загрузка...

4.2. Средняя арифметическая Средняя арифметическая простая

Средняя арифметическая применяется, если известны значения осредняемого признака (х) и количество единиц совокупности с определенным значением признака (/).

Средняя арифметическая бывает простой и взвешенной. Простая используется, если каждое значение признака х встречается один раз, т.е. для каждого х значение признака/ = 1, или если исходные данные не упорядочены и неизвестно, сколько единиц имеют определенные значения признака.

Формула средней арифметической простой имеет вид;

_ Xх.

х =-,

11

гдех—значение осредняемого признака (варианта); п — число единиц изучаемой совокупности.

4.2. Средняя арифметическая

255

Студент Петров по результатам учебного семестра имеет следующие оценки: теория бухгалтерского учета — 4, экономическая статистика — 5, финансы, денежное обращение и кредит — 3, экономика фирмы — 2. Какова его средняя оценка по результатам семестра?

Поскольку каждая оценка встречается один раз, для расчета средней применяем формулу арифметической простой:

х =

Общее число баллов 4 + 5 + 3 + 2 Число оценок ~ 4

= 3,5 балла.

Перечисленные дисциплины студент Петров сдал в среднем на 3,5 балла.

Средняя арифметическая взвешенная

Средняя арифметическая взвешенная применяется, если каждое значение признака х встречается несколько раз, т.е. для каждого х значение признака/?* 1. Данная средняя широко используется при исчислении средней на основании дискретного ряда распределения:

где х — значение осредняемого признака;

/ — вес значения признака (частота, если / — число единиц совокупности; частость, если/ — доля единиц с вариантой х в общем объеме совокупности).

Имеются следующие данные о распределении бригад по уровню выработки продукции (табл. 4.1).

Таблица 4.1

Распределение бригад по уровню выработки продукции за смену Бригады Выработка продукции в среднем на одного человека, шт. Число рабочих, чел. X / 1 ПО 12 2 120 10 ?3 130 14 4 140 8 Итого — 44 256

Глава 4. Средние величины в статистике

Определим сменную выработку рабочего в среднем по четырем бригадам. Введем строку условных обозначений, приняв за х значения осредняемого признака, /— число рабочих с данным значением х.

Исходные данные представлены в виде дискретного ряда распределения; каждое х встречается несколько раз, следовательно, применяем формулу средней арифметической взвешенной:

_ IV

х = -

I/

Тогда

Выработка всеми рабочими Число рабочих ~*

ПО-12+ 120-10+ 130-14+ 140-8 5460

=--—-= ——— = 124,09 шт.

44 44

В смену рабочий данных четырех бригад изготавливает в среднем 124 единицы продукции.

Расчет средней по интервальному ряду

Если исходные данные заданы в виде интервального ряда, то:

1) закрывают открытые интервалы, приняв их равными ближайшим закрытым;

2) за значения осредняемого признака х берут середины интервалов и строят условный дискретный ряд распределения:

х- 2 ,

где хн.г — значение нижней границы интервала («от»); хв.г — значение верхней границы интервала («до»).

3) расчет средней производится по средней арифметической взвешенной.

Имеются данные о распределении рабочих цеха по стажу работы:

Стаж работы, лет Доля рабочих, % к итогу До 5 10

5-10 > 44

10-15 30

15-20, 10

20 и выше 6

Каков средний стаж работы рабочего данного цеха? Строим расчетную таблицу, обозначив долю рабочих через/:

4.2.

Средняя арифметическая

257 Стаж работы, лет / X х/ До 5 (0-5) 10 2,5 25 5-10 44 7,5 330 10-15 30 12,5 375 15-20 10 17,5 175 20 и выше (20-25) 6 22,5 135 Итого 100 — 1040 Закрываем открытый интервал «до 5». Ширина ближайшего закрытого интервала равна 5 годам (5—10), следовательно, наш интервал примет вид от 0 до 5. Аналогично открытый интервал «20 и выше» примет вид 20-25, поскольку ширина ближайшего закрытого (15-20) равна 5.

Находим середину каждого интервала и принимаем ее за значение х.

Исчисляем значения х/ и сумму этих значений, необходимую для расчета средней арифметической взвешенной, заносим результаты в расчетную таблицу.

Определяем средний стаж рабочего:

Х = '

Число отработанных лет всеми рабочими 1040 Число рабочих 100

= 10,4 лет.

Рабочий данного цеха отработал в среднем 10,4 года. Расчет средней по интервальному ряду распределения дает приближенный результат за счет того, что за значения х берутся не точные данные, а осредненные значения (середины интервалов).

Способ моментов

Если интервальный ряд имеет равные интервалы или дискретный ряд построен с одним и тем же шагом между ближайшими значениями признака, для расчета средней применим способ «моментов». Алгоритм метода заключается в следующем:

1) строится новый дискретный ряд распределения, в котором одна из вариант приравнивается к нулю. К нулю можно приравнять любую варианту, но для упрощения расчетов лучше «занулить» варианту, находящуюся в середине ряда и имеющую наибольшую частоту. Нулевая варианта называется основанием и обозначается хо;

2) остальные варианты нового ряда обозначаютсях' и рассчитываются по формуле:

X — Хо _

где А — ширина равного интервала или шага; х' — условные варианты;

,17-3476

258

Глава 4. Средние величины в статистике

3) определяется средняя по способу моментов:

2>?

X/

где —— -гщ — момент первого порядка.

X/

Определим среднюю сменную выработку рабочих бригад (см. табл. 4.1) способом моментов. Способ применим, поскольку в ряду распределения задан равный шаг (10 шт.).

За основание хо возьмем значение х\, равное 130 шт., поскольку оно расположено в середине ряда и имеет максимальную частоту (14 рабочих имеют данную выработку). Строим расчетную таблицу для нового ряда распределения с условными вариантами х': X / X — Хй , х-хо х= И *'/ ПО 12 -20 -2 -24 120 10 -10 „1 -10 хо= 130 14 0 0 0 140 8 10 1 8, - 44 — - -26 Определим среднюю сменную выработку рабочего данных четырех бригад:

х = хо + •

А= 130 +

(-26) 44

• 10 = 124,09шт.

Аналогично можно найти средний стаж рабочего цеха по равноин-тервальному ряду распределения рабочих цеха по стажу (п-5 лет; хо = = 12,5 лет): X / х — хо , х-хо х'/ 2,5 10 -10 -2 -20 7,5 44 . -5 - _1 -44 хо=12,5 30 0 0 0 17,5 10 5 1 10 22,5 6 10 2 12 - 100 — — -42- 4.3. Средняя гармоническая

259

Тогда

2 (- 42)

х = хо + —— /г = 12,5 + 1ЛА • 5 = 10,4 года.

<< | >>
Источник: Ёдронова В.Н., Бдронова М.В.. Общая теория статистики: Учебник — М.: Юристъ,. — 511с.. 2001

Еще по теме 4.2. Средняя арифметическая Средняя арифметическая простая:

  1. 5.3. СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ
  2. 4.4. Другие виды средних величин Средняя квадратическая
  3. 4.1. Сущность и виды средних Понятие средней
  4. Статья 200. Исправление описок и явных арифметических ошибок в решении суда
  5. 6.8. Проверка гипотез о средней и о доле Гипотезы о средней
  6. 4.3. Средняя гармоническая Средняя гармоническая взвешенная
  7. 5.2. Основные показатели среднего уровня вариационного ряда
  8. 9.3. Средние индексы из индивидуальных (групповых)
  9. 5.4. ДРУГИЕ ВИДЫ СТЕПЕННЫХ СРЕДНИХ
  10. 5.5. СТРУКТУРНЫЕ (ПОЗИЦИОННЫЕ) СРЕДНИЕ
  11. 10.3. СРЕДНИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РЯДА ДИНАМИКИ
  12. 4.7. Применение средних в социально-экономической статистике
  13. 6.5. Средние из индивидуальных индексов
  14. 7.3. Средние показатели ряда динамики