Задать вопрос юристу
 <<
>>

Задачи для самостоятельного решения

Телефонная система заказа билетов

Автоматическая телефонная система заказа билетов может поставить в очередь максимум 3-х клиентов. Оператор тратит в среднем на принятие заказа по телефону 4 мин.

Звонки поступают в среднем 1 раз в 5 мин. Распределение времени обслуживания и интервала времени между звонками - экспоненциальное. a.

Определите среднее число звонков, ждущих ответа оператора. b.

Каково среднее время ожидания ответа? c.

Какова вероятность того, что позвонивший клиент должен будет ждать.

ё. Найдите процент звонков, которым будет отказано в постановке в очередь на ожидание ответа 9.1.

Таможенный пункт

На пропускной таможенный пункт на границе прибывает в среднем 6 грузовых машин в час (пуассоновский поток). Работает три бригады квалифицированных таможенников, каждая из которых может осмотреть машину в среднем за 20 мин (распределение экспоненциальное). a.

Какова средняя длина очереди? b.

Сколько в среднем каждая машина тратит на проезд через таможенный пункт? c.

Сколько времени таможенная бригада не занята?

ё. Руководство Таможенной службы ввело новые правила регистрации грузов, вследствие чего среднее время досмотра увеличилось до 38 мин. Как изменится время проезда через пропускной пункт, если невозможно увеличить кадровый состав таможенного пункта больше чем на 1 бригаду.

е. Какова вероятность того, что в очереди в этом случае будут стоять не менее 10-и машин? ... 20-и машин? 9.2.

Большой цех

В цехе находится большое количество автоматических станков. В среднем 1 раз в 2 часа один из станков останавливается и требует замены деталей, (случайные моменты остановки распределены в соответствие с распределением Пуассона). Когда происходит остановка станка, техник диагностирует причины остановки и производит замену необходимой детали. Среднее время нахождения неисправности и нахождения и установки нужной детали- 30 мин. (это время распределено экспоненциально).

Оплата техника составляет $30 в час. Простой оборудования - $400 в час. Определите: a.

Среднее число машин, находящихся в ремонте? b.

Среднее время простоя остановившейся машины? c.

Каково должно быть оптимальное число техников в цехе? 9.3.

Приемная

Клиенты входят в приемную в среднем по шесть в час. Отделение укомплектовано одним служащим, который тратит на работу с клиентом около шести минут. Предположите, что прибытие клиентов соответствует Пуассоновскому потоку, а время обслуживания имеет экспоненциальное распределение. a.

Как случайный наблюдатель, сколько людей Вы ожидали бы видеть в приемной (исключая самого клерка)? Как долго клиент будет находиться в приемной? b.

Каков коэффициент использования рабочего времени клерка? c.

Какова вероятность того, что более двух клиентов будут находиться в приемной?

ё. Другой такой же клерк нанят для той же работы. Как долго клиент будет проводить в приемной теперь? 9.4.

Ресторан «Ешь вволю»

Ресторан «Ешь вволю» (плати $20 и ешь, что хочешь хоть целый день) имеет две кассы для продажи входных билетов с двух разных сторон заведения. Наблюдения показывают, что в воскресный день к каждому из входов прибывает посетитель примерно один раз в шесть минут.

Входное обслуживание каждого клиента занимает в среднем 4 минуты. a.

Сколько процентов времени каждая из касс свободна? Какова вероятность, что обе кассы свободны? b.

Сколько в среднем посетителей ждут обслуживания в каждой очереди? Сколько в среднем времени каждый посетитель вынужден ожидать в очереди? c.

Ресторан рассматривает вариант объединения двух касс при одном единственном входе в ресторан. Кассы будут работать с той же скоростью. Каковы будут характеристики такой системы обслуживания? Стоит ли провести такую реорганизацию? 9.5.

Торговля по каталогам

Магазин успешно торгует по каталогам, и клерк принимает заказы по телефону. Если он занимает линию, автоответчик предлагает клиенту подождать. Как только клерк освобождается, заказы, которые ждали дольше, обслуживаются первыми. Заказы приходят со скоростью 12 в час. Клерк способен обслужить один заказ в среднем за 4 мин. Звонки поступают по закону Пуассона, а время обслуживания подчинено экспоненциальному закону.

Клерк получает $5 в час, но потери продаж оцениваются в $25 за час ожидания в очереди. a.

Какое среднее время должен ждать клиент в очереди, прежде чем ему ответит клерк? b.

Каково среднее число заказчиков в очереди? c.

Менеджер решил добавить второго клерка на оформление заказов, его зарплата тоже $5 в час. Нужен ли второй клерк?

ё. А третий? Обоснуйте свой ответ. 9.6.

Таможенный досмотр

На пропускной таможенный пункт на границе прибывает в среднем 5 грузовых машин в час (пуассоновский поток). Работает две бригады квалифицированных таможенников, которые могут осмотреть машину в среднем за 20 мин (распределение экспоненциальное). a.

Какова средняя длина очереди? b.

Сколько в среднем каждая машина тратит на проезд через таможенный пункт? c.

Сколько времени каждая таможенная бригада не занята?

ё. Руководство Таможенной службы ввело новые правила регистрации грузов, вследствие чего среднее время досмотра увеличилось до 45 мин. Как изменится время проезда через пропускной пункт, если невозможно увеличить кадровый состав таможенного пункта больше чем на 2 бригады.

е. Какова вероятность того, что в очереди в этом случае будут стоять не менее 11"и машин? ... 19"и машин? 9.7.

Бармен

Бармен может обслужить клиента в среднем за 40 сек. (распределение экспоненциальное). В вечернее время бар практически заполнен и в среднем каждую минуту клиент подходит к стойке. (Бар очень большой). a.

Как долго (в среднем) клиент будет ждать у стойки? b.

Сколько в среднем людей будет толпиться у стойки? c.

Какова вероятность, что 5 и более посетителей будут ждать выпивки? ё. Каков процент времени, когда бармен не занят?

е. Если заменить бармена разливочным автоматом, который на любой коктейль тратит одно и то же время - 45 сек., как изменятся рассчитанные выше характеристики этой системы обслуживания? 9.9.

Стоматологическая поликлиника (бизнес-кейс)26

Управляющий стоматологической поликлиникой в некоем спальном районе пытается улучшить дело.

Он знает из статистических расчетов, что в среднем в поликлинику должно обращаться 5 клиентов в час. Опыт показывает, что специалист в среднем тратит на обслуживание 1 клиента около 30 мин, и клиент не склонен ждать, если в очереди уже стоит 3 человека или больше. a.

Посоветуйте управляющему, сколько врачей должно вести прием? b.

Устроить ли общую приемную для них всех или сделать отдельные приемные для каждого врача.

Учтите, что для клиента стоимость визита составляет $20, а каждый врач получает за час работы $5. 9.10.

Парикмахерская

Управляющий парикмахерской в некоем спальном районе пытается улучшить дело. Он знает из статистических расчетов, что в среднем в парикмахерскую должно обращаться 6 клиентов в час.

Опыт показывает, что мастер в среднем тратит на обслуживание 1 клиента около 30 мин, и клиент не склонен ждать, если в очереди уже стоит больше 3 человек. a.

Посоветуйте управляющему: b.

сколько мастеров должно обслуживать клиентов c.

устроить ли общую очередь для них всех или сделать отдельные небольшие приемные для каждого мастера.

ё. Учтите, что для клиента стоимость стрижки составляет около $5, а каждый мастер получает за час работы $1. 9.11.

Бери и кати

В полуавтоматическом бистро для автомобилистов «Бери и кати» робот- кёльнер выдает подогретый бутерброд и чашку горячего кофе ровно за 45 сек.

Установлено, что в часы максимальной нагрузки поток автомобилей к автомату имеет пуассоновский характер со средним интервалом между автомобилями - 50 сек. Компания хочет оценить длину очередей автомобилей к автомату, для обеспечения необходимого пространства для них. a.

Каково среднее число автомобилей в системе? b.

Каково среднее время, которое каждый автомобиль проводит вблизи автомата? c.

Оцените долю отказов системы потенциальным клиентам, если пространство, доступное для ожидания, ограничено средней ожидаемой длиной очереди? Можно ли точно рассчитать эту долю, пользуясь стандартными моделями теории очередей? 26

Задачу предложил слушатель программы МВА Высшей школы менеджмента ГУ-ВШЭ Попов Дмитрий Сергеевич (группа 01) в 2000 г. ( Директор ООО «Тусфилз») 9.12.

Трасса Е95

На пропускной пункт на платной дороге Е95 прибывает в среднем 10 машин в минуту (пуассоновский поток).

Работает только один шлагбаум для пропуска машин, который может пропускать в среднем 12 машин в минуту (распределение экспоненциальное). a.

Какова средняя длина очереди? b.

Сколько в среднем каждая машина тратит на проезд через пропускной пункт? c.

Сколько времени инспектор на пропускной линии свободен?

ё. Управление дороги рассматривает возможность открытия второго шлагбаума да этом пропускном пункте. Как изменится при этом среднее время проезда через пропускной пункт? Учтите, что машины будут ждать в одной очереди, а пропускная способность второго шлагбаума та же, что и у первого. 9.13.

Лодочная станция

На большой лодочной станции управляющий должен нанять ремонтников для ремонта водных мотоциклов, которые выходят из строя в среднем каждые 35 мин. Ремонтники будут работать по одному или бригадой из 2 или 3 человек и требуют $6 в час на каждого.

Ремонт одного мотоцикла одним ремонтником занимает в среднем 30 минут, бригадой из двух человек - 20 минут, из трех-15 минут. Часовой простой мотоцикла стоит $30.

Сколько ремонтников нужно нанять и как организовать их работу? 9.14.

Погрузка кирпича.

Компания нанимает одного рабочего, который занимается погрузкой кирпича на грузовики компании. В среднем в день (8 час) проходит 24 грузовика, которые появляются согласно распределению Пуассона. Рабочий загружает их со средней скоростью 4 грузовика в час, время обслуживания подчиняется экспоненциальному закону.

Полагают, что второй оператор, работающий на том же терминале, существенно повысит производительность в фирме. Менеджеры рассчитывают, что два оператора будут обслуживать по 4 грузовика в час каждый. a.

Проанализируйте эффект в очереди от такого изменения и сравните с результатом для одного рабочего. b.

Какова вероятность того, что будет больше чем 3 грузовика в очереди? c.

Водители грузовиков получают $10 в час, операторы $6 в час. Каково оптимальное число операторов?

ё. Компания собирается построить второй терминал, чтобы ускорить процесс погрузки. В этом случае каждый из операторов будет работать на своем терминале. На сколько сократится время пребывания грузовиков в системе по сравнению с предыдущим вариантом погрузки? 9.15.

Бар «Аэродром»

Бармен может обслужить клиента в среднем за 50 сек, время обслуживания распределено экспоненциально и зависит от сложности напитка. В вечернее время бар практически заполнен и в среднем каждые 55 сек клиент подходит к стойке (бар очень большой). a.

Как долго (в среднем) клиент будет ждать у стойки? b.

Сколько в среднем людей будет толпиться у стойки? c.

Какова вероятность, что 3 и более посетителей будут ждать выпивки?

ё. Каков процент времени, когда бармен не занят?

е. Если заменить бармена разливочным автоматом, который на любой коктейль тратит одно и то же время - 50 сек., как изменятся рассчитанные выше характеристики этой системы обслуживания? 9.16.

Парк аттракционов

Управляющий парком аттракционов должен нанять слесарей-ремонтников для ремонта машинок на аттракционе «Автодром», которые выходят из строя в среднем каждые полчаса. Ремонтник требует за свою работу $5 в час. Ремонт одной машинки занимает в среднем 30 минут, Часовой простой машинки стоит $40. a.

Сколько ремонтников следует нанять управляющему, чтобы издержки были минимальными? b.

Сколько минут в час в среднем каждый ремонтник не будет занят? 9.17.

Офис

Клиенты заходят в офис компании примерно раз в 15 минут. Среднее время, которое тратит на работу с каждым студентом служащий офиса - 10 мин. В настоящее время в офисе только один служащий. Предполагая пуассоновский поток клиентов и экспоненциальное распределение времени обслуживание, ответьте на вопросы: a.

Сколько процентов рабочего времени служащий не занят? Сколько в среднем времени клиент ждет в очереди? b.

Какова средняя длина очереди?Какова вероятность того, что вошедший в офис клиент найдет хотя бы еще одного клиент впереди себя? c.

Менеджмент компании оценивает убытки от ожидания клиентов в очереди величиной в $10 в час. Для уменьшения времени, которое клиент проводит в очереди, рассматривается два различных варианта развития:

ё. Установить компьютерную систему, которая поможет служащему офиса снизить среднее время обслуживания на 40% (при этом по-прежнему ожидается экспоненциальное распределение для времени обслуживания)

е. Нанять второго служащего, который будет работать с той же скоростью, что и первый.

Г Стоимость работы компьютерной системы $99.50 в день, а второму служащему нужно платить $75 в день? Длительность рабочего дня 8 часов.

§. Какой вариант развития офиса Вы бы предпочли? Стоит ли вообще что- нибудь менять? Мотивируйте Ваши выводы расчетами. 9.18.

Аттракционы в парке отдыха

На аттракционе «Большие гонки» управляющему необходимо нанять слесарей-ремонтников. Электромобильчики, которые и являются основой аттракциона, и количество которых достигает несколько десятков, выходят из строя буквально каждые 20 минут (в среднем). Детей, желающих покататься, много, поэтому простой электромобилей влечет изрядные потери ($60 в час). Ремонтники требуют за свою работу $4 в час на человека.

Ремонт одной машинки занимает в среднем 25 минут. a.

Сколько ремонтников следует нанять управляющему, чтобы издержки были минимальными? b.

Сколько минут в час в среднем каждый ремонтник не будет занят? 9.19.

Колониальные товары

Клиенты заходят в магазин «Колониальные товары» в среднем один раз в 6 минут. В магазине, торгующем чаем и кофе элитных сортов, работает только один продавец. Так как он эксперт в области чая и кофе, клиенты часто довольно долго советуются с ним по поводу покупки. Поэтому среднее время обслуживания достигает 5 минут и распределено экспоненциально.

Владелец снабдил торговый зал большим количеством материалов об истории и особенностях разных сортов чая и кофе, но все же клиенты обычно не задерживаются в магазине, если там уже есть 3 покупателя. a.

Каково среднее количество клиентов в магазине? Сколько минут в среднем покупателям приходится ожидать в очереди? Сколько минут из часа продавец вообще не занят? b.

Какова доля клиентов, покидающих магазин из-за нежелания стоять в очереди? Как часто клиент, заходя в магазин, не застает там ни одного покупателя? Какова вероятность того, что клиент, зашедший в магазин, будет ждать своей очереди? c.

Если бы все клиенты, заглянувшие в магазин, решили ожидать своей очереди, какова была бы вероятность встретить в магазине больше 3 покупателей? 9.20.

Мир цветов

Магазин-оранжерея «Мир цветов» выращивает и продает комнатные растения. В дни всплеска спроса на этот товар в магазин заходят по 75 человек в час. Продавцы-консультанты проводят покупателей по большому залу и помогают отобрать интересующие их растения. Время, которое уходит у покупателя на этот процесс, распределено экспоненциально и в среднем близко к 10 минутам.

Так как объем продаж в периоды высокого спроса во много раз выше, чем в обычные дни, и приносит львиную долю доходов, управляющий магазином старается уменьшить время обслуживания, чтобы не отпугнуть потенциальных покупателей перспективой ожидания в очереди. Реклама магазина даже обещает, что покупателям не придется ждать и минуты. a.

Какое количество продавцов должно работать в такие периоды в магазине, чтобы время ожидания в очереди не превышало 1 минуты? b.

Сколько клиентов в этом случае будет присутствовать в магазине одновременно? Какова вероятность того, что в магазине находится не более 7 покупателей? Больше 16 покупателей? c.

Если клиенты вообще не захотят ждать обслуживания, и при отсутствии свободного продавца станут уходить из магазина, то сколько процентов клиентов будет потеряно? Какова в этом случае вероятность того, что в магазине находится не более 7 покупателей? 9.21.

Магазин сети «Шамбала»

Магазины сети продают бытовую технику всех видов: от фенов и миксеров до холодильников, компьютеров и домашних кинотеатров. Посетители заходят в большой магазин каждые 20 сек., однако реально интересуется каким-либо товаром и обращается к менеджеру с вопросами только каждый третий посетитель. В торговом зале работают 4 менеджера. У каждого из менеджеров ухолит на консультацию клиенту примерно 3 минуты. Время распределено экспоненциально, так как большая часть клиентов задает конкретные вопросы о товаре, но те, кто покупает дорогую сложную технику, нуждаются в более подробной консультации и демонстрации товара. Оплата товара не занимает много времени.

Из посетителей, обратившихся к менеджерам, примерно половина действительно делает покупку. Выдачу товара производят 6 служащих. В среднем выдача товара покупателю, включая подъем со склада, проверку и заполнение гарантийного талона занимает 9 минут. a.

Определите, сколько времени посетителям в зале приходится ожидать консультации менеджера? Какова средняя длина очереди и сколько всего посетителей в зале общаются с менеджерами или ждут их консультации? b.

Какова средняя длина очереди на получение товара и сколько времени приходится тратить покупателям на его получение? c.

Покупатели жалуются на очереди при получении купленного товара. Управляющий, решивший проверить, в чем дело, обнаружил, что из-за высокой загрузки служащих, выдающих товар, они по очереди отдыхают. В результате на выдаче работают одновременно пять человек, а не шесть. Как изменилась средняя длина очереди на получение товара в результате этого изменения и сколько времени в действительности приходится тратить клиентам на получение покупки? 9.22.

Кафе «Золотая форель»

Небольшое кафе на пешеходной улице, одно из многих, имеет 8 столиков. Посетители, увидевшие свободный столик, садятся и их обслуживают. Время пребывания клиентов за столиком распределено экспоненциально и в среднем составляет 25 мин.

Если свободных мест нет, люди проходят мимо в расположенные неподалеку практически такие же кафе. Поток потенциальных клиентов можно считать пуассоновким, его интенсивность - 1 человек за 3 минуты. a.

Хозяин подумывает немного расширить кафе и довести количество столиков до дюжины. Принесет ли ему выгоду этот шаг, если занятый столик приносит 900 руб. в час из которых остается оплатить содержание одного столика - 360 руб/час? b.

Какое количество столиков принесет ему наибольшую прибыль? 9.23.

Серфинг

Отель на океанском побережье держит четырех инструкторов, которые обучают туристов серфингу в индивидуальном порядке. Поток туристов, желающих поучиться, достаточно велик и к домику инструкторов в среднем каждые 15 минут подходит потенциальный клиент. Если все инструкторы заняты, туристы не ждут, когда кто-нибудь из них освободится, а уходят к другой группе инструкторов, т.к. недостатка в инструкторах, в общем, нет.

Продолжительность занятия произвольна и плата за него повременная. Большинство туристов обучается начальным навыкам быстро, а затем предпочитает упражняться в серфинге самостоятельно. Но есть и клиенты, занимающие инструктора на несколько часов. В целом распределение для времени занятий можно считать экспоненциальным. При этом средняя продолжительность занятия составляет один час, а стандартное отклонение - 15 минут.

Стоимость занятия для клиента - $50 в час. Инструкторам отель платит $15

в час. a.

Какова вероятность того, что все четыре инструктора заняты? b.

Сколько минут из часа в среднем каждый инструктор свободен? Какова вероятность того, что все четыре инструктора не заняты? c.

Управляющему отелем показалось, что инструкторы имеют слишком много нерабочего времени. Он склоняется к мысли, уволить одного инструктора, тем более, что на одного из этих типов заглядывается его жена. Выгодно ли это для отеля?

ё. Какое количество инструкторов принесет наибольшую прибыль отелю? Сколько времени в этом случае будут не заняты инструкторы? 9.24.

Радио-такси

Автоматическая телефонная система фирмы «Черноголовское радиотакси» может поставить в очередь максимум 3-х клиентов. Каждый из операторов, работающих в системе, тратит в среднем на принятие заказа такси 2 мин. Звонки же поступают в среднем 1 раз в минуту. Распределение времени обслуживания и интервала времени между звонками - экспоненциальное. Один клиент в среднем приносит прибыль $6. Если клиент не дозванивается, он вызывает такси другой компании. Если в данный момент нет свободных такси, клиент также будет потерян. Данная компания имеет парк из 20 такси, среднее время обслуживания пассажира 25 мин (распределено экспоненциально).

Водитель получает $7 в час, а оператор $4. a.

В настоящий момент фирма имеет четырех операторов. Какова упущенная выгода фирмы от потери не дозвонившихся или неудовлетворенных клиентов? b.

Каково оптимальное количество операторов?

Указание: С точки зрения теории очередей фирма представляет собой две СМО: «телефонная система» и собственно такси. Клиенты, обслуженные СМО телефонная станция, создают входной пуассоновский поток для СМО такси.

27 9.25.

Отдел сбыта (бизнес-кейс)

В отдел сбыта Московского офиса ЗАО «ТД Тракт» стали поступать жалобы от клиентов на сложность дозвона до офиса по рекламным номерам Компании. В целом Компания имеет два рекламных номера, каждый из которых с помощью офисной АТС ветвится на четыре отдельные линии. Таким образом, сотрудники отдела сбыта могут вести переговоры одновременно с восемью клиентами. При этом, если звонит девятый клиент, он слышит короткие гудки.

Сбор информации о работе менеджеров показал, что среднее время переговоров составляет около 3 минут. При этом каждый менеджер за час проводит в среднем 16 переговоров, т.е. 1/5 рабочего времени он не занят. На первый взгляд эти данные не свидетельствовали о том, что у клиентов должны быть проблемы с дозвоном до отдела сбыта, однако определить, сколько именно клиентов получают отказ при сложившейся системе работы, нельзя, так как подобная информация не фиксируется офисной АТС.

Было предложено на некоторое время увеличить количество телефонных линий вдвое и посмотреть, как часто все линии будут загружены. Кроме этого были выделены сотрудники из других подразделений для ответов на входящие звонки. Для более точного определения среднего числа звонков за час работы и времени переговоров к офисной АТС подключили компьютер и использовали специальную программу «Те1етап7».

Собранная информация позволила подсчитать, что количество обслуженных всеми линиями вызовов составило 190 в час. При этом в течение шести пиковых часов все шестнадцать линий одновременно были заняты в течение всего 11 минут. Время обслуживания одного звонка составило —189 секунд.

Руководитель отдела сбыта решил, что это свидетельствует о том, что практически ни один вызов не был отклонен. Из этого следовал вывод, что поток входящих вызовов равен 190 в час.

После этого специалисту по информационным технологиям было дано задание - оценить, сколько линий требуется оставить для того, чтобы число отказов не превышало 5%. Ответьте, вслед за работником отдела 1Т , на следующие вопросы: 27

Задачу предложил слушатель программы МВА ИБДА АНХ при Правительстве РФ Голубев Сергей Александрович (группа МВА 06) в 2004 г. (Директор по продажам ЗАО «ТД ТРАКТ») a.

Верен ли вывод о том, что поток входящих вызовов равен 190 в час? Каков в действительности поток входящих звонков? Каков процент отказов? b.

Какова была вероятность того, что позвонивший в службу сбыта клиент услышит сигнал, что линия занята, если линий всего восемь? Оцените, сколько клиентов терялось вследствие этого за 6 часов пиковой нагрузки. c.

Если руководитель отдела сбыта готов допустить не более чем 5%-ную вероятность того, что все линии заняты, сколько телефонных линий должен иметь отдел?

ё. Можно ли было определить все эти параметры не проводя «полевых испытаний» с 16-ю линиями? Подтвердите ваш вывод соответствующими расчетами. 9.26. Станки-автоматы

В цехе находится 15 автоматических станков. В среднем 1 раз в 4 часа каждый станок останавливается и требует замены деталей (случайные моменты остановки распределены в соответствие с распределением Пуассона). Когда происходит остановка станка, техник диагностирует причины остановки и производит замену необходимой детали. Среднее время обнаружения неисправности, нахождения и установки нужной детали- 40 мин. (это время распределено экспоненциально).

Оплата техника составляет $5 в час. Простой оборудования - $300 в час. a.

Каково среднее число машин, находящихся в ремонте? Среднее время простоя остановившейся машины? b.

В цехе работают 3 техника. Какие издержки несет цех от простоя оборудования? c.

Каково должно быть оптимальное число техников в цехе?

ё. Техники жалуются на то, что у них совсем нет времени на перекур. Это действительно так, или скорее им просто некогда поболтать в курилке всем вместе. 9.27.

Полиграфическая компания

Полиграфическая фирма имеет четыре машины, которые являются автоматическими, но иногда нуждаются в обслуживании. Каждая машина нуждается в обслуживании приблизительно каждые 30 минут (по Пуассону). Среднее время обслуживания - 5 минут (распределено экспоненциально).

Простой оборудования приводит к потере $ 20 в час. Рабочее время одного оператора оплачивается из расчета $ 6 в час. a.

Каково среднее число машин в очереди и обслуживании? b.

Фирма рассматривает возможность найма второго оператора за $ 6 в час, с целью сокращения издержек. Имеет ли смысл делать это? 9.28.

Кофе для преподавателя

Группа слушателей курса «Количественные методы в менеджменте» программы МВА из 16 человек сдает письменный экзамен в компьютерном классе. Экзамен длится 4 часа, после чего приходит вторая группа из 16 человек еще на 4 часа. В соответствии с законом Пуассона каждый слушатель примерно раз в 25 мин обращается к преподавателю с вопросом, прояснение которого занимает некоторое, экспоненциально распределенное, время.

а. Оцените, какова должна быть минимальная средняя продолжительность консультации, чтобы у преподавателя уже не оставалось времени, чтобы выпить стаканчик кофе. (Предположите, что для этого у него должно выпадать хотя бы 10 свободных минут в час.).

Ь. Сколько времени в среднем придется ожидать консультации слушателю, обратившемуся с вопросом к преподавателю, при такой продолжительности консультации. 9.29.

Прядильная мастерская

В прядильной мастерской находятся 4 машины, каждая из которых останавливается и требует наладки в среднем 1 раз в час. Наладчик затрачивает на наладку в среднем 7.5 мин. Простой машины стоит $40/час. Оплата наладчика $7/час. a.

Определить оптимальное число наладчиков. b.

Повторить расчет для цеха из 40 машин. Как изменилась средняя длина очереди? Сколько теперь нужно наладчиков? 9.30.

Тамагочи

Игрушка «Тамагочи» представляет собой небольшое электронное устройство с дисплеем, на котором «живет» какая-нибудь виртуальная зверюшка. Зверюшка требует к себе внимания, ухода, кормления и проч. и создает Пуассоновский поток вызовов своему хозяину с 8 часов утра до 8 часов вечера. Остальное время она «спит». Среднее время между вызовами 40 мин. Чтобы зверюшка не зачахла и не погибла, нужно отреагировать на вызов в среднем не позже чем через 20 мин. и решить все ее проблемы. Время, необходимое для решения проблем, распределено экспоненциально и в среднем равно 9 мин.

Некая девочка регулярно выпрашивает у родителей все новые и новые игрушки, чтобы завести себе как можно больше виртуальных питомцев. a.

Как много зверюшек ей удастся поддерживать одновременно в добром здравии? b.

Сколько минут из часа в среднем будет оставаться у нее для собственных дел? c.

Как велика вероятность того, что пока она ухаживает за одним виртуальным питомцем, ее внимание потребуется другому или другим?

Указание: Предположите, что среднее время ожидания хозяйки зверюшками,

должно быть меньше критического. 9.31.

Цех

В цехе находится 20 автоматических станков. В среднем 1 раз в 5 часов каждый станок останавливается и требует замены деталей, (случайные моменты остановки распределены в соответствие с распределением Пуассона). Когда происходит остановка станка, техник диагностирует причины остановки и производит замену необходимой детали. Среднее время обнаружения неисправности, нахождения и установки нужной детали- 30 мин. (это время распределено экспоненциально).

Оплата техника составляет $5 в час. Простой оборудования - $400 в час.

а. Каково среднее число машин, находящихся в ремонте? Среднее время простоя остановившейся машины? b.

В цехе работают 3 техника. Какие издержки несет цех от простоя оборудования? c.

Каково должно быть оптимальное число техников в цехе?

ё. Техники жалуются на то, что у них совсем нет времени на перекур. Это действительно так, или скорее им просто некогда поболтать в курилке втроем. 9.32.

Полный порядок

Компания «Полный порядок» заключает с жителями микрорайона договоры на обслуживание и ремонт сантехники. Чтобы удовлетворить требованиям жителей по безопасности за каждой обслуживаемой квартирой закрепляется свой сантехник, которого жители могут узнать в лицо. Этот сантехник занимается всеми проблемами, кроме ликвидации аварий, на аварии выезжает отдельная служба и ликвидирует непосредственную угрозу.

Как показывает практика, за рабочий день сантехник может посетить в среднем двух клиентов. Время выполнения необходимых работ распределено по экспоненциальному закону.

Менеджер компании «1111» хочет определить, сколько квартир следует закрепить за каждым сантехником, чтобы время ожидания не превышало половины дня. При этом обычно клиент, вызвавший сантехника утром, мог ожидать его во второй половине дня, а вызвавший во второй половине дня - следующим утром. В среднем из каждой квартиры поступает один вызов за 40 дней. a.

Определите, при каком количестве обслуживаемых квартир время ожидания сантехника не превысит 0.5 дня? b.

Какова вероятность того, что при звонке сантехнику он окажется свободен? c.

Какова вероятность того, что сантехник будет иметь в своем расписании не менее 3-х вызовов? 9.33.

Виртуальный друг

В сети Интернет на странице www.virfrend.za каждый желающий может завести себе виртуального друга. Друг требует к себе внимания, обращается со своими проблемами, просто хочет поболтать и т.д. и присылает тебе Пуассоновский поток вызовов с 9 часов утра до 9 часов вечера, а остальное время «спит». Среднее время между обращениями 30 мин.

Чтобы не поссориться с виртуальным другом, нужно ответить на вызов в среднем не позже чем через 20 мин. и помочь ему решить его проблемы. В среднем это занимает 10 мин, но это время распределено экспоненциально.

Некий молодой человек, испытывающий недостаток общения, но имеющий много свободного времени, пытается завести как можно больше виртуальных друзей. a.

Как много друзей ему удастся удерживать? b.

Сколько минут из часа в среднем будет оставаться у него для собственных дел?

с. Как велика вероятность того, что покуда он беседует с одним виртуальным приятелем, разговора с ним уже ожидает кто-то еще?

Указание: Предположите, что среднее время ожидания разговора должно быть меньше критического. 9.34.

Завод научного приборостроения

Транспортный цех небольшого завода научного приборостроения в подмосковном Академгородке имеет 10 автобусов для доставки рабочих из соседних городков и мелких населенных пунктов района. Автобусы время от времени требуют ремонта, причем время между поломками, как и следовало ожидать, соответствует пуассоновскому распределению.

Как показывают записи диспетчера за последний год, всего автобусы ремонтировались 111 раз. Время ремонта распределилось так, как показано в таблице. Время ремонта, дней 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ~15 Количество

случаев 20 16 14 11 9 7 6 5 4 3 3 12 В 20-ти случаях ремонт был мелким и не приводил к простою автобусов. В 12 случаях время ремонта превышало 10 рабочих дней и составляло, по оценке диспетчера, в среднем около 15 рабочих дней (для определенности примите, что в месяце 23 рабочих дня).

В цехе с автобусами работают три мастера и их помощники. Каждый мастер со своим помощником выполняет заявку на ремонт автобуса отдельно от других. a.

Определите вид и параметры системы массового обслуживания. b.

Каково среднее количество ремонтируемых автобусов? c.

Сколько времени, в среднем, ожидает ремонта поломавшийся автобус? Какова вероятность ожидания перед началом ремонта?

ё. Какова вероятность того, что в ремонте находится ровно один автобус? Какова вероятность того, что все трое мастеров будут заняты ремонтом?

е. Транспортировка рабочих к месту работы и обратно обходится заводу в 1000 руб. в день на 1 автобус. Если автобус, выполняющий рейс по какому-либо маршруту, сломан, рабочим приходится добираться муниципальным транспортом. Расходы на поездки на работу муниципальным транспортом завод впоследствии компенсирует, поэтому простой одного собственного автобуса обходится заводу в 2000 руб. в день. Стоит ли нанять еще одного мастера-ремонтника, если его зарплата и зарплата его помощника составляют в сумме 14 тыс. руб. в месяц?

Г Как изменятся потери завода, если один из мастеров уволится и на его место не удастся быстро найти замену? 9.35.

Вязальные станки

В цехе фабрики, выпускающей полипропиленовые мешки, находятся 25 кругловязальных станков. Каждый станок вяжет рукав, используя около 500 нитей. Время от времени кончаются бобины или нить рвется и т. д. В тот же момент станок останавливается и ждет вмешательства оператора. Поиск и устранение неисправности занимает у оператора в среднем 5 мин. Время устранения распределено экспоненциально. Каждый станок останавливается примерно 4 раза в час.

Стоимость простоя станка - около $30 в час, зарплата оператора составляет $1 в час. Обычно в операторской смене цеха кругловязальных станков работает 6 операторов. a.

Найдите среднее время простоя станков в цехе за рабочий день. Каковы потери цеха от простоя станков? Сколько времени оператор не занят? b.

Каково оптимальное число операторов? Как изменятся потери от простоя при увеличении числа операторов до оптимального? Сколько времени теперь каждый оператор не занят?

<< | >>
Источник: Зайцев М.Г., Варюхин С.Е.. Методы оптимизации управления и принятия решений: примеры, задачи, кейсы: учебное пособие. — 2-е изд., испр. — М.: Издательство “Дело” АНХ. - 664 с.. 2008 {original}

Еще по теме Задачи для самостоятельного решения:

  1. Задачи для самостоятельного решения
  2. Задачи для самостоятельного решения
  3. Задачи для самостоятельного решения
  4. Задачи для самостоятельного решения
  5. Задачи для самостоятельного решения
  6. Задачи для самостоятельного решения
  7. Задачи для самостоятельного решения
  8. Задачи для самостоятельного решения
  9. Конфликтные ситуации для самостоятельного решения
  10. Деловые конфликтные ситуации для самостоятельного решения и приобретения опыта
  11. Для решения каких задач необходим бизнес-план?
  12. Информационный инструментарий для решения политических, социальных, экономических и военных задач
  13. ГЛАВА ВТОРАЯ МЕТОДОЛОГИЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ИНШОРМАЦИОННОГО ПРОСТРАНСТВА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПОЛИТИЧЕСКИХ, СОЦИАЛЬНЫХ И ВОЕННЫХ ЗАДАЧ И ЦЕЛЕЙ
  14. Вопросы для самостоятельной подготовки.
  15. 5. Тематика для самостоятельной работы