Приемы решения задач

7.П-1. Производитель снегоходов

Производитель снегоходов должен сделать заказ на двигатели на 1 месяц работы у внешнего поставщика. Время выполнения этого заказа поставщиком - 2 месяца.

Постройте таблицу выигрышей и потерь. Используя принцип максимума ожидаемой монетарной ценности определите: каков оптимальный размер заказа? какова цена совершенной информации?

Как изменится оптимальное решение, если потери от неиспользованного вовремя, двигателя составляют $300? Как при этом изменится стоимость совершенной информации?

Проанализируйте, насколько существенно изменится решение, если вероятности известны с точностью не лучше 5 процентных пунктов.

Сравните выводы, к которым приводят критерии максимина и минимаксных сожалений, с решением на основе максимума ожидаемой монетарной ценности альтернативы.

Решение задачи.

Для того чтобы построить таблицу выигрышей и потерь необходимо определиться, какие значения спроса (сценарии будущего) мы будем считать возможными и из каких предполагаемых размеров заказа мы будем выбирать оптимальный (альтернативы).

Данная в условиях задачи таблица распределения вероятностей различных значений спроса подталкивает к тому, чтобы в качестве возможных значений спроса выбрать 6 чисел, отраженных в ней.

Отвлекаясь от конкретной формулировки условия задачи, обсудим происхождение представленной в условии таблицы распределения вероятностей различных значений спроса? Как подробно обсуждалось в теоретическом введении к настоящей главе, существуют два источника для подобного рода информации: реальная выборка значений спроса, основанная на исторических данных, или экспертные оценки. Очевидно, что в реальной выборке различные «некруглые» значения спроса (например, 222, 390, 715 и т.п.) были сгруппированы в 6 диапазонов около представленных в таблице «круглых» значений от 200 до 700. Результаты построенной на исторических данных статистической выборки могут непосредственно использоваться для прогноза спроса на интересующий нас период времени в будущем (в этом случае говорят, что используется «наивный прогноз: завтра будет так же, как сегодня»). Разумеется, эти результаты можно скорректировать, используя экспертные оценки. Например, пусть из тех же исторических данных следует, что спрос на тот или иной продукт имеет сильную сезонную компоненту (что весьма реалистично для продажи снегоходов), или наш отдел маркетинга в настоящее время проводит мероприятия по интенсивному продвижению продукта так, что в следующем месяце ожидается существенное увеличение спроса, по сравнению с предыдущими месяцами, на основании которых и было получено распределение вероятностей, представленное в условии задачи. В этом случае, менеджеры отдела маркетинга могут предположить (на основании своего опыта), что представленные в таблице уровни спроса следует увеличить (например, на 30%), сохранив прежние оценки вероятностей этих уровней, или наоборот, сохранив возможные уровни продаж, сдвинуть максимум распределения вероятностей в сторону более высоких значений.

Поскольку вся эта «внутренняя кухня компании» осталась за рамками рассматриваемой задачи, примем, что данное в условии распределение вероятностей спроса следует непосредственно применить к интересующему нас месяцу.

Тогда таблицей выигрышей и потерь будет иметь 6x6=36 клеток, в каждой из которых необходимо подсчитать финансовый выигрыш или потерю. Если организовать таблицу так, как показано на рисунке (Рис. 260), то эти финансовые результаты должны содержаться в ячейках C4:H9. Их можно подсчитать для каждого из 36 вариантов развития событий отдельно, но это утомительно и, главное, совсем не в духе идеологии MS-Excel. Лучше составим формулу. A B C D E F G H 1 Прибыль= 0.3 тыс. Потери= -0.1 тыс. 2 Возможный спрос (состояние окружения) 3 200 300 400 500 600 700 4 200 5 300 6 Варианты заказа 400 7 (альтернативы) 500 8 600 9 700 10 11 Вероятность спроса 0.15 0.25 0.25 0.2 0.1 0.05 Рис. 260

При различных вариантах заказа и спроса может возникнуть две принципиально разных ситуации.

Первая ситуация. Спрос превысил сделанный заказ или в точности соответствовал ему. В этом случае мы продадим все, что у нас запасено на данный месяц и не больше этого. В таблице С4:Н9 этой ситуации отвечают ячейки, расположенные выше диагонали, идущей от ячейки С4 к ячейке Н9 (либо расположенные на самой диагонали). Чтобы подсчитать прибыль в этих случаях достаточно, очевидно, умножить размер заказа на прибыль от продажи одной единицы. В виде формулы для протягивания для ячейки С4 это запишется так: =$В4*$С$1. Здесь ссылка на величину прибыли от использования одного двигателя в течение месяца со дня покупки фиксирована полностью и при протягивании не изменяется, а ссылка на размер заказа фиксирована только по столбцу. Это сделано для того, чтобы при протягивании формулы вправо ссылаться на одну и ту же величину заказа, а при протягивании вниз переходить к следующему размеру заказа, который меняется по строкам.

Вторая ситуация. Спрос оказался ниже размера заказа.

=ЕСЛИ($В4<=С$3;$В4*$С$1;С$3*$С$1+($В4-С$3)*$Б$1),

т.е. если заказ меньше спроса или равен ему, используем формулу =$В4*$С$1, а если нет - формулу = С$3*$С$1+($В4-С$3)*$Б$1.

Распространив эту формулу на всю таблицу, получим следующий A B C D E F G H 1 Прибыль= 0.3 тыс. Потери= -0.1 тыс. 2 Возможный спрос (состояние окружения) 3 200 300 400 500 600 700 4 200 60 60 60 60 60 60 5 300 50 90 90 90 90 90 6 Варианты заказа 400 40 80 120 120 120 120 7 (альтернативы) 500 30 70 110 150 150 150 8 600 20 60 100 140 180 180 9 700 10 50 90 130 170 210 10 11 Вероятность спроса 0.15 0.25 0.25 0.2 0.1 0.05 Рис. 261

Из этой таблицы следует, что если мы закажем, например, 600 двигателей, то с вероятностью 0,15 получим $20 тыс. С вероятностью 0,25 получим $60 тыс., с такой же вероятностью 0,25 - $100 тыс., с вероятностью 0,2 - $140 тыс., с вероятностью 0,1 мы точно попадем в спрос и получим $180 тыс. и, наконец, с вероятностью 0.05 спрос превысит наш заказ и мы получим те же $180 тыс., что и при спросе 600 двигателей.

Используя эти данные можно оценить средний взвешенный финансовый результат ЕМУ для каждой альтернативы (значения размера заказа). Рассчитаем величину ЕМУ для каждой альтернативы, используя функцию =СУММПРОИЗВ(..).

Величина ЕМУ (Рис. 262) с ростом заказа меняется немонотонно: сначала растет от 60 тыс. до 102 тыс., а затем уменьшается до 90 тыс. Максимальная величина средней прибыли - 102 тыс. - соответствует заказу 500 двигателей. A B C D E F G H I 1 Прибыль= 0.3 тыс. Потери= -0.1 тыс. 2 Возможный спрос (состояние окружения) 3 200 300 400 500 600 700 EMV 4 200 60 60 60 60 60 60 60 5 300 50 90 90 90 90 90 84 6 Варианты заказа 400 40 80 120 120 120 120 98 7 (альтернативы) 500 30 70 110 150 150 150 102 8 600 20 60 100 140 180 180 98 9 700 10 50 90 130 170 210 90 10 11 Вероятность спроса 0.15 0.25 0.25 0.2 0.1 0.05 Рис. 262

Как показано в теоретическом введении, дополнительная информация способна увеличить нашу ожидаемую прибыль и уменьшить риск потерь. Вычислим стоимость совершенной информации. Для этого сначала, в строке С10:Н10 определим максимальные выигрыши при каждом сценарии будущего, используя функцию =МАКС(..).

Для ячейки С10 формула будет выглядеть следующим образом: =МАКС(С4:С9). При протягивании формулы вправо до ячейки Н10, мы увидим, что каждый раз из столбца прибылей выбирается значение ячейки, расположенной на диагонали таблицы.

Так как вероятности каждого уровня спроса остаются прежними, мы можем подсчитать ожидаемую монетарную ценность в гипотетическом случае владения совершенной информацией (т.е. если каждый месяц некий ангел- хранитель будет подсказывать нам точное значение спроса). Для этого просто A B C D E F G H I 1 Прибыль= 0.3 тыс. Потери= -0.1 тыс. 2 Возможный спрос (состояние окружения) 3 200 300 400 500 600 700 EMV 4 200 60 60 60 60 60 60 60 5 300 50 90 90 90 90 90 84 6 Варианты заказа 400 40 80 120 120 120 120 98 7 (альтернативы) 500 30 70 110 150 150 150 102 8 600 20 60 100 140 180 180 98 9 700 10 50 90 130 170 210 90 10 Угадали спрос 60 90 120 150 180 210 120 11 Вероятность спроса 0.15 0.25 0.25 0.2 0.1 0.05 12 EMVPI= 120 EVPI= 18 Рис.

Оказывается, уникальный источник совершенной информации, каждый месяц сообщающий нам точные значения будущего спроса, увеличивает нашу ожидаемую прибыль всего на 18% (получим 102 тыс. вместо 120 тыс.). Эта величина и есть стоимость совершенной информацией ЕУРІ, т.е. верхняя граница цены, которую мы готовы платить за информацию при выборе из рассматриваемых альтернатив при данных сценариях будущего.

Как уже неоднократно подчеркивалось, совершенную информацию (особенно о спросе) получить невозможно. Несовершенная информация (основанная на экспертных оценках) всегда носит вероятностный характер и действует на статистическое распределение вероятностей, изменяя его в ту или другую сторону. Например, если наши эксперты из отдела маркетинга говорят, что спрос в следующем месяце будет выше обычного, это, очевидно, означает, что вероятности высокого спроса должны увеличиться, а вероятности низкого спроса, напротив, уменьшиться. В нашей таблице вероятность того, что спрос не превысит 400 двигателей, равна 0,65 (0,15+0,25+0,25), а вероятность того, что спрос будет 500 двигателей и выше - 0,35. Т.е. вероятность низкого спроса почти вдвое выше вероятности высокого. Предположим, что информация экспертов выравнивает эти вероятности. Тогда распределение вероятностей можно записать, вычитая из первых трех вероятностей по 0.05, и добавляя столько же к последним трем вероятностям (см. таблицу Рис. 264). Оценка распределения вероятностей при учете информации Спрос 200 300 400 500 600 700 Вероятности при повышенном спросе 0.1 0.2 0.2 0.25 0.15 0.1 Вероятности при пониженном спросе 0.2 0.3 0.3 0.15 0.05 0 Рис. 264

В свою очередь, если спрос в следующем месяце ожидается ниже, чем в текущем, мы можем оценить изменение распределения вероятностей, уменьшив вероятности высокого спроса и увеличив, соответственно, вероятности низкого (см. таблицу на рис. 206 ). Для сравнения на рисунке (Рис. 265) все три распределения показаны в виде графиков.

Жирной непрерывной линией показано первоначальное распределение.

Для вновь полученных распределений вероятностей спроса нужно повторить расчеты максимального значения EMV. Скопируем построенную раньше таблицу на два новых листа Excel (через команду Переместить\Скопировать...). Заменим в этих листах вероятности на новые и получим следующий результат (Рис. 266). A B C D E F G H I 1 Прибыль= 0.3 тыс. Потери= -0.1 тыс. 2 Возможный спрос (состояние окружения ) 3 200 300 400 500 600 700 EMV 4 200 60 60 60 60 60 60 60 5 300 50 90 90 90 90 90 82 6 Варианты заказа 400 40 80 120 120 120 120 92 7 (альтернативы) 500 30 70 110 150 150 150 90 8 600 20 60 100 140 180 180 82 9 700 10 50 90 130 170 210 72 10 Угадали спрос 60 90 120 150 180 210 107 11 Вероятность спроса 0.2 0.3 0.3 0.15 0.05 0 Рис. 266 Расчет EMV альтернатив для пониженного спроса

A B C D E F G H I 1 Прибыль= 0.3 тыс. Потери= -0.1 тыс. 2 Возможный спрос (состояние окружения) 3 200 300 400 500 600 700 EMV 4 200 60 60 60 60 60 60 60 5 300 50 90 90 90 90 90 86 6 Варианты заказа 400 40 80 120 120 120 120 104 7 (альтернативы) 500 30 70 110 150 150 150 114 8 600 20 60 100 140 180 180 114 9 700 10 50 90 130 170 210 108 10 Угадали спрос 60 90 120 150 180 210 134 11 Вероятность спроса 0.1 0.2 0.2 0.25 0.15 0.1 Рис. 267 Расчет EMV альтернатив для повышенного спроса

Как мы можем видеть, при повышенном спросе (Рис. 267) максимальное значение EMV (114 тыс.) соответствует выбору либо 500, либо 600 двигателей. При пониженном спросе (Рис. 266) максимальное значение EMV (92 тыс.) соответствует выбору 400 двигателей. Однако результат заказа 500 двигателей всего на 2 тыс. хуже.

Это означает, что если мы будем все время заказывать 500 двигателей и не станем реагировать на сигналы о возможном повышенном или пониженном спросе, то фактически ничего не потеряем. Выбор 500 двигателей оптимален и остается таковым даже при значительных вариациях вероятностей сценариев будущего, отражающих возможные вариации спроса. Это небольшое исследование является ответом и на вопрос о том, изменяется ли оптимальное решение, если учесть, что все вероятности известны нам с точностью не лучше 5 процентных пунктов. Мы взяли два крайних случая того, как может выглядеть истинное распределение вероятностей спроса и, выбранное первоначально решение -заказать 500 двигателей, практически не изменилось.

Наряду с распределением вероятностей спроса большое влияние на выработку решения имеет относительная величина возможных потерь. Мы говорим относительная, так как значение имеет соотношение величин прибыли от использования двигателя в конечном изделии и потери от его хранения в течение лишнего месяца. В первоначальной постановке задачи ожидаемые потери в три раза меньше, чем прибыль. Из-за этого оптимальный размер заказа получается выше, чем среднее значение ежемесячного спроса. Мы, кстати, до сих пор не подсчитывали, каков именно этот средний спрос. Давайте сделаем это сейчас.

Расчет среднего спроса делается точно так же, как и ожидаемой монетарной ценности, только теперь значения спроса мы умножаем на соответствующие вероятности. Добавим в какую-нибудь ячейку формулу =СУММПРОИЗВ($С$11:$Н$11;С3:Н3).

Результат вычисления оказывается равным 400 двигателей.

Таким образом, мы получили оптимальный размер заказа в 500 двигателей при среднем спросе 400 двигателей. Это, как мы уже отметили, связано с тем, что прибыль от своевременного использования двигателя выше, чем потери от его хранение в течение лишнего месяца.

В задаче спрашивается, как изменится решение, если потери достигают 300 единиц. При этом размер прибыли в расчете на один двигатель равен потерям. Если вспомнить идеологию однопериодной модели заказа, связь которой с данной задачей очевидна, то можно предположить, что в этих условиях выгоднее всего окажется заказ, равный среднему. Проверим это, изменив в исходной таблице (Рис. 263) величину потерь на -0,3 тысячи (Рис. 268). A B C D E F G H I 1 Прибыль= 0.3 тыс. Потери= -0.3 тыс. 2 Возможный спрос (состояние окружения) 3 200 300 400 500 600 700 EMV 4 200 60 60 60 60 60 60 60 5 300 30 90 90 90 90 90 81 6 Варианты заказа 400 0 60 120 120 120 120 87 7 (альтернативы) 500 -30 30 90 150 150 150 78 8 600 -60 0 60 120 180 180 57 9 700 -90 -30 30 90 150 210 30 10 Угадали спрос 60 90 120 150 180 210 120 11 Вероятность спроса 0.15 0.25 0.25 0.2 0.1 0.05 400 12 EMVPI= 120 EVPI= 33 Рис. 268

Как мы видим, оптимальный заказ, соответствующий максимальному значению БМУ=87 тыс., действительно равен 400 двигателям. Построенная таблица содержит и другую интересную, с точки зрения формирования заказа, информацию. Например, из того, что ЕМУ300=81 тыс., а ЕМУ500=78 тыс., можно сделать вывод, что ошибка в величине заказа в меньшую сторону обойдется дешевле, чем в сторону завышения.

В целом же условия бизнеса ухудшились. Возможные потери, в случае если мы завысили оценку спроса, увеличились. Поэтому ожидаемая прибыль при оптимальном размере заказа и стала меньше.

Здесь же отметим и возросшую цену совершенной информации (ЕУР1=33 тыс.). Это соответствует общему принципу, который понятен и интуитивно: чем выше риск и вероятные потери, тем дороже информация.

Проверьте, что стоимость совершенной информации обращается в ноль, если возможные потери статут равны нулю. И снова все понятно: если информация не приносит дополнительных денег она ничего не стоит!

Последний вопрос задачи фактически тоже связан с точность имеющейся у нас статистической информации. Допустим, что статистики по снегоходам у нас нет. Приведенные значения вероятностей мы взяли из данных о спросе на какой- либо близкий товар, из экспертных оценок, но совершенно не уверены, что они справедливы в нашем случае. Попробуем, в этой ситуации, привлечь оценки по критериям максимина и минимаксных сожалений.

Оценка по критерию максимина очень проста и не требует каких-либо изменений в проделанных уже расчетах. Вернемся к первоначальной таблице (Рис. 269). Согласно критерию максимина, для каждой альтернативы нужно выбрать тот сценарий будущего, при котором наш выигрыш минимален (это критерий пессимиста - с нами случится самое худшее, какую бы альтернативу мы ни выбрали), а затем выбрать ту альтернативу, где это «самое худшее» лучше всех остальных. В данной задаче, независимо от выбранной альтернативы, самое худшее - это наименьший спрос- 200 двигателей. Посмотрим по таблице, при каком заказе прибыль для спроса 200 двигателей максимальна. Ясно, что это 60 тыс., и соответствует такая величина прибыли заказу 200 двигателей. Это и есть оптимальное решение по критерию максимина. A B C D E F G H I 1 Прибыль= 0.3 тыс. Потери= -0.1 тыс. 2 Возможный спрос (состояние окружения ) 3 200 300 400 500 600 700 EMV 4 200 60 60 60 60 60 60 60 5 300 50 90 90 90 90 90 84 6 Варианты заказа 400 40 80 120 120 120 120 98 7 (альтернативы) 500 30 70 110 150 150 150 102 8 600 20 60 100 140 180 180 98 9 700 10 50 90 130 170 210 90 10 Угадали спрос 60 90 120 150 180 210 120 11 Вероятность спроса 0.15 0.25 0.25 0.2 0.1 0.05 400 12

13 EMVPI = 120 EVPI= 18 14 200 300 400 500 600 700 Макс.

потери 15 200 0 30 60 90 120 150 150 16 300 10 0 30 60 90 120 120 17 Варианты заказа 400 20 10 0 30 60 90 90 18 (альтернативы) 500 30 20 10 0 30 60 60 19 600 40 30 20 10 0 30 40 20 700 50 40 30 20 10 0 50 Рис. 269

Для оценки по критерию минимаксных сожалений необходимо построить таблицу упущенных возможностей. В этой таблице на месте финансового выигрыша (или потери) в каждой клетке должна содержаться разница между максимально возможной прибылью для данного уровня спроса (строка C10:H10) и прибылью из таблицы C4:H9. Запишем в ячейку C15 формулу =C$10-C4 и распространим ее на всю вторую таблицу C15:H20 (Рис. 211). После этого нам нужно выбрать для каждого размера заказа максимальные упущенные возможности («самое худшее» - по критерию максимальных сожалений). Добавим к таблице столбец «Макс. потери». Запишем в ячейку I15 формулу =MAKC(C15:H15) и протянем ее вниз до ячейки I20. Таким образом, мы получили максимальные упущенные возможности для каждой альтернативы - размера заказа. Обратите внимание, что эти упущенные возможности имеют разную природу. Все числа выше диагонали (здесь наши упущенные возможности равны нулю, так как заказ оказался в точности равным спросу) - это неполученная прибыль. Числа ниже диагонали - прямые финансовые потери. Согласно критерию максимаксных сожалений мы должны учитывать эти два вида потерь на равных основаниях.

Величина максимальных упущенных возможностей с увеличением размера заказа тоже меняется немонотонно - сначала уменьшается, а потом растет. Самое маленькое значение этой величины - 40 тыс. - соответствует заказу в 600 двигателей. Заметьте, что выбор по критерию минимаксных сожалений зависит только от соотношения прибылей и потерь и не учитывает распределение вероятностей. Тем не менее, в данном случае, выбор оказывается близким к выбору в соответствии с критерием максимума EMV.

7.П-2. Дефектные комплектующие

Один из цехов приборостроительного предприятия производит элетромагнитные катушки, которые с вероятностью р могут быть дефектными. Количество изделий в партии 2000.

Прошлый опыт указывает, что в зависимости от правильности настройки производственной линии и соблюдения технологических параметров, вероятность дефекта в партии р равна либо 0,03, либо 0,10. Причем, в среднем для 80 % произведенных партийр равняется 0,03, а для 20% партийр равняется 0,10.

Эти катушки используются как комплектующие при сборке приборов, и в конечном счете их качество будет определено выходным техническим контролем. Предприятие может или испытывать каждую катушку на специальном стенде, что обходится в 15$ за штуку и отбрасывать дефектные, или использовать изделия на сборке непосредственно без испытания. Если выбрано последнее, дефект обнаружится при сплошном техническом контроле на выходе с производственной линии, а стоимость переделки составит в конечном счете 175$ за каждый дефектный прибор.

Что выгоднее для предприятия: испытывать каждую катушку на стенде до сборки приборов или переделывать дефектные приборы после сплошного контроля?

Требуется также рассмотреть дополнительную возможность: из каждой партии можно отправить в лабораторию любое изделие, по которому (по отклонению некоторой совокупности характеристик от заданных значений) можно будет практически достоверно установить состояние линии и ожидаемый процент бракованных катушек в данной партии. Стоимость анализа 125$. Стоит ли проводить такой анализ? Каковы будут суммарные издержки в этом случае? Как следует поступить, если выборочный лабораторный анализ качества технологического процесса не дает абсолютно достоверного результата (несмотря на обещания разработчиков методики). Реально, такой анализ с 95%-ой вероятностью правильно определяет долю брака, но в 5% случаев допускает ошибку (т.е. если реально процент брака в партии 3%, анализ в 5% случаев дает оценку брака 10%, и наоборот, если реально процент брака 10%, анализ в 5% случаев определяет его равным 3%). Дает ли в этом случае какую либо выгоду такой лабораторный анализ? Каковы будут суммарные издержки?

Решение задачи.

В этой задаче таблица выигрышей 4x4, так как выбирать приходится только из двух альтернатив - проверять катушки или нет, и процентное содержание бракованных изделий в изготовленной партии также может принимать только два значения (два сценария будущего).

Если мы примем решение обязательно проверять все катушки, то и при доле бракованных изделий в 3%, и при доле в 10% издержки в расчете на партию из 2000 изделий будут одинаковы и составят $30000 ($15*2000). Если мы решим оставить все на выходной контроль, то при доле бракованных катушек в 3% нам придется переделать около 60 приборов (2000*3%), что обойдется в 10500 ед. Это значительно меньше, чем при сплошной проверке. Но при доле бракованных катушек в 10% издержки достигнут 35000 ед., что больше, чем при сплошной проверке.

Организуем данные так, как показано на рисунке (Рис. 270) и запишем в таблицу результаты наших вычислений. А В С D | Е Количество изд. в партии 2000 Стоимость переделки 175 Цена испытания на стенде 15 Стоимость анализа 125 Таблиц а прибылей и затрат Процент дефектных изделий 3% 10% EMV Испытывать все изделия -30 000 -30 000 Оконечный контроль -10 500 -35 000 Максимум -10 500 -30 000 Вероятность 80% 20% EVPI= Рис. 270

?1 n

Как и в предыдущей рассмотренной задаче в строке «Максимум» показано, каковы были бы издержки, если бы до принятия решения, мы могли бы получить совершенную информацию о доле брака в данной партии. В столбце D5:D7 будем рассчитывать ожидаемую прибыль для обеих альтернатив и для выбора при владении совершенной информации. Заодно сразу же найдем стоимость совершенной информации. На следующем рисунке (Рис. 271) показаны использованные формулы. А В С D Е 1 Количество изд. в партии 2000 Стоимость переделки 175 2 Цена испытания на стенде 15 Стоимость анализа 125 3 Таблица прибылей и затрат 4 Процент дефектных изделий 3% 10% EMV Испытывать все катушки на 5 стенде =-1В$Г$В$2 =-$В$Г$В12 =СУММПРОИЗВ($В$9:$С$9;В5:С5) 6 Выходной контроль =-ЇВ$1*В4*$Е$1 =-SB$1*C4*SES1 =СУММПРОИЗВ($В$9:$С$9;В6:С6) 7 Максимум =МАКС(В5;В6) =МАКС(С5;С6) =СУММПРОИЗВ($В$9:$С$9;В7:С7) 9 Вевоятность 80% 20% EVPI = =D7-MAKC(D5:D6) Рис. 271

В результате этих расчетов получим искомое решение (Рис. 272).

А В С D Ё~ 1 Количество изд. в партии 2000 Стоимость

переделки 175 Цена испытания на Стоимость 2 стенде 15 анализа 125 3 Таблица прибылей и затрат Процент дефектных EMV 4 изделий 3% 10% EMV оез ЛА Испытывать все 5 катушки на стенде -30 000 -30 000 -30 000 6 Выходной контроль -10 500 -35 000 -15 400 -15 400 7 Максимум -10 500 -30 000 -14 400 8 9 Вероятность 80% 20% Е VP1= 1 000 Рис. 272

Ясно, что в среднем выходной контроль выгоднее сплошной проверки катушек на стенде практически вдвое - суммарные издержки составляют только $15400 против $30000.

Рассчитанная стоимость совершенной информации ЕУР1 =$1000 (Рис. 272). Таким образом, если лабораторный анализ первого изделия в партии способен абсолютно точно определить, какая доля брака будет в текущей партии, т.е. дает совершенную информацию до принятия решения о методе контроля для данной партии, можно ожидать еще $875 экономии издержек (БУР1 минус стоимость лабораторного анализа).

Несколько иная ситуация возникает в случае, если лабораторный анализ не дает абсолютно точной информации. Как подробно рассмотрено в теоретическом введении к этой главе, следует нарисовать дерево альтернатив (рис.216), включающее двухступенчатое решение: использовать лабораторный анализ или нет проверять все катушки или положится на выходной контроль.

При этом для расчета вероятностей различных сценариев будущего, соответствующих выбору тех или иных ветвей дерева, необходимо, исходя из условных вероятностей правильности предсказаний лабораторного анализа, вычислить полные вероятности Р| того или иного результата прогноза 1] (см. формулу 5а), а также переоценить вероятности Р(8;/1]) уровней брака в данной партии (3% или 10%) в свете предсказаний лабораторного анализа. Эти вычисления проведены на листе МБ-Ехсе1, представленном на Рис. 273. А В С 0 Е F С 1 Условные вероятнс брака п сти правильности определения доли ри лабораторном анализе 2 Процент дефектных изделий Полные

вероятности 3 3% 10% Р(|) — 4 Предсказание 3% 95,0% 5,0% 77,0% =СУММПР0ИЗВ|В4:С4;Ш6:$С*6| 5 Предсказание 10% 5,0% 95,0% 23,0% =СУММПРОИЗВ(В5:С5; В Априорные

вероятности 8В% 20% 7 Апостериорные вероятности В Процент дефектных изделий 9 3% 10% 10 Предсказание 3% 98,7% 1,3% 11 Предсказание 10% 17,4% 82,6% =С5'С$6/Ш5 1? Рис. 273 Расчет полных вероятностей различных предсказаний лабораторного анализа и апостериорных вероятностей различных уровней брака в данной партии.

Полные вероятности Р(1]) показаны в ячейках Б4,Б5. Если бы лабораторный анализ давал безошибочную (совершенную) информацию, то эти полные вероятности были бы равны априорным, т.е. 80% и 20%. Но из-за внутреннего несовершенства методики анализа, в некоторых случаях он предскажет 3%-ю долю дефектных катушек тогда, когда доля брака на самом деле равна 10%, и наоборот. Эти ошибки в большей или меньшей степени отклонят полные вероятности предсказания уровня дефектности партии от априорных вероятностей.

Расчет апостериорных вероятностей Р(Б;/1]), т.е. вероятностей уровня дефектности партии в свете дополнительной информации, полученной из лабораторного анализа, в соответствие с формулой (7а), представлен в ячейках В10:С11. Видно, что если лабораторный анализ выдал предсказание «Доля брака в текущей партии 3%», то с вероятностью 98,7% нужно ожидать, что это так и есть. Лишь 1,3% вероятности за то, что в действительности доля брака составит 10%. Если лабораторный анализ выдал предсказание «Доля брака в текущей партии 10%», то это подтвердится с вероятностью 82,6%, а с вероятностью 17,4% уровень брака будет 3%.

Эти вероятности использованы для построения дерева альтернатив на Рис.

274. ) Лаборатор ный анализ Без лабораторного анализа А —шЖ— 77% 23% Пред сказ с ано 3% Предсказс О

0

1 1 Г Стенд Га - ІЬІХОДНОІ л контроль Стенд (4 ? ІЬІХОДНОІ л контроль Сі енд —С 7 ? ^ЬІХОДНОІ А К0НТ| роль 1= — ) — V ) і г і Г і г -30000І 1 , 1 -30000І 1 , 1 | -300001 1 L 3% -А- 10% 3% 1С )% 3% -М- 10% і ь ? 1 г 98,7% 1 ,1,3% 1 ,17,40% і ,82,60% 1 80% і г 20% -10500І -350001 -10500І 1 -350001 -10500І -35000 Рис. 274 Дерево альтернатив для проблемы дефектных комплектующих.

Анализ дерева, как рассматривалось в теоретическом введении, следует начать с вычисления ожидаемой монетарной ценности ветвей, приводящих в крайние черные узлы. В нашем случае это узлы №№5,6,8. EMV альтернативы «Выходной контроль» без лабораторного анализа уже была вычислена на листе MS-Excel, представленном на Рис. 275. >

CD

О

О Е F G 3 Таблица прибылей и затрат 4 Процент дефектных изделий 3% 10% EMV EMV без ЛА 5 Испытывать все катушки на стенде -30 000 -30 000 -30 000 В Выходной контроль -10 500 -35 000 -15 400 15 400 7 Максимум -10 500 -30 000 -14 400 В 9 Вероятность 80% 20% EVPI= 1 000 10 11 Условные вероятнс брака п сти правильности определения доли ри лабораторном анализе 12 Процент дефектных изделий Полные

вероятности 13 3% 10% Р(|) 14 Предсказание 3% 95,0% 5,0% 77,0% 15 Предсказание 10% 5,0% 95,0% 23,0% 16 Априорные вероятности PCS'l 80% 20% 17 18 Переоценка вероятностей 19 Процент дефектных изделий ЕМУ_испыты-

вать все ЕМУ_вых одной контроль EMV max EMV сЛА 20 3% 10% 21 Предсказание 3% 98,7% 1,3% -30 000 -10 818 -10 818 -15 230 22 Предсказание 10% 17,4% 82,6% -30 000 -30 739 -30 000 23 Испытывать все катушки на стенде -30 000 -30 000 24 Выходной контроль -10 500 -35 000 EVSI = 170 25 Рис. 275 Расчет оптимального решения по дереву альтернатив для проблемы дефектных комплектующих.

ЕМУ, соответствующие узлам №№5,6, для альтернатив «Выходной контроль» после предсказаний лабораторным анализом соответственно 3% или 10% брака в данной партии (и переоцененными вероятностями различных уровней брака в свете этой информации) вычислены в ячейках Е21:Е22 листа МБ- Ехсеї, представленного на Рис. 275. Для вычисления этих значений мы ввели в ячейку Е21 формулу

СУММПРОИЗВ (Б21:С21;$Б$24:$С$24),

и протянули ее на ячейку Е22. В графу «ЕМУ_испытывать все» (т.е. испытывать все катушки на стенде), в ячейки Б21:Б22, мы просто переписали стоимости сплошного контроля катушек на стенде, которые не зависят от предсказаний лабораторного анализа.

Вид дерева альтернатив после этого первого шага анализа представлен на Рис. 276. — J т Лаборатор ный анализ Без лабораторь ого анализа —шШ— 4w 77% 23% Пред сказано 3% Пред сказано 10% ’ F Стенд Выходной контроль Стенд Выходной контроль Стенд Выходной контроль “ 3 )- і 4 )- / 1 ' ) \ / \ / \ / 4— к \ / /ЗДоо -10818 -30000 / -3й739 Д JQ00 -15400 \

/ ' \ / \ Рис. 276 Вид дерева альтернатив для проблемы дефектных комплектующих

после первого шага анализа.

Видно, что если лабораторный анализ предсказал 3% брака в текущей серии, следует положиться на выходной контроль, а если - 10%, следует провести сплошную проверку всех катушек на стенде. В ячейках F21:F22 мы вычислили максимум из EMV альтернатив, исходящих из узлов №№3,4 дерева на рис. 218. Видно, однако, что альтернативы, исходящие из узла №4 отличаются очень незначительно. Поэтому следует ожидать, что стоимость информации, представляемой лабораторным анализом будет невелика. Чтобы проверить это завершим анализ дерева на рис. 218, вычислив ожидаемую монетарную ценность ветки, входящей в узел №2. Для этого в ячейку G21 листа на рис. 217 введем формулу

СУММПРОИЗВ(Е21Е22; D14:D15)

т. е. перемножим ожидаемые монетарные ценности наилучших альтернатив, исходящих из узлов №№3,4 на рис. 218, на полные вероятности предсказаний 3% или 10% брака в лабораторном анализе.

Сравнивая значения ЕМ^без ЛА=-$ 15400 (ячейка Е6) с только что вычисленной ЕМ^ЛА=-$ 15230 (ячейка G21), находим, что стоимость несовершенной информации EVSI составляет всего $170 (ячейка Е24). Учитывая, что стоимость лабораторного анализа составляет $125, реальный выигрыш от весьма точной (95% попаданий!), но несовершенной информации лабораторного анализа составит всего $45. Это более чем в 20 раз меньше, чем определенная выше стоимость совершенной информации (EVPI=$1000). Впечатляющий пример влияния несовершенства информации на ее стоимость!