Приемы решения задач.

5.

П-1. Агрегатный план производственного отдела компании «Вал» (Кейс)

Агрегатным планированием называют совокупное планирование производства, управления запасами, субподрядами и трудовыми ресурсами, распространяемое на несколько временных периодов.

об агрегатном планировании читайте в учебных пособиях [2,6].

Компания «Вал» производит продукты с примерно одинаковыми издержками и ценами так, что с точки зрения среднесрочного планирования, их можно объединить в одну группу, различие между отдельными продуктами игнорировать и говорить о единственном продукте.

Прогнозируемые данные по объемам продаж компании «Вал» на следующий год, представленные в таблице, как и в предыдущие годы, демонстрируют сильную сезонную вариацию. Годовой спрос (в денежном выражении) -$130 Млн. При этом, различие спроса по месяцам варьирует более, чем вдвое: от $15,8М в ноябре, до $7М - в июня. Рабочих

дней Прогноз

спроса

($Млн.) Рабочих дней (нарастающи м итогом) Спрос

(нарастающим

итогом) Январь 20 7.6 20 7.6 Февраль 21 8.4 41 16.0 Март 23 10.2 64 26.2 Апрель 20 9.0 84 35.2 Май 22 11.8 106 47.0 Июнь 22 7.0 128 54.0 Июль 10 8.6 138 62.6 Август! 23 12.6 161 75.2 Сентябрь 20 14.4 181 89.6 Октябрь 22 12.8 203 102.4 Ноябрь 20 15.8 223 118.2 Декабрь 20 11.8 243 130.0 В таблице также показано количество рабочих дней в каждом месяце. Видно, что это количество варьирует очень слабо, за исключением июля, когда все производственные мощности компании останавливаются, а рабочих отправляют в отпуск на три недели. Это означает, что количество продукции, которое компания может произвести в обычный месяц, примерно постоянно. Как же обеспечить удовлетворение столь сильно меняющегося спроса? Менеджер производственного отдела рассматривает различные стратегии поведения в этой ситуации.

Первая стратегия состоит в том, чтобы накапливать запасы продукции на складе в периоды низкого спроса и использовать их в периоды высокого спроса.

Вторая стратегия состоит в том, чтобы регулировать численность рабочих в соответствии с колебаниями спроса на продукцию компании: нанимать дополнительно рабочих в периоды возрастания производственной загрузки и увольнять их в периоды спада.

это обычная практика (вспомним, например, сезонных рабочих на сельскохозяйственных работах или на сахарных заводах).

Существует также третья стратегия - введение сверхурочной работы для уже имеющихся на производстве рабочих в пики производственной загрузки и перевод рабочих на неполный рабочий день (с частичной оплатой) в периоды спада.

Очевидно также, что возможны различные комбинации этих стратегий. Таким образом, основная задача менеджмента производственного отдела состоит в том, чтобы найти и реализовать такой план организации работ на предстоящий год, который бы обеспечивал безусловное выполнение заказов и минимизировал издержки.

При этом необходимо рассмотреть следующие компоненты издержек: —

издержки хранения (подробнее об издержках хранения читайте в учебных пособиях [1,2]) —

издержки, связанные с введением сверхурочной работы и частичной занятости —

издержки, связанные с наймом новых рабочих и увольнением старых. Бухгалтерия представила следующие цифры для представляющих интерес

издержек: стоимость найма новых рабочих $ 200/ на одного рабочего затраты на увольнение $ 500/ на одного рабочего нормальная зарплата $ 5/в час оплата сверхурочных плюс 50% к норме. оплата времени, когда рабочий незанят $ 3/в час издержки хранения 2%/ в месяц от стоимости остатка на складе на начало месяца. Нормальный рабочий день (без сверхурочных и частично незанятого времени) длится 8 часов.

«ВАЛ» использует, так называемый, «плановый коэффициент» для соотнесения спроса (выраженного в денежных единицах) и производственных возможностей (выраженных во временных единицах). Опыт и финансовая отчетность показывают, что 1 человеко-час рабочего времени производится продукции на $30 в отпускных ценах.

Предполагается, что на складе нет запасов в начале года и что в конце года запасы должны также равняться нулю.

Количество рабочих в начале года - 1583.

Анализ кейса

Стоящая перед производственным отделом компании «Вал» задача, конечно, является задачей линейной оптимизации. Часто задачи линейной оптимизации представляют как задачи об оптимальном «смешении». Задача об оптимальном производственном плане - это оптимальное смешение продуктов, которые может произвести фирма при тех или иных производственных, рыночных и прочих ограничениях, в потоке выпускаемой продукции, максимизирующем прибыль. Оптимальный финансовый портфель - это смешение ценных бумаг, финансовых инструментов, обеспечивающих минимум риска для вложений средств инвестора, при заданных ограничениях на доходность, типы ценных бумаг и пр. Нередко изложение темы линейной оптимизации начинают с задачи об оптимальной диете, в которой нужно найти оптимальное смешение продуктов, минизимирующее затраты, при обеспечении необходимых физиологических требований животного или человека.

В нашем случае требуется найти оптимальное «смешение» стратегий. Сколько в каждом месяце нанимать или увольнять рабочих, сколько назначать сверхурочных или, наоборот, незанятых часов, сколько произведенной продукции отсылать на склад или, наоборот, забирать со склада, при безусловном обеспечении плана отгрузки готовой продукции потребителям. В отличие от рассмотренных выше относительно простых задач производственного планирования, не вполне очевидно, какие в данном случае должны быть переменные решения, целевая функция и ограничения. Чтобы прояснить эти вопросы рассмотрим последовательно три стратегии, которые предполагает использовать менеджмент производственного отдела: —

найм и увольнение, —

сверхурочные и неполный рабочий день, —

запасание излишков продукции на складе или использование складских запасов прошлых месяцев для обеспечения части отгрузки потребителю. Разумеется, при этом мы не будем рассматривать вопрос об оптимизации

издержек, а будем лишь вычислять издержки при условии, что план отгрузки продукции потребителю должен быть безусловно выполнен.

После рассмотрения «чистых» стратегий, займемся их оптимальным смешением.

Стратегия 1: Найм и увольнение.

Попробуем выполнить план отгрузки, варьируя численность рабочих.

Прежде всего, рассчитаем, сколько необходимо рабочих часов Тг, чтобы произвести количество продукции D, необходимое по плану в i-ом месяце. Используя плановый коэффициент ^=30$/час, найдем, что требуемое время Tj можно рассчитать по формуле:

T = DJ 30.

Далее рассчитаем, сколько нормированного рабочего времени WTj у нас есть в каждом месяце

WTt = 8 х ёг х Nt,

где 8 - это количество рабочих часов в смене, dr количество рабочих дней в месяце, а Nj - количество рабочих на производстве.

Для того чтобы выполнить план отгрузки необходимо, чтобы имеющееся количество рабочих часов совпадало с требуемым. Приравнивая правые части этих двух формул, найдем количество рабочих, необходимых нам каждый г-ый месяц

Ni = Ц/(30 х 8 х d).

Если количество рабочих, которые нам необходимы в данном месяце Nj меньше, чем у нас есть в предыдущем месяце Ni-i, то необходимо нанять недостающих рабочих HNU т.е.,

Если Nt > N_1, HNj = N - N_1

Если, наоборот, у нас больше рабочих, чем требуется в следующем месяце, то нужно уволить избыток рабочих YN., т.е.

Если N. < N.-1, YNj = N-i - N .

При этом наши издержки за год можно очевидно выразить как сумму

ежемесячных издержек на зарплату, найм и увольнение рабочих:

12

C = 2 (5 X WT + 200 х HNt + 500 х YNt),

г =1

где коэффициенты 5, 200 и 500 означают соответственно зарплату за 1 час нормированного рабочего времени, стоимость найма одного рабочего и стоимость увольнения одного рабочего.

Чтобы «оживить» эти простые формулы сделаем следующую таблицу MS Excel (Рис. 187), где с их использованием вычислим, когда и сколько нанимать или увольнять рабочих и какие при этом будут издержки. А | В | С | 0 | Е Р G H 1 Стратегия регулирования численности 2 Кол-во

рабочих

дней ° Ё О Требуемое

кол-во

рабочих Найм Увольне

ние WT (чел.

/(8*30*B3) =8*B3*D3 =5*G3+

200*E3+500*F3 4 Фев 21 8.4 1 667 =ЕСЛИ(

D4>D3;

D4-D3;0) =ЕСЛИ(

03>04;

03-04;0) 280 000 1 416 667 5 Мар 23 10.2 1 848 181 0 340 000 1 736 232 6 Апр 20 9.0 1 875 27 0 300 000 1 505 435 7 Май 22 11.8 2 235 360 0 393 333 2 038 636 8 Июн 22 7.0 1 326 0 909 233 333 1 621 212 9 Июл 10 8.6 3 583 2 258 0 286 667 1 884 848 10 Авг 23 12.6 2 283 0 1 301 420 000 2 750 362 11 Сен 20 14.4 3 000 717 0 480 000 2 543 478 12 Окт 22 12.8 2 424 0 576 426 667 2 421 212 13 Ноя 20 15.8 3 292 867 0 526 667 2 806 818 14 Дек 20 11.8 2 458 0 833 393 333 2 383 333 15 Итого 4 494 3 619 24 374 901 Рис. 187

При вычислении требуемого числа рабочих в январе в ячейке Б3 получается 1583,3 рабочих, что практически равно числу рабочих в компании на начало года. Поэтому найм и увольнение вычисляются, только начиная с февраля (ячейки Б4 и Е4). Всюду, где требуется нанять рабочих, количество увольнений равно нулю и наоборот (как и должно быть). Общие издержки такой стратегии составят $23 108 235. При этом видно, что за год, согласно этому плану, мы должны нанять 4411 рабочих и уволить 3619.

Вряд ли план выглядит привлекательно. Однако мы и не собираемся его реализовывать. Чистые стратегии мы рассматриваем лишь для того, чтобы лучше уяснить стоящую перед нами задачу.

Стратегия 2: Сверхурочные и частичная занятость.

В этой стратегии мы будем сохранять численность рабочих постоянной и равной их количеству на начало года - 1583 чел. Попробуем этим дружным коллективом, никого не нанимая и не увольняя выполнить план производства и отгрузки продукции. Вновь потребуем, чтобы в каждый месяц было произведено ровно столько продукции, сколько по плану требуется отгрузить. Вновь используем формулы Т = 30 и ЖТ, = 8 х di х при вычислении

требуемого для производства необходимой продукции количества часов Т, и имеющихся в данном месяце нормированных рабочих часов WTi. При этом в формуле для имеющихся в нашем распоряжении рабочих часов будет фигурировать постоянное количество рабочих ^0=1583:

ЖТ, = 8хй, хN0.

Ясно, что поскольку теперь количество рабочих не меняется, уравнять требуемое количество часов Т и количество имеющихся рабочих часов WTi невозможно.

Если Т1 > WT, СУг = Т1 - WT Иначе ИЗ1 = WT - T .

При этом наши издержки за год можно очевидно выразить как сумму ежемесячных издержек на зарплату, на оплату сверхурочных и на компенсацию

вынужденно незанятых часов:

12

C = ? (5 xWT + 7,5 X СУ1 - 2 х ИЗ1),

1=1

где коэффициенты 5 и 7,5 означают соответственно зарплату за 1 час нормированного рабочего времени и оплату одного часа сверхурочных (50% дополнительно к обычному тарифу). Что касается незанятых часов, то их необходимо выделить из нормированных .часов WTi. За них следует платить не $5, а только $3, что и отражено в последней формуле. В ней написано, что за все нормированные часы рабочим выплачивается по $5, а затем за вынужденно незанятые часы вычитается $2 (=$5-$3).

На Рис. 188 показано, как MS Excel реализует эти формулы, указывая, когда и сколько назначать сверхурочных и незанятых часов и какие при этом будут издержки. A в D E F G 1 Сверхурочные - частичная занятость 2 Количество рабочих на начало года 1583 3 Кол-во

рабочих

дней ° 1 О Требуется время (часов) Число

рабочих

часов Сверхур./

свободные

часы Издержки ($) 4 Янв 20 7.6 =C4*1000000/30 =8*B4*$E$2 =D4-E4 =5*Е4+ЕСЛИ(

F4>0;7,5*F4;2

*F4) 5 Фев 21 8.4 280 000 265 944 14 056 1 435 140 6 Мар 23 10.2 340 000 291 272 48 728 1 821 820 7 Апр 20 9.0 300 000 253 280 46 720 1 616 800 8 Май 22 11.8 393 333 278 608 114 725 2 253 480 9 Июн 22 7.0 233 333 278 608 -45 275 1 302 491 10 Июл 10 8.6 286 667 126 640 160 027 1 833 400 11 Авг 23 12.6 420 000 291 272 128 728 2 421 820 12 Сен 20 14.4 480 000 253 280 226 720 2 966 800 13 Окт 22 12.8 426 667 278 608 148 059 2 503 480 14 Ноя 20 15.8 526 667 253 280 273 387 3 316 800 15 Дек 20 11.8 393 333 253 280 140 053 2 316 800 16 25 055 631 Рис. 188

Видно, что «бережное отношение к людям», проявленное в этой стратегии стоит компании почти на $2 млн. дороже. Кроме того, это «бережное отношение» весьма относительно. Например, в ноябре, для выполнения требуемого выпуска продукции необходимо 526667 человеко-часов, а имеется в наличии всего 253280. Таким образом, для выполнения плана необходимо назначить 273387 сверхурочных часов, т. е. каждый рабочий в течение месяца будет работать почти по 17 часов в день (хорошо еще, что не больше 24 часов).

Стратегия 3: Использование склада.

В этой стратегии, в отличие от двух рассмотренных ранее, не предполагается, что продукция, произведенная в данном месяце точно равна плану отгрузки в этом месяце. Напротив, она может быть как больше, так и меньше требуемой по плану. В первом случае избыток произведенной продукции ляжет на склад, во втором случае недостаток продукции будет взят со склада.

Для реализации этой стратегии необходимо, чтобы в периоды низкого спроса, продукция на складе запасалась, а в пиковые периоды использовалась. Глядя на исходную таблицу (Рис. 187), нетрудно заметить, что январь - это очень хороший месяц для создания резерва на складе: количество рабочих дней в нем такое же, как в ноябре, а спрос - в два раза меньше, чем в ноябре. Однако, взглянув на таблицу, аналогичную Рис. 188 в своем компьютере, вы можете увидеть, что даже в январе нам требуется 53 сверхурочных часа, чтобы справиться с планом (на Рис. 188 в книге этого не видно, так как в ячейке Б4 распечатана формула, а не число). Таким образом, ясно, что в чистом виде стратегия использования склада (без дополнительного найма или без сверхурочных) не проходит, поскольку нам просто не хватает рабочих.

Чтобы все же исследовать вариант использования склада, модифицируем эту чистую стратегию, дополнив ее единовременным наймом. Вычислим, используя таблицу из первой стратегии (Рис. 187), сколько в среднем на нужно рабочих ежемесячно, и наймем всех недостающих сразу в начале года. Оказывается, что в среднем следует иметь 2298 рабочих, т.е. нанять в январе нужно 715 человек. После этого ни нанимать, ни увольнять больше никого не станем, нанятые рабочие будут работать только в нормированные рабочие часы. Причем если они произведут больше продукции, чем надо, продукция ляжет на склад, если же они произведут меньше, часть продукции будет взята со склада.

Назовем среднее количество требуемых рабочих N. Тогда имеется следующее количество нормированных рабочих часов:

ЖТ, = 8 х ^ х N

За это рабочее время будет произведено следующее количество продукции

(в $):

Продукция^ = 30 х ЖТ,.

Количество продукции на складе в данном месяце ( Складу , в $) найдем как количество продукции на складе в прошлом месяце (Складу!) плюс количество произведенной продукции Продукция; минус количество отгруженной продукции Д-:

Складi = Склад, _ + Продукция, - Д .

При этом наши издержки за год можно очевидно выразить как затраты на единовременный найм и сумму ежемесячных издержек на зарплату плюс издержки хранения, которые составляют 2% от стоимости остатка на складе в

данном месяце:

12

с=2 (5 х ЖТ, + 2% х Склад,) + 200 х (N - N0) .

,=1

Рис. 189 показывает, какой план получается в данной стратегии. А в с о Е Р 0 Н 1 Найм и создание запаса Количество рабочих на начало года 1 583 2 0 Начальный склад Сразу нанять 715 3 Кол-во

рабочих

дней Спрос Продукция Склад Кол-во

рабочих

требуется WT Издержки 4 Янв 20 7.6 =30*04/

1000000 =С2+Р4-

С4 =С4*1000000

/(8*В4*30) =8*В4*$Р$16 =5*04+2%* Е4*1000000 5 Фев 21 8.4 11.58 =Е4+Р5-

С5 1 667 386 064 2 062 566 6 Мар 23 10.2 12.68 9.1 1 848 422 832 2 296 106 7 Апр 20 9.0 11.03 11.1 1 875 367 680 2 060 954 8 Май 22 11.8 12.13 11.5 2 235 404 448 2 251 462 9 Июн 22 7.0 12.13 16.6 1 326 404 448 2 354 131 10 Июл 10 8.6 5.52 13.5 3 583 183 840 1 189 395 11 Авг 23 12.6 12.68 13.6 2 283 422 832 2 386 054 12 Сен 20 14.4 11.03 10.2 3 000 367 680 2 042 902 13 Окт 22 12.8 12.13 9.5 2 424 404 448 2 213 411 14 Ноя 20 15.8 11.03 4.8 3 292 367 680 1 934 179 15 Дек 20 11.8 11.03 4.0 2 458 367 680 1 918 787 16 =Н1+Н2 24 613 508 Рис. 189

Общие издержки по этой стратегии получаются где-то посередине между издержками первой и второй стратегии. Однако нетрудно заметить, что в конце года стоимость остатка на складе получилась $4 млн.

На самом деле, в конце года склад должен быть пустой. Это значит, что мы перестраховались с количеством рабочих, которых собрались нанять в начале года. Видимо 2298 рабочих - это слишком много. Попробуем поварьировать число нанимаемых сразу рабочих в ячейке Н2. При этом значения всех меняющихся величин в таблице (в том числе произведенной продукции, остатков на складе и суммарных издержек) автоматически пересчитываются. А в с о Е Р 0 Н 1 Найм и создание запаса Количество рабочих на начало года 1583 2 0 Начальный склад Сразу нанять 600.0 3 Кол-во

рабочих

дней Спрос Продукция Склад Кол-во

рабочих

требуется WT Издержки 4 Янв 20 7.6 10.48 2.9 1 583 349 333 1 804 267 5 Фев 21 8.4 11.00 5.5 1 667 366 800 1 943 680 6 Мар 23 10.2 12.05 7.3 1 848 401 733 2 155 387 7 Апр 20 9.0 10.48 8.8 1 875 349 333 1 922 987 8 Май 22 11.8 11.53 8.5 2 235 384 267 2 092 213 9 Июн 22 7.0 11.53 13.1 1 326 384 267 2 182 773 10 Июл 10 8.6 5.24 9.7 3 583 174 667 1 067 573 11 Авг 23 12.6 12.05 9.2 2 283 401 733 2 191 947 12 Сен 20 14.4 10.48 5.2 3 000 349 333 1 851 547 13 Окт 22 12.8 11.53 4.0 2 424 384 267 2 000 773 14 Ноя 20 15.8 10.48 -1.3 3 292 349 333 1 719 707 15 Дек 20 11.8 10.48 -2.7 2 458 349 333 1 693 307 16 2 183 22 626 160 Рис. 190

Видно (Рис. 190), что если уменьшить количество нанятых рабочих до 600 человек (итого 2183 рабочих), то в колонке «Склад» появляются отрицательные числа. Это, очевидно, свидетельствует о том, что план отгрузки не выполняется, произведенной продукции не хватает. При найме 650 рабочих (итого 2233 рабочих), в конце года на складе опять имеется небольшой избыток продукции. Продолжая уменьшать число нанятых рабочих, найдем наконец такое их количество, при котором в конце года склад обращается практически в ноль (646 нанятых). Результат рассмотрения стратегии №3 представлен на Рис. 191. А В С Р Е Р О Н 1 Найм и создание запаса Количество рабочих на начало года 1583 2 0 Начальный склад Сразу нанять 646 3 Кол-во

рабочих

дней Спрос Продукция Склад Кол-во

рабочих

требуется WT Издержки 4 Янв 20 7.6 10.70 3.1 1 583 356 693 1 845 483 5 Фев 21 8.4 11.24 5.9 1 667 374 528 1 991 373 6 Мар 23 10.2 12.31 8.0 1 848 410 197 2 211 838 7 Апр 20 9.0 10.70 9.7 1 875 356 693 1 978 334 8 Май 22 11.8 11.77 9.7 2 235 392 363 2 156 098 9 Июн 22 7.0 11.77 14.5 1 326 392 363 2 251 516 10 Июл 10 8.6 5.35 11.2 3 583 178 347 1 116444 11 Авг 23 12.6 12.31 10.9 2 283 410 197 2 269 815 12 Сен 20 14.4 10.70 7.2 3 000 356 693 1 928 311 13 Окт 22 12.8 11.77 6.2 2 424 392 363 2 086 076 14 Ноя 20 15.8 10.70 1.1 3 292 356 693 1 805 745 15 Дек 20 11.8 10.70 0.01 2 458 356 693 1 783 761 16 2 229 23 424 794 Рис. 191

Видно, что стратегия №3 на $950 тыс. лучше, чем стратегия №1. Однако и ее мы не собираемся реализовывать. Наша задача - найти оптимальную смесь трех исследованных стратегий. Теперь мы готовы приступить к формулировке этой задачи, поскольку мы записали все выражения, определяющие издержки в чистых стратегиях так, что осталось лишь свести все эти выражения в одну формулу, которая и будет целевой функцией нашей задачи линейной оптимизации.

Оптимальная смесь стратегий.

Итак, запишем, каковы будут наши издержки в случае, если мы собираемся реализовать все три стратегии сразу: —

нанимать и увольнять рабочих —

назначать сверхурочные и незанятые часы —

отправлять излишки продукции на склад и забирать их со склада

Сводя все рассмотренные ранее формулы для расходов, получим

12

с = У (5 X ЖТ + 7,5 X СУ - 2 х НЗ + 200 х NN + 500 х УN. + 2% х Склад ) .

V I ' I I I I I У

I=1

В этой формуле 6 типов переменных, каждая в 12 экземплярах (по числу месяцев в году). Однако, разумеется, не все переменные являются независимыми. Запишем известные нам связи между ними.

Во-первых, вспомним выражения для количества имеющихся в нашем распоряжении нормированных рабочих часов WTi

ЖТг = 8 х ёг х N.

Понятно, что количество имеющихся рабочих часов зависит от числа рабочих в компании в данном месяце N. Однако это число непосредственно не входит в выражение (12) для суммарных издержек. Выразим его через количество нанятых и уволенных рабочих в данном месяце:

N = Мг_г + Шг - УМг .

Здесь отражен следующий простой факт: количество рабочих в данном месяце равно количеству рабочих в предыдущем месяце плюс количество рабочих, нанятых в начале данного месяца, минус количество рабочих, уволенных в начале данного месяца. Разумеется, что в каждом месяце рабочие либо нанимаются, либо увольняются, т.е. одна из двух величин НЩг или УЩ всегда равна нулю. Тем не менее, удобно ввести обе эти величины. Они выражают собой первую пару наших независимых переменных для каждого месяца. Действительно, сколько нанять и сколько уволить рабочих в данном месяце - это наше управленческое решение, совершенно независимое от предыстории. Следить же за тем, чтобы одна из этих величин равнялась нулю, мы поручим Поиску решения. Минимизируя суммарные издержки, алгоритм Поиска решения не должен позволить обеим этим величинам быть отличным от нуля в одном и том же месяце. Ведь это неоправданно увеличит издержки!

Обратимся теперь к выражению для стоимости остатка продукции на складе Складг. Это выражение дается формулой:

Склад = Склад-1 + Продукцияг - Д .

где, однако, выражение для произведенной продукции должно быть теперь изменено по сравнению со старой формулой Продукция^ = 30 х ЖТ. Ведь теперь, продукция производится не только в нормированные часы '№Гг , но и в сверхурочные часы СУ, и не производится в незанятые часы НЗг. Таким образом,

Продукция^ = 30 х (ЖТ + СУг + НЗ{)

Теперь видно, что остаток на складе и произведенная продукция могут быть выражены через уже введенные переменных НЩг и УЩг и через новую пару переменных решения СУг и НЗг. Опять очевидно, что количество назначенных в данном месяце сверхурочных и незанятых часов - это независимое управленческое решение. Как и в случае первой пары переменных, в этой паре одна из переменных в каждом данном месяце должна быть равна нулю. И опять мы возложим контроль выполнения этого требования на Поиск решения. Он обеспечит его выполнение из соображений минимума полных издержек.

Итак, в нашей задаче линейной оптимизации должно быть 4 независимых переменных каждый месяц. Всего - 48 переменных.

Теперь займемся ограничениями. Единственное неформальное ограничение, которое необходимо выполнить, минимизируя годовые издержки, это обеспечить безусловное выполнение плана отгрузки продукции потребителям. Это не значит, что каждый месяц нужно производить столько продукции, сколько требуется отгрузить или больше. Как мы видели при анализе стратегии №3, это значит, что остаток на складе в каждом месяце не должен опускаться ниже нуля. Реально на складе, разумеется, не может быть отрицательного количества продукции, но в нашей формуле Склад = Склад-1 + Продукцияг - Д , этот остаток

вполне может стать отрицательным, если произведенной в данном месяце продукции плюс запаса на складе окажется меньше значения потребительского спроса Д-. Чтобы не допустить этого, достаточно потребовать в ограничениях Поиска решения, что остаток на складе в каждый месяц был бы больше или равен нулю, т.е. СкладІ>0 при всех значениях І от 1 до 12.

При анализе стратегии №2 мы видели, что количество сверхурочных часов в ноябре превысило количество нормированных часов WTi. В принципе, ничто не мешает Поиску решения задать такое число сверхурочных часов в месяц, что в пересчете на одного рабочего на день окажется больше сверхурочных часов, чем их есть в сутках. Разумеется, поэтому, количество сверхурочных часов следует ограничить. В тексте кейса нет никаких указаний на эту верхнюю границу. Исходя из обычной практики, ограничим число сверхурочных в месяц 20% от числа нормированных часов, т.е. запишем, что СУі <20% * WTi.

На Рис. 192 показана организация данных для решения задачи линейной оптимизации. Переменные решения - ячейки Б5:С16. В ячейке Н5 - выражение для количества рабочих в январе. В ячейках Н6:Н16 введено выражение для количества рабочих в компании (N = ^_1 + ИМІ - УМі) для каждого месяца, начиная с февраля. С этого месяца формулу можно протягивать. В ячейках /5:716 введена формула ЖТІ = 8 х di х N для количества рабочих часов, в ячейках /5:/16 -

формула Продукция-^ = 30 х (ЖТІ + СУІ + НЗІ) для количества произведенной продукции.

В ячейках К5:К16 записана формула (СкладІ = СкладІ-1 + ПродукцияІ - Д )

для остатков продукции на складе. Так же как и в случае с числом рабочих, ее можно протягивать, начиная со второго месяца. Поэтому формулы в ячейках К5 и К6:К16 отличаются. В ячейках Е5Х16 введено выражение для ежемесячных издержек, в соответствие с итоговой формулой, а в ячейке Ы7 - сумма этих издержек - наша целевая функция. Последняя колонка, ячейки М5:М16 - это максимальное значение сверхурочных часов каждый месяц, необходимое для ввода ограничений. А|В|С|0|Е|р|С|Н| I ?І К 1. М 1 Оптимальная смешанная стратегия 2 Количество рабочих на начало года Начальный склад 3 1583 0 4 Кол.

раб.

дней Спрос

$Млн. Найм Уволь

не-ние Св.

уроч.

часы Не

занят.

часы Кол.

рабо

чих Раб.

часы Продукция

$Млн. Склад

$Млн. Издержки $ Макс. св. уроч. 5 Янв 20 7.6 =А3+05

-Е5 =8*В5*Н5 =30/1000000

*(!5+Р5-С5) =Є3+и5

-С5 =5*15

+7.5*Р5-2*Є5

+200*05

+500*Е5

+2%*К5*

1000000 =20%*!5 6 Фев 21 8.4 =Н5+06

-Е6 265 944 8.0 =

5

О) + с_ О) 1 321 254 53 189 7 Мар 23 10.2 1 583 291 272 8.7 -1.9 1 418 658 58 254 8 Апр 20 9.0 1 583 253 280 7.6 -3.3 1 200 666 50 656 9 Май 22 11.8 1 583 278 608 8.4 -6.7 1 258 470 55 722 10 Июн 22 7.0 1 583 278 608 8.4 -5.4 1 285 635 55 722 11 Июл 10 8.6 1 583 126 640 3.8 -10.2 429 779 25 328 12 Авг 23 12.6 1 583 291 272 8.7 -14.0 1 175 702 58 254 13 Сен 20 14.4 1 583 253 280 7.6 -20.8 849 710 50 656 14 Окт 22 12.8 1 583 278 608 8.4 -25.3 887 515 55 722 15 Ноя 20 15.8 1 583 253 280 7.6 -33.5 596 843 50 656 16 Дек 20 11.8 1 583 253 280 7.6 -37.7 512 811 50 656 17 =СУММ(Ь5:Ь16) В ограничениях Поиска решений вводим требование, чтобы ячейки ЮЖХв были бы не меньше нуля (склад не должен быть отрицательным) и F5:F16 не больше, чем M5:M16 - ежемесячные сверхурочные не превышают 20% от нормированных часов в данном месяце. На следующем рисунке (Рис. 193) показано решение, полученное после запуска надстройки Поиск решения. А | В | С|0| Е|Р| Э Н I К 1. М 1 Оптимальная смешанная стратегия 2 Количество рабочих на начало года Начальный склад 3 1583 0 4 Кол.

раб.

дней Спрос

$Млн. Найм Уволь

не-ние Св.

уроч.

часы Не

занят.

часы Кол.

рабо-чих Раб.

часы Продукция

$Млн. Склад

$Млн. Издержки $ Макс. св. уроч. 5 Янв 20 7.6 0.333 0 0 0 1 583 253 333 7.6 0.0 1 266 733 50 667 6 Фев 21 8.4 83.33 0 0 0 1 667 280 000 8.4 0.0 1 416 667 56 000 7 Мар 23 10.2 181.2 0 0 0 1 848 340 000 10.2 0.0 1 736 232 68 000 8 Апр 20 9.0 215.7 0 0 0 2 063 330 159 9.9 0.9 1 712 022 66 032 9 Май 22 11.8 0 0 0 0 2 063 363 175 10.9 0.0 1 815 873 72 635 10 Июн 22 7.0 0 0 0 0 2 063 363 175 10.9 3.9 1 893 778 72 635 11 Июл 10 8.6 0 0 0 0 2 063 165 079 5.0 0.2 830 349 33 016 12 Авг 23 12.6 649.9 0 0 0 2 713 499 257 15.0 2.6 2 678 762 99 851 13 Сен 20 14.4 0 0 0 0 2 713 434 136 13.0 1.2 2 195 670 86 827 14 Окт 22 12.8 0 0 0 0 2 713 477 550 14.3 2.8 2 443 268 95 510 15 Ноя 20 15.8 0 0 0 0 2 713 434 136 13.0 0.0 2 170 682 86 827 16 Дек 20 11.8 0 0 0 40 803 2 713 434 136 11.8 0.0 2 089 076 86 827 17 22 249 111 Рис. 193

Во-первых, отметим, что суммарные издержки в оптимальной смешанной стратегии примерно на $1,175 млн. ниже, чем в третьей, лучшей из чистых стратегий. Во-вторых, сам план управления трудовыми ресурсам и запасами на складе выглядит намного привлекательнее, чем в чистых стратегиях.

Действительно, если сравнить суммарный объем продукции, лежащей на складе в течение года, согласно смешанной и чистой стратегиям (т.е. просуммировать числа в ячейках ^^16 (Рис. 191) и ?'5:?'16 (Рис. 193) ), то окажется, что в смешанной стратегии эта сумма равна $11,7 млн., а в чистой $87,8 млн.

Еще более заметно преимущество смешанной стратегии в управление трудовыми ресурсами. Действительно, вместо огромных чисел нанятых и уволенных рабочих и жутких количеств сверхурочных часов в стратегиях №1 и №2, смешанная стратегия рекомендует нанять 1130 рабочих (сумма ячеек D5:D16), никого не увольнять (!), не назначать сверхурочных, и в декабре (под Рождество!) предоставить рабочим ~40800 незанятых часов, которые составляют менее 10% от нормированных рабочих часов декабря (и могут быть использованы рабочими для покупок рождественских подарков).

После первого впечатления от «сказочной» эффективности метода линейной оптимизации, возникают, однако некоторые вопросы.

Вопрос 1. Полученное решение рекомендует нанять 1130 рабочих. Это значит, что следующий год компания начнет не с 1583 рабочими (как нынешний), а с 2713 рабочими. Допустим, что следующий год будет таким же, как предыдущий (тот же объем и та же сезонность спроса). Какой план получится по этой смешанной стратегии? Что делать с 1130 нанятыми рабочими?

Ответ на этот вопрос получить совсем нетрудно. Для этого достаточно просто поменять число рабочих в начале года с 1583 на 2713 и вызвать Поиск решения еще раз. Новое решение показано на Рис. 194. А | В | С|0| Е|Р| Э Н I J К 1. М 1 Оптимальная смешанная стратегия 2 Количество рабочих на начало года Начальный склад 3 2 713 0 4 Кол.

раб.

дней Спрос

$Млн. Найм Уволь

не-ние Св.

уроч.

часы Не

занят.

часы Кол.

рабо- чих Раб.

часы Продукция

$Млн. Склад

$Млн. Издержки $ Макс. св. уроч. 5 Янв 20 7.6 0 866 0 0 1 847 295 597 8.9 1.3 1 936 104 59 119 6 Фев 21 8.4 0 0 0 0 1 847 310 377 9.3 2.2 1 595 472 62 075 7 Мар 23 10.2 0 0 0 0 1 847 339 937 10.2 2.2 1 743 233 67 987 8 Апр 20 9.0 0 0 0 0 1 847 295 597 8.9 2.0 1 518 893 59 119 9 Май 22 11.8 0 0 0 0 1 847 325 157 9.8 0.0 1 625 786 65 031 10 Июн 22 7.0 0 0 0 0 1 847 325 157 9.8 2.8 1 680 881 65 031 11 Июл 10 8.6 588.1 0 0 0 2 436 194 843 5.8 0.0 1 091 824 38 969 12 Авг 23 12.6 290 0 0 0 2 725 501 490 15.0 2.4 2 614 336 100 298 13 Сен 20 14.4 0 0 0 0 2 725 436 078 13.1 1.1 2 202 933 87 216 14 Окт 22 12.8 0 0 0 0 2 725 479 686 14.4 2.7 2 452 784 95 937 15 Ноя 20 15.8 0 0 0 0 2 725 436 078 13.1 0.0 2 180 392 87 216 16 Дек 20 11.8 0 0 0 42 745 2 725 436 078 11.8 0.0 2 094 902 87 216 17 878 866 22 737 540 Рис. 194

Полные издержки возросли на ~$488000, но они, все равно остаются на ~$0,7 млн. ниже, чем в лучшей из чистых стратегий. Что же происходит с планом управления трудовыми ресурсами? Полученное решение рекомендует уволить 866 рабочих в январе и нанять 878 рабочих в июле и в августе. Таким образом, опять компьютер нанял на 12 человек больше, чем уволил! Численность рабочих в компании возросла до 2725 человек. Интересно, он когда-нибудь остановится?

Давайте проверим. Повторим расчет еще раз (теперь для года, следующего за «следующим»). Ответ приведен на Рис. 195. Издержки - почти те же. В январе решение рекомендует уволить 878 человек и те же 878 человек нанять в июле и в августе. Как говорят вычислители, система вышла на «стационар» (стационарное решение). А | В | С|й| Е|Р| Э Н I J К 1. М 1 Оптимальная смешанная стратегия 2 Количество рабочих на начало года Начальный склад 3 2 725 0 4 Кол.

раб.

дней Спрос

$Млн. Найм Уволь-

не-ние Св.

уроч.

часы Не

занят.

часы Кол.

рабо- чих Раб.

часы Продукция

$Млн. Склад

$Млн. Издержки $ Макс. св. уроч. 5 Янв 20 7.6 0 878 0 0 1 847 295 597 8.9 1.3 1 942 349 59 119 6 Фев 21 8.4 0 0 0 0 1 847 310 377 9.3 2.2 1 595 472 62 075 7 Мар 23 10.2 0 0 0 0 1 847 339 937 10.2 2.2 1 743 233 67 987 8 Апр 20 9.0 0 0 0 0 1 847 295 597 8.9 2.0 1 518 893 59 119 9 Май 22 11.8 0 0 0 0 1 847 325 157 9.8 0.0 1 625 786 65 031 10 Июн 22 7.0 0 0 0 0 1 847 325 157 9.8 2.8 1 680 881 65 031 11 Июл 10 8.6 588.1 0 0 0 2 436 194 843 5.8 0.0 1 091 824 38 969 12 Авг 23 12.6 290 0 0 0 2 725 501 490 15.0 2.4 2 614 336 100 298 13 Сен 20 14.4 0 0 0 0 2 725 436 078 13.1 1.1 2 202 933 87 216 14 Окт 22 12.8 0 0 0 0 2 725 479 686 14.4 2.7 2 452 784 95 937 15 Ноя 20 15.8 0 0 0 0 2 725 436 078 13.1 0.0 2 180 392 87 216 16 Дек 20 11.8 0 0 0 42 745 2 725 436 078 11.8 0.0 2 094 902 87 216 17 878 878 22 743 785 Рис. 195

Задумаемся над полученным результатом. Фактически, модель дает нам рекомендации относительно желательной численности структуры наших трудовых ресурсов. Если предстоящий нам год - типичный по объему заказов их распределению по месяцам, то для минимизации издержек нам следует иметь не 1583 рабочих, а 2725, причем 878 (т.е. примерно треть из них) должны быть сезонными рабочими.

Мы не ставили подобный вопрос, когда формулировали задачу среднесрочного планирования. Но в этом, как раз, и сила хорошей

количественной модели: она содержит в себе ответы на вопросы, которые мы даже не предполагали задавать при ее формулировке!

Вопрос 2. Не слишком ли малы изменения издержек в разных рассмотренных стратегиях? Ведь фактически, при суммарных издержках на уровне $22-25 млн. разница между различными стратегиями (включая оптимальную) не превышает $1-2 млн. Стоит ли вообще тратить время на минимизацию ?

Для ответа на этот вопрос рассчитаем, сколько нужно выплатить рабочим за нормированные часы, чтобы выполнить годовой план по спросу. Просто просуммируем цифры ежемесячных спросов в ячейках С5:С16 последней таблицы, умножим на 1 млн., разделим на 30 и умножим на стандартную оплату одного рабочего часа - $5. Получится $21,7 млн. Это - тот базовый уровень неизбежных расходов, от которого и нужно отсчитывать реальные издержки, связанные с тем, что план отгрузки нужно выполнять каждый месяц (а не только в целом за год), для чего необходимо варьировать численность рабочих, сверхурочных и незанятых часов и нести издержки хранения.

Если использовать этот базовый уровень неизбежных затрат, то нетрудно проверить, что оптимальная стратегия лучше, чем стратегия №1 - в 4,6 раза, чем стратегия №2 - в 5,8 раза, чем стратегия №3 - в 3 раза.

Кроме того, время даже очень квалифицированного сотрудника, затраченное на подобную минимизацию стоит гораздо меньше, чем $1 млн.

Вопрос 3. Зачем компьютер в декабре вводит режим неполной занятости, если в январе следующего года рабочих, все равно, придется увольнять?

Этот вопрос, часто задаваемый в аудитории, «индуцирован» процедурой исследования, проведенной при ответе на вопрос 1. Там мы, как бы, свернули нашу таблицу MS Excel в кольцо, оптимизируя план на несколько идентичных лет вперед. Реально, компьютер оптимизирует план от января до декабря и ничего «не знает» про следующий январь. Следующий год - за границами нашей модели.

Если Вам угодно провести явную оптимизацию плана на три года (предположив, что спрос в следующих годах будет такой же, как в нынешнем), следует просто скопировать кусок таблицы Л5$:С16 вниз на два следующих года, а затем протянуть формулы в ячейках H6:M6 до конца надстроенной таблицы. Нужно только заново ввести внизу формулу для суммарных издержек (ячейка L41).

Остается заново ввести установки Поиска решения с учетом того, что число переменных увеличилось до 144, и найти новое оптимальное решение.

Оптимальный план на три года, приведенной на Рис. 196, не предполагает никаких незанятых часов в декабре первого года, а рекомендует увольнять рабочих в декабре первого и в январе второго года и в декабре второго и в январе третьего года. При этом суммарные издержки за три года получаются, естественно, ниже, чем при последовательной минимизации сначала на первый, а потом на второй и третий годы (проведенной при ответе на вопрос 1).

Проблема, однако, в том, что спрос на три года вперед редко когда известен. А, кроме того, подобный эффект, все равно, возникнет на границе второго и третьего года. Поэтому на практике для преодоления замеченного нами «граничного эффекта» (когда рекомендуемые компьютером действия в конце рассматриваемого периода не учитывают условий начала следующего периода) применяют, так называемый, «катящийся план». Суть его очень проста. Сначала делаем расчет на 12 периодов. Следуем рекомендации оптимального плана на первый период. А в конце первого периода получаем от отдела маркетинга и сбыта прогноз на 13 период (ведь если этот отдел выдал информацию о спросе на 12 месяцев вперед, он способен повторять это каждый месяц) и повторяем оптимизацию, только теперь для периодов со 2-го по 13-ый и.т.д. А | В | С|0| Е|Р| Э Н I J К 1. М 1 Оптимальная смешанная стратегия 2 Количество рабочих на начало года Начальный склад 3 1 583 0 4 Кол.

раб.

дней Спрос

$Млн. Найм Уволь-

не-ние Св.

уроч.

часы Не

занят.

часы Кол.

рабо-чих Раб.

часы Продукция

$Млн. Склад

$Млн. Издержки $ Макс. св. уроч. 5 Янв 20 7.6 0.333 0 0 0 1 583 253 333 7.6 0.0 1 266 733 50 667 6 Фев 21 8.4 83.33 0 0 0 1 667 280 000 8.4 0.0 1 416 667 56 000 7 Мар 23 10.2 181.2 0 0 0 1 848 340 000 10.2 0.0 1 736 232 68 000 8 Апр 20 9.0 215.7 0 0 0 2 063 330 159 9.9 0.9 1 712 022 66 032 9 Май 22 11.8 0 0 0 0 2 063 363 175 10.9 0.0 1 815 873 72 635 10 Июн 22 7.0 0 0 0 0 2 063 363 175 10.9 3.9 1 893 778 72 635 11 Июл 10 8.6 0 0 0 0 2 063 165 079 5.0 0.2 830 349 33 016 12 Авг 23 12.6 649.9 0 0 0 2 713 499 257 15.0 2.6 2 678 762 99 851 13 Сен 20 14.4 0 0 0 0 2 713 434 136 13.0 1.2 2 195 670 86 827 14 Окт 22 12.8 0 0 0 0 2 713 477 550 14.3 2.8 2 443 268 95 510 15 Ноя 20 15.8 0 0 0 0 2 713 434 136 13.0 0.0 2 170 682 86 827 16 Дек 20 11.8 0 255 0 0 2 458 393 333 11.8 0.0 2 094 176 78 667 17 Янв 20 7.6 0 611 0 0 1 847 295 597 8.9 1.3 1 808 770 59 119 18 Фев 21 8.4 0 0 0 0 1 847 310 377 9.3 2.2 1 595 472 62 075 19 Мар 23 10.2 0 0 0 0 1 847 339 937 10.2 2.2 1 743 233 67 987 20 Апр 20 9.0 0 0 0 0 1 847 295 597 8.9 2.0 1 518 893 59 119 21 Май 22 11.8 0 0 0 0 1 847 325 157 9.8 0.0 1 625 786 65 031 22 Июн 22 7.0 0 0 0 0 1 847 325 157 9.8 2.8 1 680 881 65 031 23 Июл 10 8.6 588.1 0 0 0 2 436 194 843 5.8 0.0 1 091 824 38 969 24 Авг 23 12.6 290 0 0 0 2 725 501 490 15.0 2.4 2 614 336 100 298 25 Сен 20 14.4 0 0 0 0 2 725 436 078 13.1 1.1 2 202 933 87 216 26 Окт 22 12.8 0 0 0 0 2 725 479 686 14.4 2.7 2 452 784 95 937 27 Ноя 20 15.8 0 0 0 0 2 725 436 078 13.1 0.0 2 180 392 87 216 28 Дек 20 11.8 0 267 0 0 2 458 393 333 11.8 0.0 2 100 245 78 667 29 Янв 20 7.6 0 611 0 0 1 847 295 597 8.9 1.3 1 808 770 59 119 30 Фев 21 8.4 0 0 0 0 1 847 310 377 9.3 2.2 1 595 472 62 075 31 Мар 23 10.2 0 0 0 0 1 847 339 937 10.2 2.2 1 743 233 67 987 32 Апр 20 9.0 0 0 0 0 1 847 295 597 8.9 2.0 1 518 893 59 119 33 Май 22 11.8 0 0 0 0 1 847 325 157 9.8 0.0 1 625 786 65 031 34 Июн 22 7.0 0 0 0 0 1 847 325 157 9.8 2.8 1 680 881 65 031 35 Июл 10 8.6 588.1 0 0 0 2 436 194 843 5.8 0.0 1 091 824 38 969 36 Авг 23 12.6 290 0 0 0 2 725 501 490 15.0 2.4 2 614 336 100 298 37 Сен 20 14.4 0 0 0 0 2 725 436 078 13.1 1.1 2 202 933 87 216 38 Окт 22 12.8 0 0 0 0 2 725 479 686 14.4 2.7 2 452 784 95 937 39 Ноя 20 15.8 0 0 0 0 2 725 436 078 13.1 0.0 2 180 392 87 216 40 Дек 20 11.8 0 0 0 42 745 2 725 436 078 11.8 0.0 2 094 902 87 216 41 67 479 968 42 В среднем за год 22 493 323 Рис. 196

Таким образом, каждый раз, рассчитав оптимальный план на 12 периодов вперед, мы реально делаем только первый шаг, корректируя наши дальнейшие действия, в зависимости от новой информации о спросе, поступающей в следующие периоды.

Вопрос 4. Почему, все-таки, компьютер не использует сверхурочных

часов?

Ответ на этот вопрос очевиден: потому что ставка оплаты за сверхурочные часы слишком высока по сравнению с другими имеющимися возможностями.

Попробуем уменьшить ставку оплаты за сверхурочные с 50% к норме (т.е. с $7,5 за час) до 20% к норме (т.е. до $6 за час). Поменяем соответствующую формулу в ячейке Ь5 для плана на 1 год и протянем ее на ячейки Е6:Е16. Повторив расчет, получим результат, показанный на Рис. 197. А|В|С|0|Е|р| Э Н I J К 1. М 1 Оптимальная смешанная стратегия 2 Количество рабочих на начало года Начальный склад 3 1 583 0 4 Кол.

раб.

дней Спрос

$Млн. Найм Уволь

не-ние Св.

уроч.

часы Не

занят.

часы Кол.

рабо-чих Раб.

часы Продукция

$Млн. Склад

$Млн. Издержки $ Макс. св. уроч. 5 Янв 20 7.6 0.333 0 0 0 1 583 253 333 7.6 0.0 1 266 733 50 667 6 Фев 21 8.4 83.33 0 0 0 1 667 280 000 8.4 0.0 1 416 667 56 000 7 Мар 23 10.2 181.2 0 0 0 1 848 340 000 10.2 0.0 1 736 232 68 000 8 Апр 20 9.0 215.7 0 0 0 2 063 330 159 9.9 0.9 1 712 022 66 032 9 Май 22 11.8 0 0 0 0 2 063 363 175 10.9 0.0 1 815 873 72 635 10 Июн 22 7.0 0 0 0 0 2 063 363 175 10.9 3.9 1 893 778 72 635 11 Июл 10 8.6 0 0 0 0 2 063 165 079 5.0 0.2 830 349 33 016 12 Авг 23 12.6 527.1 0 0 0 2 591 476 667 14.3 1.9 2 527 703 95 333 13 Сен 20 14.4 0 0 587 0 2 591 414 493 12.5 0.0 2 075 983 82 899 14 Окт 22 12.8 0 0 0 0 2 591 455 942 13.7 0.9 2 297 275 91 188 15 Ноя 20 15.8 0 0 82 899 0 2 591 414 493 14.9 0.0 2 569 855 82 899 16 Дек 20 11.8 0 0 0 21 159 2 591 414 493 11.8 0.0 2 030 145 82 899 17 1008 0 22 172 616 Рис. 197

Как видно, теперь возможность назначения сверхурочных часов использована, причем в ноябре назначено максимальное количество сверхурочных - 20% от нормированных часов ноября. При этом суммарные издержки уменьшились за счет сильного уменьшения издержек хранения и уменьшения количества нанятых рабочих.

Таким образом, опять, анализ агрегатного плана оптимальной смешанной стратегии стимулирует обсуждение вопросов, выходящих за рамки среднесрочного планирования. Если мы хотим уменьшить число сезонных рабочих, рекомендованное по результатам анализа вопроса 1, следует пересмотреть тариф оплаты сверхурочных часов. Задачи для самостоятельного решения 5.1.

План для MemoBlink

Фирма MemoBlink поставляет модули для промышленных компьютеров. Издержки производства составляют в расчете на модуль: произведенный в основное время - $70, в сверхурочное время - $110, при использовании субподрядчика - $120.

Затраты на хранение - $4 за единицу в месяц.

Спрос на модули и мощности по производству в предстоящие 4 месяца даны в таблице: Январь Февраль Март Апрель спрос 2000 2200 1700 2200 мощности основное время 1500 1500 750 1500 сверхурочное время 300 300 150 300 субконтракт 500 500 500 500 Изделия произведенные сверх спроса можно хранить на складе, что влечет за собой соответствующие издержки хранения. a.

Составьте агрегатный план производства на четыре месяца, позволяющий минимизировать издержки и добиться безусловного удовлетворения спроса. b.

Предположим, что Вы продаете модули по цене $200. Составьте агрегатный план производства на те же четыре месяца, позволяющий максимизировать прибыль. c.

Что изменится в плане, если цена продажи модулей снизится до $115.

18 5.2.

Компания «ПП-Быстроупак» (бизнес-кейс)

Компания «ПП-Быстроупак» собирается реконструировать законсервированную в 90-х годах фабрику для производства полипропиленовой тары и изделий из полипропилена - мешков, сеток для овощей, сетки для изгородей и т.п. На рынке имеется достаточное количество типового

18 Задачу предложил слушатель программы МВА ИБДА АНХ при Правительстве РФ Джавахян Виген Мишаевич (группа Магистр 11) в 2004 г. (Коммерческий директор холдинга "Марта") оборудования для подобного производства. Выбор конфигурации цехов зависит от планируемого объема выпуска продукции разного вида.

В таблице приведены издержки времени, которые необходимы для производства полуфабрикатов для 1000 шт. продукции (для сетки для изгородей - на 1000 п.м. сетки). Например, для 1000 шт. мешков типа ББ требуется 1.5 часа работы экструдера 1, 0.9 часа работы экструдера 2, 1.05 часа вязального 1 и 0.9 часа печатного станка типа Ж или 3 часа работы печатного станка типа Е. Печатный станок типа Ж позволяет делать на мешках простую одноцветную печать, а станок типа Е - может печатать восьмицветные красивые логотипы компаний, заказывающих тару для своей продукции. Цены на такие мешки с цветными логотипами несколько выше, что и отражено в таблице числами 72/80 - т.е. 72 (с простой печатью) или 80 (с цветной) долларов прибыли с 1000 мешков. Мешки

В Мешки

ВБ Мешки

Б8 Сетки

малые Сетки

большие ПП

изгород

ь Экструдер 1 1.50 1.50 1.50 0.60 1.20 0 Экструдер 2 - 0.90 1.20 - - 32 Вязальный 1 1.05 1.05 1.05 - - 0 Вязальный 2 - - - 0.75 1.35 0 Плетельный - - - - - 24 Печатный Ж или Е 0.9/3 0.9/3 0.9/3 - - 0 Прибыль, $/1000 шт или метров 40 / 46 72 / 80 112 / 122 14 32 480 Потребность рынка, тыс. шт. 800 250 200 400 100 12 Конечно, новая фабрика потребует времени на наладку оборудования и поиск клиентов. Но отдел маркетинга оценивает возможности сбыта основных видов продукции к концу года как очень хорошие. Конкретные числа также приведены в таблице. Очевидно, что подобный уровень спроса сулит неплохие прибыли, но это в будущем. А сейчас компания с трудом собрала полтора миллиона долларов на закупку оборудования.

Вновь принятый на работу директор по производству видел примерный план закупки оборудования, но сейчас он хочет определить оптимальный, с точки зрения максимальной прибыли для прогнозируемой потребности в продукции, план закупки станков. Цены на все станки в тыс. долл. указаны во второй таблице. Экструдер 1 Экструдер 2 Вязальный 1 Вязальный 2 Плетель

ный Печатный Е Печатный И 120 100 60 50 80 70 20 Фабрика будет работать в две смены (16 часов в день) 26 дней в месяц в среднем.

а. Определите, сколько и каких станков следует закупить, чтобы максимизировать месячную прибыль. Мешки одного вида, но с разным типом печати, можно выпускать в произвольном соотношении (в рамках прогнозируемой потребности). b.

Какое количество продукции разного вида выгодней выпускать на закупленном оборудовании? Каков ожидаемый размер прибыли? c.

После заключения контрактов на поставки оборудования, директор по производству случайно выяснил, что печатный станок Е довольно капризен, и часто нуждается в наладке. При этом его реальная производительность составляет только 80% от номинальной. Как это обстоятельство повлияет на план выпуска продукции? 5.3.

Ферма Бэрримора

Фермер Джон Бэрримор получил по наследству ферму площадью 200 гектар. Ферма не слишком процветает, но Джон хотел бы превратить ее в процветающее хозяйство. Однако есть проблемы.

Основная проблема заключается в том, что в настоящий момент денег у Джона нет, а нужно профинансировать начинающийся год. Да еще необходимо выкупить закладную на ферму на сумму $250 тыс. в ближайшие два года. Для поправления дел можно взять ссуду на пятилетний срок под 15% в год, но для этого в банк следует представить хороший бизнес-план, из которого было бы видно, что ссуда будет выплачена в срок. При этом деньги нужно возвращать начиная со второго года, не менее четверти исходной суммы в год.

В общем, Джон должен спланировать хозяйственную деятельность на ферме и финансовые потоки на ближайшие 5 лет.

В настоящее время на ферме имеется стадо коров из 120 голов. Из них 10 новорожденных телок, 10 телок годовалого возраста и по 10 дойных коров каждого из возрастов от 2 до 11 лет.

Каждая дойная корова приносит в среднем 1 1/10 теленка в год. Половина этих телят - бычки, которые продаются почти сразу после рождения в среднем за $200 каждый. Оставшиеся телки могут быть либо проданы практически немедленно за $300 каждая, либо откармливаться в течение двух лет, для пополнения стада дойных коров в двухлетнем возрасте. После достижения 12-ти летнего возраста коровы должны быть проданы, выручка составляет $500 за каждую. В текущем году приплод и старые коровы уже проданы.

Для прокорма одной телки необходимо 2/3 гектара площади пастбищ и сенокосов, а для прокорма одной дойной коровы - 1 гектар. Кроме этого каждая дойная корова для производства молока требует 0,9 тонн зерна и 9 тонн сахарной свеклы в год. Содержание скота - телок и дойных коров - требует затраты 18 и 62 рабочих часа в год соответственно.

Зерно и сахарную свеклу можно выращивать на ферме или покупать. Каждый гектар занятый сахарной свеклой дает 35 тонн свеклы. Каждый гектар, занятый под пшеницу, дает 3 тонны зерна. На ферме Джона только 25 гектар подходят для выращивания зерна.

Зерно и свекла могут быть, разумеется, закуплены на стороне. Зерно - за $90 тонна, а свекла - за $40 тонна. Собственный урожай можно продать по тем же ценам.

Каждый из продуктов фермы требует определенных трудозатрат, ресурс которых, измеряемый в человеко-часах, ограничен, и равен 5500 часов в год. Этот ресурс стоит фермеру $38 500 в год. Если нанимать работников дополнительно, то это будет стоить $8 за рабочий час. Выращивание зерна и свеклы требуют 4 и 14 рабочих часов в год на гектар соответственно.

Молоко от одной коровы дает ежегодный доход $6000.

В имеющемся помещении фермы в настоящее время можно разместить не более 130 коров. Если поголовье потребуется увеличить, будут необходимы единовременные затраты в размере $800 на одну добавочную корову (телку) в среднем. Джон твердо решил, что в конце пятого года его дойное стадо не должно превышать 170 голов, так как иначе будут возникать проблемы, которые он не в силах формализовать. Кроме этого в целях обеспечения продолжения хозяйственной деятельности после 5-го года он должен оставлять ежегодно не менее 10 телок. Из этих же соображений площади под зерно и свеклу на пятом году должны быть не менее чем площади на четвертом, несмотря на то, что урожай можно будет использовать только на шестом году.

Каждый из продуктов фермы требует также затраты других ресурсов, что приводит к финансовым издержкам, пропорциональным количеству производимого продукта: каждая телка обходится в $547 в год, каждая дойная корова - в $1350 в год, каждый гектар, отведенный под зерно - $100 в год, и, наконец, каждый гектар, отведенный под свеклу - $200 в год.

Ни в каком году финансовый поток не должен быть отрицательным. a.

Как фермер должен работать за следующие пять лет, чтобы максимизировать прибыль? b.

Какую наименьшую ссуду он может взять, чтобы обеспечить положительный баланс? c.

Банк по своим расчетам предполагает, что Джон должен взять ссуду в $500 тыс. Выгодно ли это Джону? Какой размер ссуды ему наиболее выгоден?

Указания: Для простоты деньги, которые зарабатывает Джон Бэрримор, не дисконтирутся.

Поиск решения иногда выдает ложное сообщение о невыполнении линейности. В этом случае еще раз запустите Поиск решения. 5.4.

Горные лыжи

Компания, производящая горные лыжи, планирует производство на 3-ий квартал. В июле компания нанимает значительное число студентов, готовых работать в вечернюю и ночную смены. Это позволяет повысить загрузку оборудованию и довести производственную мощность предприятия до 1000 пар лыж в месяц против 400 пар в случае, если на фабрике заняты только постоянные рабочие. Число работающих студентов убывает в августе, поскольку они готовятся к возвращению в свои университеты. В результате производственная мощность в августе не превышает 800 пар. В сентябре студенты на предприятии отсутствуют, и производственная мощность возвращается к исходному значению 400 пар в месяц.

Поскольку компания платит студентам меньше, чем кадровым рабочим себестоимость продукции в эти месяцы оказывается разной. В июле она составляет $25 за пару, в августе $26 за пару, а в сентябре $29 за пару. Использование сверхурочных добавляет к себестоимости в июле $5 за пару, в августе - $6, а в сентябре - $8.

Вместе с тем, спрос на продукцию компании значительно растет по мере приближения к зимнему сезону. Он прогнозируется на уровне 300 пар в июле, 500 пар в августе и 1000 пар в сентябре. Поскольку в 4-ом квартале спрос также прогнозируется высокий, а производственные мощности компании не увеличатся, требуется создать к концу сентября резерв в 1200 пар. В начале июня на складе - 200 пар лыж.

Ясно, что для удовлетворения спроса, компания должна создавать запасы в летние месяцы. При этом необходимо принять во внимание, что издержки хранения составляют 3% в месяц. Кроме того, так как суммарный спрос (включая резервный запас), который компания должна удовлетворить в эти месяцы составляет 300+500+1000+1200=3000 пар, а нормальная производственная мощность плюс запас составляет 1000+800+400+200=2400 пар, неизбежно введение сверхурочной работы. Максимальное увеличение производственной мощности за счет сверхурочных часов составит в июле 20%, в августе - 50% и в сентябре - 50%. При этом в июле и в августе оборудование будет работать в три смены, а в сентябре кадровые рабочие будут работать по 12 часов в сутки. a.

Составьте план производства по месяцам. Как будут загружены производственные мощности? b.

Каков будет объем хранимых запасов на конец каждого месяца? 5.5.

Компания Красный молот

Компания Красный молот производит бытовые электроинструменты: дрели, отвертки, фрезеры, косилки и проч. Спрос на эту продукцию в России имеет ярко выраженный сезонный характер. Электроинструмент востребован потребителем с мая по август, но дистрибьюторы и мелкие оптовые покупатели закупают товар в основном с января по март и небольшое количество в остальные месяцы года. Спрос на электроинструменты, тыс. штук янв фев мар апр май июн июл авг сен окт ноя дек 75 150 200 150 40 20 20 20 15 15 15 25 Завод закупает необходимые для производства материалы на рынке, где сезонный спрос практически отсутствует, поэтому не зависимо от времени закупки материалы обходятся ему в среднем в 300 руб. на единицу электроинструмента. Средняя добавленная стоимость при производстве составляет 400 руб. и тоже не зависит от времени производства. Однако завод варьирует среднюю отпускную цену, следуя политике конкурентов. По месяцам эта отпускная цена выглядит следующим образом. Отпускная цена завода на электроинструмент янв фев мар апр май июн июл авг сен окт ноя дек 1000 1100 1200 1300 1300 1300 1300 1300 1000 1000 1000 1000 Это изменение цен ожидаемо дистрибьюторами и сохраняется уже в течение нескольких лет (не считая некоторого инфляционного роста средних цен).

Постоянная часть издержек, связанная с функционированием цехов, составляет 6 млн. руб. в месяц. Причем эту издержку можно снизить до 1 млн., если цеха законсервировать и полностью остановить производство.

Так как завод способен производить до 100 тыс. единиц продукции в месяц, то его мощности вполне достаточно, чтобы удовлетворить спрос. Однако в некоторые месяцы спрос превышает предельную мощность и в таких случаях приходится производить товар заранее и хранить на складе. Издержка хранения, связанная с замораживанием денег, составляет для предприятия 50% в год.

Учитывая реальную мощность предприятия, был составлен план производства (см. таблицу) полностью удовлетворяющий спрос. План производства, тыс. единиц янв фев мар апр май июн июл авг сен окт ноя дек 100 100 100 100 100 0 0 0 0 45 100 100 Составители плана исходили из того, что в сентябре завод не работает и к октябрю склад завода пуст. a.

Какую прибыль получает завод с учетом потерь, связанных с издержками хранения? b.

Можно ли в рамках имеющихся ограничений составить лучший план? Как изменится прибыль? c.

Если не задавать заранее рабочие и нерабочие месяцы, то возможно ли еще улучшить полученный многопериодный план? 5.6.

Компания АгроМашЗавод

Компания АгроМашЗавод, планирует закупку комплектующих для одного из ее изделий - косилки Стриж-8а - для заключения договоров с производителями. Ожидаемая потребность на одно из комплектующих в течение следующих двенадцати месяцев дана в следующей таблице. Месяц 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Потребность 20 20 30 40 140 360 500 540 460 80 0 20 Часть стоимости выполнения заказа, не зависящая от количества заказываемых компонентов и включающая такие издержки, как оплата труда рабочих, оформления документов, часть транспортных расходов и пр., составляет 5000 руб. Издержки хранения одной единицы этого комплектующего составляют 50 руб. в месяц при стоимости самого комплектующего 500 руб. a.

Составьте план закупки этого комплектующего на предстоящий годовой период в предположении, что никаких скидок на крупный заказ нет. Каково оптимальное число заказов? b.

Сколько средств позволяет сэкономить этот план в сравнении с ежемесячными заказами? c.

Постройте зависимость годовых издержек от числа заказов в году. При любом количестве заказов, они должны быть сделаны в оптимальные сроки. Постройте график для этой зависимости. 5.7.

Компания «Лем и сыновья»

Производственная фирма изготавливающая различные бытовые устройства, выпускает, в частности, сепулькаторы модели DUAL. На это изделие имеется план заказов и весьма устойчивый прогноз отдела маркетинга на следующий год. В соответствие с этим планом нужно выпустить следующее количество продукции: Месяц и

К и

е о,

cd Л

с

< Май Июн ч

2

К и

< н

(U

О О я

о

К и

(U Спрос 600 550 600 350 625 400 680 325 325 620 450 500 Имеющаяся мощная универсальная роботизированная линия позволяет произвести всего за один месяц все требующиеся изделия.

Переналадка этой линии для производства сепулькаторов стоит $3000. В то время, когда она не занята изготовлением этой продукции, линия загружена другими изделиями из обширного ассортимента фирмы.

Известно, что преждевременное производство продукции, которая не будет в данном месяце отгружена потребителю, приводит к омертвлению капитала. Размер упущенной выгоды при этом зависит от общей прибыльности конкретного бизнеса. Отдел логистики фирмы подсчитал, что хранение 1 сепулькатора на складе в течение месяца приносит $2.5 убытка - т.н. издержки хранения. a.

Составьте план запуска универсальной линии на производство сепулькаторов на год так, чтобы минимизировать общие издержки хранения и запуска. Какова будет сумма издержек? b.

Сравните оптимальные издержки с вариантами изготовления годового запаса сразу и ежемесячного запуска линии.

Указание: если при запуске Поиска решения появится сообщение «Условия линейной модели не удовлетворяются», ответьте ОК и запустите Поиск решения еще раз, не обнуляя переменные. 5.8.

График доставки

Прогноз спроса на сырье для производства тангриза на следующий год по результатам продаж предыдущих лет (с учетом слабого возрастающего тренда и сезонности), представлен в таблице. Месяц 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Заказ,

мешков 134 136 138 140 140 144 288 420 340 200 160 160 Стоимость одного мешка сырья 5 у.е. При оценке издержек хранения сырья на складе учитывается стоимость замороженного капитала в размере 2% от стоимости сырья в месяц.

Сырье поставляется на предприятие в железнодорожных вагонах. В каждом вагоне можно привезти не более 600 мешков сырья. Стоимость доставки одного вагона сырья - 50 у.е.

а. Составьте план поставок сырья на склад завода, минимизирующий суммарные издержки хранения и доставки. Учтите два варианта работы с поставками:

1. Поставки идут только полными вагонами; п. Вагоны могут идти с неполной загрузкой. b.

Какое количество вагонов потребуется в том и другом случаях для выполнения всех поставок в течение года? c.

Какое количество вагонов будет оптимальным при стоимости доставки 80 у.е. и неполной загрузке вагона?

ё. При какой минимальной стоимости доставки (с точностью до 5 единиц) оказывается выгодным грузить вагоны полностью?

Указание: если при запуске Поиска решения появится сообщение «Условия линейной модели не удовлетворяются», ответьте ОК и запустите Поиск решения еще раз, не обнуляя переменные.