8.5. Модель И. Фишера

Ничему не удивляться, ничем не возмущаться,

а стараться понять.

Древнее латинское изречение

Инвестор, обладающий определенной суммой денег 1т на момент ?(, должен решить, как ему лучше разделить ее между текущим потреблением и инвестициями в активы, обеспечивающие доходы к моменту Предпочтения инвестора можно охарактеризовать посредством задания семейства кривых безразличия.

с — часть средств, направляемых на потребление в момент с; — денежный доход, полученный инвестором от инвестиций к моменту Предполагается, что имеющаяся сумма доступных на момент ( средств фиксирования и непотребленные средства инвестируются оптимальным образом. Все точки, лежащие на одной кривой безразличия, рассматриваются как равноценные.

Пусть потенциальные возможности вложений упорядочены по убыванию их рентабельности. Возможные альтернативы текущего потребления с, и будущего дохода с3 представим на графике (рис. 8.2) в плоскости (с , с.,), называемом трансформационной кривой.

Исходную задачу теперь можно сформулировать в виде: среди точек кривой трансформации найти ту, для которой оценка функции полезности инвестора является наибольшей.

Оптимальный план инвестиций (и потребления) представляется точкой Р, в которой кривая безразличия касается кривой трансформации.

Точка P характеризуется свойством: в ней одинаковы наклоны кривых безразличия и кривой трансформации. Абсолютная величина наклона кривой трансформации указывает, на сколько денежных единиц увеличится к моменту ?2 доход инвестора, если в момент объем инвестиций возрастет на 1 д. е. и определяет рентабельность предельной д. е. вложений. Наклон кривой безразличия определяется соотношением предельных полезностей

(ды/дс^)/(Ви/Эс2).

Кривая трансформации имеет отрицательный наклон, который уменьшается по абсолютной величине с ростом инвестиций.

Коэффициент рентабельно-

Индивидуальная ставка дисконта проекта в Т-йгод, отн. ед.

Т — момент выхода инвестора из бизнеса, определяемый как момент достижения максимального значения стоимости пакета акций

Суммарный доход инвестора, приведенный к начальному шагу расчета, руб.

Доход владельца за инновационный цикл, руб.

сти, отн. ед. О

?

с»

С,(Р)

СГ(<Р)

Рис. 8.2. Трансформационная кривая му оптимальный объем инвестирования достигается в том случае, если рентабельность последней инвестированной денежной единицы вложений равна отношению предельных полезностей текущего потребления и будущих доходов. Оптимальная инвестиционная программа включает все объекты инвестиций, лежащие справа от точки Ркасания.

Абсолютная величина наклона кривой безразличия отражает прежде всего временные предпочтения инвестора. Чем больше эта величина, тем больше он склонен к текущему потреблению, соответственно — менее к инвестированию.

Построение кривой трансформации рассмотрим на примере.

Пример

Пусть имеются 4 потенциальных объекта вложений (табл. 8.7) при / - 1050 д. е.

Таблица 8.7

Показатели объектов вложения средств Объекты

вложений Требуемые на момент г,

капиталовложения (д. е.) Доходы от вложений на момент f, (д. е.) Рентабельность вложений,% 1 200 200 100 2 200 50 25 3 250 50 20 4 400 20 5 Если инвестор всю 1т сумму направит на потребление, то с= 0. Если инвестор ограничится вложением средств только в объект А, то сумма потребления составит 850 д. е., а если в объекты А и В — то сумма потребления составит 650 д. е. (табл. 8.8). Возможные варианты текущего и будущего потребления можно охарактеризовать точками на следующем рис. 8.3.

Таблица 8,8 Варианты вложения средств Варианты вложений Средства, направляемые на потребление в момент t Доходы от вложений на момент t2 (д. е.) c1 с2 А. все на потребление 1050 0

Окончание табл. 8.8 Варианты вложений Средства, направляемые на потребление в момент t^ Доходы от вложений на момент^ (д.

Любой инвестор обладает возможностью как получить кредит, так и вложить капитал по единой процентной ставке г, 2.

Рынок капитала информационно доступен и прозрачен. Инвестор и предприятия исходят при формировании своих планов потребления и проектов инвестиций из одной и той же информации (однородность ожиданий инвесторов). 3.

Транзакционные издержки и налоги не учитываются.

О 400 650 850 1050 с,

Рис. 8.3. Кривая АБООЕ — кривая трансформации

Как сказывается существование совершенного рынка капиталов на выборе оптимального инвестиционного плана? Как и ранее, ограничим рассмотрения однопериодным случаем: на совершенном рынке капиталов каждый инвестор может разместить производственную сумму I под г процентов и получить /?(/) = /(1 + IV д. е. в конце периода. Текущая цена подлежащей получению в момент ?, одной д. е. составляет, следовательно, 1/(1 + г) д. е.

Покажем, последовательно увеличивая объем вложений, что при сделанных предположениях оптимальный объем вложений достигается в том случае, когда рентабельность последней дополнительной единицы вложений составит (1 + г).

Пусть на текущий момент рентабельность предельной единицы вложений больше (1 + ), Тогда инвестору выгодно взять кредит в одну денежную единицу и инвестировать ее. Поскольку поступления от этой единицы больше, чем обязательства по погашению кредита, составляющие (1 + г) д.

Отметим, что при определении оптимального объема вложений пикаю не учитывались специфические свойства функции полезности индивидуального инвестора. Поэтому любой инвестор, имеющий возможности для привлечения средств на совершенном рынке капиталов, будет реализовывать одну и ту же инвестиционную программу. Следовательно, наличие (совершенного) рынка капиталов позволит разрешить возможные конфликты между инвесторами.

Далее, поскольку подграфик кривой трансформации — выпуклое множество с гладкой границей, оптимальный план инвестирования определяется позицией точки Р на рис. 8.4, в которой прямая с наклоном (1 + г) касается кривой трансформации. Эта прямая называется линией рынка.

Будет ли инвестор обязательно выбирать план потребления в сумме ОЕ при доходе в размере |ОД|? Для ответа на этот вопрос необходимо учесть индивидуальные предпочтения инвестора. Для этого построим на плоскости (с,, с2) карту кривых безразличия. На рис. 8.4 это кривые/г /2 идр. Кривая/, касается линии рынка. Планы, лежащие на этой кривой, имеют для инвестора большую ценность, чем планы, лежащие на кривой 12. Отметим, что позиция с на линии рынка являет- А с I I Чц\. 1

1 Р 1

1

1

1 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1 1 \

1 1 X \ 1 1 1 \

1 1 X 1 1 ^ О Р ? !т К сг

Рис. 8.4. Определение оптимальной инвестиционной программы и плана потребления

ся вполне достижимой, если привлечь финансовые средства для дополнительных вложений.

Инвестор может, уменьшив текущее потребление, разместить дополнительно на рынке капиталов сумму \ЕГ\. В этом случае его доход на момент ?г составит \ ЕГ\ х (1 + г) + \ ОБ \. Полезность этого варианта плана выше, чем любого другого плана, поскольку в этом варианте инвестиции под г процентов обеспечивают большую рентабельность по сравнению с расширением программы за счет дополнительных реальных инвестиций.

Позиция рис. 8.4, соответствующая ситуации, в которой кривая безразличия касается линии рынка справа от точки Р, также вполне достижима. Если сс есть точка касания такой кривой, то инвестор занимает деньги в сумме \ ЕК\, направляет на инвестиции сумму Е1т\, на потребление — сумму \ОК| и возвращает к моменту ?2 сумму \ЕК х (1 + г) из доходов от инвестиционной программы.

Таким образом, различия в предпочтениях относительно структуры потребления/будущих доходов влияют лишь на финансовую, но не на инвестиционную политику. Этот результат известен как теорема отделимости И. Фишера. Термин «отделимость» означает здесь, что решение о распределении средств осуществляется в 2 этапа. На первом этапе определяется оптимальная инвестиционная программа, а на втором — объем потребления в момент 11 и политика финансирования.