Теоретические замечания

Если поставщик выполняет поданный вами заказ за Ь дней, то для правильного функционирования в соответствие с моделью фиксированного размера заказа необходимо делать заказ на новую партию товара тогда, когда на складе осталось ё-Ь единиц данного товара (где ё - величина дневного спроса). В этом случае (см. Рис. 198) как раз к тому моменту, когда новый товар придет на склад, весь запас этого товара, до того хранившийся на складе, будет распродан. При этом уровень запаса на складе будет меняться со временем периодически от EOQ (экономичный размер заказа) до нуля.

При случайном спросе (даже если он в среднем постоянен) ситуация, очевидно, усложнится. Если спрос за время ожидания поставки новой партии товара случайно оказался выше оставленного запаса, равного ожидаемому среднему спросу ё-Ь, то возникнет дефицит (кривая уровня запаса на Рис. 198 во втором цикле уходит в отрицательную область). Если он случайно оказался ниже оставленного запаса ё-Ь, то в момент прихода на склад новой партии товара, размером EOQ, на складе еще останется некоторое количество этого товара, и уровень запаса будет выше, чем требует модель экономичного размера заказа. Избежать случайных вариаций уровня запаса при случайном спросе, очевидно, нельзя, а вот возникновение дефицита, в рыночных условиях естественно избегать. Во-первых, дефицит означает потерю прибыли от упущенных продаж (спрос на которые реально был зафиксирован) и, во-вторых, грозит потерей доброго отношения клиентов, которые, не найдя у вас на складе товар, заявленный в ассортименте, уйдут к вашему конкуренту, что снизит спрос на товары фирмы в будущем.

Вследствие этого правильная оценка риска возникновения дефицита, проведение мероприятий по снижению риска дефицита до приемлемого уровня, обеспечивающего достойный уровень обслуживания клиента, и оценка связанных с ними издержек является важной задачей менеджера, отвечающего за управление запасами.

Постановка задачи о количественной оценке риска возникновения дефицита и плате за его снижение до заданного уровня.

Если на время ожидания поставки новой партии товара (L дней) оставлять

запас, равный среднему спросу за это время (dL единиц товара), то, очевидно, что вероятность дефицита составит 50%, поскольку, как часто и как сильно спрос отклоняется от среднего значения вверх, так же часто и так же сильно он отклоняется от него вниз.

С другой стороны, содержание безопасного резерва означает повышение уровня запаса данного товара на складе. Действительно, для минимизации издержек по управлению запасами, уровень запаса должен меняться от EOQ, в момент разгрузки пришедшего от поставщика товара на склад, до нуля в момент, когда следующая партия товара от поставщика прибыла на склад (сразу после ее разгрузки уровень товара опять подскочит до EOQ). При случайном спросе, уровень запаса в момент прибытия новой партии товара от поставщика в среднем будет составлять нуль: иногда на складе останется нераспроданный товар, а иногда уровень запаса будет формально отрицательным (см. Рис. 198), что означает неудовлетворенный спрос, дефицит. Если для снижения риска возникновения дефицита создается безопасный резерв, то средний уровень запас в момент прибытия новой партии товара от поставщика будет равен не нулю, а этому безопасному резерву. Последнее означает повышение среднего уровня запаса на складе на величину безопасного резерва и, соответственно, увеличение издержек хранения по сравнению с их оптимальным значением. Эти дополнительные издержки хранения и есть плата за снижение риска возникновения дефицита:

ATH = И • SS

где ATH - дополнительные издержки хранения безопасного резерва,

SS - (safety stock) - величина безопасного резерва в единицах хранения (шт.)

И - удельная издержка хранения, представляющая собой процент от стоимости единицы запаса.

Для количественной оценки риска возникновения дефицита при заданном уровне безопасного резерва или, наоборот, для определения величины безопасного резерва при заданном уровне риска возникновения дефицита необходимо знать основные характеристики случайного спроса: его ожидаемое (среднее) значение, стандартное отклонение и частотное распределение (или, точнее, распределение вероятностей) за время поставки.

Основные характеристики случайного спроса.

Как и всякая другая случайная величина, спрос характеризуется своим ожидаемым (средним) значением, стандартным отклонением (характеристика разброса относительно среднего) и частотным распределением.

Среднее значение и стандартное отклонение спроса за принятый единичный период (день, неделя) должны быть определены по историческим данным о продажах данного товара, т.е.

Из числовой выборки желательно исключать любые катастрофические периоды (природные, финансовые, политические), любые периоды, содержащие мероприятия по продвижению данного товара и т.п., оставляя лишь «серые будни», ничем не отличающиеся друг от друга.

Пример такой выборки приведен на рисунке (Рис. 199). По вертикальной оси отложены количества проданного в разные дни товара (в стандартных контейнерах), а по горизонтальной - номер дня. 1 • • • • ••• • • • < • V’, • # 1 > •

р • • •ч • • • • 1

•| •••

, • ••

• • 1 • 2 п

1,6 -- •

•• ••• •«,.

1,2 %—• 'V*——•

••• Ф т. > • 7.* '

Г _ ии ~^ • II • #• •

0,8 • и /—” ТИ .

• ш • • •

0,4

• •

0 -] 0

20 40 60 80 100

Рис. 199

Как видно из диаграммы (Рис. 199), несмотря на то, что в приведенном примере спрос весьма значительно варьирует день ото дня, в среднем он постоянен. Если провести по выбранной совокупности точек, так называемую, линию тренда, то она окажется почти горизонтальной. Линия тренда представляет собой меняющийся со временем центр числовой выборки. Обычно ее проводят, пользуясь принципом максимального правдоподобия, так, чтобы сумма квадратов отклонений точек выборки от линии тренда была минимальной.

Поскольку в рассматриваемом примере спрос в среднем не меняется со временем, его среднее значение можно найти простым усреднением всех точек выборки по формуле N

X,

где Х( - спрос в ьый день, N - количество дней в выборке, X - не меняющееся со временем среднее значение спроса за 1 день.

Очевидно, что одно только среднее значение недостаточно для характеристики случайного спроса. Необходимо также характеризовать величину разброса точек выборки вокруг среднего значения. Наиболее употребительной характеристикой разброса является среднеквадратичное или стандартное отклонение Э. Эта величина определяется как корень квадратный из среднего значения квадрата отклонений ежедневного спроса от его среднего значения.

і=1

N -1 (2)

Причина популярности именно этой характеристики разброса, а не, скажем, среднего значения модулей отклонений спроса от среднего, или максимальных отклонений от среднего и т.п., состоит в следующем. Если нас интересует суммарный спрос за Ь дней или суммарный спрос на один и тот же товар в Ь различных магазинах (обозначим его ХО, иными словами, если мы изучаем случайный спрос, который можно представить как сумму случайных величин:

XЬ = х + ^2 +... + ХЬ , (3)

то оказывается, что среднее значение этого суммарного спроса равно сумме средних значений каждого из случайных слагаемых, т. е. сумме средних (ожидаемых) значений спроса каждый день, которые в случае в среднем постоянного спроса одинаковы и равны X , т.е.

ХЬ = х1 + х2 +... + хЬ = Ь • X (4)

Аналогично, дисперсия этого суммарного спроса равна сумме дисперсий

каждого случайного слагаемого, которые в случае не меняющегося спроса то же

2

одинаковы и равны дисперсии ежедневного спроса s т.е.

5X = 3\ + 52 +... + = 1 ' 52 (5)

Тогда для стандартного отклонения суммарного спроса за Ь дней получим

5Х =4! • 5 (6)

Приведенные соотношения, представляют собой известные теоремы теории вероятности и отражают важнейшие закономерности случайности, проявляющиеся на практике. Если мы реально сделаем выборку значений суммарного спроса за і дней, оценим стандартное отклонение этого суммарного спроса и сравним его со стандартным отклонением спроса за 1 день, мы найдем,

что стандартное отклонение выросло в Гі раз, в то время как среднее значение суммарного спроса стало в Ь раз выше среднего значения дневного спроса. Таким

образом, относительные вариации суммарного спроса за Ь дней в Гі раз меньше, чем относительные вариации дневного спроса. Для характеристики относительных вариаций случайной величины используют коэффициент вариации:

сг -Х (7)

X

Тогда можно написать, что коэффициент вариации суммарного спроса за Ь дней в Гь раз меньше, чем коэффициент вариации дневного спроса:

су - а

ь ~ 41- (8)

т.е.

спрос.

Подчеркнем еще раз, что при определении стандартного отклонения суммы случайных величин нельзя складывать стандартные отклонения каждой из них. Дело в том, что отклонения от среднего значения спроса одинаково часто и «с одинаковым размахом» происходят как вниз, так и вверх от него. Поэтому для суммы случайных величин они частично компенсируют друг друга. Закон, утверждающий, что складываются дисперсии этих величин (квадраты стандартных отклонений), количественно характеризует степень этой компенсации.

Заметим, что никакая другая характеристика разброса, кроме стандартного отклонения (корня из дисперсии), не позволяет выразить эти важнейшие статистические закономерности столь наглядно.

В случае, если числовая выборка значений спроса свидетельствует, что спрос непостоянен (см. Рис. 200), ожидаемая величина спроса, конечно, не может быть вычислена как простое среднее по выборке, по формуле

N

N

В этом случае с помощью специальных статистических методов прогноза нужно выделить линию тренда (в данном случае она включает линейный тренд с сезонными колебаниями) и продлить выделенные тенденции на некоторый промежуток времени в будущем.

2,2 2,0 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Рис. 200

Разумеется, невозможно определить, как долго обнаруженная тенденция будет продолжаться. Однако если она существовала достаточно долго в прошлом, есть основания надеяться, что она сохранится и в ближайшем будущем.

Полученная линия тренда определяет ожидаемое (среднее) значение

спроса в разные моменты времени в прошлом и в будущем X (/") . Кроме того, применяемый статистический метод прогноза обязательно выдаст стандартное

отклонение точек выборки от линии тренда — (поскольку сама линия проведена

Л

на основе минимизации s ).

Подчеркнем, что если все же вычислить ожидаемый спрос, как простое среднее, получится линия «прогноза», показанная пунктиром на Рис.

|Х(х - х)2

1=1

N -1

будет, очевидно, намного больше реального.

Частотное распределение случайного спроса.

Разобьем весь диапазон изменения спроса (в нашей выборке спрос заключен в пределах от 0 до 2-х контейнеров) на небольшое число более мелких интервалов так, чтобы в каждый из них попали какие-то точки из нашей выборки (Рис. 201 а). Подсчитаем количество точек выборки , попавших в каждый такой интервал и построим диаграмму частотного распределения спроса (Рис. 201 б).

Площадь каждого из прямоугольников на этой диаграмме равна доли точек, попадающих в интервал, на который такой прямоугольник опирается (Рис. 201 б). Очевидно, что сумма площадей всех прямоугольников на диаграмме частотного распределения равна 1.

Рис. 201

Частотное распределение дает оценку вероятности попадания спроса в каждый из выделенных интервалов. С его помощью можно попытаться оценить риск дефицита. Представим себе, что мы планируем запас товара на один день, зная, что средний спрос равен 1 контейнеру. Допустим, что мы собираемся оставить на один день торговли 1,2 контейнера данного товара. Какова будет вероятность того, что спрос превысит наш запас, и возникнет дефицит?

Для ответа на этот вопрос попробуем просто сложить площади прямоугольников, опирающихся на интервалы [1,2-1,4], [1,4-1,6], [1,6-1,8] и [1,82,0] (Рис. 201 б). Площадь каждого из прямоугольников равна частоте, с которой спрос из нашей выборки попадал в каждый из этих интервалов. Сумма площадей этих прямоугольников, очевидно, покажет, как часто спрос превышал 1,2 контейнера. В данном случае окажется, что это частота равна 0,22 (22 точки из 100 вошедших в выборку лежат выше ординаты 1,2).

Если эту частоту, которая относится к случайной выборке из истории продаж данного товара использовать, как оценку вероятности того, что спрос превысит 1,2 контейнера, то получается, что вопрос об оценки риска возникновения дефицита решен.

Однако, на самом деле, оценка вероятности по частоте всегда сопряжена с ошибкой, которая тем больше, чем меньше размер выборки. Если мы подбрасываем монету 10 раз, то вполне возможно, что орел выпадет 8 раз, что приведет к оценке выпадения монетки на орла равной 0,8. Разумеется, если подбросить монету 100 раз, выпадение орла 80 раз практически исключено, и оценка вероятности получится гораздо более близкой к 0,5.

Статистика позволяет оценить ошибки в оценках вероятности по частоте и среднего и стандартного отклонения по выборке (см. для справки здесь и далее, например, книгу В.Н. Сулицкий, Методы статистического анализа в управлении, «Дело», Москва, 2002). Допустим, в нашем случае выборки из 100 чисел - значений спроса на некоторый товар за предшествующие 100 дней, среднее

значение оценено как X «1, а стандартное отклонение спроса - как Я«0,1. Тогда стандартная ошибка Ах в определении среднего составит я

(9)

где N=100 - размер выборки. Такого же порядка будет и ошибка в определении стандартного отклонения я (хотя формула для нее будет сложнее). А вот относительная стандартная ошибка в определении вероятности р попадания случайного спроса в тот или иной интервал частотной диаграммы будет равна

Ар = К1 - Р) , ч

р \ рМ , (10)

что для р«0,1 и N = 100 составит величину в 30%, а для р«0,01 - почти 100%! Разумеется, увеличение размера выборки позволяет уменьшить и ошибки в оценке распределения вероятностей, однако, на практике в бизнесе редко удается получить большие выборки. Кроме того, если, как в случае, показанном на Рис. 200, среднее (ожидаемое) значение спроса меняется со временем, получение адекватного частотного распределения существенно усложняется.

Вместе с тем, оказывается, что во многих случаях специальных исследований для оценки распределения вероятностей интересующей нас величины (в частности, распределения вероятностей различных значений спроса) по частотному распределению выборочных значений не требуется. Дело в том, что если нас интересует суммарный спрос за несколько (Ь) дней или суммарный спрос в нескольких сравнимых друг с другом торговых точек, то его распределение заранее известно.

Независимо от того, как распределено каждое случайное слагаемое в сумме случайных величин, сама сумма должна быть распределена нормально со средним значением, равным сумме средних значений слагаемых (формула 4) и дисперсией, равной сумме дисперсий слагаемых (формула 5).

Это утверждение выражает важнейший статистический закон, известный как центральная предельная теорема теории вероятностей [5,8]. Везде, где мы имеем дело с суммой случайных величин (не важно, одинаково распределенных или нет, если только одна или несколько из них не доминируют над всеми остальными), мы встречаем это замечательное распределение вероятностей. Даже если речь идет о спросе за 1 день, он весьма часто формируется благодаря множеству малых случайных факторов, и потому также распределен нормально. Это распределение очень часто встречается на практике и в других случаях (именно поэтому оно и называется нормальным). Вследствие этого стоит изучить его свойства и использовать для оценки различных рисков, в частности, риска возникновения дефицита.

Нормальное распределение вероятностей.

Нормальное распределение для плотности вероятности случайной величины имеет вид:

( X-X )2 1

—2"^

Ах) = ^е ? . (11)

где X - среднее значение случайной величины (например, ожидаемое значение случайного спроса), а sx — ее стандартное отклонение.

Это распределение было введено Гауссом еще в 18 веке. Затем два российских математика — П.Чебышев и А.Марков в конце 19 и в начале 20 века, доказали (во все более общих предположениях) центральную предельную теорему о том, что сумма большого числа любых слагаемых распределена в соответствие с этим распределением, где X равно сумме средних значений слагаемых (4), а дисперсия sx - равна сумме дисперсий каждого слагаемого (5).

Чтобы не вдаваться в точное определение плотности распределения вероятности, несколько упрощенно, можно представить себе, что описанная формулой (11) кривая — это огибающая частотного распределения, составленного из очень узких столбиков, площадь каждого из которых дает вероятность того, что случайная величина (спрос) попадет в тот интервал, на котором столбик построен (Рис. 202). Сумма площадей всех прямоугольников на этой диаграмме, т. е. площадь под кривой нормального распределения равна 1.

Интересно, что выбором масштаба все нормальные кривые (с разными средними значениями и стандартными отклонениями) можно свести к одной. Если ввести величину 2, равную

X - X

2 = —, (12)

X

и измеряющую величину отклонения спроса от его среднего значения, выраженную в единицах стандартного отклонения, то получится, так называемое стандартное нормальное распределение, не имеющее никаких параметров (иначе можно сказать, что его среднее значение равно нулю, а стандартное отклонение - 1):

2

1 “

^=Т2Те 2 • (13)

Именно это стандартное нормальное распределение и изображено на Рис.

202.

Оценка риска возникновения дефицита по нормальному распределению.

Допустим, что в результате анализа числовой выборки спроса на некоторый товар получено, что среднее (ожидаемое на планируемый период) значение ежедневного спроса X ^1 (в единицах больших контейнеров), а стандартное отклонение ежедневного спроса оценено как S^0,1 контейнера. Пусть время выполнения поставщиком заявки на пополнение запаса составляет L=16 дней. Это означает, в соответствие с формулами (4) и (5), что среднее значение суммарного спроса за L=16 дней ожидания поставки составит

XL = L ?X , (14)

а стандартное отклонение этого суммарного спроса равно

Sx = V- ? s (15)

При этом случайное значение суммарного спроса X L распределено нормально.

Допустим, что менеджер оставляет на время ожидания поставки запас

ROP = XL , где ROP - аббревиатура английских слов Re-Order Point - точка перезаказа.

Дефицит возникнет, если спрос превысит оставленный менеджером запас. В данном случае - если спрос за время ожидания поставки будет выше среднего

значения XL . Вероятность этого события будет измеряться суммарной площадью всех столбиков на частотной диаграмме нормального распределения

(Рис. 202), лежащих справа от значения z=0 (или x = XL ). Очевидно, что эта площадь (площадь под правой половиной кривой нормального распределения) равна 0,5, а значит, вероятность дефицита составит 50%.

Пусть менеджер, желая снизить риск возникновения дефицита, делает

перезаказ, когда запас данного товара на складе ROp > XL . Пусть оставленный запас превышает величину среднего суммарного спроса за время выполнения поставки на za стандартных отклонений суммарного спроса за это время, т.е.

ROP - XL za = Sx Тогда риск возникновения дефицита будет измеряться площадью под хвостом кривой нормального распределения справа от значения га(Рис. 202).

Таким образом, za показывает, какой безопасный резерв SS = zasx нужно добавить к среднему спросу за время ожидания поставки так, чтобы риск возникновения дефицита в этом периоде не превысил О.

Практически вычисление риска возникновения дефицита О при заданном значении точки перезаказа ROP, или, наоборот, вычисление величины безопасного резерва SS и точки перезаказа ROP при выбранном значении риска возникновения дефицита О, сводится к вычислению площадей под кривой стандартного нормального распределения. Это вычисление легко выполнить с помощью специальных функций MS-Excel.

Функция НОРМСТРАСП^) ( в английском варианте MS Excel - NORMSDIST) вычисляет площадь под кривой стандартного нормального распределения от -да до Z. Таким образом, если задать

ROP - XL

(15а)

Z = zа =

Sx

то риск возникновения дефицита при таком запасе можно получить по формуле:

o= ЬНОРМСТРАСП^) (16)

Функция НОРМСТОБР(вероятность) ( в английском варианте MS Excel -

NORMSINV) решает обратную задачу: вычисляет величину z так, чтобы площадь под кривой стандартного нормального распределения, опирающейся на интервал от -да до Z, равнялась заданной вероятности. Таким образом, если задать требуемый риск возникновения дефицита за время ожидания поставки О, то величину zo, показывающую какой безопасный резерв SS=ZQSX нужно создать, чтобы снизить риск дефицита до заданного значения О следует рассчитать по формуле:

za=HOPMC ТОБР(1-а) (17)

Подчеркнем, что в качестве вероятности, запрашиваемой этой функцией, нужно подставить вероятность того, что дефицита за время ожидания поставки не будет, т.е. 1-О.

При этом точка перезаказа будет определяться как

ROP = XL + z^x (18)

Риск возникновения дефицита и уровень обслуживания.

Вероятность (риск) возникновения дефицита определяет долю заказов, при ожидании которых был зафиксирован дефицит. Пусть, например, менеджер работал в течение 100 месяцев, делая в среднем 1 заказ в месяц на восполнение запаса некоторого товара. Если риск возникновения дефицита поддерживался на уровне в 5%, это значит, что в 5 месяцах из 100 у него возникал дефицит, т.е. спрос превышал запас, оставленный на время ожидания поставки. Эта цифра не говорит, однако, ничего о том, как велик был дефицит в каждом из 5-ти месяцев, когда он был зафиксирован, и сколько клиентов за все время работы (или в среднем за каждый из этих 100 месяцев) остались не обслуженными. Вместе с тем, именно эта последняя величина наиболее наглядно характеризует уровень обслуживания клиентов с точки зрения менеджера.

Уровень обслуживания Psi (по-английски service level) - это средняя доля отказов продать 1 единицу данного товара в период между заказами. Например, если уровень обслуживания, который хотят поддерживать менеджеры фирмы, равен 99,9%, а количество единиц товара, продаваемых в период между последовательными поставками новых партий товара, равно Q =1000 шт., то это

значит, что в среднем число отказов в продаже 1 единицы товара E =1. Вообще говоря,

E = Q ? (1 - Psi) (19)

Между средней долей отказов E и риском возникновения дефицита существует непростая связь: f z2 \

л ^а

(20)

E (2) =

1 -"2" б 2 - Z 2 ' 2 где, в соответствие с (17) 2а=НОРМСТОБР(1-а).

Следует подчеркнуть, что часто воспринимаемая как «очевидная» связь

совершенно неверна (поэтому мы ее перечеркнули). Причина возникновения этого неверного представления - в непонимании смысла величины риска дефицита. Если, как в приведенном выше примере, риск возникновения дефицита равен 5%, т.е. случается в среднем 5 раз на 100 периодов между заказами, то понятно, что средняя на период доля отказов должна быть гораздо меньше. Ведь в 95-ти периодах дефицита не было и, следовательно, отказов не было вообще! В 5-ти периодах дефицит был, и трудно сразу сказать, какое количество отказов произошло в этих периодах. Однако, при взгляде на нормальное распределение (Рис. 202) видно, что вероятность большого числа отказов намного меньше, чем малого. Поскольку все произошедшие в 5 периодов отказы нужно «размазать» по 100 периодам, чтобы получить среднее число отказов за период, становится ясно, что отличие уровня обслуживания от 1

намного меньше, чем а. Используя формулу (20), можно получить, что при 2=1000 и ^=50, при а=5%, среднее число отказов за период между заказами Е »1,045, а ~99,9% (подробнее о связи между риском дефицита и уровнем обслуживания см. гл.15 [2]).

Для тех читателей, кто помнит определение среднего значения функции непрерывной случайной величины и владеет навыками интегрирования, ниже приведен вывод соотношения (20).

Для вычисления среднего значения числа отказов за период между

заказамиЕ (а), при условии, что безопасный резерв 88=2 а$х обеспечивает величину риска возникновения дефицита а, введем функцию числа отказов, зависящую от величины спроса х

Г 0 , если х < КОР

Е(Х) = [х - КОР, если х > ЮР (20)

Если выразить число отказов, как функцию от относительного отклонения спроса от среднего 2, то, очевидно, получится:

Г 0 , если 2 < 2а Е (х) = \ = 8Е ( 2) (21)

К(г - 2а ), если 2 > 2а ( )

Вид этой функции Е(2) показан на Рис. 203. Если спрос ниже оставленного запаса КОР (или 2 < 2а), никаких отказов не возникает. Если, наоборот, спрос превысил запас КОР (2>2а), то число отказов равно величине этого превышения Е(х)=лх(г-Га).

га г

-3 -2 -1 0 а 1 2 г 3

Рис. 203

Среднее значение функции Е(х) по нормальному распределению определяется как 2

2

да 2 да 2

Е(а) = ^Ш^Е(2)'е 2 ^ = 72^(2-2а)е 2 (22)

-да 2а

Разумеется, что после интегрирования по величине спроса х (или по 2), эта функция не может зависеть от х или 2, а определяется лишь заданным риском возникновения дефицита а или КОР (что безразлично, так как между этими величинами существует однозначная связь (18)). Вычисляя последний интеграл по частям, получаем искомую формулу (20).

Модель фиксированного периода между заказами.

Выше была рассмотрена модель фиксированного размера заказа (Рис. 198), согласно которой при постоянном (в среднем) спросе один и тот же заказ Q делается в момент, когда уровень запаса падает до значения ЯОР. В случае если никаких случайных вариаций спроса нет, то ЯОР=йЬ, где й- ежедневный спрос, а Ь- время выполнения заявки на пополнение запаса поставщиком. При наличии случайных вариаций спроса, к среднему значению спроса за время ожидания поставки (йЬ) прибавляется безопасный резерв 88=2о0>х, который обеспечивает снижение риска дефицита с 50% (если оставленный запас равен среднему спросу й-Ь) до а. При этом моменты времени, когда делается заказ на восполнение запаса, перестают быть строго периодичными: поскольку спрос случаен, уровень КОР достигается в одном периоде раньше, а в другом - позже (Рис. 204а).

Рис. 204

Такая модель удобна, если фирма торгует одним или небольшим числом товаров, каждый из которых заказывается у поставщика отдельно. На реальном оптовом складе нередко находятся несколько тысяч (а иногда и десятки тысяч) наименований различных товаров. При этом количество поставщиков, обычно гораздо меньше, так что у каждого поставщика фирма заказывает несколько различных товаров (а иногда несколько десятков и даже сотен наименований). В этом случае товары для заказа объединяются в группу, и определяется оптимальная частота заказа группы товаров, минимизирующая издержки управления запасами (см. п.6.6 [1]).

Представим себе, что такая группа товаров поступила на склад в момент времени 1=0. Можно, разумеется, для каждого товара в этой группе рассчитать значение ЯОР/, но из-за случайности и независимости спроса на разные товары в группе, моменты времени, когда эти уровень запаса каждого /-го товара достигнет соответствующего значения ЯОР/, будут, очевидно, различными. Группа

«рассыплется», поскольку модель фиксированного размера заказа требует делать заказ каждого товара в момент достижения уровня его запаса значения ЯОР(, т.е. отдельно от других товаров в группе. Если мы хотим сохранить группу товаров и делать заказ для всех товаров в группе одновременно, необходимо перейти к другой модели - модели фиксированного периода между заказами.

В этой модели моменты времени, когда делается заказ, фиксированы и строго периодичны, а размер заказа меняется, в зависимости от того каким был спрос в предыдущий период, и каким он прогнозируется в следующем периоде (рис. Рис. 204б). Пусть период между заказами равен Т, а время выполнения заказа поставщиком Ь. При вычислении величины заказа следует иметь ввиду, что количества товара в этом заказе плюс количество товара, который в данный момент имеется на складе, должно хватить до момента, когда следующий заказ (который предстоит сделать через время Т) придет на склад (рис. Рис. 204б). Таким образом, планируемый период в данной модели равен Т+Ь. Если прогнозируемый средний ежедневный спрос на этот период равен X , стандартное отклонение ежедневного спроса s, а приемлемый риск возникновения дефицита за этот период принят равным а, то, очевидно, что необходимый на этот период времени запас равен среднему спросу за Т+Ь плюс безопасный резерв:

х •(Т+Ь)+а -V(Т+Ь) ,

где ? • у/(Т + Ь) - стандартное отклонение спроса за планируемый период.

Если в момент заказа на складе еще есть I единиц данного товара, то величина заказа, очевидно, определится формулой

б = х •(Т + Ь) + га? • д/(Т + Ь) -1 (23)

(подробнее о модели с постоянным периодом между заказами см. гл.15

[2]).

Замечание о случайных вариациях времени поставки.

В обеих рассмотренных моделях предполагалось, что единственным источником случайного изменения уровня запаса на складе является случайный спрос. Характеристикой случайных вариаций ежедневного спроса является стандартное отклонение ежедневного спроса ?. При этом считалось, что время поставки Ь - строго постоянно, иными словами - поставщик идеален. У реальных поставщиков время поставки более или менее варьирует. Разумеется, это должно отразиться за вариациях уровня запаса на складе и, соответственно, на величине необходимого безопасного резерва.

Допустим, что Ь - это среднее время, проходящее от момента подачи заявки на новый заказ поставщику до момента прихода заказа на склад, а случайный разброс этого времени поставки характеризуется стандартным отклонением Sь. Будем, для определенности считать, что и та и другая величина измеряется в днях. Если средний ежедневный спрос равен X , то стандартное отклонение спроса за время ожидания поставки новой партии товара за счет за счет вариации времени поставки, очевидно, составит х ? sL. В то же время, как подробно рассмотрено ранее, стандартное отклонение спроса при фиксированном времени поставки , за счет случайных вариаций ежедневного спроса, составит

В случае, когда и ежедневный спрос, и время поставки независимо варьируют, необходимо учесть оба эти случайных фактора. По общему правилу (5), для вычисления стандартного отклонения суммарного случайного спроса за время ожидания поставки (которое само подвержено случайным вариациям), необходимо сложить квадраты стандартных отклонений, связанных с каждым из двух случайных факторов, и извлечь квадратный корень из их суммы:

(24)

Однопериодная модель заказа.

Модель применяется в ситуации, когда приобретаемый запас должен быть распродан в течение ограниченного промежутка времени (скоропортящиеся продукты, модная сезонная одежда и пр.). Если товар не продан по нормальной цене в этот промежуток времени (в сезон), он обязательно реализуется по сниженным ценам на внесезонной распродаже. При этом цена распродажи может быть существенно ниже не только нормальной цены, но и себестоимости товара, в результате чего продавец несет значительные убытки. С другой стороны, если продавец, пытаясь застраховаться от потерь, связанных с распродажей товара по сниженным ценам, закажет партию, заведомо ниже величины прогнозируемого спроса на данный период, он фактически отказывается от части прибыли, которую предлагает ему рынок. Модель определяет оптимальный размер заказа, максимизирующий прибыль продавца в условиях случайного спроса, когда неизбежны либо потери от распродажи излишков, либо упущенная выгода при возникновении дефицита товара.

Пусть прогнозируемый средний спрос на данный товар на сезон

составляет d , а стандартное отклонение спроса s. Пусть нормальная цена при продаже товара в сезон составляет p, при себестоимости С, а цена единицы товара на распродаже Руцен<С. Тогда потери от распродажи 1 единицы избытка товара составит Сизб=С-руцен, а потери от дефицита в 1 единицу товара оценим как упущенную прибыль от несостоявшейся продажи этой единицы товара Сдеф=р-С.

При оценке оптимального размера запаса, максимизирующего прибыль, экономисты используют подход, известный как маржинальный анализ. Согласно этому подходу, максимум прибыли (или минимум упущенных возможностей, что равнозначно, если под упущенными возможностями понимать на равных основаниях и прямые потери и незаработанную прибыль) получится, если ожидаемые потери от 1 единицы дефицита равны ожидаемым потерям от 1 единицы избытка. Термин «ожидаемые» означает среднее значение потерь при многократном повторении заказа (т.е. потери за много сезонов подряд, или во многих магазинах в данном сезоне). Если вероятность дефицита обозначить а, а вероятность избытка, соответственно (1-а), то условие максимума прибыли имеет вид:

ас деф = (1-а) • сизб (25)

Отсюда можно определить оптимальное значение риска возникновения дефицита, определяющее максимум прибыли: с

изб

а =

(26)

а далее, используя формулы (17),(18), можно найти оптимальный размер заказа

га=НОРМСТОБР(1-а)

<2опт = 0 + %а^ (27)

Заметим, что сформулированное на основе маржинального анализа соотношение (25), в данном случае является результатом точной математической процедуры максимизации прибыли (или минимизации упущенных возможностей). Для читателей, знакомых с определением среднего значения функции непрерывной случайной величины и владеющих навыками интегрирования, ниже приведен вывод соотношения (25).

Обозначим размер заказа на данный период (сезон) Q. Тогда, если спрос за период распределен нормально, среднее значение прибыли от продажи товара в сезон составит ( х—й )2

2 5 2 йх

е

(28)

да

Р(в) = -7=^ Г Р(X, 0

л/2^с —

—да

где Р(х^) - прибыль, которую получит продавец, если сделал заказ Q, а спрос был х. Выражение для Р(х^), очевидно, имеет вид:

Р(х, б) =

(Р - С) • Х - (С - Руцен ) • (Q - x), еСЛи х ^ Q (р - с) • Q, если х > Q

(29)

Разумеется, спрос не может быть отрицательным, поэтому нижний предел

в интеграле (28) должен быть равен нулю. Однако, если О > 3 • 5 (а только в этом случае спрос можно считать распределенным приблизительно нормально), замена нижнего предела на -со вполне допустима. С учетом (29), интеграл (28) можно переписать в виде: 1

Q (х-а02

Р(0 = 7^ 1 [(Р - с) • X - (с - Руцен) •(Q - х)] • е 2’2 Ох +

(х—й )2 (30)

— I е

2пб Дифференцируя это выражение по 0 и вводя обозначения Сдеф = р-С и Сизб = С-Руцен, получаем

5Р(2) 1

Сизб I е 25 *Х _ Сдеф2 • е 25 + Сдеф I е 25 *Х

_ {<2-* )2 _ (2_* )2 ;)• 2 • в ^ _ Сизб 2 • в

д2 д/Л

о (х_*)

Приводя подобные члены и замечая, что

1 2 (X _*)2 1 ю (X _1)2

.— е 252 *х — 1 _а и .— е 2^2 ёх — а

ЛЛз -1 и л/2^5 2 •

_Ю 2

находим соотношение (25)

а • Сдеф = (1 _ а) • сизб (25)

Вычислим теперь величину максимальной прибыли, которую обеспечивает оптимальный заказ (27).

х — * 2 — *

— — — — '

Вводя переменную 5 , определяя а „ , где а - риск

5х 5х

возникновения дефицита (если спрос х превысит 2) преобразуем выражение для среднего значения прибыли Р(а) к виду:

(Сдеф + Сиз6) •5 Г(* + -5) • е“т

Iв 2*- + дефк а' |в 2 12л _Ю 42л ы

Вычисляя каждый из интегралов, приводя подобные члены и вспоминая, что Сдеф=р-С , получаем

р(а) = (р _ с) • * _ 5 • [Сизб • -а + (Сизб + Сдеф)• Е(а)] , (33)

где Е(а)- известная функция числа отказов при заданном риске возникновения дефицита а (20). Для вычисления ожидаемой максимальной прибыли в выражение (33) нужно подставить значение а, из формулы (26).

Видно, что выражение для максимальной ожидаемой прибыли меньше, чем прибыль от единицы товара, умноженная на среднюю величину спроса, поскольку неизбежны либо прямые потери от распродажи при избытке товара, либо упущенные возможности от неудовлетворенного спроса при дефиците.

Замечание об экономически обоснованном риске дефицита в модели фиксированного размера заказа.

2$‘

(31)

= 0

(2_* )2

да ( х_*)

1

Л5

Р(а) — —деф —шб I (* + -5) • в 2 *- _

-ил _Ю

2 2

_ |в - | *7 + Смф (*_+-~а5) | в -1 *-

„П-тт J „П-тг J

При рассмотрении модели фиксированного размера заказа мы отмечали, что создание безопасного резерва ДО имеет своей целью снижение риска возникновения дефицита до приемлемого уровня и повышение уровня обслуживания клиента. Поскольку содержание безопасного резерва требует дополнительных затрат в виде увеличения издержек хранения , может создаться впечатление, что создание безопасного резерва вызвано альтруистическим желанием улучшить качество обслуживания клиента, и по своей природе является чисто затратным мероприятием. Это впечатление, несомненно, ошибочно. Как ясно сформулировано в однопериодной модели заказа, дефицит обусловливает упущенную прибыль от несостоявшихся продаж. Поэтому снижение риска дефицита прямо увеличивает прибыль, полученную фирму.

Так же как в однопериодной модели заказа маржинальный анализ позволяет найти оптимальное значение риска дефицита, которое минимизирует суммарные упущенные возможности (незаработанную прибыль от неудовлетворенного спроса и прямые потери от распродажи излишков), что приводит к максимизации прибыли фирмы, в модели фиксированного размера заказа можно поставить вопрос о минимизации суммарных упущенных возможностей, возникающих, с одной стороны, вследствие несостоявшихся из-за дефицита продаж, а, с другой стороны, вследствие увеличения издержек хранения при содержании безопасного резерва.

Упущенную при возникновении дефицита прибыль можно оценить как

число отказов в продаже единицы товара за период между заказами E(a), умноженное на прибыль от продажи 1 единицы товара. С учетом (20), это упущенная за период прибыль равна га •а

~а

(34)

(p - c)Е(а) = (p - c) • ^

где р и С - соответственно цена и себестоимость 1 единицы товара. Содержание безопасного резерва ДО (18), обеспечивающего данное значение риска возникновения дефицита а, в течение периода Т между заказами, обусловливает следующие дополнительные издержки хранения АТИ = И • ББ • Т = И% • с • га • sx • Т

а х

(35)

Варьируя величину риска дефицита а, можно минимизировать сумму

(34) и (35). Соответствующее этому минимуму значение аопт и обеспечит максимум прибыли фирмы.

В этом рассуждении, так же как и в однопериодной модели заказа, мы полагали, что потери от дефицита связаны только с упущенной выгодой от несостоявшихся из-за дефицита продаж. Качественно, однако, понятно, что дефицит способствует снижению лояльности клиентов фирмы, их переключению на услуги конкурентов. Связанные с этим процессом потери весьма трудно оценить. Однако, в зависимости от стратегии и целей фирмы, грубые оценки этих потерей могут быть прибавлены к упущенной выгоде от несостоявшихся продаж: Cдеф—(P-C)+Cgw, (36)

где cgw - называют потерями от утраты доброго отношения клиентов (good will). Очевидно, что учет этих потерь приведет к уменьшению оптимального, «экономически обоснованного» значения для риска дефицита. Приемы решения задач 6.

П-1. Магазин сантехники

Магазин сантехники, работающий 364 дня в году, продает фильтры для воды по цене $25. Уровень продаж за 12 последних недель приведен в таблице.

145 259 184 263 279 203 155 209 189 226 132 249

По оценке менеджера, он соответствовал обычному среднему спросу на данный товар.

По сложившейся практике магазин заказывает примерно по 900 фильтров раз в месяц. Заказ, издержки по оформлению и доставке которого, составляют $300, исполняют в течение 10 дней. Закупочная цена $15. Менеджер не знает цифры по внутренней норме доходности магазина и считает, что единственным надежным ориентиром для сравнения эффективности вложения денег является доход по срочному вкладу, который составляет в регионе не менее 15% в год. Запас на складе не страхуется и не подлежит налогообложению. a.

Каковы складские издержки магазина при работе с этим товаром? Можно ли, и на сколько снизить эти издержки. b.

Из маркетинговых соображений менеджер готов допустить риск дефицита не более а=1%. Определите, при каком количестве фильтров на складе следует делать новый заказ в этом случае. c.

Представьте себе, что вы собираетесь отказаться от безопасного резерва. На сколько дней позже вы сделаете очередной заказ в сравнении с моделью из пункта Ь?

ё. Определите точку перезаказа для модели управления, в которой задан не риск дефицита, а уровень обслуживания Р8і = 99%.

Решение задачи.

В этой задаче обсуждается модель управления запасами в условиях случайного спроса. Так как ни средний спрос, ни его стандартное отклонение явно не указаны, но приведена небольшая статистическая выборка по объему продаж за последние недели, нам предлагается оценить эти параметры спроса самостоятельно.

Используем для оценки среднего спроса встроенную функцию MS Excel =СРЗНАЧ( ) или =AVERAGE( ) в английской версии MS Office. В качестве параметров функции следует указать всю таблицу с данными о продажах. При этом средний спрос за неделю оказывается равным 207.8 единиц.

Для оценки стандартного отклонения спроса от среднего тоже можно использовать встроенную функцию MS Excel =СТАНДОТКЛОН( ) (или =STDEV( )). В качестве параметра функции опять укажем таблицу с данными. Среднее недельное стандартное отклонение спроса получается равным примерно 48.8 единиц.

Разумеется, при таком небольшом размере выборки, точность определения реальных значений среднего спроса и его стандартного отклонения оказывается невелика. Но тут уже ничего не поделаешь, если более обширной статистики нет. Наши сомнения в корректности расчета этих параметров спроса может в некоторой степени развеять замечание, что по оценке менеджера, спрос соответствовал обычному среднему спросу на данный товар. Т.е. продажи за любой период не выходили за рамки обычных, тех к которым уже привыкли.

Чтобы еще больше укрепить свою уверенность в возможности использования модели экономичного размера заказа в данной ситуации можно построить диаграмму спроса. По диаграмме мы могли бы оценить, нет ли какого- нибудь устойчивого тренда в продажах - падения или роста. Для этого потребуем добавить на диаграмму линию тренда. Делается это следующим образом. Щелкнем по любому из кружков, показывающих данные о продажах правой клавишей мыши. Из появившегося меню выберем пункт Добавить линию тренда... . Появится окно Линия тренда следующего вида (рис. 3.2). Выберем для линии тренда линейный тренд (выбран по умолчанию) и щелкнем вкладку Параметры. В открывшемся окне, прежде чем нажать кнопку ОК, отметим галочками пункты: показывать уравнение на диаграмме и поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (КА2).

ЕГ

Линия тренда

Линия тренда [ Т »л J | Перометры |

Построение ЛЖИМ Тренда (еПГріЖОИеЦмД и сгла**вание)

г ІГ*/ I* =d

Логёрпфгтиеская Погиноліальная

J 1-Г Г-3

СтвпэжсЛ гу:сгйнйнималвнвя Пп-ёкнад ?игьтрвцкд

Построен на раде:

Тип Пороистрь

Каэмше эп пр с* с it*иругсше й (сглаженной) .кривой * автоматическое: ГЬтеигъи (Ряді) Прогни -g-j періоде« вперед на: |о иа>ад ив: Jo —^~1 периодов I пересечение кривой с осью Y в точке: |°

Р псказъеать доавненге на анаграмме

У ^сместить на діаграмну еегц<+іну дсстс^ернэстм алпроксиишкі (R j?5) ОК

ОК

Оттчгэт.з

От-яена |

Рис. 205

Получим следующую диаграмму (Рис. 206). По самим данным, что называется невооруженным взглядом, никакого явного тренда не видно. Но и математический инструмент, с помощью которого мы построили линию тренда «насильно», показывает, что достоверность приведенного уравнения для предложенной им линии тренда y= -1.16x + 215 близка к нулю.

Рис. 206

Для нас это достаточное основание для использования модели экономичного размера заказа.

Теперь давайте извлечем из условия задачи все данные, которые необходимы для расчета EOQ и издержек хранения и заказа.

Относительно издержек хранения нам известна из условия только стоимость денег - 15% в год. Так как о других издержках не упоминается, примем это число, как текущую величину издержек хранения h. Эту величину мы можем использовать только в сочетании с количеством замораживаемых в одной единице товара денег. Хотя в задаче даны два числа: розничная цена - 25$ и закупочная - 15$, выбрать следует, разумеется, именно закупочную цену. Именно эти деньги оказываются замороженными, если товар не продается. Итак C=15.

Издержки заказа S равны 300$.

Таким образом, у нас имеются все данные для расчета EOQ и издержек хранения и заказа при различных размерах партии. Создадим рабочую таблицу Excel для решения поставленной проблемы (Рис. 207). A B C D E F G H I J K L 1 145 259 184 263 279 203 155 209 189 226 132 249 2 3 =СТАНДОТКЛОН

(A1:L1) в

неделю =A3*52A0.5 в год Стандартное отклонение спроса 4 =СРЗНАЧ(Д1:Ь1) в

неделю =A4*52 в год Средний спрос и 6 S = 300 $ EOQ = =(2*C4*B6/

(Б7*Б8))Л0.5 Q = 900 7 h = 15% Qreal = TH = =I6*$B$9/2 8 С = 15 $ N = =$C$4/E7 TS = =$B$6*$C$4/I6 9 H = =B8*B7 $ T = =I8+I7 Рис. 207

В ячейках А3 и А4 содержатся формулы =СТАНДОТКЛОН( А1:Ь1) и =СРЗНАЧ(А1:Ь1 ) для расчета стандартного отклонения спроса и среднего спроса за неделю. В ячейках C3 и С4 эти величины пересчитаны в расчете на год. Для расчета среднего годового спроса средний недельный спрос умножен на 52 (число недель в году), а для расчета стандартного отклонения спроса в расчете на год, недельное стандартное отклонение умножено на л/52.

Значение издержек хранения в денежных единицах H найдено по формуле

H=h*C.

По этим данным, используя стандартную формулу, находим экономичный размер заказа EOQ. Напоминаем, что знак Л используется в Excel для обозначения степени. Поэтому запись вида (,..)Л0.5 означает, что выражение в скобках возводится в степень 0.5 (или ^), т.е. вычисляется квадратный корень из выражения в скобках. Тоже самое можно было бы сделать, используя стандартную функцию Excel =КОРЕНЬ(.. ), но знак степени вводить быстрее.

Как обычно в задачах на управление запасами, найденная нами величина EOQ является только ориентиром для выбора реального размера заказа Qreal. Его можно получить в данном случае, например, простым округлением, так как никаких требований к размеру заказа не предъявляется.

В ячейке E8 вычисляется число заказов в год (для Qreal), а в ячейках I7:I9 - издержки хранения, заказа и их сумма для принятого в настоящее время заказа Q=900 штук.

На следующем рисунке (Рис. 208) показаны результаты вычислений. A B C E F G H I J K L 1 145 259 184 263 279 203 155 209 189 226 132 249 2 3 48.8 в неделю 351.9 в год Стандартное отклонение спроса 4 207.8 в неделю 10 803.0 в год Средний спрос 5 6 S= 300 $ EOQ= 1697.3 Q= 900 1700 1800 7 h= 15% Qreal= 1700 TH= 1 013 1 913 2 025 8 С= 15 $ N= 6.35 TS= 3 601 1 906 1 801 9 H= 2.25 $ T= 4 614 3 819 3 826 17.2% Рис. 208

Воспользуемся близостью полученного ЕО0=1697.3 к круглому числу, и выберем 0геа1 равным 1700 единиц. При этом в среднем будет сделано 6.35 заказа в год.

По условию задачи известно, что по сложившейся практике заказ равен 900 единиц, что практически вдвое меньше оптимума. Вычислим издержки хранения ТН, заказа ТБ и полные издержки Т для двух политик управления запасами: с заказом 0геа1 =900 единиц и 0геа1 =1700 единиц. Оказывается, разница в издержках существует - 795$, но она не драматически велика. Таким образом, за счет изменения размера заказа удается сэкономить около 17% = (4614-3819)/4614.

Разумно будет прикинуть, как изменятся издержки, если мы будем делать целое число заказов в год, например 6. При этом заказы будут делаться примерно раз в два месяца, а размер одного заказа составит около 1800 единиц. Как вы видите по таблице (Рис. 208), полные издержки возрастают только на 7 единиц. Таким образом, если нет никаких препятствий, не отраженных в условии задачи, было бы разумно делать заказы вдвое реже, чем в настоящее время.

Теперь нужно рассчитать точку перезаказа ЯОР. Отметим здесь, что фактически в компании используется модель фиксированного размера заказа. Именно поэтому в условии задачи не упоминаются остатки склада на текущее время. А то обстоятельство, что заказ делается раз в месяц, связано с тем, что средний срок продажи 900 фильтров составляет чуть больше месяца. Так что фактически мы должны определить, при каком количестве фильтров на складе следует делать очередной заказ в размере 1800 единиц, если желаемая величина риска дефицита составляет 1%. A B C D E F G H I J K L 1 145 259 184 263 279 203 155 209 189 226 132 249 2 3 48.8 в неделю 351.9 в год Стандартное отклонение спроса 4 207.8 в неделю 10 803.0 в год Средний спрос 5 6 8= 300 $ ЕОд= 1697.3 900 1800 1700 7 И= 15% 0-еа1 1800 тн= 1 013 2 025 1 913 8 С= 15 $ ы= 6.00 Т8= 3 601 1 801 1 906 9 н= 2.25 $ Т= 4 614 3 826 3 819 17.1% 10 Ь= =10/7 ЙЬ= =А3*В10Л0.5 11 88= =В12*Е10 12 ъ= =НОРМСТОБР(1-В13) 13 а= 1% 14 ШР= =А4*В10+Е10*В12 15 1= =В11/А4*7 Рис. 209

В следующей таблице (Рис. 209) добавлены необходимые параметры Ь и

а, после чего можно вычислять точку перезаказа. Срок выполнения заказа Ь записан сразу в неделях, для этого в ячейке В10 написана формула =10/7. Отклонение запаса от среднего ъ, обеспечивающее заданный риск дефицита считаем по обычной формуле ъ =НОРМСТОБР(1- а). Чтобы рассчитать безопасный резерв (??=г*?Ь, ячейка В11) остается найти стандартное отклонение спроса за время выполнения заказа. Так как время исполнения не варьирует,

можно использовать обычную формулу = ^,[1 (ячейка Е10).

Точка перезаказа ЯОР также рассчитывается по обычной формуле - ЯОР = ОЬ + г * 5Ь (ячейка В14).

На рисунке (Рис. 210) показан результат расчета. A B C D E 6 8= 300 $ EOQ= 1697.3 7 И= 15% Qreal= 1800 8 С= 15 $ Ы= 6.00 9 н= 2.25 $ 10 Ь= 1.43 8Ь= 58.3 11 88= 135.7 12 ъ= 2.326 13 а= 1% 14 ШР= 432.5 15 1= 4.6 Для - получаем примерно +2.326 стандартных отклонения. Следовательно, как мы и ожидали, безопасный резерв будет положительным и новый заказ будет сделан раньше, чем на складе останется запас для торговли на 10 дней (время исполнения заказа). При этом получаем, что ?/=58.3. Значит безопасный резерв составит около 136 единиц. Это даст нам окончательный результат ЯОР=432.5, который, по смыслу, следует округлить до ближайшего большего целого - 433 единицы.

Для ответа на вопрос пункта С достаточно вычислить, за какое время в среднем распродается безопасный резерв. При средних недельных продажах в 207.8 штук безопасный резерв размером 135.6 штук будет продан за 4.6 дня (В15). После этого на складе останется ровно столько, сколько в среднем продается за время выполнения заказа - 10 дней. Поэтому при переходе от одной модели к другой оформление заказа отложится на 4-5 дней.

Отметим еще раз, что средний срок между заказами в обеих моделях - с безопасным резервом и без него - один и тот же. Только при одной стратегии к моменту получения заказа на складе будет оставаться в среднем безопасный резерв, а в другой склад будет пуст.

Более удобный подход к формированию безопасного резерва связан с заданием уровня обслуживания. Дело в том, что бывает довольно трудно определить, какая величина риска дефицита оправдана экономически. Конечно, если ваш магазин единственное место в округе, в котором посетитель может купить некий товар, так что не застав его на прилавке один раз, он неизбежно возвратится за ним снова, создавать безопасный резерв практически бессмысленно (если речь не идет о продовольствии). Однако в более сложных случаях для определения безопасного резерва желательно знать, сколько потенциальных клиентов вы теряете из-за дефицита. Именно эта величина и определяет безопасный резерв.

В этой задаче речь идет об уровне обслуживания 99%. Это значит, что вы надеетесь обслужить 99% всех клиентов, затребовавших данный товар, не взирая на случайность спроса. Оценить примерное число клиентов, которым не хватит товара, можно по формуле Е(Р51) — (1 _ Р51 )2, где 2 - среднее количество

проданного товара за период и оно равно размеру заказа. Если средняя покупка равна 1 штуке, то 2 - это и число клиентов. Если же средняя покупка равна q, то число необслуженных клиентов составит Е(Р5)/д . К сожалению, простой связи между уровнем обслуживания и риском дефицита а нет, т.е. вообще говоря а Ф 1 - Р81 !

Но, с другой стороны, мы можем определить долю потерянных клиентов, или, лучше сказать, долю потерянных покупок, через нормальное распределение.

1 2 1 -

Для этого нужно использовать формулу Е(-) — 5^ ( — ехр( ) _ -а). Так как в

42л 2

этой формуле известна только величина стандартного отклонения за время выполнения заказа , величину параметров ъ и а придется подбирать. Точнее, подбирать придется только величину ъ, потому что а = 1-НОРМСТРАСП(ъ).

Так как оценки доли потерянных покупок двумя способами должны давать одинаковый результат, то, подобрав такое значение ъ, чтобы выполнялось условие Е(Рц) = Е (-), мы найдем ъ и а соответствующие заданному уровню обслуживания Р^. Сделать это удобнее всего с помощью надстройки Поиск решения, используя нелинейную модель. Дополним нашу таблицу необходимыми формулами () A B C D E F G H I J 6 S= 300 $ EOQ= 1697.3 Q= 900 1800 7 h= 15% Qreal 1800 TH= 1 013 2 025 8 С= 15 $ N= 6.00 TS= 3 601 1 801 9 H= 2.25 $ T= 4 614 3 826 10 L= =10/7 SL= =A3*B10A0.5 11 SS= =B12*E10 SS= =E12*E10 12 z= =НОРМСТОБР(1-В13) z= 0.237 13 a= 1% ttz =1-HOPMCTPACn(E12) 14 ROP= =A4*B10+E10*B12 ROP = =A4*B10+E10*E12 15 t= =B11/A4*7 Psl= 99.0% 16 Esl= =(1-E15)*E7 17 E(z)-Esl=0 =E10*(

1/КОРЕНЬ(2 *nH())*EXP(- (E12A2)/2)-E 12*E13 )-E16 Рис. 211

В задании Поиску решения следует указать только целевую ячейку - Е17, цель оптимизации - равенство целевой ячейки значению 0 и изменяемую ячейку - Е12. Ограничения не нужны, так как ъ может принимать любые значения, в отличие от величины а, которая изменяется от 0 до 1 (этим, собственно, и обусловлен наш выбор переменной). После запуска Поиска решения на выполнение получаем следующий результат (Рис. 212). A B C D E 10 L= 1.43 SL= 58.3 11 SS= 135.7 SS= 11.4 12 z= 2.326 z= 0.196 13 a= 1% ttz= 42.2% 14 ROP= 432.5 ROP = 308.2 15 t= 4.6 Psl= 99.0% 16 Esl= 18.0 17 E(z)-Esl=0 0.0000 Рис. 212

Значит, сервисному уровню 99% соответствует риск дефицита 42.2% и точка перезаказа ROP=308.2. Безопасный резерв оказывается равным всего 11.4 единиц, что меньше дневного спроса. На практике это означает отсутствие страхования от дефицита. A B C D E F 10 L= 1.43 SL= 58.3 58.3 11 SS= 135.7 SS= 11.4 135.6 12 z= 2.326 z= 0.196 2.326 13 a= 1% ttz 42.2% 1.0% 14 ROP= 432.5 ROP = 308.2 432.4 15 t= 4.6 Psl= 99.0% 99.989% 16 Esl= 18.0 0.2 17 E(z)-Esl=0 0.0000 0.0000 Давайте заодно подберем величину сервисного уровня, соответствующую риску дефицита а = 1%. Для этого можно несколько раз запустить Поиск решения, меняя величину Р51. С достаточной для наших целей точностью, величина Р5/=99.989% соответствует риску дефицита около 1% (Рис. 213). Разумеется и величины ъ и ЯОР получаются такими же, как при расчетах из пункта Ь. Разница между этими расчетами заключается только в том, что раньше нам было неизвестно, сколько клиентов теряется за один период заказа. С практической точки зрения следует сделать вывод о том, что заданный риск дефицита в 1% излишне жесткий, так как при нем теряется только 1 клиент за год (0.2*6 заказов). Даже если эта покупка потеряна для магазина компании, то неполученная выгода составит всего 10$. А платим мы за это около 305$ (135.7*2.25 - стоимость хранения безопасного резерва).

Отметим, наконец, что невозможно построить никакой таблицы соответствия между Рц1 и а, так как связь между ними зависит от соотношения между средним спросом и стандартным отклонением спроса за время выполнения заказа. 6.

П-2. Оптовые продажи хозтоваров

Компания ООО ОллОпт является независимым поставщиком предметов домашнего обихода в магазины. Управляющий пытается поддерживать у себя такой запас товаров, который удовлетворял бы 98% запросов со стороны его клиентов. Комплект ножей С01134 из нержавеющей стали является одной из тысяч позиций запасов ОллОпт. Потребность в этих ножах (2400 комплектов в год) относительно стабильна на протяжении всего года. Общая стоимость размещения заказа у поставщика ножей составляет $5. По оценкам ОллОпт, хранение запаса, выплата процентов по заемному капиталу, страховки и т.п. добавляют к стоимости хранения примерно $4 за один комплект в течение года. Склад заказывает комплекты ножей партиями по 100 штук.

Анализ данных за прошедший период показывает, что стандартное отклонение потребности со стороны розничных торговцев составляет примерно 4 комплекта в день (предполагается, что в году работают все 365 дней). Период выполнения заказа составляет одну неделю. a.

Определите точку перезаказа в модели фиксированного размера заказа при существующей средней периодичности заказов на комплекты ножей. b.

Каков экономичный размер заказа? Какова точка перезаказа для экономичного размера заказа? c.

Представьте себе, что склад должен перейти на модель заказов с фиксированным периодом между заказами при том же сервисном уровне. Сегодня нужно сделать новый заказ на комплекты ножей, а на складе лежит количество комплектов, соответствующее точке перезаказа для модели фиксированного размера заказа (вопрос а). Сколько комплектов следует заказать, если период между заказами будет составлять полмесяца? Сравните эту величину с размером заказа для модели фиксированного размера заказа (вопрос а). В чем причина их различия?

ё. Если все же заказать 100 комплектов, как раньше, какой уровень обслуживания получится для этой позиции товарных запасов? Решение задачи.

Формулировки вопросов к этой проблеме показывают, что речь идет о двух моделях управления запасами в условиях случайного спроса. Так как в первых вопросах речь идет о модели фиксированного размера заказа, будем при построении таблицы Excel ориентироваться на эту модель. Сначала извлечем из условия все нужные данные и проверим, все ли нам известно?

Итак, годовая потребность D=2400 единиц. Стоимость размещения заказа 5 долл. Издержки хранения 4 долл. на один комплект в год. Это данные, которые позволяют рассчитать величину экономичного размера заказа и годовые издержки хранения и заказа. Еще дан текущий размер заказа Q =100, для него также можно рассчитать все издержки.

Так как нам нужно вычислять точку перезаказа (ROP), выпишем данные о времени выполнения заказа (L=1 неделя), стандартном отклонении спроса (s=4 комплекта за один день торговли) и желаемом уровне обслуживания (Psl=98%).

Не дан в условии задачи срок между заказами T, но его можно рассчитать по размеру заказа и годовой потребности в товаре (=2400/100 дней). A B C D E 1 D = 2400 EOQ= 77.5 2 H = 4 Qreal 100 3 S = 5 N= 24.0 4 ^цень 6.58 TH= 200 5 ^цень 4 TS= 120 6 Psl= 98.00

% TS+TH= 320 7 L= 7 SL= 10.58 8 T= 15 Esl= 2 9 m= 365 E(Z)-Esl= 0.000

0 10 z= 0.529

0 11 a,z= 0.298

4 12 SS= 5.60 ROP= 51.6 A B C D E 1 D = 2400 EOQ= 77.5 2 H = 4 Qreal 77 3 S = 5 N= 31.2 4 ^день 6.58 TH= 154 5 ^ень 4 TS= 156 6 Psl= 98.00

% TS+TH= 310 7 L= 7 SL= 10.58 8 T= 12 Esl= 1.54 9 m= 365 E(Z)-Esl= 0.0000 10 z= 0.6892 11 a,z= 0.2454 12 SS= 7.29 ROP= 53.3 Построим таблицу для решения задачи (Рис. 214 левая часть). В таблице приведен сразу результат после поиска величины z надстройкой Поиск решения. Никаких новых формул по сравнению с предыдущей задачей нет. Отметим только, что время в задаче измеряем в днях. Поэтому срок исполнения заказа задан в рабочих днях (7 дней), а дневной спрос определен по годовой потребности (=2400/365).

Так как теоретическая точка перезаказа равна 51.6 штук, получаем для порога перезаказа величину 52 штуки. Т.е., как только система учета обнаружит, что на складе осталось 52 комплекта ножей, она должна дать сигнал о перезаказе, с тем чтобы уровень обслуживания был не ниже 98%.

В обычных условиях может показаться, что такая точность не нужна, так как в реальности информация обо всех товарах, нуждающихся в перезаказе, будет собрана и отправлена в лучшем случае в конце дня. Но следует отметить, что дело системы управления запасами дать правильный сигнал о необходимости определенных действий, а уж как вы распорядитесь представленной информацией -

дело ваше. Кроме этого, уже существуют крупные системы управления запасами, например универмаги в Японии, в которых управление запасами полностью компьютеризировано. Поэтому запрос на допоставку уходит практически сразу после достижения порога перезаказа. Причем это происходит в условиях, когда сроки поставки составляют 1-2 суток и даже несколько часов.

Как мы видим из полученного решения, реальный размер заказа недалек от экономичного размера заказа EOQ=77.5 комплектов. Для того, чтобы убедиться в том, что реальный размер заказа выбран разумно, рассчитаем все издержки и точку перезаказа для Qreai = 77 (Рис. 214 справа).

Общие издержки хранения и заказа в этом случае равны примерно 310 единиц, против 320 единиц в случае Qreal = 100. Это около 3%, что, скорее всего, несущественно. Порог перезаказа несколько возрос (на практике до 54 комплектов) за счет увеличения безопасного резерва с 6 до 8 единиц. Сам же безопасный резерв возрос вследствие того, что из-за уменьшения размера заказа увеличилось отношение стандартного отклонения спроса к размеру заказа. (Si/ Qreal). Тем не менее такое изменение так же не представляется существенным. Таким образом можно сделать вывод о разумном выборе размера заказа.

Что касается уровня обслуживания, то он скорее всего занижен. В самом деле, риск дефицита составляет около 30%, а страховой запас примерно равен дневному спросу при времени выполнения заказа 7 дней. Уже это представляется неразумным.

Данных о прибыли, получаемой при продаже одного комплекта, у нас нет. Но можно оценить, что потери потенциальной прибыли примерно соответствуют издержкам храненения безопасного резерва, если прибыль за комплект составляет менее 0.5 долл. А так как прибыль наверняка существенно выше, то, очевидно, уровень обслуживания занижен.

Вернемся теперь к последнему вопросу задачи - переходу к другой модели управления. При фиксированном периоде между заказами время между заказами остается постоянным и равным среднему периоду между заказами в модели фиксированного размера заказа. Мы уже вычисляли его, и при среднем размере заказа в 100 комплектов оно составляло 15 дней (округленно). Практически нам нужно изменить в предыдущей таблице две формулы. Заменить формулу для вычисления стандартного отклонения за время выполнения заказа

SL = S4L на формулу Si+T = Wl + T, соответствующую отклонению спроса за время до следующей коррекции запасов. И заменить расчет значения ROP на вычисление размера заказа при имеющихся остатках на складе Q = d(L + T) + zSL+T -1. Лучше всего скопировать задачу на новую страницу, а потом сделать необходимые изменения. Для количества остатков на складе I возьмем неокругленное значение точки ROP, чтобы не вносить лишних отклонений. После этого остается только вновь поставить задачу для Поиска решения и получить новый результат (Рис. 215 слева' A B C D E A B C D E 1 D = 2400 EOQ= 77.5 1 D = 2400 EOQ= 77.5 2 H = 4 Qreal 100 2 H = 4 Qreal 100 3 S = 5 N= 24.0 3 S = 5 N= 24.0 4 ^день 6.58 TH= 200 4 ^день 6.58 TH= 200 5 Здень 4 TS= 120 5 ^цень 4 TS= 120 6 Psl= 98.00

% TS+TH= 320 6 Psl= 95.48

% TS+TH= 320 7 L= 7 SL= 18.76 7 L= 7 SL= 18.76 8 T= 15 Esi= 2 8 T= 15 Esl= 4.52 9 m= 365 E(Z)-Esi= 0.000

0 9 m= 365 E(Z)-Esl= 0.0000 10 T+L= 22 z= 0.867

3 10 T+L= 22 z= 0.3701 11 I= 51.6 ?z= 0.192

9 11 I= 51.6 ?z= 0.3557 12 SS= 16.27 Qftpm= 109.3

3 12 SS= 6.94 Qftpm= 100.0 Рис. 215

Как мы можем видеть, для обеспечения того же сервисного уровня 98% нам нужно заказать не 100 комплектов, а 110 (увеличивая Qftpm до ближайшего большего целого). Так как заказ в модели фиксированного размера заказа мы должны были бы сделать в этот же самый момент, то различия в объеме заказа можно связать только с нашим решением изменить модель управления запасами. Эти 9-10 единиц разницы получаются из-за того, что мы не следим больше за складом до следующего срока заказа. А так как при случайном росте спроса мы сможем пополнить запас товара на складе только через T+L дней, вместо L, то безопасный резерв увеличился до 16 комплектов. Обратите внимание на то, что риск дефицита, соответствующий тому же сервисному уровню, теперь уменьшился до 19%.

Если бы мы заказали все те же 100 комплектов, то сервисный уровень составил бы всего 95.48%. В этом не сложно убедиться, если, варьируя величину сервисного уровня и запуская каждый раз Поиск решения, подобрать такую величину Psi , чтобы размер заказа Qftpm стал равен 100 комплектам (Рис. 215 справа). 6.

П-3. Новый Электрон

Компания Новый Электрон производит различные мелкие бытовые товары, содержащие электронику: игрушки, радио-часы, прочие товары, содержащие встроенные калькуляторы, часы, приемники и проч. Практически все комплектующие поставляются со стороны. Небольшое предприятие компании занимается только изготовлением различных пластиковых корпусов и деталей фирменного дизайна, а сборочные цеха осуществляют сборку и предпродажную подготовку товаров.

Так как комплектующие поставляются большей частью из Китая, а почти все оставшееся из Европы, то проблемы управления запасами встают перед компанией в полный рост.

Ввиду большой удаленности поставщиков комплектующие приходится заказывать довольно большими партиями, а время выполнения заказа иногда достигает 2 месяцев. Так как отдел снабжения и закупок нацелен главным образом на обеспечение низкой стоимости комплектующих, приходится иметь дело с массой различных и не всегда надежных поставщиков. Поэтому, кроме обычных проблем с поставками через границу, приходится учитывать возможность брака, пересортицы (поставки комплектующих другого типа), задержки заказа поставщиком и пр.

Например, для маленькой электронной платки CW022e стоимостью 2 долл., история поставок позволяет получить следующие данные. Время выполнения заказа - 5 недель, стандартное отклонение времени выполнения 3 дня. Количество брака в поставке - 5%. Около 40% брака - дефекты ручной пайки, этот дефект может быть исправлен в отделении по работе с браком сборочного цеха компании. Вероятность пересортицы - 6%.

Хотя потребности в детали на сборке определяются планом производства (25000 штук в месяц на предстоящий планируемый период), но существуют причины, по которым эти потребности испытывают случайные колебания - проблемы со сборкой другой продукции, колебания сбыта и т.п. Как показывает опыт, стандартное отклонение потребности в электронной плате CW022e составляет 1000 штук в неделю.

Кроме этого, следует учесть, что сборочный цех также имеет некоторый процент брака. Причем около 1% электронных плат, поступивших на сборку, оказываются из-за этого безнадежно испорченными.

Дополнительные издержки, не зависящие от размера заказа, составляют около 300 долл. в расчете на 1 заказ. Стандартная упаковка содержит 200 таких плат, заказать целое число упаковок - по разным причинам - в интересах заказчика. a.

В настоящий момент компания имеет на складе 34887 таких плат, и настало время, когда нужно сделать новый заказ. Определите стоимость денег для компании (издержки хранения в процентах). Считайте, что точка перезаказа определена менеджерами компании верно. Целевой уровень обслуживания - не ниже 99%. b.

Определите величину планируемого менеджером заказа и средний срок между получением заказов. c.

Каким образом можно подстраховаться от полного отсутствия ожидаемой поставки (пересортица)? d.

Найдите стоимость безопасного резерва, который нужно создать для страховки от неполучения нужного заказа. Какой минимальный размер штрафа для поставщика следовало бы предусмотреть в договоре на случай пересортицы?

Решение задачи.

Учитывая, что в задаче идет речь о случайном спросе, а в вопросе а упоминается точка перезаказа, следует сделать вывод, что в компании при управлении запасами используется модель фиксированного размера заказа. Если бы безопасный резерв планировался исходя из заданного риска дефицита, наша задача была бы более простой. Мы сначала построили бы таблицу Excel, позволяющую вычислить экономичный размер заказа EOQ и точку повторного заказа ROP, полагая что величина издержек хранения h нам известна. А затем сформулировали нелинейную задачу для надстройки Excel Поиск решения, для поиска нужного значения величины h при заданных условиях.

Так как в данном случае речь идет о сервисном уровне (или, иначе говоря, уровне обслуживания), то придется решать нелинейную задачу уже для поиска величины z - отклонения заказа от средней потребности или а - риска дефицита. Добавить к этой задаче еще и поиск величины h не удастся, так как решение нелинейных задач с несколькими (даже с двумя) переменными при таких уравнениях, которые используются в задаче, дело весьма не простое. Поэтому величину h придется подбирать вручную.

Чтобы понять, какие данные нам нужно знать для решения задачи, давайте взглянем на формулы, которые следует использовать при рассматриваемой модели управления запасами.

Во-первых, это формула для расчета экономичного размера заказа

Е02 — V2Ш/Я , где Н=И*С.

Во-вторых, формулы для количества не обслуженных клиентов:

E(Psl) = (1 - Psl )Q или E(z) = SL ( ,— exp( ) - za), где SL = s^lL , если срок

л2ж 2

выполнения заказа постоянный и 5^ — -у ^ Ь + ё я/ , если срок исполнения -

случайная величина со средним значением Ь, и стандартным отклонением Б/.

В-третьих, формула для расчета точки перезаказа - Я0Р — ёЬ + - * .

Запишем сначала наиболее очевидные данные. Стоимость одной платы в закупке С=2 долл. Стоимость оформления заказа Б=300 долл. Годовая потребность в таких платах на сборке Б=12*25000.

Величину Q - реальный размер заказа, мы определим после вычисления экономичного размера заказа EOQ. Значение планового уровня обслуживания Р/ нам дано в задаче - 99%. Так как время выполнения заказа Ь=5 недель оказывается непостоянным, следует записать в таблицу еще и стандартное отклонение для этой величины Б/=3 дня. Можно сразу определиться с основными единицами измерения времени в задаче, пусть это будут недели, и тогда лучше записать стандартное отклонение сразу в неделях: б/=3/7 недели. Кстати, как вы, видимо, заметили при чтении условия задачи, стандартное отклонение спроса б=1000, также дано в задаче в расчете на одну неделю работы. Средний недельный спрос на плату на сборке дан в расчете на месяц - 25000 штук, чтобы найти среднюю недельную потребность удобно годовую потребность Б поделить на число недель в году: ё=Б/52.

Значение точки перезаказа - 34887 штук.

Таким образом, мы вроде бы имеем все необходимое, чтобы решить задачу и найти неизвестную величину издержек хранения И. Осталось понять, что делать с заданными значениями вероятности брака и пересортицы.

С одной стороны, очевидно, что содержание брака в поставке есть некая случайная величина, которая может увеличить риск дефицита. Если вместо качественных изделий поступит некоторое количество бракованных, то на сборке деталей не хватит. Если же придет партия плат другого предназначения (пересортица), то окажется, что пропущена целая поставка, так как использовать эти платы будет невозможно. В общем, кажется, что эти вероятности (брака и пересортицы) нужно как-то использовать при расчете безопасного резерва. Вот только как? Каким образом их связать с вариациями спроса, которые мы учитываем в стандартной модели управления заказами?

Чтобы разобраться в этом вопросе, следует сначала понять, как можно защитить себя от дефицита комплектующих в каждом из этих случаев.

Для того, чтобы защититься от случайных всплесков спроса, мы создаем безопасный резерв, равный избытку спроса, который мы хотели бы удовлетворить. Более высокий спрос возникает с вероятностью, равной заданному риску дефицита. При этом мы понимает, что если дефицит все же возникнет, то он составит очень небольшую долю от общего количества плат, использованных на сборке. Таким образом, получается что, заказывая дополнительно некоторое, сравнительно со средней потребностью малое, количество плат мы практически полностью страхуемся от дефицита.

Совершенно другая ситуация с пересортицей комплектующих. Хотя вероятность ее не слишком велика - 6% - последствия значительно более тяжелые, чем в первом случае. Ведь мы получим не 94% (100% -6%) годных плат, а совсем ничего, ноль. И защититься от такого события, запасая те же 6% потребности за период между заказами, не получится, Единственное, что можно сделать для защиты от полной пропажи заказа, это держать на складе страховой неснижаемый запас в размере среднего заказа. В данном случае не важно, каково точное значение вероятности потери поставки - 20%, или 10%, или 32%, например, - запасать приходится полную поставку.

Разумеется, при низкой вероятности подобного события имеет смысл поискать другие возможности для ликвидации последствий потери поставки. Например, срочный заказ с доставкой авиатранспортом плюс небольшой резерв на время доставки. Или, при гибкой схеме производства, временное переключение на сборку других изделий в запас, с последующей сборкой удвоенного количества изделий, для которых не хватило комплектующих. И т. д. Но, так как из условия задачи никаких таких возможностей не следует, а вероятность пересортицы не так уж мала, используем вариант с дополнительным резервом.

Ситуация с браком в данном случае, напротив, значительно проще, чем с пересортицей. Предположим, что в каждой партии мы получаем 5% бракованных изделий. Чтобы застраховать себя от дефицита комплектующих в этом случае следует просто заказывать большее их количество. Если нужно 1000 плат, а вероятность брака 5%, нужно заказать 1000/95%=1053 платы. Как раз 1000 из них окажется годной.

А вот если бы мы имели какую-то информацию не только о среднем содержании брака, но и о вариациях доли брака в поставках, можно было бы включить эти данные в стандартную схему расчета страхового резерва через пересчет стандартного отклонения в потребности деталей на сборке.

Таким образом, защита от брака должна быть сделана на уровне коррекции общей потребности в таких платах на сборке. По условию, из 5% брака 40% можно отремонтировать, следовательно только 3% поступающих плат невозможно использовать. Кроме этого еще около 1% будет загублено на сборке. Итого, следует заказывать такое количество плат, чтобы 96% от них равнялось действительной потребности на сборке. Если годовая потребность D=300 тыс. штук, то скорректированная потребность с учетом брака D*=300000/96%.

В таблице (Рис. 216) показан пример организации данных в листе Excel для решения этой задачи. Основная часть таблицы в пояснениях, видимо, не нуждается. Отметим только некоторые моменты.

Значение 20% для издержек хранения указано наобум, только для того, чтобы не получалось ошибок при вычислении формул. A B C D E 1 D = 300 000 2 D* = =B1/(1-B1

B15) 4- EOQ = =(2*B2*B6/B3)A0.5 3 H = =B4*B5 Qreal =0КРУГЛ(Б2/200;0)*200 4 h = 20% 5 C = 2 TH = =E3/2*B3 6 S = 300 TS = =E8*B6 7 i = =B2/52 за нед T = =E5+E6 8 ^*н = =1000 за нед N = =B2/E3 9 Psl = 99% At дней =365/E8 10 L = 5 нед SL = =(B8*B8*B10+B7*B7*B11*B11)A0.5 11 Sl = =3/7 нед dL = =B7*B10 12 Esl = =(1-B9)*E3 13 P =

1 пересорт 6% E(Z)-Esi

=0 =E10*(1/K0PEHb(2*nH())*EXP(-

(E14A2)/2)-E14*E15)-E12 14 Рбрака 3% z = ? 15 Рсоб.брака 1% Oz =1 -НОРМСТРАСПШ14) 16 ROP = =E11+E14*E10 Рис. 216

Формула для Qreal составлена таким образом, чтобы автоматически округлять значение EOQ до ближайшего целого числа, кратного 200. Для этого значение EOQ сначала делится на 200, затем округляется до целого числа (0 знаков после запятой), а после этого снова умножается на 200.

В ячейке Е8 подсчитывается количество заказов в год, а в Е9 - число дней между заказами.

Для того, чтобы найти значения ъ и аъ, соответствующие заданному уровню обслуживания записаны формулы, необходимые для надстройки Поиск решения. В ячейке Е13 записана целевая функция - разность между количеством необслуженных клиентов, рассчитанным через уровень обслуживания и размер заказа с одной стороны и рассчитанным через стандартное отклонение спроса и величины ъ и аъ с другой. Эта разность должна равняться нулю при значениях ъ и аъ соответствующих заданному уровню обслуживания Р§1. Так как величины ъ и аъ связаны друг с другом через нормальное распределение, в качестве параметра для поиска решения оставлена величина ъ, а риск дефицита аъ находим по формуле =1-НОРМСТРАСП(Е14). Ячейка Е14 содержит единственную переменную задачи - ъ.

Так как величина ъ может принимать любые значения, от бесконечно больших отрицательных, до бесконечно больших положительных, никаких дополнительных ограничений в надстройке Поиск решения задавать не следует. И, конечно, не следует отмечать, что задача линейная, так как это не так.

Запуск Поиска решения на выполнение должен принести следующий результат, показанный на Рис. 217. Б = 300 000 Б* = 312 500 БОО = 21 651 Н = 0.4 Огеаі 21 600 И = 20% С = 2 ТН = 4 320 Б = 300 ТБ = 4 340 4 = 6010 за нед Т = 8 660 8н = 1000 за нед N = 14.5 Р8і = 99% Дїцней _ 25.2 ь = 5 нед Бь = 3 411 8/ = 0.43 нед ёЬ = 30 048 Б8і = 216.00 Р =

1 пересорт 6% Б(2)-Б8і =0 0.000000 Рбрака 3% ъ = 1.14 Р соб.брака 1% а2 = 12.7% ЯОР = 33 937 Рис. 217

Полученное для точки перезаказа значение 33937, значительно отличается от приведенного в задаче числа 34887. Значит, величину издержек хранения мы не угадали.

Попробуем взять большое значение для И, например 200%. Снова запускаем поиск решения на выполнение и получаем ЯОР= 35725. Теперь мы видим, что искомое значение издержек находится где-то между 20% и 200%.

Давайте для большей уверенности в ответе построим график зависимости значения ЯОР от И в этом интервале. Для этого рассчитаем все значения ЯОР для для И= 20%, 30%, 40% и т.д. 20% 30% 40% 50% 60% 70% 33 937 34 279 34 495 34 693 34 812 34 939 80% 90% 100% 120% 150% 200% 35 048 35 134 35 225 35 353 35 492 35 725 А затем по полученной таблице построим график (Рис. 218)

Рис. 218

Горизонтальной штриховой линией на графике показан заданный в задаче уровень ROP=34887. Видно, что решение в этой задаче может быть только одно, и оно близко к 65%. A B C D E 1 D = 300 000 2 D* = 312 500 EOQ= 12 010 3 H = 1.3 Qreal= 12 000 4 h = 65% 5 C = 2 TH= 7 800 6 S = 300 TS= 7 813 7 d„ = 6010 за нед T= 15 613 8 Sn = 1000 за нед N= 26.0 9 Psl= 99% ^дней 14.0 10 L= 5 нед Sx= 3 411 11 SL= 0.43 нед dL= 30 048 12 Esl= 120.00 13 P =

пересорт 6% E(Z)-Esl=0 0.000233 14 P=

1 брака 3% z= 1.42 15 P=

соб.брака 1% az= 7.8% 16 ROP = 34 887 17 18 SS= 4 839 12 000 1.5625 19 THss= 6 291 15 600 9 984 Рис. 219

Подставим его в нашу расчетную таблицу и пересчитаем значение ъ. Получаем искомый результат для Я0Р. Это значит, что менеджер действительно оценивает стоимость издержек хранения в компании в 65% в год (Рис. 219).

Ь. Для таких издержек хранения экономичный размер заказа Б00=12010. Поэтому, с учетом требования кратности заказа двумстам, для реального размера заказа получим 12 тыс. ровно. Последний наш расчет показывает также, что при этом будет сделано 26 заказов в год, а средний срок между заказами составит 14 дней. c.

Вопрос о защите от пересортицы мы уже обсуждали. И, так как размер резерва должен быть равен реальному заказу, планируем его в размере 12 тыс. штук. d.

Учитывая, что мы должны оценить свои потери от хранения резерва защиты от потери поставки, а вероятность пересортицы не слишком велика, будем считать, что резерв не расходуется никогда. В этом случае издержки хранения резерва составят THres=1.3*12000=15600 долл. в год. Однако поставщик должен платить только по факту пересортицы, поэтому нужно подсчитать размер штрафа в расчете на одну поставку. Для этого вычислим количество таких поставок с пересортицей за год. Это 6% от 26 поставок за год - 6%*26=1.56. Разделим средние годовые издержки хранения резерва на среднее количество ошибочных поставок за год. Получаем штраф за одну ошибочную поставку 15600/1.56=10000 долл.

На самом деле среднее число поставок в год не равно в точности 26, оно чуть больше. Поэтому при расчете прямо в таблице Excel размер штрафа получится чуть меньший - 9984 долл. (Рис. 219).

6.П-4. Свежая пресса

Андрей имеет небольшой бизнес - торговля газетами и журналами. Он снабжает свежей прессой несколько десятков лотков в трех-четырех районных городах. Так как свежая газета - товар скоропортящийся, ему все время приходится задумываться о том, сколько же экземпляров заказывать, чтобы увеличить количество клиентов и не слишком много терять на устаревших номерах.

Заказ «толстой» газеты «Наши заботы» - каждый раз вызывает у Андрея головную боль. Дело в том, что эта газета, выходящая 3 раза в неделю, в воскресном номере имеет приложение «Поможем себе сами», пользующееся большим спросом у покупателей. Если клиент покупает саму газету, то он обязательно берет и приложение. Но многие хотят приобрести только приложение. Когда Андрей, по совету киоскеров, разрешил продавать приложение отдельно от основной части газеты, число клиентов резко увеличилось.

К сожалению, издательство пока не готово изменить свою политику относительно распространения этого издания только вместе с приложением. Поэтому закупать приходится обе части вместе, а при разрешении раздельной продажи их на лотках, много экземпляров основной части воскресного номера газеты остается нераспроданной.

Основная часть закупается Андреем по цене 8 руб. за экз. и продается в розницу за 14 руб. Нераспроданные номера частью продаются по более низкой цене, а частью уничтожаются, так что в целом не проданный вовремя номер приносит 5 руб. убытка. Продажи воскресного номера газеты «Наши заботы» за последние 16 недель собраны в таблице. Продажи двух частей вместе, экз. 434 238 161 341 422 359 370 390 211 437 321 312 194 253 334 425 Продажи приложения отдельно, экз. 271 246 233 200 180 168 195 173 Приложение к газете закупается за 7 руб., но продается по 16 руб. В случае, если приложение не удается продать вовремя, его дешевая распродажа и утилизация приносят 4 руб. убытка. Андрей несколько недель закупал воскресный номер газеты большими партиями, чем раньше, для того, чтобы определить возможный спрос. При этом получились следующие результаты, так же приведенные в таблице. a.

Определите, сколько экземпляров газеты нужно было бы закупать, если продавать обе части только вместе? Считайте, что никто из клиентов, покупающих приложение отдельно не станет покупать газету, если ее продавать только комплектом. Какова будет в этом случае средняя прибыль? Насколько она изменится, если закупать просто среднее количество продаваемых экземпляров? Если закупать столько, чтобы избыток возникал только в 60% периодов? b.

Определите, сколько экземпляров приложения нужно было бы закупать, если бы обе части газеты можно было бы закупить по отдельности? c.

Сколько экземпляров газеты нужно покупать в сложившихся обстоятельствах (закупка обеих частей вместе, продажа отдельно), чтобы максимизировать прибыль? Какова величина этой прибыли для обеих частей?

ё. Какой вариант, из обсуждавшихся в вопросах а, Ь и с, выгоднее всего для Андрея?

е. Имеет ли смысл издательству менять свою политику, идя навстречу распространителям? Основывайте свой ответ на примере Андрея.

Решение задачи.

Проблема, поставленная в данной задаче, решается в рамках однопериодной модели заказа. Срок поставки мал и фиксирован, запасов товара не возникает ввиду малого срока жизни товара - а это характерно именно для однопериодной модели.

Для проведения расчетов в данной модели управления запасами необходимо знать выигрыш при продаже товара вовремя, потери в случае, если товар не удалось продать, а также характеристики распределения спроса на товар. Средний спрос и его стандартное отклонение можно оценить по приведенным историческим данным о спросе в предшествующие 16 недель (продажи двух частей вместе). Из текста задачи следует, что стоимость основной части и приложения составляет 15 руб. (7+8). Так как продаются обе части вместе за 30 руб., то выигрыш при продаже вовремя составляет 15 руб.

Когда, ввиду случайного высокого спроса, газеты не хватает, продавец на каждом запрошенном экземпляре теряет сумму выигрыша, как упущенную

выгоду. Поэтому занесем это число в таблицу (Рис. 220), как цену недостатка

Снед- A B С D 1 Продажа только вместе (а) 2 434 238 161 341 3 422 359 370 390 4 211 437 321 312 5 194 253 334 425 6 7 С= 15 Снед 15 8 Р= 30 Сизб 9 9 Р =

А уценки 6 а= =D8/(D8+D7) 10 di= =СРЗНАЧ( A2: D 5 ) z= =Н0РМСТОБР(1-09) 11 Sl= =СТАНДОТКЛОН(А2

:D5) Qopt- =B10+B11*D10 12 L(z,a)= =1/КОРЕНЬ(2*ПИ( ))*EXP(- (D 10A2/2))-D9*D 10 13 Средняя

прибыль= =(B8-B7)*B10-

B11*(D8*D10+(D8+D7)*D12) Рис. 220

Если какое-то количество экземпляров закупленного выпуска газеты не продается вовремя, номер продается с уценкой на 5 и 4 рубля для основной части и приложения, т.е. общая уценка при продаже вместе составит 9 рублей, а цена продажи 6 рублей. Занесем величину прямых потерь от уценки в таблицу, как цену избытка Сизб.

Таким образом, все необходимые для расчета данные у нас имеются. Формулы, по которым рассчитывается оптимальный размер заказа и средняя прибыль, показаны на Рис. 220. Странная на первый взгляд конструкция ПИ( ) (в английском варианте PI( )) - это просто псевдо-функция, выдающая число л=3.14159265... . Ее имеет смысл использовать, если нужно получить число л с точностью выше, чем два знака после запятой, которые помнят практически все. В таблице (Рис. 221) показаны численные результаты расчета. A B С D 1 Продажа только вместе (а) 7 С= 15 С =

^нед 15 8 Р= 30 Сизб 9 9 Р =

А уценки 6 а= 38% 10 di= 325.13 z= 0.319 11 si= 90.03 Qopt= 354 12 L(z,a)= 0.2597 13 Средняя

прибыль= 4 058 Рис. 221

Величина а в данном случае показывает вероятность того, что возникнет недостаток экземпляров. Так как а =38%, т.е. меньше половины, то выгодно заказывать больше среднего спроса, а именно 354 экземпляра газеты. Средняя прибыль при этом составит 4058 рублей. Здесь можно прикинуть, сколько теряет продавец за счет вариаций спроса.

В самом деле, если бы средний спрос 325 экземпляров был просто постоянным спросом, то продавец неизменно получал бы 15*325=4877 рублей от продажи воскресного номера. А так как при оптимальном заказе в условиях случайного спроса он может получить в среднем только 4058 руб., то потери составляют около 800 рублей. Немало!

Разумеется, эти потери сильно зависят от величины вариации спроса, т.е. в конечном итоге от величины стандартного отклонения спроса. Если вариация спроса будет меньше, средний доход станет ближе к доходу при постоянном спросе и наоборот.

В приведенных расчетах мы вычисляли среднюю прибыль для оптимального размера заказа. Для того, чтобы определить среднюю прибыль при произвольном размере заказа следует изменить схему расчета величины а. Для оптимального размера заказа она зависит от цены избытка и цены недостатка. При заданном произвольном размере заказа величина а определится по отклонению ъ размера заказа от среднего спроса. В таблице (Рис. 222) приведена новая схема расчета. Обратите внимание, что вместо 0опт теперь в таблице фигурирует величина 0реал. A B С D 1 Продажа только вместе (а) 2 434 238 161 341 3 422 359 370 390 4 211 437 321 312 5 194 253 334 425 6 7 С= 15 Снед 15 8 Р= 30 Сизб 9 9 Р =

А уценки 6 а= = 1-HOPMCTPACn(D 10) 10 di= =СРЗНАЧ( A2: D 5 ) z= =(D 11 -B10)/B 11 11 Si= =СТАНДОТКЛОН(А2

:D5) Ореал 300 12 L(z,a)= =1/КОРЕНЬ(2*ПИ( ))*EXP(- (D10A2/2))-D9*D 10 13 Средняя

прибыль= =(B8-B7)*B10-

B11*(D8*D10+(D8+D7)*D12) Рис. 222

По этой величине Ореал мы находим величину z - отклонение заказа от среднего спроса d; в штуках стандартных отклонений s;. Для такого отклонения вероятность возникновения дефицита а найдется через интеграл от нормального распределения =1-HOPMCTPACn(z).

В случае Ореал=325 (средний спрос) риск дефицита составит, естественно, 50%, а средний доход уменьшится до 4015 рублей.

Чтобы узнать, при каком размере заказа риск дефицита достигнет 60%, попробуем подобрать величину Ореал опытным путем. Так как высокая точность нас не интересует, это не составит труда, надо только попробовать 3-4 значения Ореал (Рис. 223). с= 15 с =

нед 15 с= 15 с =

нед 15 р= 30 Сизб 9 Р= 30 Сизб 9 Р

А уценки 6 а= 50% Р =

х уценки 6 а= 60% d7= 325.1 z= -0.00 di= 325.

1 z= -0.257 Sl= 90.0 Ореал 325 Si= 90.0 Ореал 302 L(z,a)= 0.3996 L(z,a)= 0.5405 Средняя прибыль= 4 015 Средняя прибыль= 3 917 Рис. 223

Подходящая величина - 302 экземпляра. Средняя прибыль при этом упадет до 3917 рублей.

Теперь разберем следующий по сложности случай - и закупка и продажа обеих частей по отдельности. Собственно говоря, усложнение здесь носит экстенсивный характер, так как вместо одного издания нужно сделать те же расчеты для двух изданий. Расчетные формулы остаются прежними. Нужно только подправить цены закупки, продажи и распродажи и потери избытка и недостатка. В следующей таблице (Рис. 224) приведены результаты расчета. Основная часть Приложение с= 8 снед 8 с= 7 снед 9 Р= 16 Сизб 5 Р= 16 Сизб 4 Р

1 уценки 3 а= 38% Р =

1 уценки 3 а= 31% di= 325.1 z= 0.293 di= 519.1 z= 0.502 Sl= 90.0 Qopt- 352 Sl= 97.47 Qopt= 568 L(z,a)= 0.2693 L(z,a)= 0.1971 Средняя прибыль= 2 154 Средняя прибыль= 4 227 Рис. 224

Для того, чтобы рассчитать средние продажи и стандартное отклонение продаж для приложения, следует учесть, что нужно изменить табличку статистических данных. Ведь приложение продавалось и в составе комплекта и отдельно. Поэтому статистическая таблица продаж приложения для последних 8 недель будет выглядеть так: 482, 683, 554, 512, 374, 421, 529, 598.

По этим данным и вычислены ё/ и Б/ для приложения.

Основной результат, который нас интересует - средняя прибыль для оптимального плана закупок. В данном случае она может составить 6380 руб. (2154+4227), что примерно в полтора раза больше, чем при продаже воскресного выпуска комплектом.

Вернемся к реальному положению дел - закупка газеты комплектом - и посмотрим, может ли улучшить ситуацию продажа двух частей газеты по отдельности. Так как все, кто купил основную часть, покупают и приложение, то мы должны разбить покупки на две части - тех, кто купит комплект, и тех, кто купит только вторую часть. Очевидно, что результат расчета для целого комплекта воскресного выпуска совпадет с полученным в части а (Рис. 221), так как условия покупки и продажи остаются прежними. А вот для приложения условия в части цены закупки и продажи придется изменить. Для того, чтобы продать один экземпляр приложения, мы должны купить целый комплект за 15 руб. После продажи второй части за 16 руб. у нас останется на руках основная часть, за которую мы сможем выручить только 3 руб. Итого от продажи приложения за нормальную цену и основной части по сниженной цене мы получим 19 руб. Если в избытке окажется целый комплект, то на дешевой распродаже получаем за него только 6 руб. Средний спрос и стандартное отклонение спроса вычислим по таблице статистики продаж приложения отдельно в последние 8 недель, которая приведена в условии задачи.

После подстановки всех данных получим следующий результат (Рис. 225) Комплект Приложение С= 15 С =

^нед 15 С= 15 С =

нед 4 Р= 30 Сизб 9 Р= 19 Сизб 9 Р

А уценки 6 а= 38% Р =

А уценки 6 а= 69% di= 325.1 z= 0.319 di= 208.2

5 z= -0.502 Sl= 90.0 Qopt- 354 si= 37.57 Qopt= 189 L(z,a)= 0.2597 L(z,a)= 0.6994 Средняя прибыль= 4 058 Средняя прибыль= 661 Рис. 225

Общая прибыль, которую можно получить при оптимальном размере заказа 543 комплекта (354+189), составит 4719 руб. Т.о. при такой политике продаж мы можем получить дополнительно 661 руб.

Разумеется, при таком расчете мы оставили в стороне вопрос эффективности вложений. Ясно, что прибыль на вложенный рубль при такой политике будет весьма невысока. Но при отсутствии реальных альтернатив для вложения денег и такой вариант увеличения объема продаж может быть приемлемым. Для более глубокого разбора ситуации в задаче не хватает данных об издержках, связанных с осуществлением торгового процесса, и данных о продаже других изданий.

При сравнении трех вариантов закупки и продажи газеты мы нашли, что для владельца бизнеса выгоднее всего иметь возможность закупать две части газеты отдельно. Давайте оценим, какой вариант выгоднее для издательства.

При закупке и продаже газеты комплектом Андрей купит 354 экз., так что издательство получит 5307 руб. (15*354). При закупке и продаже основной части и приложения отдельно Андрей купит 352 экз. основной части по 8 руб. и 568 экз. приложения по 7 руб. Итого издательство получит 6789 руб. И, наконец, при закупке газеты комплектом и продаже частей по отдельности Андрей купит 543 экз. комплектов по 15 руб., что принесет издательству 8148 руб.

Стоит ли удивляться тому, что издательство настаивает на сохранении status quo?

6.П-5. Банк «Белый Тигр»

Вице-президент отдела предоставления кредитов и ссуд филиала банка Белый Тигр в Гонконге, мистер Донг должен прогнозировать объем ежеквартального спроса на долгосрочные кредиты. Банк Белый Тигр (материнская компания) обеспечивает фонды для выдачи этих кредитов на основании прогноза Донга под льготный процент - 7% годовых для своего отделения в Гонконге. Мр. Донг отдает эти деньги клиентам в долгосрочную ссуду под 12% годовых.

Мр. Донг делает прогноз на основе исторических данных филиала с помощью изощренной модели, учитывающей годовые сезонные колебания с трендом. После обработки поквартальных данных за последние 7 лет, он получил следующую таблицу. 1114 1153 714 1197 999 635 1192 1030 899 1174 564 794 1054 833 1037 661 1055 755 963 713 584 843 748 627 832 734 600 926 В таблице представлены все требования на кредиты (в млн. йен) приведенные к первому кварталу будущего года. Из этих данных мр. Донг и получил средний спрос на кредиты и стандартное отклонение для этого спроса.

Если он переоценит спрос (т.е. не сможет отдать под долгосрочный кредит все деньги, полученные от материнской компании), он вынужден будет инвестировать остаток в краткосрочный депозит всего лишь под 3,5% годовых, и его босс Накамура-сан будет очень недоволен. Однако, если мр. Донг переоценит спрос на долгосрочные кредиты, его босс будет также очень раздражен. В этом случае, филиал банка должен будет занять деньги на американских денежных рынках, на которых текущий процент по займам для иностранных банков - 17% годовых.

Политика банка Белый Тигр запрещает отказывать в кредитах клиентам, удовлетворяющим требованиям надежности, сформулированным комиссией по кредитам, дабы не потерять доброе отношение клиентов. Ставка процента по кредитам также не подлежит изменению, после утверждения соответствующей комиссией.

Сколько фондов под долгосрочные кредиты должен заказывать мр. Донг, чтобы оптимизировать прибыль отделения? Не покажется ли эта политика подозрительной его боссу? Как он должен аргументировать ее экономическую целесообразность? Какую прибыль он ожидает получить при оптимальном выборе размера запрашиваемых фондов?

Какова была бы прибыль, если бы спрос всегда в точности соответствовал среднему?

После расчета оптимального размера заказа в однопериодной модели, мр. Донг решил построить диаграмму для спроса на кредиты. Он выбрал следующие интервалы: 1 инт. - спрос < 600 млн. , 2 инт. - спрос 601-700 млн., 3 инт. - 701800, 4 инт. - 801-900 млн., 5 инт. - 901-1000 млн., 6 инт. - 1001-1100 млн., 7 инт. - более 1.1 млрд. йен. (постройте и вы). При этом он обнаружил, что распределение спроса довольно значительно отличается от нормального. Может быть, и оценка оптимального размера заказа по однопериодной модели неверна? Проверьте это, определив размер фондов, имеющий максимальное значение ЕМУ. (Для этого вычислите сначала вероятности того, что величина спроса попадет в любой из выбранных интервалов).

Какую прибыль мр. Донг ожидает получить при выборе размера запрашиваемых фондов по максимуму ЕМУ?

Какую максимальную прибыль может принести данный бизнес филиала банка Белый Тигр, если мр. Донг всегда будет угадывать будущий спрос? Решение задачи.

На первый взгляд задача выглядит довольно забавно - в качестве хранимых запасов выступают сами деньги. Но, собственно, какая разница, замораживаем ли мы деньги на счету компании, или наличные деньги в большом чемодане, или деньги, уже потраченные на закупку товара? Результат ведь все равно один и тот же - неработающие деньги приносят убытки. Так что в данном случае мы имеем дело с той же однопериодной моделью управления запасами, только закупаем свободные денежные средства, которые можем продать с выгодой для себя, либо можем заморозить, и понести убытки.

Как и в любой проблеме, подразумевающей использование однопериодной модели управления запасами, основная задача заключается в правильном определении цены избытка и цены недостатка.

Если мы получаем деньги по цене 7%, а клиентов кредитуем из расчета 12% в год, то на недостатке средств сразу теряем 5% упущенной выгоды от каждой недостающей йены. Но это еще не все потери, так как банк может отказать клиенту в кредите только в случае его ненадежности. Если же клиент в состоянии представить необходимые гарантии, банк обязан дать кредит. При этом, если собственных средств не хватило, то приходится брать деньги у другого банка под 17% годовых. Так как клиент получает кредит по цене 12%, то на этой операции теряется 5% в качестве прямых убытков. Итого, каждая недозаказанная йена обходится банку в 10% в расчете на год. Это и есть цена недостатка.

Если выделенные деньги не удается инвестировать, то нашему банку приходится использовать их для краткосрочного кредитования под 3.5% годовых и, таким образом, нести прямые убытки в размере тех же 3.5% (7%-3.5%). Так как других потерь нет, кроме морального ущерба, который мы в рамках данной проблемы обсуждать не будем, эти 3.5% и составят цену избытка.

По этим двум числам можно сразу сделать вывод о том, что следует заказывать денег больше, чем в средний объем спроса на кредиты. Построим таблицу Excel и рассчитаем точный объем заказа на кредиты (Рис. 226 слева). В данном случае мы не показываем, какие формулы использовались, так как в этом плане задача ничем не отличается от предыдущей. Величину среднего спроса и стандартного отклонения рассчитываем по приведенной в условии задачи таблице спроса.

Как вы можете видеть, оптимальный объем зарезервированных денег составляет 1003 млн. йен. С учетом среднего спроса около 873 млн. йен в среднем каждый год должно оставаться 130 млн. йен неиспользованных денег. Понятно, что такая стратегия нуждается в объяснении.

В данном случае мр. Донг должен аргументировать свое решение тем, что на каждой недостающей йене филиал банка теряет примерно в три раза больше, чем на лишней. Уместно также представить расчет средней прибыли при заказе средств в размере, соответствующем среднему спросу. Такой расчет приведен на Рис. 226 справа. Напомним еще раз, что в данном случае мы задаем величину заказа 0реал сами, а величины ъ и а рассчитываем по отклонению заданного заказа от среднего спроса

О - ё,

реал ,

и а = 1-НОРМСТРАСПг) соответственно. При заданной нами величине заказа равной среднему спросу ъ=0 и а =50%, а средняя прибыль составит только 32.7 млн. йен, что на 2.1 млн. меньше, чем при резервировании 1003 млн. Надо полагать, что босс был бы удовлетворен таким объяснением.

Разумеется, потери в однопериодной модели управления запасами связаны с вариациями спроса. При малых вариациях доход будет близок к максимально возможному для существующего уровня среднего спроса. Этот максимальный доход равен, очевидно, 43.6 млн. йен (5%*872.55). Чем выше вариации спроса, т.е. чем больше стандартное отклонение, тем больше потери. В приведенной ситуации колебания спроса приводят к потерям прибыли в размере около 25%.

Следующая часть задачи обычно решается методами принятия решений в условиях неопределенности. Тем не менее принцип решения точно такой же, как в однопериодной модели. Вся разница заключается в том, что в однопериодной модели распределение спроса полагается соответствующим нормальному распределению, а при построении таблицы выигрышей и потерь этого не требуется. Распределение спроса может быть любым.

В реальной ситуации кажущееся отклонение распределения спроса от нормального может быть обусловлено недостаточной статистикой. В общем и целом желательно проверить соответствие распределения нормальному с помощью критерия х2, например. Для нашего случая гистограмма распределения для спроса выглядит следующим образом (Рис. 228).

Предположим, что мр. Донг прав и распределение действительно отличается от нормального. В этом случае мы получим следующую таблицу Спрос, млн. ? 550 650 750 850 950 1050 1150 Вероятнос

ть 7.1% 14.3% 21.4% 14.3% 10.7% 14.3% 17.9% Рис. 227

В качестве значений спроса выбраны середины интервалов.

Рис. 228

Мы полагаем, что спрос будет равен одной из 7 приведенных величин в интервале от 550 до 1150 млн. йен. Выбирать размер заказа на финансирование кредитов мы будем из этого же набора. Поэтому таблица выигрышей примет следующий вид (Рис. 229). A B C D E F G H I 1 С

'“'норм 5% C

'-'нед 10% Сизб 3.50% 2 3 550 650 750 850 950 1050 1150 Результат 4 550 =$A4*$B$1 =$A4*$B$ 1-(C$3-$A4)*$E$ 1 =СУММПРОИЗВ($

B$12:$H$12;B4:H4) 5 650 =$A5*$B$1 =СУММПРОИЗВ($ 6 750 =$A6*$B$1 =СУММПРОИЗВ($ 7 850 =$A7*$B$1 =СУММПРОИЗВ($ 8 950 =$A8*$B$1 =СУММПРОИЗВ($ 9 1050 =$A9*$B$1 =СУММПРОИЗВ($ 10 1150 =B$3*$B$1-($A10-B$3)*$H$1 =$A10* =СУММПРОИЗВ($ 11 мах =МАКС(В4:В10) =МАКС =МАКС =МАКС =МАКС =МАКС =МАКС =СУММПРОИЗВ($ 12 7.14% 14.29% 21.43% 14.29% 10.71% 14.29% 17.86% Рис. 229

Числа в столбце Л4:Л10 - это набор объемов финансирования, из которых мы выберем оптимальный. А строка В3:Н3 задает набор вероятных объемов спроса.

В таблице В4:Н10 нужно рассчитать, какова будет прибыль (или убыток), для каждой возможной пары заказ-реальный спрос. Всего может реализоваться 49 различных исходов - по 7 возможных объемов спроса на каждый из 7 объемов финансирования.

Эту таблицу можно заполнить и вручную, однако при таком размере удобнее составить формулы, которые можно было бы протягивать.

Самый простой вид имеет формула расчета прибыли для ячеек, расположенных на диагонали таблицы В4:Н10. В этих случаях количество заказанных денег совпадает со спросом по итогам периода, босс доволен работой вверенного ему подразделения и прибыль составляет плановые 5% на заказанную сумму. Для ячейки В4, например, формула выглядит следующим образом: =$Л4*$Б$1. Знаки $ добавлены так, чтобы ячейку можно было скопировать и вставить в остальные диагональные ячейки, не корректируя.

Если спрос превысил объем резервированных средств, то плановые 5% прибыли будут получены только с суммы, равной спросу. Остаток средств на счету банка при этом принесет убыток в размере 3.5%. Такая ситуация соответствует части таблицы Б4:Н10, расположенной ниже диагонали. В ячейке Б10 показана формула =Б$3*$Б$1-($Л10-Б$3)*$Н$1, подходящая для расчета прибыли в такой ситуации. Первое слагаемое - это прибыль 5% со средств, соответствующих спросу 550 млн. йен. Во втором слагаемом (точнее вычитаемом) сначала вычисляется размер избытка средств (в данном случае 1150550), а затем умножается на величину потерь при краткосрочном кредитовании 3.

5%. Эта формула, с учетом расставленных значков $, фиксирующих некоторые ячейки, строки или столбцы, может быть распространена на все ячейки таблицы прибылей, расположенные ниже диагонали.

В тех случаях, когда резервированных средств оказалось недостаточно, плановая прибыль 5% будет получена со всех имевшихся средств. Но каждая недостающая йена принесет убыток в размере 10%. Такая ситуация соответствует части таблицы выигрышей, расположенной выше диагонали. В ячейке С4 показана работающая в этой части таблицы формула =$Л4*$Б$1-(С$3-$Л4)*$Е$1. Ее так же можно распространить на оставшуюся незаполненной часть таблицы.

Таким образом, мы рассчитали прибыли для каждого из 49 возможных исходов работы. Результат показан в следующей таблице (Рис. 230). 550 650 750 850 950 1050 1150 550 27.5 17.5 7.5 -2.5 -12.5 -22.5 -32.5 650 24 32.5 22.5 12.5 2.5 -7.5 -17.5 750 20.5 29 37.5 27.5 17.5 7.5 -2.5 850 17 25.5 34 42.5 32.5 22.5 12.5 950 13.5 22 30.5 39 47.5 37.5 27.5 1050 10 18.5 27 35.5 44 52.5 42.5 1150 6.5 15 23.5 32 40.5 49 57.5 Рис. 230

Спрос оказывается равным 550 млн., 650 млн. и т.д. с вероятностями 7.14%, 14.29% и т.д. не зависимо от того, какой объем финансирования мы закажем. Поэтому, если мы решим заказать на предстоящий период 550 млн. йен, например, то с вероятностью 7.14% получим доход 27.5 млн. (спрос 550), с вероятностью 14.29% - 17.5 млн. (спрос 650), с вероятностью 21.43% - 7.5 млн. (спрос 750) и т.д.

Среднюю прибыль в этом случае можно рассчитать по стандартной

_ 7

формуле теории вероятности для расчета средних значений - = 1 x,p, , где X, -

i=1

величина прибыли, а p, - вероятность ее получения. В Excel такая формула будет выглядеть как =СУММПРОИЗВ($В$12:$Н$12;В4:Н4), что и записано в ячейке I4 для объема финансирования в 550 млн. йен. Если повторить такой расчет для шести оставшихся возможностей выбора, получим средний результат - прибыль или убыток - для любого из 7 возможных выборов объема финансирования (Рис. 231). 550 650 750 850 950 1050 1150 Результат 550 27.5 17.5 7.5 -2.5 -12.5 -22.5 -32.5 -4.64 650 24 32.5 22.5 12.5 2.5 -7.5 -17.5 9.04 750 20.5 29 37.5 27.5 17.5 7.5 -2.5 20.07 850 17 25.5 34 42.5 32.5 22.5 12.5 27.14 950 13.5 22 30.5 39 47.5 37.5 27.5 31.57 1050 10 18.5 27 35.5 44 52.5 42.5 34.02 1150 6.5 15 23.5 32 40.5 49 57.5 33.82 тах 27.5 32.5 37.5 42.5 47.5 52.5 57.5 43.57 7.14% 14.29% 21.43% 14.29% 10.71% 14.29% 17.9% Рис. 231

В строке тах показана ситуация, когда мы точно угадываем спрос. Если бы мр. Донг был на это способен, банк получал бы в среднем 43.6 млн. прибыли. Естественно, это полностью совпадает с результатом, полученным в однопериодной модели.

В реальной же ситуации, если у мр. Донга не никаких дополнительных источников информации о грядущем спросе и он может использовать только данные собственной статистики, наилучшим выбором окажется резервирование 1050 млн. йен. Такой выбор принесет в среднем 34.02 млн. йен прибыли.

Сравнивая полученный результат с рекомендациями и оценками прибыли в однопериодной модели, мы видим, что оба подхода дают близкие результаты. Во всяком случае, рекомендованные объемы резервирования денежных средств не противоречат друг другу.

Заметим еще, что более существенные отличия в оценках средней прибыли для различных объемов заказа, связаны с различными оценками вероятностей спроса в этих двух подходах. Если пользоваться нормальным распределением для вероятностей, то вместо использованной нами таблицы вероятностей (Рис. 227) получилось бы следующая таблица (Рис. 232) . Здесь для расчета вероятностей использованы полученные нами раньше оценки среднего спроса 872.6 и стандартного отклонения спроса - 202.2. Спрос, млн. ? 550 650 750 850 950 1050 1150 Вероятнос

ть 8.9% 10.8% 16.3% 19.4% 18.2% 13.4% 13.0% Рис. 232

Таким образом, заменяя реальное распределение для спроса нормальным, мы, возможно, недооцениваем вероятность высокого спроса на кредиты.