<<
>>

Теоретические замечания.

Процесс принятия любого управленческого решения - это всегда выбор из нескольких рассматриваемых альтернатив:

Инвестировать деньги в данный проект или нет?

Продать убыточное отделение компании или инвестировать в его реорганизацию?

Покупать акции компании А или компании В или продавать и те и

другие?

Вложить деньги в новое оборудование, чтобы снизить издержки по производству данного продукта, в дополнительную рекламу продукта или в информационную систему, эффективно обрабатывающую клиентскую базу данных, и позволяющую перейти к прямому маркетингу продукта?

Количество подобных вопросов, на которые управленец должен давать ответы каждый день, можно умножать беспредельно. Их разнообразие бесконечно.

Очень часто привлекательность той или иной альтернативы (по сравнению с другими рассматриваемыми альтернативами), зависит от того, каким образом будут развиваться события, от того, какой из предполагаемых «сценариев будущего» реализуется. Поскольку человеку не дано достоверно предвидеть будущее, процесс выбора из нескольких альтернатив в таких условиях называют принятием решения в условиях неопределенности и риска. В случае если лицо, принимающее решение, не имеет никакого представления о вероятностях реализации того или иного сценария будущего, говорят о принятии решения в условиях полной неопределенности. Если, наоборот, лицо, принимающее решение, имеет те или иные объективные оценки вероятностей различных сценариев будущего, говорят о принятии решения в условиях риска.

Таблица выигрышей и потерь.

Первое, что нужно сделать для систематизации процесса выбора из нескольких альтернатив, это оценить выигрыши и потери, к которым приведет выбор каждой альтернативы, при условии реализации каждого из рассматриваемых сценариев будущего. Все выигрыши и потери нужно свести в таблицу (или матрицу) выигрышей и потерь. В этой таблице столько строк, сколько рассматривается альтернатив, и столько столбцов, сколько сценариев будущего, определяющих результат каждой альтернативы, принимается во внимание.

Рассмотрим в качестве примера некоторую компанию «Энергия палеолита»- ЭП, которая занимается тем, что покупает земли в потенциально нефтеносных районах, некоторое время ждет, а затем принимает решение: бурить скважину или продать землю. В настоящий момент компания имеет участок земли в нефтеносном районе. Проведенный экономический и геофизический анализ показывает, что при бурении скважины на максимальную глубину, доступную компании при имеющемся оборудовании, в данном районе составят 700 тысяч у.е. Если при этом нефть не будет найдена, эти издержки составят прямые потери компании (пессимистический сценарий). В случае обнаружения нефти, геофизический анализ позволяет оценить типичный объем нефти, который можно извлечь из данной скважины (консервативный сценарий) и максимальный для данных условий объем (оптимистический сценарий). Экономический прогноз будущих цен на нефть на период эксплуатации скважины и переменных эксплуатационных издержек, позволяет оценить свободные финансовые потоки от каждого года за все время эксплуатации скважины. Дисконтируя эти потоки с коэффициентом дисконта равным средневзвешенной стоимости капитала компании ^АСС - см, например, Р.Брейли и С.Майерс «Принципы корпоративных финансов») и суммируя их с первоначальной инвестицией на бурение скважины, можно получить чистую приведенную стоимость проекта бурения и эксплуатации скважины при среднем и при максимально возможном запасе нефти (т.е.

при консервативном и оптимистическом сценарии). Полученные таким образом оценки выигрышей при консервативном и оптимистическом сценариях приведены в следующей таблице. Там же показана рыночная цена, которую можно получить, если продать этот участок, разумеется, до того, как пробурена скважина. Будем считать, что остаточная цена земли после безрезультатного бурения равна нулю (или что она учтена в сумме постоянных издержек бурения). Таблица выигрышей и потерь компании «Энергия палеолита» Сценарии будущего Альтернативы Нефти нет Средний запас Мощный фонтан Бурить -700 +500 +2000 Продать +150 +150 +150 Рис. 233

Экономический и геофизический анализ, который привел компанию ЭП к цифрам, приведенным в данной таблице, сродни бизнес плану для любого нового проекта или предприятия. Любой бизнес план включает стратегический и маркетинговый анализ, проект организационной структуры, план управления операциями и человеческими ресурсами, и, наконец, финансовый анализ проекта, дающий его чистую приведенную стоимость (ЧПС) и показывающий инвестиционную привлекательность проекта. Поскольку все цифры, используемые в финансовом анализе, носят прогнозный характер, т.е. соответствуют предполагаемым объемам продаж, ценам и издержкам, число, выражающее чистую приведенную стоимость проекта имеет мало смысла, если не проведен анализ чувствительности результата к изменению прогнозных параметров. Если изменение всех прогнозных параметров проекта в пределах, которые кажутся менеджеру разумными, оставляет ЧПС проекта положительной, проект должен быть принят. В большинстве случаев, прогнозные параметры не являются независимыми. Поэтому разумно рассматривать их взаимосвязанное изменение как «сценарий будущего». Обычно рассматривают пессимистический, консервативный и оптимистический сценарий, что и соответствует трем сценариям в проблеме компании «Энергия палеолита». Хорошо, если во всех трех сценариях ЧПС положительна. В случае «Энергии палеолита» это не так. Нередко и в других представляющих интерес проектах, для пессимистического сценария существует риск потерь.

Итак, серьезный экономический анализ проведен. Получены три цифры выигрышей и потерь, а также цифра выигрыша, в случае отказа от бурения. С этого места и должен начаться наш анализ. Что же все-таки делать: бурить или продать? Принятие решений в условиях полной неопределенности

Если у нас нет никакой информации о вероятностях рассматриваемых сценариев будущего, т.е. мы совершенно не представляем себе, каковы шансы найти нефть на нашем участке, наука может предложить очень не много. То, что она предлагает, высокопарно называют «критериями принятия решений». Эти критерии помогают систематизировать выбор из нескольких альтернатив, в зависимости от нашего отношения к риску.

Рассмотрим первым критерий «Максимина», соответствующий логике выбора крайнего пессимиста, который считает, что какую бы альтернативу он ни выбрал, с ним все равно случится самое худшее. Самое худшее - это минимальный выигрыш (в случае если этот минимальный выигрыш выражается отрицательным числом, это фактически максимальный проигрыш). Поэтому выбирать следует ту альтернативу, где этот минимальный выигрыш - максимален. Из Рис. 233 видно, что в случае «Энергии палеолита», наихудший возможный сценарий при выборе альтернативы «Бурить» - это отсутствие нефти. При этом наш выигрыш составляет «- 700 тыс.». Если мы выберем альтернативу «Продать», то независимо от сценария будущего, наш выигрыш составит «150 тыс». Поскольку при выборе альтернативы «Продать» минимальный выигрыш больше, чем при выборе альтернативы «Бурить», согласно критерию максимина, нужно выбрать именно альтернативу «Продать». Логика вполне понятная с житейской точки зрения. Однако, в случае «Энергии палеолита» такая логика попросту закрывает бизнес компании. Согласно критерию максимина, мы всегда будем выбирать альтернативу «Продать», поскольку бурение неизбежно связано с некоторым риском не найти нефть и потерять деньги. Более того, систематическое применение критерия максимина закроет любой бизнес. Очевидно, что любое бизнес решение содержит в себе риск потерь. Чтобы ничего никогда не терять, придется отказаться от любой деятельности (и собственности).

Второй, часто цитируемый критерий, называется критерием «Минимаксных сожалений» (в русскоязычной литературе его чаще называют критерием «Минимаксного риска», что представляется авторам менее точным, чем буквально переведенное английское название - «Minimax regret»). Его тоже можно представить как выбор пессимиста, считающего, что какую бы альтернативу он ни выбрал, с ним случится самое худшее. Но теперь этот пессимист - бизнесмен. А бизнесмен не любит не только прямых потерь, но и упущенной выгоды. Поэтому «самое худшее» для такого пессимиста - это большие упущенные возможности, в которых на равных основаниях учитываются как прямые потери, так и не полученная прибыль. Для расчета упущенных возможностей при выборе каждой альтернативы, если реализуется любой сценарий будущего, нужно переделать таблицу выигрышей и потерь следующим образом (Рис. 234 и Рис. 235). Таблица выиг рышей и потерь компании «Энергия палеолита» Сценарии будущего Альтернативы Нефти нет Средний запас Мощный фонтан Бурить -700 +500 +2000 Продать +150 +150 +150 Максимум 150 500 2000 Таблица упущенных возможностей компании «Энергия палеолита» Сценарии будущего Альтернативы Нефти нет Средний запас Мощный фонтан Бурить 850 0 0 Продать 0 +350 +1850 Рис. 235

Во-первых, допишем строку «Максимум» таблицы выигрышей и потерь, в которую поместим максимальный выигрыш для данного сценария будущего, реализующийся, если выбрана «правильная» альтернатива. Во-вторых в клетках новой таблицы упущенных возможностей запишем разницу между этим максимальным для данного сценария выигрышем и реальным выигрышем, который будет получен, если выбрана каждая из рассматриваемых альтернатив.

Если нефти нет, то «правильная» альтернатива - «Продать», и соответствующие ей упущенные возможности равны 0 (достигнут наилучший результат, ничего не потеряно). Аналогично 0 упущенных возможностей соответствует сценариям «Средний запас» и «Мощный фонтан», если выбрана альтернатива «Бурить». Наоборот, если нефти нет, а выбрана альтернатива «Бурить», упущенные возможности эта разность между возможным выигрышем 150 и реально полученным отрицательным «выигрышем», равным минус 700 тыс., т.е. +850 тыс. Если же нефть есть, то при «Среднем запасе» упущенные возможности равны +350 тыс., а при «Мощном фонтане» они равны +1850 тыс.

Видно, что наихудший результат (максимум упущенных возможностей) при альтернативе «Бурить» (850 тыс., если нефти нет) меньше, чем при альтернативе «Бурить» (1850 тыс., при наихудшем для этой альтернативы сценарии - «Мощный фонтан»). Следовательно, согласно критерию минимаксных сожалений, выбрать нужно альтернативу «Бурить». Очевидно, что критерий минимаксных сожалений не всегда будет давать результат, противоположный критерию максимина, и не всегда будет рекомендовать одну и ту же альтернативу (как критерий максимина). Если бы выигрыш от альтернативы «Продать» при сценарии «Мощный фонтан» был бы не 2000, а 900, то критерий минимаксных сожалений, так же как и критерий максимина рекомендовал бы выбрать альтернативу «Продать».

На первый взгляд кажется, что критерий минимаксных сожалений, более гибкий, чем критерий максимина, и более приемлемый для бизнес решений. Однако нетрудно видеть, что в случае «Энергии палеолита» он совпадает с третьим известным критерием «Максимакса» (он и в других случаях будет весьма часто совпадать с этим критерием). Этот критерий рекомендует выбирать ту альтернативу, где максимальный выигрыш (выигрыш для оптимистического сценария) максимален. Например, если владелец бизнеса, с помощью консультантов оценивший его стоимость, узнает, что сегодня в местном казино будет разыгрываться сумма, превышающая стоимость его бизнеса, он, согласно критерию максимакса, должен поставить бизнес на карту. Вряд ли подобные «рекомендации» кто-нибудь может воспринимать серьезно.

Таким образом, систематическое применение критериев «минимаксных сожалений» и «максимакса», несомненно, приведет к потере бизнеса, так же как и систематическое применение критерия «максимина». В случае «максимина» - из- за нежелания брать на себя хоть какой-нибудь риск потерь, а в случае «минимаксных сожалений» или «максимакса» из-за оголтелого стремления к максимальному выигрышу, невзирая на соответствующие ему шансы. Неутешительный вывод. Неутешительный - для критериев принятия решений в условиях полной неопределенности. Понимать смысл и соотношение этих критериев полезно, но, с практической точки зрения, ситуации «полной неопределенности» лучше избегать. Для рационального принятия решений, необходимо хотя бы грубо оценить вероятности (шансы) различных сценариев будущего. Если это сделано, то проблему принятия решений классифицируют как выбор альтернатив «в условиях риска».

Принятие решений в условиях риска.

Описывая деятельность компании «Энергия палеолита» в начале настоящего раздела, мы заметили, что после покупки земли в нефтеносном районе и перед принятием решения о бурении, менеджмент компании некоторое время ждет. Чего собственно здесь можно ждать? Очевидно, ждать можно результатов бурения более смелых и более богатых соседей, набрать статистику, характеризующую степень нефтеносности района, и оценить вероятности обнаружения нефти на своем участке (который априори ничем от соседских не отличается).

Пусть к моменту принятия решения 100 соседей пробурили скважины, и —

в 50 случаях нефть не была найдена —

в 30 случаях обнаружены запасы, близкие к средним ожидаемым —

в 20 случаях забил мощный фонтан

Исходя из этих данных, можно получить естественные оценки вероятности рассматриваемых сценариев будущего, которые отражены в новом варианте таблицы выигрышей и потерь компании «Энергия палеолита»

Рис. 236 Расчет ожидаемой монетарной ценности альтернатив и стоимости совершенной информации

В случае, когда вероятности сценариев будущего определены, наиболее употребительным критерием выбора из нескольких альтернатив является критерий «Ожидаемой монетарной ценности» - EMV (по-английски Expected Monetary Value). Для каждой i-ой альтернативы следует рассчитать величину суммы произведений выигрышей при различных сценариях будущего Oij на величины вероятностей этих сценариев pj:

ЕМУ,. =?О« ? Pj , (,)

J

после чего выбрать ту альтернативу, для которой EMV максимальна. Из табл. 3 видно, что для случае компании ЭП максимальное EMV достигается для альтернативы «Бурить»: EMVi=200 (в то время как для альтернативы «Продать» EMV2=150).

Смысл величины EMV проявляется очень наглядно, если представить себе, что компания ЭП имеет в данном нефтеносном районе не один, а 100 одинаковых участков, и решение о бурении или продаже принимается для всех 100 участков одновременно. Тогда, если решено «Бурить», примерно на 50 участках компания ЭП потеряет по 700 тыс. Суммарный «выигрыш» составит - 35000 тыс. На 30 участках компания ЭП выиграет 30x500 тыс. = 15000 тыс., а примерно с 20 участков, где забьет мощный фонтан, компания ЭП получит 20x2000 тыс. = 40000 тыс. Просуммировав эти три числа, получим, что суммарный выигрыш на всех 100 участках будет примерно +20000 тыс. Т.е. с одного участка компания ЭП получит примерно 200 тыс. Таким образом, EMV - это ожидаемый выигрыш, который получила бы компания ЭП с одного участка, если бы решение о бурении было принято для множества одинаковых участков. Читатели, знакомые с теорией вероятностей, конечно, узнали в этой величине математическое ожидание. В данном случае речь идет о математическом ожидании случайной величины выигрыша, который получает компания при выборе данной альтернативы и случайной реализации данного сценария будущего.

Совершенно очевидно, что если компания ЭП действительно владеет множеством одинаковых участков в одном и том же нефтеносном районе, то выбор альтернативы «Бурить» принесет больший выигрыш, чем выбор альтернативы «Продать» (для всех участков). Однако если компания ЭП владеет лишь одним участком, то почему и в этом случае, при рациональном выборе из имеющихся двух альтернатив («Бурить» или «Продать») компания должна выбрать альтернативу с большей ожидаемой монетарной ценностью - EMV? Отвлекаясь, от конкретной проблемы компании ЭП, следует отметить, что ответ на поставленный вопрос определяется характером принимаемого компанией решения.

Если речь идет о судьбоносном решении, если вы понимаете, что подобный выбор никогда больше не представится вам в будущем, то выбор альтернативы будет определяться лишь вашим субъективным отношением к величине вероятностей различных исходов, а также к величинам выигрышей и потерь. В случае компании ЭП, если потери в 700 тыс. кажутся вам невосполнимыми, а вероятность исхода, приводящего к потерям - 50% пугающе большой, вы, несомненно, выберете альтернативу «Продать» (в соответствие с критерием максимина). Если, напротив, выигрыш в 2000 тыс. кажется непреодолимо привлекательным, его шансы - 20% весьма значительными, а потери в 700 тыс. (в случае неблагоприятного исхода) не слишком пугают, вы выберете альтернативу «Бурить» (в соответствие с критерием максимакса, или критерием минимаксных сожалений).

Если же принимаемое решение носит рутинный характер, если подобные решения вам приходится принимать многократно, если они составляют существо вашего бизнеса, то EMV, ожидаемая монетарная ценность альтернативы, будет правильным ориентиром в принятии решения. Компания «Энергия палеолита» в данный момент владеет единственным участком и принимает серьезное инвестиционное решение. Но это решение, очевидно, не уникально. Ведь покупка участков, их продажа или бурение и эксплуатация скважин на них - это бизнес компании. Месяц назад аналогичное решение, возможно, принималось относительно другого участка (с другими вероятностями сценариев будущего, другими издержками бурения, запасами нефти и, соответственно, выигрышами от бурения и эксплуатации скважины), а через месяц подойдет очередь принятия подобных решений для двух других участков в других районах, с другими числовыми характеристиками выигрышей и потерь и с другими шансами различных сценариев будущего. Если компания ЭП каждый раз будет руководствоваться критерием максимальной ожидаемой ценности, в долгосрочной перспективе она будет в выигрыше. Нельзя предсказать величину этого выигрыша, так как числовые характеристики решения меняются раз от раза, но сам по себе выигрыш гарантирован.

Следует особо подчеркнуть, что выбор альтернативы с максимальной ожидаемой ценностью никоим образом не гарантирует выигрыша в данном конкретном случае. Руководствуясь принципом максимальной EMV, в данном конкретном случае, вы должны быть готовы к потерям. В случае компании ЭП вероятность потерь 50%! Однако в долгосрочной перспективе, при многократном принятии подобного решения, принцип максимальной EMV обязательно обеспечит перевес выигрышей над потерями и, следовательно, обеспечит положительный суммарный баланс.

В заключение отметим, что вместо критерия максимума ожидаемой монетарной ценности альтернативы, мы с тем же успехом могли бы использовать критерий минимума ожидаемых упущенных возможностей - EOL (по-английски -

Expected Opportunity Loss). Ожидаемые упущенные возможности для данной альтернативы вычисляются аналогично ожидаемой монетарной ценности как средневзвешенное от упущенных возможностей для каждого из рассматриваемых сценариев будущего Lij с весами, равными вероятностям этих сценариев pf.

EOL, =? Lj • pj (2)

j

В таблице на Рис. 237 сопоставлены результаты вычислений по таблице выигрышей и потерь и по таблицы упущенных возможностей. Видно, что минимум ожидаемых упущенных возможностей (425 тыс.) соответствует той же альтернативе «Бурить», что и максимум ожидаемой монетарной ценности. Как отмечалось в Теоретических замечаниях к разделу «Оптимальное управление запасами с учетом случайных вариаций спроса», это не случайность, а строгий математический вывод. максимум прибыли соответствует, минимуму упущенных возможностей, если при вычислении последних на равных основаниях учитывать и не полученную прибыль и прямые потери. А В

грышей и п с ? Е ? 1 Таблица выи отерь 2 Сценарии будущего 3 Нет нефти Средний запас Мощный фонтан ЕМУ 4 Альтернативы 5 Бурить -700 500 2000 200 6 Продать 150 150 150 150 7 Максимум 150 500 2000 625 8 Вероятности 0.5 0.3 0.2 9 ЕУРІ 425 10 Таблица упущенных возможностей 11 Состояния окружения 12 Нет нефти Средний запас Мощный фонтан ЕОІ. 13 Альтернативы 14 Бурить 850 0 0 425 15 Продать 0 350 1850 475 16 Вероятности 0.5 0.3 0.2 17 Рис. 237

Стоимость совершенной информации.

В условиях неопределенности и риска дополнительная информация, очевидно, увеличивает шансы лица, принимающего решение, на выигрыш и величину ожидаемого выигрыша. Представим себе, что в случае компании «Энергия палеолита» имеется возможность использовать новейшую геофизическую методику исследования недр, которая дает абсолютно достоверный результат: если нефти нет, методика определит, что ее нет, если нефть имеется в среднем запасе, методика предскажет средний запас, и, наконец, если на данном участке можно достать мощный запас нефти, методика предскажет мощный фонтан. И все это абсолютно достоверно, вероятность ошибки - 0%! Такую информацию называют совершенной. От людей невозможно получить совершенную информацию, касающуюся будущего. Любой прогноз содержит некоторую ошибку, любое предсказание имеет некоторую вероятность не сбыться. Ниже мы учтем это обстоятельство в нашем анализе и научимся оценивать стоимость несовершенной (но добросовестной информации). Сейчас же зададимся вопросом о справедливой стоимости совершенной информации (рассматривая ее как некоторый недостижимый идеал). Стоимость любой несовершенной информации будет, очевидно, всегда ниже стоимости совершенной информации.

Следует отметить, что стоимость информации не может зависеть от того, реализацию какого именно сценария будущего она предсказывает. В случае ЭП, геофизики не сделают так, чтобы нефть была. Они только предсказывают, есть она или нет. Причем, независимо от результата исследования (предскажут они, что нефть будет обнаружена при бурении или нет), стоимость работ одна и та же, и оплатить их нужно до получения результата. Какова же максимальная граница для справедливой цены, которую компания ЭП может согласиться заплатить за подобное геофизическое исследование?

Для ответа на этот вопрос, прежде всего, заметим, что владение совершенной информацией позволяет получить максимум того, что можно извлечь из данного сценария будущего. Допустим, что геофизики предскажут, что нефти на участке нет. Тогда компания ЭП, очевидно, продаст землю (и получит 150 тыс.). Если геофизики предскажут, что нефть есть в среднем или мощном запасе, компания, очевидно, будет бурить (и получит либо 500 тыс. либо 2000 тыс., в зависимости от предсказания геофизиков). Интересно, что до начала подобного исследования, компания ЭП может оценить вероятность того или иного прогноза геофизиков на основании имеющейся статистической информации о нефтеносности района. Очевидно, что вероятность отрицательного прогноза геофизиков 50%, вероятность прогноза среднего запаса - 30%, а мощного фонтана - 20%. Таким образом, если бы у компании ЭП было 100 участков в данном районе, то примерно на 50 из них геофизики предсказали бы отсутствие нефти, и, продав эти участки, компания получила бы по 150 тыс. с каждого. Примерно на 30 участках геофизики предсказали бы средний запас, а на 20 - мощный фонтан, и, пробурив скважины на этих участках, компания ЭП получила бы с первых по 500 тыс., а со вторых - по 2000 тыс. В итоге, с каждого из 100 участков, при использовании такого геофизического исследования, компания ЭП получила бы в среднем по 625 тыс. (см. Рис. 3 и Рис. 237), а не 200 тыс. Ожидаемая монетарная ценность решения, принятого с учетом совершенной информации на 425 тыс. больше, чем без нее. Это и есть верхняя граница справедливой стоимости совершенной информации (EVPI - от английского термина Expected Value of Perfect Information) . Если геофизики просят за свою услугу меньше, чем 425 тыс., компании ЭП есть смысл заплатить, так как в итоге ожидаемая монетарная ценность с каждого участка возрастет. Если геофизики оценивают свою услугу выше 425 тыс., компании ЭП нет смысла ее использовать.

Подчеркнем еще раз, что EVPI=425 тыс. - это предельная цена за информацию, которую компании ЭП имеет смысл платить при решении вопроса о выборе из данных альтернатив. В реальности, методика, предлагаемая геофизиками, наверняка, не дает 100% результата. Поэтому представляемая ими информация - несовершенна и ее стоимость ниже EVPI.

Заметим также, что из таблицы 4 видно, что минимальные упущенные возможности (EOLj для альтернативы «Бурить») в точности равны стоимости совершенной информации. Это опять-таки не случайность. Ведь если мы владеем совершенной информацией, мы из каждого сценария будущего возьмем по максимуму, т. е. наши упущенные возможности будут равны нулю. Величина минимума упущенных возможностей при отсутствии дополнительной информации и есть та максимальная цена, которую мы сможем заплатить за совершенную информацию - EVPI.

Анализ устойчивости выбора оптимальной альтернативы для компании «Энергия палеолита».

Согласно принципу максимальной ожидаемой монетарной стоимости из двух рассматриваемых альтернатив «Бурить» и «Продать» компании ЭП следует выбрать альтернативу «Бурить». Однако, принимая ответственное управленческое решение, необходимо проверить, насколько чувствителен сделанный выбор к изменению прогнозных параметров и оценок вероятностей, с помощью которых были вычислены EMV, для каждой альтернативы. Из условия неизвестны прогнозные параметры, на основе которых компания ЭП получила значения выигрышей и потерь для каждой из альтернатив при каждом сценарии будущего. Поэтому часть анализа устойчивости, включающую вариацию этих параметров, мы привести здесь не сможем. Однако рассмотреть влияние оценок вероятностей различных сценариев будущего совершенно необходимо, тем более что именно в этих (обычно весьма грубых) оценках и коренится основная причина неустойчивости решения о выборе из нескольких альтернатив.

В случае компании ЭП оценить статистическую ошибку в оценках вероятностей совсем нетрудно. Мы уже приводили формулу для стандартной ошибки в определении вероятностей по выборке (формула (10) в Теоретических замечаниях к разделу «Оптимальное управление запасами с учетом случайных вариаций спроса» - см. [5]). Перепишем эту формулу еще раз, пренебрегая несущественными коэффициентами:

Ар 1

(2)

где N - размер выборки. Компания ЭП оценивала вероятности обнаружения нефти на своем участке, основываясь на результатах бурения на 100 соседних участках. Таким образом, типичная статистическая ошибка такой оценки - 10%. Выборочное значение оценки вероятности по частоте распределено примерно нормально. Поэтому с вероятностью 95% можно утверждать, что она отклоняется от неизвестного истинного значения вероятности не более чем на 2Ар (см. [5]). Попробуем проверить, как изменятся значения ЕМУ,\ для каждой альтернативы, если варьировать значения вероятностей сценариев будущего в пределах статистической ошибки. Поскольку наиболее критичным для нашего анализа является сценарий «Нефти нет», будем увеличивать вероятность этого сценария за счет уменьшения вероятности сценария «Мощный фонтан». При варьировании вероятностей, необходимо соблюдать, так называемое, условие нормировки:

(3)

Сумма вероятностей всех сценариев будущего должна равняться единице, т. е. рассматриваемые сценарии обязательно должно быть взаимоисключающими в совокупности исчерпывающими.

На Рис. 238 показано, как меняется ожидаемая монетарная стоимость альтернативы «Бурить» при небольшом увеличении вероятности пессимистического сценария «Нефти нет». Увеличение этой вероятности всего на 0,

05 (что составляет всего 10% - стандартное отклонение оценки вероятности сценария «Нефти нет») снижает ожидаемую монетарную стоимость альтернативы «Бурить» в 3 раза и делает ее в два раза меньше, чем ЕМУ альтернативы «Продать». Увеличение вероятности сценария «Нефти нет» всего на 0,02 уравнивает альтернативы «Бурить» и «Продать» по ожидаемым монетарным стоимостям. Это означает, что для рационального выбора между альтернативами «Бурить» и «Продать» в случае компании ЭП необходимо знать вероятности сценариев будущего с точностью до 0,01, что требует статистики N=10000, которой у компании ЭП нет. А в с D Е Сценарии будущего Нефти Средний Мощный нет запас фонтан EMV Альтернативы Бурить -700 500 2000 65 Продать 150 150 150 150 Максимум 150 500 2000 532,5 Вероятности 0,55 0,3 0,15 EVPI= 382.5 Нефти Средний Мощный нет запас фонтан EMV Альтернативы Бурить -700 500 2000 146 Продать 150 150 150 150 Максимум 150 500 2000 5SS Вероятности 0,52 0,3 0,13 EVPI= 438 Рис. 238 Изменение ЕМУ, при вариации вероятности сценария «Нефти нет»

Таким образом, в данном случае следует признать, что различие между ЕМУ альтернатив «Бурить» и «Продать», отраженное в таблице на Рис. 236 не является значимым. Оно уничтожается в результате небольшой вариации значения вероятности пессимистического сценария «Нефти нет», которая меньше, чем величина статистической ошибки для оценки вероятности этого сценария по имеющейся у компании ЭП выборке. Фактически это означает, что рациональный выбор между альтернативами «Бурить» и «Продать» без дополнительной информации (за которую, конечно, придется заплатить) невозможен. Если требуемая плата за дополнительную информацию превысит стоимость совершенной информации ЕУРІ, следует признать, что рациональный выбор между рассматриваемыми альтернативами невозможен вообще. Наука бессильна. И либо нужно довериться интуиции (и бурить), либо «спрятаться» за критерием максимина (и продать).

Обратим внимание на любопытное изменение стоимости совершенной информации в зависимости от соотношения ожидаемых монетарных ценностей сравниваемых альтернатив (Рис. 236 - Рис. 238). Чем больше различие между ЕМУі («Бурить») и ЕМУ2 («Продать»), тем ниже стоимость совершенной информации. Она максимальна в случае, когда ценности альтернатив почти одинаковы. Это вполне понятно: чем сложнее различить сравниваемые альтернативы, тем более остро мы нуждаемся в дополнительной информации, тем выше ее стоимость.

Дерево альтернатив

Таблица выигрышей и потерь удобна для формализации процесса принятия «одношаговых» решений:

Бурить скважину или продать участок?

Инвестировать в первый, второй или третий проект?

Сделать заказ объемом У1,У2,У3 или У10?

и т. п.

Нередко, однако, нужно выбирать между альтернативами, каждая из которых представляет собой «многошаговый» процесс принятия решений. Эти шаги могут быть разнесены во времени, причем на каждом шаге может возникать свой набор альтернатив и сценариев будущего. В этом случае визуализировать процесс выбора из рассматриваемых альтернатив удобно с помощью дерева альтернатив (иначе говорят - дерева решений). Дерево альтернатив - это необходимый инструмент при стратегическом планировании и инвестиционном

анализе. Рассмотрим инвестиционную проблему некоторой компании «Вольный

20

полет» .

Компания «Вольный полет» рассматривает проект по обслуживанию служебных перелетов на юго-востоке США. Эксперты полагают, что на услуги компании созрел спрос со стороны фирм, которые не в состоянии обращаться к компаниям, предоставляющим самолет на полное время, но, тем не менее, время от времени нуждаются в них.

Первое решение, которое должна принять фирма, какой самолет купить: новый турбовинтовой - $550 тыс. или подержанный поршневой - $250 тыс. Эксперты полагают, что в следующем годы такой самолет будет стоить еще меньше $150 тыс.

В связи с этим имеется идея, не начать ли с одного поршневого самолета, а если спрос будет большой, на следующий год купить еще один такой же самолет.

Для количественного анализа проблемы выбора из рассматриваемых альтернатив, компания «Вольный полет» - ВП силами своего финансового директора и с помощью экспертов по рынку подобных услуг составляет прогноз финансовых потоков, которые можно ожидать от данного проекта при двух сценариях будущего: высоком спросе на услугу (оптимистический сценарий) и низком спросе (пессимистический сценарий). Для получения конкретных чисел в бизнес-плане проекта следует задаться двумя прогнозными уровнями продаж (для двух рассматриваемых сценариев будущего), спрогнозировать конкурентоспособные цены на аренду турбовинтового и поршневого самолета и соответствующие эксплуатационные издержки.

Проект рассчитывается на несколько лет. Разумеется, финансовые потоки, получаемые от проекта в разные годы его существования нужно дисконтировать. Исходя из степени рискованности проекта и соотношения между собственным и заемным капиталом компании, финансовый директор определил коэффициент дисконта 10%. При расчете ежегодных финансовых потоков, в принципе, следует ставить вопрос о том высоким или низким будет спрос в каждый год функционирования проекта. Но для упрощения анализа, эксперты рекомендуют выделить две фазы проекта: первый год и все последующие годы, резонно полагая, что первый год - это год становления проекта, а затем, начиная со второго года, все бизнес-процессы в компании, так же как и реакция рынка на новое предложение, должны устояться. Поэтому при формулировке проблемы выбора оптимальной альтернативы, финансовый директор ВП рассчитал финансовые потоки в первом году проекта для каждой альтернативы при разных 20

Этот пример переработан авторами на основе примера из книги Р. Брейли и С. Майерс «Принципы корпоративных финансов».

сценариях будущего, и соответствующие суммарные финансовые потоки от всех последующих лет функционирования проекта, дисконтированные на конец второго года. Все эти финансовые потоки показаны на Рис. 239 в колонках, обозначенных CF (Cash Flow - финансовый поток по-английски). А в с D Е F О н I j К 1_ м н 1 Год 1 Год2 2 Альтернативы Спрос р CF Альтернативы Спрос р CF 3 Высокий 80°/?| 960| 4 Высокий 150 1 J 5 Низкий 20% 2201 е -550 п

к А Турбовинтовой 7 — Высокий 40%| 930| 8 Низкий 4Щ 30 Г ' 9 Низкий 60% 1401 10 11 Высокий 80%1 13001 12 d Купить второй самолет -I50 • 13 /Л Низкий 2 0 % 1 100| 14 Высокий 6П°А\ юо| О 15 Высокий 80% 4101 16 -250 Г 1 Продолжать с одним 0 Г '

L. л Поршневой ’ L А 17 Низкий 20% 1 so| 18 19 Высокий 40% 3801 20 Низкий 40% 501 L 21 Низкий 60% 1401 22 Рис. 239 Дерево альтернатив для проблемы компании «Вольный полет»

На Рис. 239 изображено дерево альтернатив для проблемы компании «Вольный полет». Дерево альтернатив состоит из узлов двух типов (белые и черные кружки), ветвей и плодов (выигрыши или инвестиции - числа в прямоугольниках). Начнем рассмотрение дерева с крайнего левого белого узла. Из этого узла исходят две ветви соответствующие двум основным альтернативам, между которыми компании следует сделать выбор: купить турбовинтовой самолет или поршневой. Белыми узлами мы будем обозначать места, где нам предстоит принять решение.

Если выбрать альтернативу «Турбовинтовой самолет», потребуется инвестиция в 550 тыс. (на рисунке изображен отрицательный выигрыш -550 тыс.), после чего мы попадаем в черный узел. Здесь не мы принимаем решение. Можно сказать, это делает судьба, выбирая тот или иной сценарий будущего: реализуется ли в первом году функционирования проекта высокий или низкий спрос на услугу, предлагаемую компанией. Если реализуется высокий спрос, то прогнозируется финансовый поток от проекта в размере 150 тыс. Если же реализуется низкий спрос, то прогноз дает лишь 30 тыс.

После первого года функционирования проекта, мы попадаем в один из двух следующих черных узлов, где «судьба определит» будет ли спрос высоким или низким во втором и во всех последующих годах проекта. При высоком спросе компания оценивает суммарный финансовый поток от всего проекта, дисконтированный на конец второго как 960 тыс. (если спрос в первом году также был высоким) или 930тыс. (если высокий спрос установился после низкого спроса в первом году), а в случае низкого спроса финансовый поток составит всего 220 тыс. (если спрос в первом году был высоким) или 140 тыс. (если в первом году спрос был низким). Небольшие отличия в суммарных финансовых потоках от второго и всех последующих годов функционирования проекта в зависимости от того, какой был спрос в первом году, возможно, обусловлены особенностями планируемой маркетинговой стратегии.

Если выбрать альтернативу «Поршневой самолет», потребуется инвестиция в 250 тыс., после чего ветвь дерева альтернатив приходит в черный узел, где «судьба выбирает» один из сценариев будущего, т.е. высокий или низкий спрос будет на предлагаемую нами услугу в первом году. При высоком спросе прогнозируется финансовый поток в 100 тыс., т.е. меньше, чем после первого года работы с турбовинтовым самолетом (по-видимому, из-за более низких цен продажи этой услуги). При низком спросе прогнозируемый финансовый поток в 50 тыс. выше, чем в случае турбовинтового самолета (по- видимому, из-за того, что эксплуатационные издержки на поршневой самолет ниже, чем на турбовинтовой).

Если реализуется благоприятный для нас сценарий высокого спроса, мы попадаем в белый узел, где нам предстоит принять второе решение: расширить ли бизнес, купив второй поршневой самолет, который к тому моменту будет стоить всего 150 тыс., или продолжать работать с одним самолетом (что, разумеется, не требует никаких дополнительных инвестиций). Если же спрос в первом году был низким, мы не рассматриваем возможность расширения бизнеса, и безальтернативно продолжаем с одним поршневым самолетом.

Затем, ветви дерева альтернатив приводят нас в черные узлы, в которых, аналогично ветви «Турбовинтовой самолет», «судьба решит» подарить ли компании ВП высокий спрос или ограничиться низким спросом. При высоком спросе с двумя поршневыми самолетами компания прогнозирует суммарный финансовый поток от всех последующих лет функционирования проекта, дисконтированный на конец второго года, в 800тыс., а при низком спросе - всего в 100 тыс. Если продолжать с одним самолетом, соответствующие потоки оцениваются в 410 тыс. и 180 тыс., т.е. при высоком спросе в два раза ниже (из-за меньшего объема продаж, поскольку у нас один самолет, а не два), а при низком спросе - в два раза выше (из-за меньших эксплуатационных издержек). В случае если в первом году спрос был низким, суммарные финансовые потоки во втором и всех последующих годах прогнозируются на уровне 380 тыс. и 140 тыс. (отличия от 410 тыс. и 180 тыс., как и в случае турбовинтового самолета, могут быть обусловлены особенностями маркетинговой стратегии компании).

На Рис. 239 дерева альтернатив, кроме рассмотренных финансовых потоков, показаны также вероятности реализации различных сценариев будущего. Если происхождение прогнозных значений финансовых потоков, указанных на дереве альтернатив, представляется вполне очевидным, то происхождение оценок вероятностей различных сценариев будущего, несомненно, требует пояснений. В отличие от оценок вероятностей найти или не найти нефть в примере компании «Энергии палеолита», где эти оценки были получены на основании выборки реальных результатов бурения на соседних участках, в данном случае, указанные вероятности, не могут быть ничем иным как субъективными экспертными оценками.

Организовать такую экспертную оценку можно, например, следующим образом. Можно попросить два десятка экспертов ответить на 3 вопроса:

будет ли спрос на услугу, предлагаемую компанией «Вольный полет» высоким или низким (имеются ввиду прогнозные значения уровней продаж услуги, определенные с помощью экспертов как «высокий» и «низкий» спрос) в первый год функционирования проекта?

будет ли спрос высоким или низким во второй (и все последующие годы функционирования проекта),

если в первом году он окажется высоким? если в первом году он окажется низким?

Экспертам следует предложить следующие 5 вариантов ответов и приписать этим ответам количественные значения вероятности высокого спроса: Ответ Вероятность высокого спроса Спрос будет высокий 100% Спрос будет скорее высоким, чем низким 75% Шансы на высокий и низкий спрос равны 50% Спрос будет скорее низким, чем высоким 25% Спрос будет низким 0% Рис. 240

По выборке из 20 экспертных ответов можно найти среднее значение вероятности высокого спроса. Точность, с которой мы предлагаем каждому эксперту определить эту вероятность, составляет Ар=25%. Однако, точность среднего значения вероятности, определенного по выборке из N=20 ответов составит примерно (см. [5])

(4)

т.е. не превысит 5%-6%, что вполне приемлемо.

Можно, конечно, и прямо попросить каждого эксперта оценить вероятность высокого спроса численно. Однако в этом случае мы делегируем каждому эксперту ответственность самостоятельно определить шкалу своих субъективных оценок. Нет никакого способа сопоставить эти шкалы, и вряд ли полученная средняя оценка вероятности будет характеризоваться большей точностью, чем полученная по описанной выше процедуре. В любом случае существенно, чтобы экспертов было много. Только это позволяет надеяться выявить объективную основу в субъективных экспертных оценках.

Итак, согласно экспертной оценке, вероятность высокого спроса на услугу, предлагаемую компанией ВП, 60%. Если спрос окажется высоким в первом году, то по усредненному мнению экспертов, он с вероятностью 80% останется высоким и во все последующие годы функционирования проекта. Если же спрос будет низким в первом году, то вероятность того, что он станет высоким во втором году (и во все последующие годы) составляет всего 40%. Эти цифры и отражены на Рис. 239 дерева альтернатив в колонках, обозначенных Р (вероятности).

Анализируя дерево, нам предстоит ответить на следующие вопросы:

Правильна ли идея, расширить деятельность компании за счет покупки второго поршневого самолета на втором году при высоком спросе?

Какой самолет купить: турбовинтовой или поршневой?

Один из мажоритарных акционеров компании настаивает на рассмотрении идеи свертывания бизнеса после первого года работы в случае низкого спроса. По имеющимся оценкам турбовинтовой самолет через год может быть продан за $500 тыс. Необходимо также модифицировать дерево альтернатив, в соответствии с этой идеей, и ответить на сформулированные выше вопросы для нового варианта дерева альтернатив.

Анализ дерева альтернатив следует начинать с вычисления ожидаемой монетарной стоимости ветвей, приводящих к крайним правым черным узлам. Мы проведем этот анализ в таблице М8-Бхее1, конфигурация которой максимально повторяет конфигурацию дерева альтернатив. На Рис. 241 показан первый шаг анализа - вычисление ожидаемых монетарных ценностей для каждой из пяти ветвей дерева: 1.

Турбовинтовой самолет, высокий спрос в первом году 2.

Турбовинтовой самолет, низкий спрос в первом году 3.

Поршневой самолет, высокий спрос в первом году, покупка второго самолета 4.

Поршневой самолет, высокий спрос в первом году, работа с одним самолетом 5.

Поршневой самолет, низкий спрос в первом году

Колонка БМУ2 отражает сумму финансовых потоков от всего проекта, начиная со второго года, дисконтированных на конец второго года. А в с ч Е г е н і J к і 1 Ст. дисконта 10% 2 Коэфф. Оисконта 1,1 ГОД1 Г ОД2 3 Альтернативы Спрос р СР Альтернативы Спрос р СР ЕМУг Е_ОСР ЕМ 4 Высокий 60% 150 Высокий 80% 960 =Н4*І4+Н5*І5 5 Турбовинтовой -550 Низкий 20% 220 6 7 Низкий 40% 30 Высокий 40% 930 456 8 Низкий 60% 140 9 10 Купить 2-ом самолет Высокий 80% 800 660 11 -150 Низкий 20% 100 12 Высокий 60% 100 13 Поршневом -250 Продолжать с одним Высокий 80% 410 364 14 Низкий 20% 180 16 16 Низкий 40% 50 Высокий 40% 380 236 17 Низкий 60% 140 Рис. 241 Первый шаг преобразований дерева альтернатив

Вычисленные ожидаемые монетарные ценности ветвей ЕМУ2 должны заменить на дереве альтернатив пары веток, исходящих из 5-ти крайних черных узлов. Преобразованный вид дерева альтернатив показан на Рис. 242. А в с с Е г е н I J К і_ 1 Год 1 2 Альтернативы Спрос р СР Альтернативы ЕМУ, 3 4 Высокий 60°/о 150 81 2| 5 6 Турбовинтовой -550 Г 1 к л 7 8 Низкий 4П°^, 30 —і 45б| 9 10 11 12 <У Купить второй самолет -150 660 13 14 Высокий 60% 100 \ 15 16 -250 г ч Продолжать с одним 0 364 Поршневой ’ к А 17 18 19 20 Низкий 40% 50 —'І 2 3 61 21 Рис. 242 Дерево альтернатив после первого шага преобразований.

Смысл проведенного преобразования в том, что поскольку мы не можем предсказать по какому сценарию будущего (или, иначе, по какой ветке, исходящей из черного узла) реально пойдет развитие событий, оценивая привлекательность каждой из ветвей, подходящих к черному узлу слева, мы учитываем оба сценария с весами, равными вероятностям их осуществления.

На следующем шаге анализа следует просуммировать плоды, висящие на одной и той же ветви дерева альтернатив. Например, если мы выбрали альтернативу «Турбовинтовой самолет» и спрос в первом году был высоким, мы рассчитываем получить от первого года функционирования 150 тыс., а от всех последующих лет - 812 тыс. Эти плоды следует сложить, учитывая, разумеется, что 150 тыс. мы получим в конце первого года, а сумма дисконтированных потоков ЕМУ2=812 тыс. относится к концу второго года. Чтобы эти деньги можно было сравнивать и складывать, необходимо дисконтировать сумму ЕМУ2 на 1 год. Результат этой операции для всех пяти ветвей показан на Рис. 243. А в с с Е г е н I J К |_ м 1 Ст. дисконта 10% 2 Коэфф дисконта 1,1 ГОД1 Г ОД2 3 Альтернативы Спрос р СР Альтернативы Спрос р СР ЕМУ2 1ЦЭСР ЕМ VI ЫРУ 4 Высокий 60% 150 Высокий 80% 960 812 =04 $В$2+Е4 5 Турбовинтовом -550 Низкий 20% 220 в 7 Низкий 40% 30 Высокий 40% 930 456 444,5 8 Низкий 60% 140 9 10 Купить 2-оп самолет Высокий 80% 800 660 =Л0 В2+Р11+Е12 11 -150 Низкий 20% 100 12 Высокий 60% 100 13 Поршневом -250 Продолжать с одним Высокий 80% 410 364 =Л 3. В2+Е12 14 Низкий 20% 180 15 16 Низкий 40% 50 Высокий 40% 380 236 264,5 17 Низкий 60% 140 18 Рис. 243 Второй шаг преобразований дерева альтернатив

А в с с Е г О н і 1 Год 1 2 Альтернативы Спрос р Альтернативы ЕйСР 3 4 Высокий 60% ВВ8.11 5 6 Турбовинтовой -550 Г 1 к А 7 8 Низкий 40% 444,5| 9 10 11 12 (Г Купить второй самолет 550 13 14 Высокий 60%’ V у 15 X 16 Поршневом ’ -250 П Продолжать с одним 17 / X 18 19 20 Низкий 40% -I 264,5| 21 Рис. 244 Дерево альтернатив после второго шага преобразований

В случае если выбрана альтернатива «Поршневой самолет» и спрос в первом году был высоким, мы можем либо купить второй самолет (инвестируя дополнительно 150 тыс.), либо продолжить с одним. Это отличие отражено в формулах для вычисления суммарного дисконтированного потока для 3-ей и 4-ой ветви. Заметим, что получение финансовый потока от первого года работы с поршневым самолетом при высоком спросе (100 тыс.) и инвестиция во второй самолет (-150 тыс.) не разделены значительным промежутком времени, поэтому они суммируются непосредственно, без коэффициентов дисконта. Напротив, финансовый поток от всех последующих лет функционирования проекта с двумя самолетами (660 тыс.) относится к концу второго года и поэтому при суммировании делится на коэффициент дисконта. Вид дерева после этого шага преобразования показан на Рис. 244.

Из рис. 3 видно, что при выборе альтернативы «Турбовинтовой самолет», суммарный финансовый поток за все время функционирования проекта, дисконтированный на конец 1-го года ожидается равным 888,1 тыс., если спрос в первом году будет высоким (что ожидается с вероятностью 60%), или равным 444,5 тыс., если спрос в первом году будет низким (с вероятностью 40%). Если выбран «Поршневой самолет», то при высоком спросе в первом году (что произойдет с вероятностью 60%) суммарный финансовый поток от всего проекта ожидается равным 550 тыс., если принято также решение о покупке второго самолета, и равным 430,9, если второй самолет не покупать. Очевидно, что второй самолет следует купить. Поэтому ветвь, соответствующая альтернативе «Продолжить с одним самолетом» на Рис. 243 зачеркнута.

На третьем шаге анализа нужно, очевидно, избавиться от последних двух черных узлов и вычислить отдачу от проекта для двух основных альтернатив на конец первого года - ЕМУ1. Результат показан на Рис. 245 и Рис. 246. А в с 0 Е г & н I J к 1. м N о р 1 Ст. дисконта 10% 2 Коэфф. дисконта 1,1 Год I Год2 3 Альтернативы Спрос р СР Альтернативы Спрос р СР ЕМУ2 Е ОСР ЕШ1 МРУ 4 Высокий 60% 150 Высокий 80% 960 812 888,2 =К4‘04+К7ЧЭ7 5 Турбовинтовой -550 Низкий 20% 220 е 7 Низкий 40% 30 Высокий 40% 930 456 444,5 8 Низкий 60% 140 9 10 Купить 2-он самолет Высокий 80% 800 660 550 =МАКС{К10;К13)*012+К16 ‘016 11 -150 Низкий 20% 100 12 Высокий 60% 100 13 Поршневой -250 Продолжать с одним Высокий 80% 410 364 430,9 14 Низкий 20% 180 15 16 Низкий 40% 50 Высокий 40% 380 236 264,5 17 Низкий 60% 140 1Я Рис. 245 Третий шаг преобразования дерева альтернатив

А в с 0 Е Г 1 2 Альтернативы ЕМ VI 3 4 5 е -550 710,7 Турбовинтовой 7 8 9 10 11 12 с> 13 14 15 16 Поршневом -254 435,8 Рис. 246 Дерево альтернатив после третьего шага преобразований

Обратим внимание, что при вычислении ожидаемой монетарной ценности проекта на конец первого года БМУ1 для альтернативы «Поршневой самолет», мы не отбросили сами ветвь «Продолжить с одним самолетом», а ввели функцию Макс(), чтобы М8-Бхее1 выбрала какая из альтернатив («Купить второй самолет» или «Продолжить с одним») более ценная. Это будет очень полезно на стадии анализа чувствительности нашего решения к изменению прогнозных параметров. Действительно, кто может гарантировать, что при варьировании вероятностей различных сценариев будущего, альтернатива «Продолжить с одним» не станет более привлекательна, чем альтернатива «Купить второй самолет»? В случае «ручного» выбора более привлекательной альтернативы, нам пришлось бы переделать формулу. Введенная же формула с функцией Макс() всегда будет автоматически выбирать более ценную альтернативу.

На последнем шаге анализа нужно лишь сложить финансовые потоки, получаемые от всего проекта и дисконтированные на конец первого года для двух основных альтернатив, с первоначальными инвестициями (предварительно дисконтировав ЕМУ1 для каждой альтернативы на 1 год). Конечный результат анализа показан на Рис. 247. А в с 0 Е г о н 1 J к і. м N о 1 Ст. дисконта 10% 2 Коэфф. дисконта 1,1 Год I Г од2 3 Альтернативы Спрос р СР Альтернативы Спрос р СР ЕМУ2 Е ОСР ЕМУІ ЫРУ 4 Высокий 60% 150 Высокий 80% 960 812 888,2 710,7 96,12 =1_4/В2+В5 5 Турбовинтовой -550 Низкий 20% 220 6 7 Низкий 40% 30 Высокий 40% 930 456 444,5 8 Низкий 60% 140 9 10 Купить 2-ои самолет Высокий 80% 800 660 550 435,8 146,2 =І_10/В2+В13 11 -150 Низкий 20% 100 12 Высокий 60% 100 13 Поршневой -250 Продолжать с одним Высокий 80% 410 364 430,9 14 Низкий 20% 180 15 16 Низкий 40% 50 Высокий 40% 380 236 264,5 17 Низкий 60% 140 18 Рис. 247 Конечный результат анализа дерева альтернатив

Видно, что альтернатива «Поршневой самолет» с последующей покупкой второго самолета (после первого года с высоким спросом) существенно более привлекательна (NPV=146,2 тыс.), чем альтернатива «Турбовинтовой самолет» (NPV=96,12 тыс.).

Анализ устойчивости выбора оптимальной альтернативы по дереву альтернатив для компании «Вольный полет».

Поскольку параметры дерева альтернатив всегда содержат множество прогнозных значений и грубых оценок, результат выбора оптимальной альтернативы, так же как и в случае выбора альтернатив по таблице выигрышей и потерь, должен быть проанализирован на чувствительность к изменению прогноз параметров и оценок в пределах интервалов, которые кажутся разумными лицам, принимающим решение.

Как и в случае компании «Энергия палеолита» у нас нет информации, касающейся прогнозных параметров, определяющих финансовые потоки при различных альтернативах и сценариях будущего. Однако, как и в случае компании ЭП, можно и нужно проанализировать устойчивость выбора альтернативы «Поршневой самолет» при вариации оценок вероятностей различных сценариев будущего, тем более что ошибки этих субъективных экспертных оценок могут быть особенно большими.

Начнем с вариации вероятностей высокого и низкого спроса в первом году (оставив вероятности высокого и низкого спроса во втором и всех последующих годах функционирования проекта неизменными). Для простоты будем считать, что вероятность высокого или низкого спроса не зависят от того, приобретет компания ВП «Турбовинтовой самолет» или «Поршневой самолет». Для анализа устойчивости удобно использовать лист MS-Excel, представленный в табл. 9. ввести в ячейку D12 формулу «=D4», а в ячейки D7 и D16 формулы «=1- D4» и «:=1-012». После этого можно использовать таблицу подстановки для вычисления значений NPV двух основных альтернатив, подставляя по строкам значения вероятности высокого спроса в интервале от 10% до 90%. Полученный результат показан в следующей таблице (Рис. 248). Спрос - 1-ый год ЫРУ (тыс.) Р-высокого Турбовинтовой Поршневой 10% -105,5 16,4 20% -65,2 42,4 30% -24,9 68,3 40% 15,5 94,3 50% 55,8 120,2 60% 96,1 146,2 70% 136,4 172,1 80% 176,8 198,1 90% 217,1 224,0 Рис. 248

Видно, что в отличие от ситуации компании «Энергия палеолита», в данном случае, в огромном интервале изменения оценки вероятности оптимистического сценария, альтернатива «Поршневой самолет» остается выгоднее, чем «Турбовинтовой самолет».

Можно проверить влияние вариации этого параметра на КРУ основных альтернатив при измененных значениях вероятностей высокого и низкого спроса во втором и всех последующих годах функционирования проекта. Примем, для примера, все эти вероятности, равными 50%. Тогда результат вариации вероятности высокого спроса в первом году на КРУ турбовинтового и поршневого самолета представится таблицей (Рис. 249) Спрос - 1-ый год ЫРУ (тыс.) Р-ВЫСОКОГО Турбовинтовой Поршневой 10% -65,1 17,8 20% 49,7 25,2 30% -34,2 32,6 40% -18,8 40,1 50% -3,3 47,5 60% 12,1 55,0 70% 27,6 62,4 80% 43,1 69,8 90% 58,5 77,3 Рис. 249

И в этом случае, преимущество альтернативы «Поршневой самолет» не вызывает сомнений, хотя при этом оказывается, что второй самолет покупать не надо.

Устойчивое преимущество альтернативы «Поршневой самолет» над альтернативой «Турбовинтовой самолет» при широкой вариации наименее определенного параметра модели - вероятности высокого спроса на предлагаемую услугу, несомненно, укрепляет уверенность в правильности рекомендуемого решения - покупки поршневого самолета.

Вместе с тем, реализация сценария низкого спроса во втором и всех последующих годах функционирования проекта, как нетрудно проверить, приводит к существенным потерям. Так при покупке турбовинтового самолета и реализации низкого спроса и в первом, и во втором, и во всех последующих годах потери составят -404 тыс. В случае покупки поршневого самолета и низком спросе во все годы функционирования проекта потери составят -88,8 тыс., а если спрос в первом году окажется высоким, будет куплен второй самолет, а спрос во все последующие годы будет низким, потери составят -213 тыс.

При консервативно-пессимистическом взгляде на развитие событий, можно рассматривать низкий спрос в первом году как индикатор провала проекта и во всех последующих годах. Тогда возникает идея выйти из проекта после первого неудачного года, продав самолет, чтобы минимизировать потери. Известно, что поршневой самолет через год будет стоить 150 тыс., а турбовинтовой - 500 тыс. Дерево, соответствующее решению выйти из бизнеса после первого неудачного года, изображено на Рис. 250. А в с & Е О Н 1 J К 1_ м N 1 Год 1 Год2 2 Альтернативы Спрос р СР Альтернативы Спрос р СР 3 Высокий 80ї?| Э60| 4 Высокий 60ЧЇ 150| ? 1 і 5 Низкий 20% 220| е Турбовинтовой -550 Г 1 к А 7 8 Низкий 40°^, 530| 9 10 11 Высокий во%1 13001 12 Купить второй самолет -150 Г 1 к 13 /Л Низкий 2 0 % | 100| 14 Высокий 60% юо| о 15 Высокий 80°7О 4101 16 Поршневой ’ -250 Продолжать с одним 0 Г 1

к. и 17 Низкий 20% 1 ВО | 18 19 20 Низкий 40% 2001 21 Рис. 250

Результаты анализа этого дерева представлены в таблице (Рис. 251) А в с 0 Е г <з н I J К |_ и N 0 Р 1 Ст. дисконта 10% 2 Коэфф. дисконта 1,1 Год I Г од2 3 Альтернативы Спрос р СР Альтернативы Спрос р СР ЕМУ2 Е ОСР ЕМУ-1 ЫРУ 4 Высокий 60% 150 Высокий 80% 960 812 888,2 744,9 127,2 5 Турбовинтовой -550 Низкий 20% 220 =К4*04+Е7*07 е 7 Низкий 40% 530 3 9 10 Купить 2-оп самолет Высокий 80% 800 660 550 410 122,7 11 -150 Низкий 20% 100 =МАКС(К1 о; К1 зуп 12+Е16*016 12 Высокий 60% 100 13 Поршневом -250 Продолжать с одним Высокий 80% 410 364 430,9 14 Низкий 20% 180 15 16 Низкий 40% 200 17 Рис. 251

Видно, что теперь рекомендуемая альтернатива - это «Турбовинтовой самолет». Нетрудно проверить, что вариация в широких пределах вероятности высокого спроса в первом году оставляет эту рекомендацию неизменной. Причина такой устойчивости достаточно очевидна: новый турбовинтовой самолет -

это более ликвидное вложение средств, чем подержанный поршневой: турбовинтовой самолет теряет в цене за 1 год 50 тыс., а поршневой - 100 тыс.

Вместе с тем видно, что максимальное КРУ при решении выйти из бизнеса после первого года с низким спросом - 127,2 тыс., соответствующее в данном случае покупке турбовинтового самолета, ниже, чем максимальное КРУ первоначального варианта (продолжать бизнес, невзирая на спрос в первом году) -

146,2 тыс., соответствующее покупке поршневого самолета. Если бы мы рассмотрели дерево, включающее выбор из двух альтернатив после низкого спроса в первом году: выйти из бизнеса или продолжать, невзирая на низкий спрос в первом году, то в для альтернативы «Турбовинтовой самолет» был бы рекомендован выход из бизнеса после первого неудачного года, а для альтернативы «Поршневой самолет» - продолжение бизнеса.

Резюмируя, можно сказать, что если выбрать альтернативу «Поршневой самолет» и продолжать бизнес, невзирая на то, какой был спрос в первом году, то ожидаемая КРУ проекта составит 146,2 тыс. Однако максимальные возможные потери в этом проекте составляют -213 тыс. Если выбрать альтернативу «Турбовинтовой самолет» и выйти из бизнеса после первого неудачного года, ожидаемая КРУ составит 127,2 тыс., но потери, после выхода из бизнеса после первого неудачного года с учетом дисконтирования суммы в 530 тыс. на 1 год составят 530 тыс./1,1-550 тыс.=-68,2 тыс. (правда, если спрос в первом году окажется высоким, а затем сменится на низкий, потери будут еще больше -232 тыс., но в такое развитие событий совсем не хочется верить...).

Так что же делать?

Выбрать альтернативу «Поршневой самолет», купить второй самолет, если спрос в первом году окажется высоким, и продолжать с одним, если спрос в первом году будет низким

ИЛИ

Выбрать альтернативу «Турбовинтовой самолет» и выйти из бизнеса после первого неудачного года?

Здесь опять пора вспомнить, что

МОДЕЛИ НЕ ПРИНИМАЮТ РЕШЕНИЯ, ЭТО - ДЕЛО МЕНЕДЖЕРОВ.

В зависимости от ваших стратегических целей, от вашей индивидуальной склонности к риску, от требований инвесторов, от условий получения кредита, в зависимости от множества конкретных обстоятельств вашего бизнеса, будет принято то или другое решение. Роль количественной модели дерева альтернатив в том, что она позволяет всесторонне исследовать бизнес идею, объективно и рационально оценить привлекательность конкурирующих альтернатив, в том, что она стимулирует дискуссии, заставляет вас искать новые продолжения бизнеса и, тем самым, несомненно, увеличивает ваши шансы на успех.

Переоценка вероятностей сценариев будущего в свете дополнительной информации. Стоимость несовершенной информации.

При обсуждении проблемы компании «Энергия палеолита» мы ввели понятие о стоимости совершенной информации, как верхней границы для платы за любую информацию. Там мы отметили, что совершенная информация - это идеал. Любые даже вполне добросовестные реальные прогнозы или предсказания содержат вероятность ошибки. Поэтому стоимость любой реальной, несовершенной информации ниже, чем оцененная выше стоимость совершенной информации ЕУР1. В настоящем разделе мы рассчитаем стоимость несовершенной информации в зависимости от степени ее достоверности (вероятности ошибки прогноза или предсказания) и увидим насколько эта стоимость ниже ЕУР1.

Мы оставили проблему компании ЭП после неутешительного вывода о том, что выбор альтернативы «Бурить» крайне чувствителен к вероятности отсутствия нефти на участке. Изменение этой вероятности всего на 5% (что меньше статистической ошибки для оценки этой вероятности) приводит к тому, что ЕМУ1 альтернативы «Бурить» становится меньше ЕМУ2 альтернативы «Продать». Таким образом, рациональный выбор между этими двумя альтернативами невозможен без дополнительной информации.

Допустим, что в случае компании ЭП такую дополнительную информацию можно получить, если привлечь геофизиков, которые могут провести зондирование недр с помощью локации длинных звуковых волн от небольшого взрыва. Агентство, проводящее такую локацию, имеет достаточный опыт проведения работ и накопило значительную статистику, позволяющую судить о надежности метода. Эта статистическая информация сведена на Рис. 252. Условные вероятности правильности прогноза Прогноз І1

(нефти

нет) І2

(средний

запас) Із

(мощный

фонтан) Реальные

состояния Б1

(нефти нет) 0.75 0.20 0.05 Б2

(средний запас) 0.15 0.65 0.20 Бз

(мощный фонтан) 0.0 0.35 0.65 Рис. 252

Таблица показывает, что информация, предоставляемая геофизиками, вполне научная, добросовестная, но не совершенная. Действительно, если реально нефти в недрах нет (реальное состояние Бі), то в 75% случаев прогноз предсказывает, что ее нет (результат прогноза 11), в 20% случаев методика «видит» средний запас нефти (результат прогноза 12), а в 5% - даже мощный фонтан (результат прогноза І3). Если реально существует средний запас нефти (реальное состояние Б2), прогноз в 65 % случаев предсказывает именно «Средний запас» (результат прогноза 12), в 20% случаев - переоценивает запас и предсказывает «Мощный фонтан» (результат прогноза І3), а в 15% случаев, к сожалению, «просматривает» нефть и выдает результат 11 - «Нефти нет». Если залежи нефти соответствуют классификации «Мощный фонтан», прогноз никогда не выдает результат 11 - «Нефти нет», но в 35% случаев недооценивает запас и выдает результат 12 - «Средний запас».

Понятно, что оплата работ Агентства, никак не зависит от того, какой результат они предскажут. Оно должно привести и установить оборудование, затратить расходные материалы и время своих сотрудников, провести компьютерную обработку полевых измерений и, в конце концов, что-то заработать на этом исследовании. Стоимость работ определена в 100 тыс. у.е., и деньги, разумеется, нужно выплатить сразу по выполнении работ.

Цена, которую требуют геофизики, ниже определенной выше стоимости совершенной информации (мы определили EVPI=425 тыс.). Однако сумма весьма значительная. Соответствует ли она степени надежности предоставляемой информации? Стоит ли компании ЭП нанять агентство для проведения этих работ перед принятием решения о бурении? Поможет ли эта (несовершенная) информация снять неопределенность в определении ценности альтернатив, рассматриваемых компанией ЭП и рационально решить, что все-таки делать: «Бурить» или «Продать»?

Для решения сформулированных вопросов, представим проблему компании ЭП как двухступенчатый процесс принятия решений. На первом шаге следует решить, нанять ли агентство для проведения работ по прогнозированию залегания нефти на данном участке, или не нанимать. На втором этапе следует принять решение, бурить ли скважину или продать землю, в зависимости от результатов прогноза агентства (если на первом шаге было принято решение об его использовании). Дерево альтернатив, отражающее этот двухступенчатый процесс принятия решений, изображено на Рис. 253. I 1 1 Нанять Г^ї Не нанимать А 1Р РОЛ-неф и нет Р(І2) - средний іапас Р(13)- мощный с| онтан 1 ' 1 /9 1— Про дать Бурк ть Прс дать Бур* ть Пр( дать Бурк ть Пр< дать Бурк ть і 1 1 150 150 150 150 О А і 1Р 1 г Нет Сре 1НИЙ Мои ,НЫЙ Нет Сре 1НИЙ Мои 1НЫЙ Нет Сре (НИЙ Мої |НЫЙ Нет Сре 1НИЙ Мо щный Р(Э, И,) Р(Э2 І1) Р(Э3 (її) Р(Э (12) Р(Э2 У Р(Э3 /|2) Р(Э (Ы Р(3- Із) Р(Э /У Р =0.5 Р2 =0,3 Рз =0.2 г 1 ' ' 1 1 Г 1 ' ' Г 1 ' ?700 500 2000 -700 500 2000 -700 500 2000 -700 500 2000 Рис. 253 Дерево альтернатив для проблемы компании ЭП

Рассмотрение дерева начнем с узла №1, в котором следует выбрать одну из альтернатив «Нанять» агентство, проводящее геофизическое исследование недр, или «Не нанимать». Если выбрана альтернатива «Не нанимать», мы попадем в узел №9, где нужно непосредственно (без дополнительной информации) решить «Бурить» или «Продать».

Если выбрана альтернатива «Продать», компания получает 150 тыс., если же выбрана альтернатива «Бурить», ветка дерева приводит нас в черный узел №10, где «судьба определяет» будет ли найдена нефть или нет, и если будет, то в какой объеме. Для сравнения ветвей «Бурить» и «Продать», исходящих из узла №10, нужно вычислить ожидаемую монетарную ценность альтернативы «Бурить», как сумму произведений вероятностей на величины выигрышей. Собственно, эта часть дерева уже была проанализирована выше с помощью таблицы выигрышей и потерь, в результате чего было найдено, что альтернатива «Бурить» более привлекательна (для нее EMV1=200 тыс.), однако отличие от альтернативы «Продать» (EMV2=150) не слишком велико и полностью ликвидируется увеличением вероятности отсутствия нефти на 2%.

Если выбрана альтернатива «Нанять», ветвь дерева приводит в черный узел №2, где «судьба выбирает», какой прогноз выдаст агентство в результате звуковой локации недр. Агентство может выдать три различных прогноза, которые реализуются с разными вероятностями:

Нефти нет - с вероятностью Р(І1)

Средний запас - с вероятностью Р(І2)

Мощный фонтан - с вероятностью Р(І3)

Эти вероятности нам предстоит определить. Они зависят, во-первых, от априорных вероятностей залегания нефти на данном участке (оценки которых нам известны), а во-вторых, от условных вероятностей правильности прогноза, заданных таблицей 13.

Далее, в зависимости от того, какой прогноз выдаст агентство, ветви дерева приведут нас либо в узел №3 (если выдан прогноз «Нефти нет»), либо в узел №4 (если прогноз - «Средний запас»), либо в узел №5 (при прогнозе «Мощный фонтан»). В любом из этих узлов компании ЭП предстоит принять решение: «Бурить» или «Продать». При выборе альтернативы «Продать» во всех случаях компания получает 150 тыс., а при выборе альтернативы «Бурить», в зависимости от того, какой сценарий будущего реализуется в действительности - 700 тыс., 500 тыс. или 2000 тыс. Мы не включили в дерево альтернатив требуемую агентством плату за проведение исследований 100 тыс., поскольку наша задача - найди предельную стоимость несовершенной информации с точки зрения компании ЭП. Если эта стоимость выше, чем требуемые 100 тыс., компании ЭП следует привлечь агентство для проведения исследований.

Таким образом, все выигрыши, получаемые при попадании в узлы 3-8, следует уменьшить на 100 тыс. В остальном же, участки дерева, исходящие из узлов №№3-5, выглядят точно также, как участок, исходящий из узла №9. Есть ли между этими участками какие-либо различия? Разумеется, есть! Вероятности реализации сценариев будущего в узлах №№6-8 отличаются от априорных вероятностей р1=0,5, р2=0,3 и р3=0,2, оцененных по выборке результатов прошлых бурений на соседских участках, и существенно различаются между собой.

Представьте себе, что, разрываясь между альтернативами «Бурить» - «Продать», вы решились нанять агентство для исследования недр на вашем участке и заплатили геофизикам 100 тыс. Они провозились 2 месяца, после чего выдали свое предсказание: «Нефти нет» (мы обозначили это предсказание как І1). Что вам теперь делать? Если продать участок, вы получите только 50 тыс. Обидно! А вдруг они ошиблись? Ведь их информация несовершенна! С тяжелым чувством вы ложитесь спать, а утром просыпаетесь с твердой уверенностью: нефть есть, надо бурить! Что собственно изменилось после нелепого прогноза этих геофизиков с их непонятной методикой? Ну да, все выигрыши уменьшились на 100 тыс. Теперь, если забьет мощный фонтан, получим не 2000 тыс., а 1900 тыс., а если нефти не найдем, то потеряем не -700 тыс., а -850 тыс. Ну и что? Все равно, почему бы не рискнуть?

Рискнуть, конечно, всегда можно. Однако перед этим неплохо бы оценить, как изменились вероятности предполагаемых сценариев будущего после получения дополнительной информации от геофизиков. Если бы геофизики выдали совершенную информацию, то вероятность того, что нефти нет, после их предсказания «Нефти нет» (мы обозначили ее на дереве альтернатив как Р(Б1/І1) ) равнялась бы 1, а вероятности того, что нефть имеется в среднем запасе или что забьет мощный фонтан (Р(Б2/І1), Р(Б3/І1)) равнялись бы нулю. В этих условиях бурить глупо. Поскольку информация геофизиков несовершенна, Р(Б2/І1) и

P(S3/I1) не равны нулю, но они, по-видимому, существенно уменьшились по сравнению с априорными вероятностями p2=0,3 и p3=0,2, в то время как вероятность отсутствия нефти P(S1/I1) после отрицательного прогноза геофизиков существенно возросла.

Наша задача - определить эти «апостериорные вероятности» Р^/^) различных результатов бурения Si после проведения геофизического исследования недр и получения предсказания I]. Для решения этой задачи представим получение результата прогноза геофизическим агентством как двухступенчатый вероятностный процесс, изображенный с помощью дерева вероятностей на Рис. 254. Выбор участка Э, V э? Нефти

нет Средний

запас Мощный

фонтан Р1=0,5 р?=0,3 р3=0,2 ПРО Г Н 0 3 4 1 А ч — | Нефти

нет Средний

запас Мощный

фонтан Нефти

нет Средний

запас Мощный

фонтан Нефти

нет Средний

запас Мощный

фонтан РО,®,) Р (12/ЗД Р(№) ?№$,) Р(12/32) Р(1з/Э2) Р(У53) Р(1 ?/Э3) Р(УЗз) 0,75 0,2 0,05 0,15 0,65 0,2 0 0,35 0,65 Рис. 254 Дерево вероятностей для получения результата исследований недр.

Когда агентство получило заказ от компании ЭП на проведение исследований, ему неизвестно есть ли нефть на данном участке и если есть, то каков ее запас. Возможны три варианта с априорными вероятностями,

отраженными на рис. 7. Затем, при использовании геофизиками методики

звукового зондирования, возможно три варианта предсказания, выдаваемого ими по результатам исследования. Вероятности этих результатов зависят от реального

содержания недр и отражены в таблице 13 и на рис. 7. Вычислим, с какой

вероятностью можно ожидать, что геофизики выдадут результат «Нефти нет». Из

рис. 7 видно, что этот результат может быть получен тремя путями:

Реально нефти нет (сценарий S1, вероятность р1), и геофизики верно определили, что ее нет (прогноз 11, вероятность Р(1^^)

Реально нефть в среднем запасе (сценарий S2, вероятность р2), но геофизики неверно определили, что ее нет (прогноз 11, вероятность Р(1^2))

Реально на участке мощный запас (сценарий S3, вероятность р3), но геофизики неверно определили, что ее нет (прогноз 11, вероятность Р(1^3), в данном случае, согласно таблице 13, равная нулю)

Вероятность каждого из трех путей (согласно теореме теории вероятностей об умножении вероятностей 2-х событий) равна произведению априорной вероятности pi сценария Si и условной вероятности Р(1^), что при данном сценарии Si, геофизическое исследование выдаст результат 11. Поскольку никакие два из этих путей не могут реализоваться одновременно (по терминологии теории вероятностей, они попарно несовместны) эти три произведения вероятностей нужно сложить, чтобы найти вероятность того, что исследование выдаст результат «Нефти нет» (по теореме теории вероятностей о сложении вероятностей несовместных событий):

3

P, = P, • P(7,/ S,) + p2 • P(7, / S2) + P3 • P( 7, / S3) = ? Pi • P(. h / Si)

j=1

(5)

Аналогично, для двух других возможных прогнозов геофизиков получим

3

Pj = P, • P(7j / S,) + P2 • P(7 / S2) + P3 • P( 7 j / S3) = ? Pi • P(7 j / Si)

i =1

(5а)

В таблице на Рис. 255 представлены вычисления этих вероятностей с помощью MS-Excel. А В 0

0

m F G H ' J к L 1 Прогноз Априорные

вероятности 2 II І; h Pi Ii h h 3

4

5 Реальные

состояния Si 0.75 0.2 0.05 0.5 Si 1 0 0 S? 0.15 0.65 0.2 0.3 S: 0 1 0 S3 0 0,35 0.65 0.2 S3 0 0 1 6 Полные

вероятности Pi 0,420 0,365 0,215 Pi 0,500 0,300 0,200 7 =CyMMnPOH3B($F$3:$F$5;C3:C5) =CyMMnPOH3B($F$3:$F$5;l3:l5) 8 Рис. 255 Полные вероятности возможных прогнозов агентства в зависимости от условных вероятностей правильности прогноза.

Видно, что эти полные вероятности Р| отличаются от априорных вероятностей р] нахождения нефти в сторону занижения вероятности прогноза II («Нефти нет») и соответственно завышения вероятностей прогнозов 12 и 13. Нетрудно проверить, что если бы геофизики всегда правильно диагностировали реальное состояние недр, вероятности Р] совпали бы с вероятностями р].

Для анализа дерева альтернатив компании ЭП, нам, однако, требуются не условные вероятности правильности прогноза геофизиков Р(1/8;), а другие, «апостериорные», вероятности Р(8; /1^ того, что если геофизики выдали прогноз I], то при бурении реализуется состояние недр Б;. Эти вероятности можно определить, используя простое рассуждение (известное в теории вероятностей, как теорема Байеса [5]). Запишем вероятность того, что одновременно произошло два случайных события: на участке реально нет нефти (при бурении реализовалось состояние 81) и геофизики предсказали, что нефти нет (выдали прогноз 11):

^(ад) = р, • д/,/^), (6)

т.е. как произведение вероятности того, что нефти на участке нет, на условную вероятность того, что при этом осуществится прогноз I,. Собственно, мы уже использовали эту формулу при вычислении полных вероятностей (5), (5а). Формула (6) воспринимается очень естественно (как почти все результаты теории вероятностей) и обычно не вызывает никаких вопросов. Однако с точки зрения теории вероятностей искомую вероятность Р^, 11) можно записать и по- другому:

Р(5„ /1) = Р • Р(81/ /,), (6а)

т.е. как произведение вероятности того, что осуществился прогноз I,, на условную вероятность того, что при этом оказалось, что нефти на участке действительно нет. С точки зрения теории вероятностей выражения (6) и (6а) совершенно равноправны, и фактически рассматриваются как определения условных вероятностей Р(11/Б1) и Р(8,/1,). Психологически, выражение (6) может восприниматься более естественно, потому, что отрицательный прогноз 11 интуитивно рассматривается как следствие того, что нефти на участке действительно нет - Б1, в то время как отсутствие нефти Б1, конечно, не может рассматриваться как следствие отрицательного прогноза 11. Однако причинноследственная связь здесь совершенно ни при чем: ведь если мы вычисляем по аналогичной формуле,

Р(^1, /2) = р1 • Р( 12 / ^1) (6б)

вероятность Р(Б1, 12) того, что нефти на участке нет, а при этом геофизики предсказывают, что есть «Средний запас», вряд ли возможно думать, что прогноз 12 есть следствие того, что реально нефти нет - Б1.

Так или иначе, оставляя в стороне психологические особенности восприятия результатов теории вероятностей, и приравнивая правые части выражений (6) и (6а), получим выражение для одной из исходных апостериорных вероятностей:

(7)

Р1

т.е., условная вероятность того, что нефть на участке не будет обнаружена, если геофизики выдали прогноз, что ее нет Р(Б1/11), равна произведению априорной вероятности отсутствия нефти р1 на условную вероятность Р(11/Б1) отрицательного прогноза на участке, где действительно нефти нет, деленное на полную вероятность отрицательного прогноза, рассчитанную по формуле (5).

Совершенно аналогично для всех интересующих нас апостериорных вероятностей найдем:

Р, • Р(/] / 5,- )

Р(5 / /,-) =

Р , (7а)

]

где полные вероятности прогноза I - Р(1|) рассчитываются по формуле

(5а). А В С 0 |_ Е Р е Н ' J к М 1 Прогноз Априорные

вероятности 1х I; 13 1>1 Г 3:ЕЭ) 11 I; 13 Реальные

состояния «1 0,75 0,2 0,05 0,5 =СУММ (С 81 1 0 0 0,1? 0,65 0,2 0,3 1 0 1 0 0 0,35 0,65 0,2 1 0 0 1 Полные

вероятности Р; 0,420 0,365 0,215 Р; 0,500 0,300 0,200 =СУММПРОИЗВ($Р$3:$Р$5;СЗ:С5) =СУММПРОИЗВ($Р$3:$Р$5;13:15) Апосте эиорные вероятности 1х I; 1з (6 11 I; I; Ь3/1$6 Реальные

состояния ^1 0,893 0,274 0,116 =$РЗ*ЕЗ/Е! 1 0 II

т

ч

о-«

* 0,107 0,534 0,279 0 1 0 0 0,192 0,605 0 0 1 Е 1 1 1 =СУММ(Е11:Е13) Е 1 1 =СУММ (Е11: Е13) Рис. 256 Вычисление апостериорных вероятностей для проблемы компании ЭП.

Вычисление по формулам (7а) легко провести с помощью Мв-Ехее1, как показано в таблице 15. Заметим, что для проверки правильности вычисления стоит убедиться, что суммы этих вероятностей по столбцам равны 1 (для таблицы условных вероятностей правильности прогноза сумма вероятностей по строчкам равна 1).

Следует сравнить апостериорные вероятности в каждом столбце (при каждом варианте выданного прогноза) с априорными вероятностями нахождения нефти. Видно, например, что в случае получения прогноза «Нефти нет» вероятность того, что ее действительно нет должна быть оценена как Р(81/11)=0,89, т.е. значительно возросла по сравнению с априорной вероятностью р1=0,5. Напротив, вероятность наличия нефти в среднем запасе упала примерно до 11%, а вероятность мощного фонтана - до нуля. Это значит, что если будет принято решение продать землю, риск упущенной выгоды при этом составит только 11% (против исходных 50%). В случае, положительных прогнозов 12 или 1з, наоборот, существенно возрастают вероятности реально найти нефть и уменьшаются риски, связанные с отрицательным результатом бурения (до 27% в случае прогноза 12 и до 12% в случае прогноза 13 против исходных 50%).

Разумеется, если бы методика геофизиков могла выдавать совершенный прогноз, то все отмеченные выше риски упали бы до нуля, а таблица апостериорных вероятностей, как видно из Рис. 256, совпала бы с таблицей условных вероятностей правильности прогноза.

Зная апостериорные вероятности нахождения нефти после выданного прогноза 1, можно вернуться к анализу дерева альтернатив (рис. 6). На первом шаге анализа необходимо вычислить ожидаемые монетарные стоимости бурения при условии того, что геофизики выдали прогнозы 11, 12 или 13, в узлах №№ 6-8 с учетом найденных апостериорных вероятностей. Обозначим их как БМУ6, БМУ7, БМУ8. Результат вычислений получен в строчке 13 таблицы Рис. 258. Состояние дерева альтернатив после этого шага изображено на Рис. 258 (ЕМУ10=200 было рассчитана ранее). После расчета ЕМУ альтернатив, связанных с бурением их следует сравнить ЕМУ=150 альтернативы «Продать» и выбрать максимальную для каждого из узлов №№6-8. Результат расчета показан в строке 15 (Рис. 257) и на Рис. 258. Таким образом, как и следовало ожидать, анализ дерева показывает, что нужно следовать рекомендациям геофизиков, т.е. продавать землю, если прогноз «Нефти нет» и бурить, если прогноз «Средний запас» или «Мощный фонтан». А в С I D E F G Н І 1 Априорные Прогноз вероятности 2 II h Із 1>І 3 Реальные

состояния Si 0.75 0.2 ITj

О

О 0.5 4 0.15 0.65 0,2 0,3 5 S3 0 0.35 0.65 0.2 6 Полные

вероятности Pi 0,420 0,3?5 0,215 7 8 Апостериорные вероятности 9 її І2 Із Выигрыши 2) 10 Реальные

состояния Si 0,893 0,274 0,116 -700 11 S2 0.107 0.534 0.279 О

О 12 S3 0.000 0,192 0,605 2000 13 EMV_ Бурить -571 458,9 1267 =СУММПР ОШВ ($F J S10$F$12.E10 El 14 ЕМ\/_Продать 150 150 150 15 EMV тах 150 458,9 1267 16 EMV Нанять 503 =СУММПР ОН ЗВ (С6 :Еб;С15 :Е15 ) 17 Рис. 257 Расчет EMV альтернативы «Нанять» дерева вероятностей компании ЭП

І I Нанять Не нанимать А Р(іі)-неф ги нет P(l2) - средний іапас P(l3)- мощный с) онтан г ’ ? г ҐГЛ -ГшЛ- s Продать Бурк ть Пр< дать Бурк ть Пр< дать Бурк ть Пр< да чу Бурк ть ' / ' Ч X 150 Х150 X X 1?° \ ' / X X ' р ' г ' f Х-571 459 1267 200 / \ Рис. 258 Первый шаг анализа дерева альтернатив компании ЭП

На следующем шаге анализа нужно найти сумму произведений ЕМУшах, показанных в строчке 15 таблицы на Рис. 257, и полных вероятностей Р] прогноза I]

, чтобы заменить ветки с плодами, исходящие из узла №2, на единый плод - ожидаемую монетарную стоимость альтернативы «Нанять». Эта сумма произведений вычислена в ячейке С16 (Рис. 257). Полученная величина ЕМУ_нанять=503 тыс. много больше, чем ожидаемая монетарная стоимость альтернативы «Бурить», при условии, что ЭП не нанимает геофизическое агентство: ЕМУ_не нанимать=200. Таким образом, выигрыш от несовершенной информации геофизиков составит ЕУБІ=303 тыс. (ЕУБІ - сокращение от английского Expected Value of Sample [or Survey] Information). Как видно, EVSI в данном случае примерно в полтора раза меньше стоимость совершенной информации EVPI=425 тыс. (рассчитанной ранее). Это верхняя граница того, что ЭП может заплатить за такую информацию (с учетом существующих вероятностей ошибок прогноза). Поскольку агентство требует меньшую плату (100 тыс.), компании ЭП нужно соответствующее исследование заказать и затем следовать полученным рекомендациям. Ожидаемая монетарная стоимость такого поведения превысит ожидаемую монетарную стоимость альтернативы «Бурить» (без использования дополнительной информации) на 203 тыс. (с учетом платы агентству за предоставленную несовершенную информацию).

Интересно выяснить чувствительность принятого решения к вариации априорных вероятностей нахождения нефти. Без дополнительной информации, увеличение вероятности отсутствия нефти всего на 2% ликвидировало всякое различие между EMV альтернатив «Бурить» и «Продать» и не позволяло принять рационального решения. Посмотрим, как будет меняться EM^rara^ при вариации этой вероятности в сравнении с EMV альтернативы «Не нанимать». Как и раньше, будет изменять вероятность p1 («Нефти нет») за счет вероятности p3=1- p1-p2 («Мощный фонтан»). Показанный на Рис. 259 лист MS-Excel позволяет легко провести такой анализ (по сравнению с таблицей 16 сюда добавлен расчет EMV альтернативы «Не нанимать») и резюмировать его с помощью таблицы подстановок. Результат так же приведен на Рис. 259. А в С I D I E I F G Н і J к 1 Априорные Прогноз вероятности 2 II її Із Рі P EVSI 3 Реальные

состояния Si 0,75 о а 0,05 0,5 303 =F17 4 s2 0,15 0,65 0,2 0,3 0,1 43 5 s3 0 035 0,65 0,2 0,19 105 6 Полные

ВЄІ)ОЯТНОСТИ Pi 0,420 0,365 0,215 0,2 112 7 0,3 176 8 Апостериорные ве )ОЯТНОСТИ 0,4 239 9 її h Із Выигрыши 0,5 303 10 Реальные

состояния Si 0,893 0*274 0,116 -700 0,6 147 11 s2 0Д07 0534 0,279 500 0,62 106 12 s3 0,000 0,192 0,605 2000 0,7 0 13 Е Ivl V_6y |) ить -571,429 458.9041 1267,442 14 ЕМ\/_Продать 150 150 150 15 EMV max 150 458.9041 1267,442 16 EMV Нанять 503 EVSI 17 303 1

CD

О

II F19 18 Альтернативы Нефти

нет Средний

запас Мощный

фонтан EMV EMV Не нанимать 19 Бурить -700 500 2000 200 200 20 Продать 150 150 150 150 21 Вероятности 0,500 0,300 0,200 Рис. 259 Анализ устойчивости решения для дерева альтернатив компании ЭП

Видно, что по сравнению с исследованной выше ситуацией принятия решения лишь на основе априорных вероятностей, интервал устойчивости выбора оптимальной альтернативы расширился с 2% до 12% изменения вероятности рь Лишь при увеличении вероятности отсутствия нефти до 62% стоимость несовершенной информации практически сравнивается с требуемой платой за проведения геофизических исследований (что делает альтернативу «Нанять» агентство невыгодной). При этом, однако, нетрудно проверить, что в этом случае альтернатива «Бурить» стоит -124 тыс., что не оставляет сомнений в правильности альтернативы «Продать» и без привлечения геофизиков. Уменьшение вероятности р1 до 19% также делает найм агентства невыгодным. Но опять-таки видно, что в этом случае он абсолютно излишен, так как стоимость альтернативы «Бурить» становится равной 1037 тыс., что не оставляет сомнений в необходимости «Бурить».

Таким образом, привлечение дополнительной (пусть и несовершенной информации) позволяет разрешить проблему неопределенности выбора компании «Энергия палеолита» и принять рациональное решение.

<< | >>
Источник: Зайцев М.Г., Варюхин С.Е.. Методы оптимизации управления и принятия решений: примеры, задачи, кейсы: учебное пособие. — 2-е изд., испр. — М.: Издательство “Дело” АНХ. - 664 с.. 2008 {original}

Еще по теме Теоретические замечания.:

  1. Теоретические замечания.
  2. Теоретические замечания.
  3. Теоретические замечания.
  4. Теоретические замечания.
  5. Теоретические замечания.
  6. Теоретические замечания
  7. Статья 232. Рассмотрение замечаний на протокол
  8. Статья 231. Замечания на протокол
  9. 10. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
  10. 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ
  11. 5.7. Теоретические кривые распределения
  12. Глава 18 ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ И ПРАКТИЧЕСКОЕ
  13. Теоретический синтез
  14. Предварительные замечания
  15. Теоретические ошибки репрезентативности
  16. 3. Теоретическое содержание немецкой геополитики
  17. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
  18. Теоретический, планируемый и реальный объекты исследования