ь)(1Г(у) < и т.е.

Ожидаемая полезность лотереи М[и( У)\ не больше и(У) — полезности среднего ожидаемого размера денежной суммы, которую ЛПР может выиграть в лотерее У. Величину М\и(У)\ называют безусловным эквивалентом лотереи У (эквивалентом без всяких вероятностных соображений). Разность и(У) - М\и(У)\ показывает степень неприятия ЛПР риска и характеризует сумму, от которой ЛПР готово отказаться, чтобы не принимать на себя риск. В теории полезности считают инвестора не склонным к риску, если он предпочитает гарантированное получение вышрыша У Участию в лотерее, выигрыш которой описывается случайной величиной У. Это означает, что полезность выигрыша У для инвестора выше, чем полезность участия в лотерее:

и(У) > М\и(У)\.

Детерминированным эквивалентом лотереи, выигрыш которой

л

является случайной величиной У, называется такая величина У, при которой инвестор безразличен в выборе между участием в

А Л

лотерее и получением У наверняка. Величина У определяется из

А

равенства и( У ) = М\и( У)], т.е.

У = и'М\и(У)\.

Так, в условиях примера 16.1 из равенства ^ = 2/3 получим

М/9. _ А

Разность А = У - У между ожидаемым выигрышем в лотерее и ее детерминированным эквивалентом называют премией (надбавкой) за риск (рис. 16.5). Премию за риск требует, например, инвестор, когда ожидаемый доход является случайной величиной, или кредитор от не вполне надежного заемшика, добавляя ее к процентной ставке по предоставляемому кредиту.

В условиях примера 16.1 И = '/г-4/} = '/|8.

Степень неприятия риска ЛПР. Она зависит от вида его функции полезности денег м(1>). Для представления предпочтений инвестора в теории ожидаемой полезности обычно используют следующие функции: квадратичная

Ф) = и < V*.'

экспоненциальная

и(«/) = 1 - е-ь\ Ь> 0;

Рис. 16.5. Ожидаемый выигрыш, детерминированный эквивалент и премия за риск (пояснение в тексте) логарифмическая

м(у) = 1о§(у + Ь), v> -Ь.

Для характеристики степени неприятия риска в различных точках области ее определения используют локальную несклонность ЛПР к риску:

и (у)

которая в конкретной точке V определяет коэффициент Эрроу- Пратта неприятия риска.

Такой вид характеристики выбран из следующих соображений: степень неприятия риска определяется вогнутостью функции полезности. Математически степень вогнутости определяется величиной второй производной. Однако одной второй производной недостаточно: если функцию полезности увеличить, например, в 2 раза, то система предпочтений ЛПР не изменится, но вторая производная тоже возрастет в 2 раза, хотя неприятие риска, очевидно, не изменилось. Для устранения этого применяют отношение производных;

для функции полезности первая производная положительна, а вторая — отрицательна. Для отношения производных /-(у) > О V V.

Если функция r(v) положительна при всех V, то и(г) — выпукла, а ДПР — не склонно к риску.

Пример 16.2. Найти коэффициент Эрроу— Пратта неприятия риска для ЛПР с функцией полезности и(V) = I - е~Ь1\ Ь > 0 в некоторой точке IV

Имеем и'(ь) = Ье1"', и"(и) = Значит, г(у) = Ь, т.е. локальная

несклонность к риску ЛПР постоянна и положительна, так как 6 > О, а коэффициент Эрроу—Пратта г(у0) = Ь.

Локальная несклонность к риску для квадратичной функции полезности определяется зависимостью вающая функция (см. рис. 16.4). Один из двух постулатов, принятых Г. Марковицем при построении современной теории портфельного инвестирования заключается в том, что при двух вариантах инвестирования ЛПР выбирает вариант с большей доходностью (Н.Магкоуц/, 1952); второй постулат состоит в том, что при равной доходности инвестор выбирает вариант с меньшим риском; 2)

ы"(1>) < 0 (несклонности к риску). Несклонность к риску объясняется следующими факторами: уменьшением ценности денег с увеличением их количества — имеет место .эффект насыщения (см. рис. 16.4); риском потери того, что уже есть, в попытке получения дополнительного богатства, которое к тому же становится все менее ценным. А богатые люди не склонны рисковать заработанным; 3)

ит(г) > О (осторожности); 4)

< 0 (сдержанности).

Для описания склонности или несклонности Л ПР к риску воспользуемся следующими понятиями:

простого шанса (лотереи) Ь - (К(, У^р), где V, и У2 — выигрыши с вероятностями р и (1 - р) соответственно;

А

детерминированного эквивалента У.

Под детерминированным эквивалентом понимают:

а) такой гарантированный доход, который для данного лица эквивалентен простому шансу;

б) сумму, которую ЛПР согласно заплатить за участие в простой лотерее, т.е. за (100 р)%-й шанс выиграть Ух рублей.

Склонность или несклонность ЛПР к риску определяется в зависимости от соотношения ожидаемого выигрыша в простой лотерее У = М\ V | =

А

= рУ\ + (1 -р)У2 и гарантированного эквивалента У: если

У>У, (16.4)

то ЛПР считается склонным к риску; если

У<У, (16.5)

то это ЛПР не склонно к риску; если

У = У, (16.6)

то данное ЛПР безразлично к риску.

Полученные условия позволяют сделать вывод о виде функции рисковой полезности м( У). В соответствии с формулой (16.2) значение функции рисковой полезности на примере простой лотереи определяется выражением:

М\и{У)\ = и(Уь У2/р)= 5>и(К,) =ри(Ух) + (\-рМУд.

/-1

Л

Соответствие простой лотереи гарантированному эквиваленту м(Н) означает, что их полезность для инвестора одинакова:

и(У) = и( У,, У^р)« ри( К,) + (I - р)и( У2).

С учетом условия (16.4) для ЛПР, склонного к риску, имеем

и(У) = ри{ К() + (] -р)и(Уг) > и\рУ, + (1 -р)Уг\,

т.е. функция рисковой полезности «(К) является выпуклой.

Если ЛПР не склонно к риску, то с учетом условия (16.5) имеем

и(У) = ри( У,) + (I - р)и( У2) < и\рУ\ + ( \ - Р) УгI

и функция и( У) — вогнутая.

Если ЛПР безразлично к риску, то с учетом условия (16.6) верно равенство

и(У) = ри( И,) + (1 - р)и( У2) = и\рУ, + (\-р) К2]

и функция и(У) — линейная.

Для практического использования функции рисковой полезности ее необходимо построить для каждого ЛПР. Для этого проводят опрос методом простого шанса (простой лотереи).

Пример 16.3. Допустим, начальный капитан У0 ЛПР составляет 4 тыс.

Решение. Полезность 4 тыс. р. для ЛПР равна и(У0) = и(4) = \/4 =2. Полезность его капитала в случае принятия решения об участии в лотерее и выигрыша 12 тыс. р. равна и(4 + 12) = 4, а после «выигрыша» 0 тыс. р.

2

"(4) = 2. Средняя ожидаемая полезность лотереи М\и(У)\ = ?рМК) -

ы

= 0,5-4 + 0,5 2 = 3, что больше первоначальной. Следовательно, ему Целесообразно участвовать в лотерее. А сколько ему можно заплатить за право участия в этой лотерее? Плата « определяется из условия

^рМК~х)>и(У0).

1=1

Тогда из уравнения 0,5(4-х+ 12) + 0,5(4-х) = 2 находим: .V = 3,75 тыс. р.

Учет отношения ЛПР к риску. Введем в рассмотрение функцию полезности и(г, у), с помощью которой ЛПР оценивает операцию с риском R и эффективностью (средней ожидаемой доходностью) V. Любая линия уровня функции и, определяемая из условия u(r, v) = const, дает операции, равноприемлемые для ЛПР (кривые безразличия). В зависимости от отношения ЛПР к риску эти функции могут быть трех видов (рис. 16.6):

соответствуют неприятию риска; двигаясь по кривой безразличия, ЛПР компенсирует увеличение риска все большим увеличением дохода (платой за риск). При этом чем круче вверх идут ветви кривых, тем выше степень избегания риска ЛПР (см. рис. 16.6, а)\

соответствуют нейтральному (безразличному) отношению к риску (см. рис. 16.6, о);

соответствуют благожелательному отношению к риску, когда ЛПР считает, что ему непременно повезет, и предпочитает более рискованные операции (см. рис. 16.6, в).

Наиболее естественным представляется поведение ЛПР с неприятием риска. Функция полезности такого ЛПР может быть следующей: u(r, v) = v~ 2г. Допустим, u(r, v) = 0, тогда v = 2л т.е. ЛПР готово увеличить риск на I ед., если при этом эффективность увеличится на 2 ед.

Отношение ЛПР к риску посредством его функции полезности учитывают, например, при решении задачи об оптимальном портфеле ценных бумаг: среди всех портфелей к найти портфель Р. наиболее полезный для данного Л Г1Р, т.е. максимизирующий его функцию полезности:

таХ: "(/>). (16.7)

Ре п

Такой портфель надо искать среди портфелей п. оптимальных по Парето (или эффективных).

Рис. 16.6. Зависимость доходности от риска при различном отношении

Л П Р к риску

Множество портфелей с различными портфельными весами X характеризуется определенными значениями средней доходности УР и риска (дисперсии доходности) Яр. Естественной функцией полезности портфеля является такая, которая возрастает с увеличением его средней доходности Ур и уменьшением риска Яр. Поэтому можно ограничиться лишь портфелями, оптимальными по Марковицу, т.е. имеющими максимальную среднюю доходность при данном риске или минимальный риск при данной средней доходности. В модели Марковица допустимыми являются только стандартные портфели без коротких позиций (покупка в долг на короткий срок для последующей продажи актива или продажа актива без покрытия), т.е. инвестор по каждому активу находится в длинной позиции (купил актив за свои деньги для последующей продажи). Из-за недопустимости коротких позиций на пор-

П

тфельные веса кроме естественного условия = ' наложено

. Ь1

условие неотрицательности х( > О V /.

Если построить зависимость между средней доходностью и средним квадратическим отклонением доходности для оптимизированных в соответствии с (15.2) или (15.3) портфелей, то получится кривая, вид которой изображен на рис. 16.7. Для каждого портфеля, представленного точкой из отрезка кривой АВ, существует портфель с таким же средним квадратическим отклонением и большей средней доходностью, которому соответствует точка на отрезке ВС. Таким образом, огрезок кривой ВС представляет множество наилучших портфелей, или, как говорят, эффективное множество. Из двух портфелей Р| и Р2, принадлежащих отрезку ВС, если Р\ предпочтительнее Р2 с точки зрения средней доходности, то Р2 лучше Р\ по дисперсии, и наоборот.

Область

допустимых

портфелей

Рис. 16.7. Зависимость доходности от ее среднего квадратического отклонения для оптимизированных портфелей Р{ и Р2 (пояснение в тексте):

* эффективные портфели; о — допустимые, но неэффективные портфели; в —

недопустимые порфели

Рис. 16.8. Выбор оптимального портфеля:

1,2 — кривые безразличия; 3 — кривая эффективного множества: /?пр — возможное ограничение на риск; заштрихована область недопустимых рисков либо

доходности

Портфель эффективен, если он допустимый и, кроме того, для заданной доходности, например УР), содержит меньший риск ЯР[ по сравнению с другими портфелями, приносящими такую же ДОХОДНОСТЬ Ург ИЛИ При определенном риске Яр, обеспечивает более высокую доходность УР, по сравнению с другими комбинациями с Яру

Выбор портфеля из эффективного множества зависит от отношения инвестора к риску. Для того чтобы определить это отношение, используют кривые безразличия (см. рис. 16.6). Все портфели, находящиеся на одной кривой, одинаково устраивают инвестора. Последний имеет бесконечное множество параллельных друг другу кривых безразличия. Если кривые вогнутые, то инвестор готов идти на увеличение риска только в том случае, если это даст увеличение средней доходности. Такого инвестора называют не склонным к риску.

Для того чтобы выбрать из эффективного множества наиболее подходящий портфель, инвестор должен изобразить свои кривые безразличия на одном графике с кривой эффективного множества (рис. 16.8). Наилучший портфель будет соответствовать точке, в которой кривая безразличия касается кривой эффективного множества (в нашем случае это точка О).