Приемы решения задач.

В соответствии с общим планом развития города на месте одного из ветхих зданий, построенных в 60-х годах, должен быть возведен многоэтажный гараж.

ники Оценка продолжительности, рабочих дней Opt Mod Pes A Установить заряды - 3 5 13 В Эвакуировать окружение - 2 4 12 С Подготовить колонну грузовиков - 2 3 4 D Взорвать здание A,B 1 1 7 E Разобрать развалины C,D 6 7 8 F Вырыть котлован E 10 12 32 G Подвести коммуникации E 2 15 16 H Залить бетон в фундамент F 4 10 16 I Возвести ж\б конструкции F,G 1 8 9 J Установить электропроводку I 3 15 21 K Установить пол и возвести стены I 18 20 34 L Установить лифты I 5 7 9 M Отделочные работы H,J,K,L 5 14 17 Какова вероятность окончания проекта «Снеси-Построй» не более чем за 68 рабочих дней? За 79 рабочих дней?

К какому сроку проект будет завершен с вероятностью 99%?

Решение задачи.

Этот проект уже рассматривался в теоретическом введении к разделу «Планирование и анализ проектов». Там мы, в частности, с помощью MS Project получили сетевую диаграмму проекта и нашли критический путь, используя в качестве длительностей стадий их наивероятнейшие значения (колонка Mod в данной задаче).

Как рассмотрено в теоретическом введении к настоящему разделу, для расчета вероятности выполнения проекта к заданному сроку, недостаточно знания только критического пути. Нужно найти все пути, близкие к критическому пути по длительности.

В принципе, для небольшого проекта, в котором общее число различных путей на сетевой диаграмме не превышает десятка, можно просто перечислить все возможные пути.

Для начала вычислим средние значения и стандартные отклонения для длительностей всех стадий (по формулам (5) и (6) теоретического введения), используя таблицу Excel. На следующем рисунке (Рис. 278) приведены полученные результаты. A B C D E F G 1 Оптимисти

ческая Наивероят

нейшая Пессимис

тическая Средняя

Ti Стандартное

отклонение

s s2 2 A 3 5 13 6.0 =(D2-B2)/6 =F2A2 3 В 2 4 12 =(B3+4*C3+D3)/6 2.78 4 С 2 3 4 3.0 0.33 0.11 5 D 1 1 7 2.0 1.00 1.00 6 E 6 7 8 7.0 0.33 0.11 7 F 10 12 32 15.0 3.67 13.44 8 G 2 15 16 13.0 2.33 5.44 9 H 4 10 16 10.0 2.00 4.00 10 I 1 8 9 7.0 1.33 1.78 11 J 3 15 21 14.0 3.00 9.00 12 K 18 20 34 22.0 2.67 7.11 13 L 5 7 9 7.0 0.67 0.44 14 M 5 14 17 13.0 2.00 4.00 Рис. 278

Прежде всего, заметим, что если в качестве информации о длительности этапов ввести MS Project вычисленные средние значения ti, то критическим станет путь ADEFIKM, и его длительность составит 72 дня (проверьте это).

Далее, попробуем найти пути на сетевой диаграмме проекта, близкие к новому критическому. Используем дополнительную возможность MS Project - выделение этапов, которые лежат на путях, отличающихся от критического на заданное число дней. Вызовите через меню Сервис/Параметры диалоговое окно параметров и щелкните по ярлыку вкладки Расчеты (Рис. 279). Параметры

Календарь Совместная работа

Вид Общие Правка

Сохранение Интерфейс Безопасность

Планирование Расчет] Правописание

Рассчитать

Параметры расчета для Microsoft Office Project Режим расчета: (* автоматический С ручной

Расчет: (• во всех открытых проектах С в активном проекте

Параметры расчета для 'Снеси-Построй1.трр'

1^ Обновлять состояние ресурса при обновлении состояния задачи Г” Переместить окончание завершенных частей назад на дату отчета о состоянии Г А также переместить начала оставшихся частей назад на дату отчета о состоянии Г” Переместить начало оставшихся частей вперед на дату отчета о состоянии I

А также переместить окончание завершенных частей вперед на дату отчета о состоянии Освоенный объем...

V Распределять изменения итогового % завершения для задач до даты отчета о состоянии W Рассчитывать вставленные проекты как суммарные задачи Фактические затраты всегда вычисляются Microsoft Office Project

Г Распределять изменения итоговых фактических затрат до даты отчета о состоянии Начисление фиксированных затрат по умолчанию: | Пропорциональное W Рассчитывать несколько критических путей

Считать критическими задачи, имеющие резерв не более [I ^ дней По умолчанию | Справка

Рис. 279

В этой вкладке следует отметить опцию «Рассчитывать несколько критических путей» и задать резерв, для начала, один день. После нажатия кнопки ОК исходная сетевая диаграмма изменится (Рис. 280).

Рис. 280

Как можно видеть, на ней появились два новых «критических» этапа - В и С . При увеличении резерва до двух, трех, четырех дней сетевая диаграмма не меняется, следовательно, близкими к критическому пути (ЛВБПКМ по средней оценке длительности) пути можно считать пути ВВБПКМ, ЛБЕС!КМ и ВББ01КМ.

В таблице на рисунке Рис. 281 показаны длительности всех путей проекта при оценке по средней длительности этапов. АВЕПКМ 72.0 АВЕПЬМ 57.0 БВЕПКМ 71.0 СЕСПМ 57.0 АВЕС1КМ 70.0 БВЕПЬМ 56.0 БВЕС1КМ 69.0 АВЕСИМ 55.0 СЕПКМ 67.0 БВЕС!ЪМ 54.0 СЕС1КМ 65.0 АВЕБИМ 53.0 АВЕПШ 64.0 БВЕБИМ 52.0 БВЕПШ 63.0 СЕПЬМ 52.0 АВЕСПМ 62.0 СЕС!ЪМ 50.0 БВЕСПМ 61.0 СЕБИМ 48.0 СЕПШ 59.0 Рис. 281

Видно, что действительно, на срок не более 4 дней от критического пути отличаются именно эти пути. Используем их для дальнейших расчетов и рассчитаем среднюю продолжительность и стандартное отклонение длительности для каждого из отобранных путей. Для вычисления средней длительности пути достаточно сложить средние длительности этапов, из которых он состоит. Для вычисления стандартных отклонений отобранных путей, сложим квадраты стандартных отклонений длительностей лежащих на них стадий (колонка О). Стандартное отклонение длительности пути равно корню квадратному из суммы квадратов стандартных отклонений длительности этапов, из которых он состоит.

Добавим под построенной таблицей еще одну (Рис.

Т; Стандартное

отклонение

Б Б2 17 ADEFIKM -НОРМСТРАСП(Э17) -Е2+Е5+Е6+Е7+Е10+Е12+Е14 18 BDEFIKM 29.26% -($В$16-Е18)/Р18 -С18Л0.5 -03+05+06+07+0

10+012+014 19 ADEGIKM 33.57% -0.42 70.0 4.7 22.2 20 BDEGIKM 41.60% -0.21 69.0 4.7 22.2 2 1 22 Пессимистическая оценка вероятности =С18*С17*С19*С20 Оптимистическая оценка вероятности =МИН(С17:С20) Рис. 282

Для пути АВЕБГКМ вероятность завершения к 68-му дню примерно равна 23% (Рис. 283). Вероятность завершения получилась меньше 50% потому, что и сам срок в 68 дней меньше средней суммарной продолжительности выполнения всех этапов на критическом пути (72 дня). Для четвертого пути ББЕОГКМ вероятность завершения к 68-му дню существенно больше (~ 41.6%). Это связано с тем, что его средняя длительность всего 69 дней. A B C D E F G 16 Тпроекта= 68 P z Средняя

Т; Стандартное

отклонение

s s2 17 ADEFIKM 23.34% -0.73 72.0 5.5 30.2 18 BDEFIKM 29.26% -0.55 71.0 5.5 30.2 19 ADEGIKM 33.57% -0.42 70.0 4.7 22.2 20 BDEGIKM 41.60% -0.21 69.0 4.7 22.2 2 1 22 Пессимистическая оценка вероятности 0.95% Оптимистическая оценка вероятности 23.34% Рис. 283

Так как критическим является путь А0ЕЕ1КМ, то он и определяет среднюю длительность проекта. Оценку вероятности выполнения проекта к заданному сроку, сделанную по длительности критического пути, в теоретическом введении к разделу мы назвали «оптимистической» оценкой. Из вычисленных вероятностей завершения путей (С17:С20), вероятность завершения критического пути к любому заданному сроку наименьшая. Это обстоятельство использовано для расчета «оптимистической» оценки вероятности завершения проекта в заданный срок в ячейке 022.

Вычисление произведения вероятностей того, что каждый из отобранных проектов закончится к заданному сроку Тпроекта дает заниженную, «пессимистическую» оценку окончания проекта ко времени Тпроекта., поскольку, как отмечалось в теоретическом введении к разделу, длительности путей близких критическому не являются независимыми случайными величинами.

Как вы можете убедиться, перемножив вероятности, пессимистическая оценка для вероятности выполнения проекта к сроку 68 дней не превышает 1%. Следовательно, точная оценка вероятности выполнения проекта лежит где-то между 1% и 23%.

6 на 72 (Рис. 284).

Нетрудно найти аналогичные вероятности для срока 72 дня. Для этого

заменим значение плановой длительности проекта в ячейке B A B C D E F G 16 Тпроекта= 72 P z Средняя

Ti Стандартное

отклонение

s 2

s 17 ADEFIKM 50.00% 0.00 72.0 5.5 30.2 18 BDEFIKM 57.22% 0.18 71.0 5.5 30.2 19 ADEGIKM 66.43% 0.42 70.0 4.7 22.2 20 BDEGIKM 73.77% 0.64 69.0 4.7 22.2 2 1 22 Пессимистическая оценка вероятности 14.02% Оптимистическая оценка вероятности 50.00% Рис. 284

Несмотря на то, что заданный срок на два дня больше продолжительности проекта по наивероятнейшему пути, вероятность выполнения проекта в срок значительно меньше 50%. Даже оптимистическая оценка вероятности в точности равна 50%. Это показывает, важность расчетов по методу PERT для правильной оценки вероятности выполнения любого проекта к заданному сроку.

Если задавать сроки выполнения, для которых оптимистическая оценка вероятности выполнения проекта порядка 90% и выше, пессимистическая оценка приближается к оптимистической. Посмотрите, например, на результаты расчета для плановой продолжительности проекта 79 дней (Рис. 285). A B C D E F G 16 Тпроекта- 79 P z Средняя

Ті Стандартное

отклонение

s 2

s 17 ADEFIKM 89.85% 1.27 72.0 5.5 30.2 18 BDEFIKM 92.72% 1.46 71.0 5.5 30.2 19 ADEGIKM 97.19% 1.91 70.0 4.7 22.2 20 BDEGIKM 98.31% 2.12 69.0 4.7 22.2 2 1 22 Пессимистическая оценка вероятности 79.60% Оптимистическая оценка вероятности 89.85% Рис.

Точная оценка вероятности выполнения проекта к этому сроку заключена в пределах от 79% до 90%, что уже явно достаточно для любых практических целей.

На последний вопрос задачи о сроке, которому проект будет выполнен с вероятностью 99%, можно отвечать двумя способами. Очевидный способ - просто перебрать несколько значений длительности проекта и посмотреть на результат. При этом вам понадобится не более 3-4 попыток. A B C D E F G 16 Тпроекта- 85 P z Средняя

Ті Стандартное

отклонение

s s2 17 ADEFIKM 99.10% 2.36 72.0 5.5 30.2 18 BDEFIKM 99.46% 2.55 71.0 5.5 30.2 19 ADEGIKM 99.93% 3.18 70.0 4.7 22.2 20 BDEGIKM 99.97% 3.39 69.0 4.7 22.2 2 1 22 Пессимистическая оценка вероятности 98.45% Оптимистическая оценка вероятности 99.10% Рис. 286

Результат подбора приведен 12 способ удобен тем, что можно подбирать значение вероятности с учетом обеих оценок сразу - и оптимистической, и пессимистической.

Другой способ состоит в обратном расчете величины z и, затем, Тпроекта по заданной вероятности P. Подобный же расчет мы делали при расчете безопасного резерва для заданной вероятности риска дефицита в теме «Оптимальное управление запасами с учетом случайных вариаций спроса». В этом случае величина z определится по обратной функции нормального распределения z=НОРМСТОБР( P ). Тогда Тпроекта= TADEFIKM + Z*SADEFIKM. Это, разумеется, только оптимистическая оценка вероятности. Пессимистическая оценка при этом окажется чуть ниже 99% (см. Рис. 287). A B C D E F G 24 Тпроекта- 84.79 P z Средняя

Ті Стандартное

отклонение

s s2 25 99.00% 2.326 72.0 5.5 30.2 Рис. 287

Заметим, в заключение, что в MS Project есть инструментальная панель «Анализ по методу PERT». Для ее вызова щелкните правой кнопкой мыши на зоне инструментальных панелей и в контекстном меню выберите соответствующий пункт. Появится новая панель(Рис. 288).

Рис. 288

Щелчок по правому значку этой панели (Лист ввода PERT) вызовет к жизни таблицу, изображенную на рисунке (Рис. 289). Данные о различных оценках длительности этапов можно ввести в нее простой вставкой из буфера обмена. Ид. Название задачи Длительность Оптимистическая

длительность Ожидаемая

длительность Пессимистическая

длительность 1 A 6 дней 3 дней 5 дней 13 дней 2 В 5 дней 2 дней 4 дней 12 дней 3 С 3 дней 2 дней 3 дней 4 дней 4 D 2 дней 1 день 1 день 7 дней 5 E 7 дней 6 дней 7 дней 8 дней 6 F 15 дней 10 дней 12 дней 32 дней 7 G 13 дней 2 дней 15 дней 16 дней 8 H 10 дней 4 дней 10 дней 16 дней 9 I 7 дней 1 день 8 дней 9 дней 10 J 14 дней 3 дней 15 дней 21 дней 11 K 22 дней 18 дней 20 дней 34 дней 12 L 7 дней 5 дней 7 дней 9 дней 13 M 13 дней 5 дней 14 дней 17 дней Рис. 289

Если после этого щелкнуть средний значок (калькулятор - Вычисления по методу PERT), столбец Длительность будет заполнен новыми значениями - средними оценками длительностей отдельных стадий, рассчитанных по формуле (5) теоретического введения к разделу. Щелчки левой кнопкой мыши по трем значкам с левой стороны панели покажут календарные графики выполнения проекта для оптимистической, наивероятнейшей и пессимистической оценок длительности этапов.

После ввода этих данных можно посмотреть диаграммы Ганта, отвечающие оптимистическим, наивероятнейшим и пессимистическим оценкам и длительности проекта в этих случаях.

Существует также возможность изменить веса в формуле (5) для среднего значения длительности стадий (чего мы делать не рекомендуем).

К сожалению, ничего больше эта панель не предлагает. Таким образом, провести PERT-анализ до конца в MS Project не удается.