ИГРЫ С НУЛЕВОЙ СУММОЙ Майкл Бахарах Zero-sum Games Michael Bacharach

Для теории игр игры с нулевой суммой являются тем же, чем две-надцатитактовый блюз для джаза: одновременно и крайним случаем, и исторической отправной точкой. Игрой называется ситуация, характеризующаяся: 1) наличием множества агентов (игроков), у каждого из которых имеется множество альтернативных линий поведения или стратегий; 2) наличием исходов, зависящих от комбинации действий игроков и определяющих предпочтения игроков на множестве этих комбинаций; 3) тем, что каждый игрок знает, каковы эти предпочтения у всех других игроков, и знает, что они известны всем остальным. (Строго говоря, такая ситуация называется игрой с полной информаци-ей в нормальной форме — в дальнейшем мы будем иметь в виду именно ее.) В литературе по играм с нулевой суммой рассматриваются, как правило, два игрока, скажем, А и В, в распоряжении которых имеется конечное множество стратегий, а их предпочтения могут быть описаны функциями полезности фон Неймана — Моргенштерна. Такую структуру предпочтений можно представить в виде матрицы платежей, в которой элемент, стоящий на пересечении /-й строки и у'-го столбца, т.е. (иу, У^.), обозначает ожидаемые полезности или платежи соответственно игроков А и В, если первый игрок выбирает стратегию /, а второй — стратегию у. Если в игре такого типа + \у = 0 для всех / и у, то эта игра носит название матричной игры с нулевой суммой (в дальнейшем мы называем ее просто игрой с нулевой суммой). В таких играх предпочтения игроков в отношении каждой пары стратегий в точности противоположны, поэтому у них нет никаких оснований действовать как пара или команда, т.е. никаких причин для сотрудничества (кооперативных действий). Поэтому теории кооперативных игр с нулевой суммой не может быть в принципе: такие игры, по определению, являются некооперативными, и каждый игрок должен выбирать свою стратегию в условиях неопределенности относительно выбора другого. На рис. 1 приводится матрица платежей игры с нулевой суммой, которую можно назвать «Битва в Новогвинейском море». Как принято в играх с нулевой суммой, в матрице отражены только платежи игрока, выбирающего строки (поскольку тем самым заданы и платежи игрока, выбирающего столбцы, — это те же числа, только с противоположными знаками. — Примеч. пер.). Генерал Кении (игрока) должен решить, искать ли ему японский флот в северном направлении (страте 887 гия а,), где видимость плохая, или в южном (стратегия а2); японский командующий (игрок В) решает, плыть ли ему северным (стратегия Р,) или южным путем (стратегия Р2). Платеж для Кении есть ожидаемое число дней, в течение которых он сможет бомбить вражеский флот. B's strategies A's strategies ?i h ах 2 2 1 3 Рис. 1 Фон Нейман и Моргенштерн (Neumann and Morgenstern, 1944) разработали аппарат теории игр как часть теории рационального действия, изучающую групповые взаимодействия людей, при том что результат этих взаимодействий, т.е. платежи для каждого из агентов, существенным образом зависят от решений других агентов. В такой ситуации характеристика того или иного действия как рационального оказывается проблематичной, что прекрасно понимали фон Нейман и Моргенштерн. Основная теоретическая проблема состоит в том, что будут делать А и В, если каждый из них стремится достичь лучшего для себя результата. Но то, какое действие будет лучшим для А, зависит от того, что будет делать В, т.е. от того, что лучше всего для В, и т.д. до бесконечности. Фон Нейман и Моргенштерн полагали, что они отыскали удовлетворительное решение этой фундаментальной проблемы для специального случая игр с нулевой суммой. Это решение обусловило популярность таких игр. Сильная сторона теории фон Неймана — Моргенштерна состоит в том, что для широкого класса игр (игр с нулевой суммой) любой из двух совершенно независимых друг от друга принципов рационального поведения дает один и тот же совершенно определенный ответ на вопрос о том, как же должны себя вести игроки. Столь высокая степень внутренней непротиворечивости теории, проявляющаяся во взаимном подтверждении двух ее постулатов, возможно, привела к несколько преувеличенной оценке достоинств каждого из этих постулатов самого по себе. Эти два постулата или принципа рационального действия называются «принципом равновесия» и «принципом максимина». «Принцип равновесия» гласит, что стратегии а* и ?* рациональны лишь тогда, когда каждая из них есть наилучший ответ на другую, т.е. когда а* максимизирует u(d, ?*), а ?* максимизирует v(a*, ?), где и (а, ?) и v(a, ?) означают платежи игроков А и В соответственно, если выбрана пара стратегий (а, ?). (Термин «ответ» надо понимать метафорически, поскольку в данном случае нет непосредственной коммуникации.) Такая пара стратегий в теории игр называется некооперативным равно 888 весием, или равновесием по Нэшу. В данном случае ввиду того, что и(а, р) = — v(a, р), ее нередко называют также седловой точкой, поскольку она задает максимум и на множестве a и минимум и на множестве р. «Принцип равновесия» нередко понимался слишком поверхностно, однако в его защиту выдвигалось и немало строгих аргументов (см., например: Johansen, 1981). Фон Нейман и Моргенштерн отчетливо осознавали, что он может служить не более чем необходимым условием рационального выбора игроков: если рациональные стратегии существуют, они, как можно доказать, должны отвечать этому принципу, однако для их существования требуются другие, независимые причины (Нейман и Моргенштерн, 1944 (1970), разд. 17. 3). «Принцип максимина» гласит, что игрок А должен максимизировать на множестве а минимум и(а, р) на множестве р, т.е. искать «мак-симин» и, а В должен искать максимин v или, что эквивалентно, «ми-нимакс» и. Другими словами, А следует максимизировать свой уровень безопасности, который для стратегии а есть не что иное, как пппр и(а, р) — наихудший исход, который может дать ему стратегия а; a В надлежит минимизировать свои уровень риска таха и(а, Р) — наилучший исход, который может дать стратегия р его сопернику. Этот принцип неоднократно подвергался критике, и его принятие (с некоторыми оговорками) в конечном счете было отчасти обязано тому обстоятельству, что он удачным образом сочетался с другими положениями теории фон Неймана — Моргенштерна. Их собственная аргументация в его защиту была скорее интуитивной, чем строгой: они утверждали, что принцип максимина отражает рациональную осторожность игрока, не имеющего веских оснований для того, чтобы приписать определенные вероятности отдельным стратегиям оппонента. Второй аргумент (не стоящий своих авторов) был справедливо раскритикован Элсбергом (Ellsberg, 1956); в соответствии с ним, рациональным для игрока А может быть решение, принятое им при том предположении, что он принимает пассивную стратегию («Minorant game»), соответствующую матрице платежей. В такой игре А делает первый ход, а В — второй, зная, как сыграл А (иначе говоря, А выступает в роли «лидера по Штакельбергу»). В такой ситуации жесткие правила выбора в условиях определенности действительно делают для А рациональной стратегию максимина. Однако нет никаких убедительных оснований в пользу того, что А должен воспринимать ситуацию именно так. В игре с Новогвинейским морем легко видно, что набор максимин-ных пар стратегий совпадает с набором седловых точек. Этот факт наглядным образом иллюстрирует общее правило (теорема 1): если в игре с нулевой суммой имеется седловая точка, то определяющая ее пара стратегий будет седловой тогда и только тогда, когда эта пара представляет собой максимин. Теорема 1 утверждает, что два принципа выбора совпадают. Кроме того, оба принципа однозначно определяют решение, что утверждает теорема 2: если в игре с нулевой суммой есть седловая точка, то каждая максиминная стратегия одного игрока в сочетании с соответствующей максиминной стратегией другого игрока дает один и тот же платеж. 889 Значимость этих результатов несколько обесценивается тем, что их справедливость ограничивается играми, в которых есть хотя бы одна седловая точка, — во многих играх их нет вообще. В качестве решения этой проблемы фон Нейман и Моргенштерн предложили несколько расширить множество стратегий игроков в произвольной игре с нулевой суммой, с тем чтобы гарантировать существование седловой точки. Предложенный ими хитроумный способ состоял в том, чтобы наделить игроков устройствами, генерирующими случайный выбор (своего рода рулетками). Формально это означало, что к стратегиям а,, ... ат добавлялись стратегии вида «играть а, с вероятностью pt и... и ат с вероятностью рт, где рх + ... + рт = 1». Исходные стратегии а,,ат получили название чистых, а новые, производные от них — смешанных стратегий. При этих условиях стало возможно доказать, что (теорема 3) в любой игре с нулевой суммой maxamuip и(а, Р) < minpmaxa и(а, Р), причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда в игре имеется седловая точка. Таким образом, расширение множества стратегий, повышающее максимальный уровень безопасности игрока А, приводит к тому, что для игр данного класса гарантируется существование седловой точки. Разрешив игроку А «смешивать» свои стратегии, мы создаем страхующее устройство, приводящее именно к этому результату. Уровень безопасности стратегии a есть то, что А может получить, играя эту стратегию против оппонента, в точности предвидящего его действия. Правда, не следует забывать, что на практике даже и в этом случае игрок А сможет сыграть только какую-то одну из своих чистых стратегий, [которым данная смешанная стратегия приписывает отличную от нуля вероятность]. Тем не менее, в общем случае применение смешанных стратегий повышает уровень безопасности игрока А потому, что в их присутствии противник с некоторой вероятностью [выберет не самую опасную для А стратегию и] не сможет нанести ему максимальный урон. Тот факт, что этот маневр фон Неймана — Моргенштерна оказался удачным, находит свое выражение в самой, пожалуй, знаменитой теореме теории игр — так называемой теореме о минимаксе. Она гласит, что в каждой (матричной) игре с нулевой суммой и смешанными стратегиями существует седловая точка. Теорема о минимаксе является естественным аналогом теорем 1 и 2 для множества всех игр с нулевой суммой и смешанными стратегиями. Первые доказательства теоремы о минимаксе были основаны на использовании теоремы о неподвижной точке, однако она может быть доказана и «по построению», основываясь на свойствах выпуклых множеств (см.: Gale, 1951). Основные принципы этого метода для случая, когда у игрока А имеются две чистые стратегии, могут быть разъяснены при помощи рис. 2. Обозначим чистые стратегии игрока А через а, и а2, a стратегии игрока В — через Р,, Рл. Введем также q = (qv qn) — вектор смешанных стратегий, при которых В играет Ру. с вероятностью qJJ = 1,ri). На рис. 2 показан случай, когда п = 4; по осям отложены платежи игрока А при стратегиях а, и otj соответственно. Координаты вершин Y. многоугольника R соответствуют двум платежам игрока А при двух его 890 «2 к к г—1УЗ л л г 02 /45° / 0 01 Рис. 2 чистых стратегиях в тех случаях, если В сыграет чистую стратегию Ру, а все остальные точки Я соответствуют комбинациям двух платежей А при всех возможных смешанных стратегиях В. к примеру, абсцисса точки /Уесть и(а,, д) при д = (0, 0, 1/2, 1/2). На каждой линии, аналогичной линии РХКР2 уровень риска для В одинаков — таким образом, этот игрок минимизирует свой уровень риска в точке М (другие, не показанные на рисунке точки минимального риска лежат на вертикальных линиях, аналогичных РХКР2, и в вершине Ух многоугольника К). В точке Мигрок В использует смешанную стратегию д*(д*, 1 - д*, О, 0), где д* = МУ2/УХ У2; а игрок А получает платеж и* при любой своей чистой или смешанной стратегии — обозначим этот платеж через 00 х. Как область 0хМ02О, так и область Я. выпуклы. Рассмотрим разделяющую их линию /: она получена как продолжение линии У, У2, так что ее уравнение может быть записано в виде р*их + (1 - р*)и2 = и*, где 0 < р* < 1. Если через р* обозначить смешанную стратегию, при которой А играет стратегию а, с вероятностью р*, то пара (р*, а*) и будет искомой седловой точкой. В самом деле, с одной стороны, все стратегии А дают один и тот же платеж, если оппонент играет д*, так что р* максимизирует этот платеж. С другой же стороны, поскольку / есть определенная выше разделяющая линия р*их + (1 — Р*)и2 > и* для всех (и,, и2) из Я, то платеж А при его стратегии р* составит не менее и* при любой стратегии В. Теорема о минимаксе показывает, что два принципа рационального выбора Неймана — Моргенштерна совпадают друг с другом во всех играх с нулевой суммой, если в распоряжении игроков имеются сме 891 шанные стратегии. Однако, к сожалению, сама предпосылка о допустимости смешанных стратегий отнюдь не естественна. Мало того, что правила игры или объективные ограничения могут исключать возможность применения таких стратегий, сама мысль о том, что рациональные игроки должны применять смешанные стратегии, содержит в себе определенное противоречие. Дело в том, что чистая стратегия, выбранная при помощи рулетки, может оказаться менее безопасной, чем другие варианты, так что индивид, максимизирующий минимальный платеж, имеет все основания пересмотреть свое решение. Более того, он может предвидеть это заранее. Следует сказать несколько слов и о том, как на практике сбываются предсказания фон Неймана — Моргенштерна относительно поведения индивидов в играх с нулевой суммой. Изо всех таких данных самыми существенными являются результаты лабораторных экспериментов. В ходе этих экспериментов, как правило, одна и та же ситуация сначала объясняется участникам на словах, после чего они участвуют в ряде игр с гипотетическими или небольшими реальными платежами. Противником в такой игре может быть как другой участник, так и компьютерная программа. Основная проблема в подобных экспериментах состоит в том, чтобы заставить участников при принятии решения в ходе игры руководствоваться исключительно своими платежами, не «привнося» влияний каких бы то ни было посторонних факторов, — например, полезностей выигрыша своих оппонентов. В большинстве поставленных экспериментов участники однозначно не действовали так, как того требует теория, хотя в некоторых случаях исходы начинали стремиться к равновесным по мере накопления опыта. Не следует, конечно, забывать о том, что отклонения от поведения, соответствующего седловой точке, могут быть рациональными, если индивид имеет рациональные основания полагать, что его оппонент сам отклоняется от такого поведения. Однако это объяснение неудовлетворительно, поскольку участники, как правило, не использовали тех возможностей, которые предоставлялись им организаторами эксперимента, закладывавшими в программу неседловые стратегии оппонентов. Наконец, индивиды не проявляли особой склонности и к использованию смешанных стратегий. Впрочем, эти эксперименты были поставлены с целью исследования эмпирического феномена, а не собственно того вопроса, на который Нейман и Моргенштерн предложили свой, по их мнению, убедительный ответ: какие стратегии рациональны в играх с нулевой суммой. Вклад этих двух авторов в решение именно такой задачи поистине можно назвать революционным, хотя на практике люди и не спешат следовать такому решению. При всей элегантности, формальной строгости и содержательной глубине теории, предложенной Нейманом и Моргенштерном, на другой чаше весов лежат так и не разрешенные сомнения в адекватности самой чистой теории рационального принятия решений вообще и в играх с нулевой суммой в частности. 892 БИБЛИОГРАФИЯ Нейман Дж.
фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. Colman, А. 1982. Game Theory and Experimental Games. Oxford: Peigamon. Ellsbeig, D. 1956. Theory of the reluctant duelist. American Economic Review 46, December, 909-23. Gale, D. 1951. Convex polyhedral cones and linear inequalities. In Activity Analysis of Production and Allocation, ed. T.C. Koopmans, New York: Wiley. Johansen, L. 1981. Interaction in economic theory. Economic appliquee 34(2—3), 229-67. Von Neumann, J. and Morgenstern, O. 1944. Theory of Games and Economic Behavior. Princeton: Princeton University Press. АВТОРЫ Эндрю Б. Эйбел — профессор экономики и финансов Уортонской школы Пенсильванского университета. Занимает кафедру банковского дела имени Роберта Морриса. Армен А. Алчиан — почетный профессор экономики Калифорнийского университета, Лос-Анджелес. Уильям Р. Аллен — профессор экономики Калифорнийского университета, Лос-Анджелес. Вице-президент Института исследований современной экономики. Президент Западной экономической ассоциации. Вице-президент Южной экономической ассоциации. Кеннет Дж. Эрроу — профессор экономики и исследования операций Стэнфордского университета. Занимает кафедру имени Джоан Кении. Награжден медалью Джона Бейтса Кларка Американской экономической ассоциации в 1957 г., лауреат Нобелевской премии по экономике 1972 г., лауреат премии фон Неймана Института исследований в области менеджмента и Американского общества исследования операций, 1986. Тони Аспромургос — старший преподаватель экономики Сиднейского университета. П.С. Атия — королевский адвокат, профессор права Оксфордского университета (1977—1988), член Британской академии. А.Б. Аткинсон — профессор Лондонской школы экономики, занимает кафедру экономики и статистики имени Тука, член Британской академии. Майкл Бахарах — лектор и научный сотрудник Крайстчерч-колледжа, Оксфорд. Бела Баласса — профессор университета Джонса Хопкинса. Консультант Всемирного банка. Почетный доктор парижского университета Сорбонна. Зарубежный член Венгерской академии наук. Фрэнсис М. Бэйтор — занимает кафедру политической экономии Фонда Форда в Школе государственного управления имени Дж.Ф. Кеннеди в Гарвардском университете. Заместитель советника по национальной безопасности президента Линдона Б. Джонсона, 1964—1967. Обладатель награды за выдающиеся заслуги Государственного казначейства США. Грант Фонда Гуггенхайма, Американской академии наук и искусств. Питер Бауэр — почетный профессор экономики Лондонской школы экономики. Научный сотрудник колледжа Гонвилля и Каюса, Кембридж. Член Британской академии. Пожизненный пэр Англии. Уильям Дж. Баумоль — профессор Принстонского и Нью-Йоркского университетов. Президент Американской экономической ассоциации. Гэри С. Беккер — профессор экономики и социологии Чикагского университета. Обладатель званий почетного доктора Еврейского университета, Иерусалим; Нокс-колледжа; Иллинойского университета, Чикаго. Лауреат премии им. У.С. Войтинского, обладатель медали 894 Джона Бейтса Кларка, лауреат премии Фрэнка Э. Зайдмана в номинации «политическая экономия», лауреат премии M.E.R.I.T., премии Джона Р. Коммонса. Президент Американской экономической ассоциации, 1987, член Национальной академии наук, Американского философского общества, Американской академии наук и искусств, Национальной академии образования. Уилфред Беккерман — научный сотрудник Бэллиол-колледжа, Оксфорд. Оливье Ж. Бланшар — профессор Массачусетского технологического института. Член Эконометрического общества, главный редактор Quarterly Journal of Economics. Франсин Д. Блау — профессор экономики и анализа трудовых отношений Иллинойского университета, Урбана-Чемпейн. Научный сотрудник Национального бюро экономического анализа, Кембридж, Массачусетс. В 1991-1992 президент, в 1983-1984 — вице-президент Экономической ассоциации Среднего Запада. В 1987—1989 — член правления Ассоциации изучения трудовых отношений. Эстер Бозеруп — обладательница звания почетного доктора экономики (Копенгагенский университет), литературы (Брауновский университет) и агрономии (Вагенингенский университет). Иностранный член Национальной академии наук США. Джеймс А. Брикли — профессор экономики Рочестерского университета. Джеймс М. Бьюкенен — профессор экономики университета Джорджа Мейсона, Вирджиния. Лауреат Нобелевской премии по экономике 1986 г. Филлип Кейган — профессор экономики Колумбийского университета. Стивен Н.С. Чен — профессор и заведующий кафедрой экономики Гонконгского университета. Ведет исследования в области политической экономии в Чикагском университете. Грегори Клэйс — сотрудник факультета изучения зарубежных стран и англистики в Ганноверском университете. Роберт Д. Кутер — профессор права в Калифорнийском университете, Беркли. В 1988-1989 был приглашенным исследователем в Вирджинской школе права как обладатель Улиновской стипендии. Приглашенный профессор Кельнского университета, факультет права, май-июль 1989. Грант Фонда Гуггенхайма. Ральф Дарендорф — глава колледжа Сент-Энтони, Оксфорд. Член Британской академии. Марчелло де Чекко — профессор монетарной экономики Римского университета. Приглашенный профессор Европейского университета, Флоренция. Джон Итуэлл — научный сотрудник Тринити-колледжа, Кембридж. Роберт Айснер — профессор экономики, занимает кафедру имени У.Р. Кенана в Северозападном университете. Член Американской академии наук и искусств, Эконометрического общества. В 1988 — пре 895 зидент Американской экономической ассоциации, 1988. Грант Фонда Гуггенхайма. Аллан М. Фелдман — доцент Брауновского университета, Провиденс, Род-Айленд. Рональд Финдли — профессор экономики кафедры имени Рагаара Нурксе в Колумбийском университете. Дэвид Д. Фридмен — занимает кафедру имени Джона М. Улина в Школе права при Чикагском университете. Эрнест Геллнер — профессор кафедры социальной антропологии имени Уильяма Вайза Кембриджского университета. Член Британской академии. Эндрю Глин — лектор колледжа «Корпус Кристи», Оксфорд. Я. Ван де Граафф — почетный член колледжа Сент-Джон, Кембридж. Кристофер А. Грегори — старший преподаватель антропологии, факультет антропологии и доисторических исследований Австралийского национального университета. Питер Груневеген — профессор экономики Сиднейского университета. Директор Центра изучения истории экономической мысли при Сиднейском университете. Член Австралийской академии общественных наук. Брюс У. Хэмильтон — профессор экономики университета Джонса Хопкинса. Арнольд С. Харбергер — профессор экономики Калифорнийского университета, Лос-Анджелес. Член Национальной академии наук США, Эконометрического общества и Американской академии наук и искусств. Джон Харсаньи — почетный профессор Калифорнийского университета, Беркли. Член Эконометрического общества, Американской академии наук и искусств, почетный доктор Северозападного университета. Роберт Хессен — старший научный сотрудник института Гувера при Стэнфордском университете. Преподаватель американской экономической истории в Стэнфордской бизнес-школе. Полли Хилл — почетный преподаватель Кембриджского университета; почетный член колледжа Клэр Холл, Кембридж. Альберт О. Хиршман — почетный профессор общественных наук Принстонского университета. Почетный член Американской экономической ассоциации, член Национальной академии наук, лауреат премии имени Толкотта Парсонса в области общественных наук и многих других почетных степеней. В 1986 был выпущен сборник научных работ в его честь. Джек Хиршлайфер — профессор экономики Калифорнийского университета, Лос-Анджелес. Член Американской академии наук и искусств, Эконометрического общества, вице-президент Американской экономической ассоциации. Питер Хауитт — профессор монетарной экономики и теории финансов экономического факультета университета Западного Онтарио. 896 Рави Канбур — заведующий центром экономики развития исследовательского центра при Уорвикском университете. Масахиро Каваи — профессор института общественных наук Токийского университета. Чарльз П. Кайндлбергер — почетный профессор экономики Масса-чусетского технологического института, доктор honoris causa Парижского и Гентского университетов, почетный доктор Пенсильванского университета. Курт Клапхольц — преподаватель экономики Лондонской школы экономики и политических наук. Джон О. Ледьярд — профессор экономики и общественных наук Калифорнийского технологического института. Член Эконометрическо-го общества, президент Общества исследований общественного выбора, член правления Ассоциации экономической науки. Дэвид Е. Линдсей — член совета директоров Федеральной резервной системы. Дональд Н. Макклоски — профессор экономики и истории университета Айовы. Джон Дж. Макконнелл — профессор теории финансов университета Пердью. Член правления Американской финансовой ассоциации. Эдмон Маленво — профессор Коллеж де Франс. Президент Международной экономической ассоциации, 1974—1977. Президент Европейской экономической ассоциации, 1988. Бертон Дж. Мэлкиел — профессор экономики, занимает кафедру «Кемикал бэнка» в Принстонском университете. Бывший президент Американской финансовой ассоциации. Мюррей Милгейт — преподаватель общественных наук Гарвардского университета, занимает кафедру Джона Л. Лоба. Пол Милгром — профессор экономики Стэнфордского университета. Грант Фонда Гуггенхайма. Член Эконометрического общества, сотрудник Института высших экономических исследований в Иерусалиме. Дэвид Гектор Монро — почетный профессор философии Университета Монаш. Член Австралийской академии гуманитарных наук и Австралийской академии естественных наук. Питер Ньюмен — почетный профессор экономики Университета Джонса Хопкинса. Роджер Дж. Нолл — профессор экономического факультета Стэнфордского университета, занимает кафедру публичной политики имени Морриса М. Дойла. Доменико Марио Нути — профессор экономики Европейского университета, Флоренция, и Сиенского университета. Бывший научный сотрудник Кингс-колледжа, Кембридж (1965-1979), профессор политической экономии и директор центра по изучению России и стран Восточной Европы Бирмингемского университета (1980—1983). Мансур Олсон — почетный профессор экономики Мэрилендского университета. Почетный научный сотрудник Американского института мира (1990-1991). Член Американской ассоциации развития науки, Американской академии наук и искусств, почетный сотрудник универ 897 ситетского колледжа, Оксфорд. Лауреат премии имени Глэдис М. Кэм-мерер Американской политологической ассоциации (за лучшую книгу о национальной политике США — Rise andfall of nations). Б. Питер Пашигян — профессор бизнес-школы Чикагского университета. Удостаивался нескольких стипендий Фонда Форда, грантов Национальной научной ассоциации и Чикагской торговой палаты. Эдмунд С. Фелпс — профессор политической экономии Колумбийского университета, занимает кафедру им. МакВикера. Член Национальной академии наук, Эконометрического общества. Вице-президент Американской экономической ассоциации в 1983. Генри Фелпс Браун — профессор экономики труда Лондонской школы экономики и политических наук (1947-1968). Член Британской академии. Кавалер медали Британской Империи (1945), кавалер ордена Британской Империи (1976). Джеймс П. Куирк — бывший профессор экономики Калифорнийского технологического института. Анатоль Рапопорт — профессор конфликтологии университетского колледжа в университете Торонто. Член Американской академии наук и искусств, лауреат Международной премии за исследования проблем мира имени Ленца в 1975, лауреат премии Общества общего системного анализа, 1983; лауреат премии за выдающиеся научные достижения в политической психологии имени Харольда Дж. Лассвелла, 1986; почетный доктор литературы университета Западного Мичигана, 1971; почетный доктор права университета Торонто, 1986. Мелвин У. Редер — почетный профессор экономики труда и экономики города бизнес-школы Чикагского университета, занимает кафедру имени Исидора и Глэдис Браун. Джон Роберте — профессор экономики бизнес-школы Стэнфорд-ского университета, занимает кафедру имени Джонатана Б. Лавлейса; профессор экономики экономического факультета Стэнфордского университета. Член Эконометрического общества. Джон С. Робертсон — научный сотрудник, наставник и преподаватель современной истории колледжа св. Хьюберта, Оксфорд. Сюзан Роуз-Аккерман — профессор права и политических наук Йельского университета, занимает кафедру имени Эли. Мюррей Н. Ротбард — почетный профессор экономики Невадско-го университета, Лас-Вегас; занимает кафедру имени С.Дж. Холла. Вице-президент Института имени Людвига фон Мизеса при Обернском университете. Томас К. Шеллинг — почетный профессор экономики и политологии Мэрилендского университета, Колледж-парк. Президент Американской экономической ассоциации, 1991. Верной Л. Смит — профессор экономики и научный директор экономической лаборатории университета Аризоны. Первый президент и основатель Ассоциации экономической науки (Economie Science Association), 1986—1987, президент общества по изучению общественного выбора, 1988—1990, член Эконометрического общества, президент Западной экономической ассоциации, 1990-1991. 898 Генри У. Шпигель — почетный профессор экономики Католического университета Америки. Грант Фонда Гуггенхайма, кавалер ордена Артуса. Хилель Стайнер — старший преподаватель политической философии Манчестерского университета. Лестер С. Туроу — декан Школы менеджмента им. Слоуна при Мас-сачусетском технологическом институте. Член Американской академии наук и искусств, лауреат премии Джералда Лоба, 1982, обладатель нескольких почетных степеней. Джеймс Тобин — почетный профессор экономики Йельского университета, занимает кафедру имени Стерлинга. Лауреат Нобелевской премии по экономике, 1981. Гордон Таллок — профессор экономики и политических наук Ари-зонского университета, занимает кафедру имени Карла Эллера. Дипломат (специализируется по Китаю). Лауреат премии имени Лесли Т. Уилкинса за «Выдающуюся книгу в области криминологии и уголовного права» Исследовательского центра уголовного права в Олбани, штат Нью-Йорк, 1982. Иммануил Валлерстайн — директор центра имени Фернана Броде-ля, университет штата Нью-Йорк, Бингемтон. Почетный доктор Парижского университета, 1976. Генри С. Уоллич (ум. 1988) — профессор экономики Йельского университета в 1951-1974, член совета директоров Федеральной резервной системы в 1974-1988, помощник Секретаря Казначейства, член Совета экономических консультантов при президенте США . Алан Уолтере — профессор экономики университета Джонса Хоп-кинса. Дэвид Р. Уэйр — доцент Йельского университета. Эдвин Дж. Уэст — профессор экономики Карлтонского университета, Оттава. Чарльз А. Уилсон — профессор экономики Нью-Йоркского университета. Член Эконометрического общества, исследователь Фонда Слоуна. Роберт Уилсон — профессор Стэнфордской бизнес-школы. Гордон С. Уинстон — профессор экономики и провост Уильямс-колледжа. Занимает кафедру политической экономии имени Оррина Сейджа. Сидни Дж. Уинтер — главный экономист Центрального финансово-контрольного управления США, Вашингтон, округ Колумбия. Профессор экономики и менеджмента Йельского университета в 1976— 1989. Член Эконометрического общества, Американской ассоциации развития науки. Дж. Д. Н. Уорсуик — научный сотрудник Магдален-колледжа, Оксфорд, 1945-1965. Директор Национального института экономических и социальных исследований, Лондон, 1965-1982. Член Британской академии, президент Королевского экономического общества 1982-1984. 899
<< | >>
Источник: Дж. Итуэлла, М. Милгейта, П. Ньюмена. ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ, - М.: ИНФРА-М, 931 c.. 2004

Еще по теме ИГРЫ С НУЛЕВОЙ СУММОЙ Майкл Бахарах Zero-sum Games Michael Bacharach:

  1. ИГРЫ С НУЛЕВОЙ СУММОЙ
  2. ХАММЕР, Майкл (1948) Hammer, Michael
  3. ПОРТЕР, Майкл (1947) Porter, Michael Е.
  4. ХАННАН, Майкл (1943) Hannan, Michael ФРИМЕН, Джон (1945) Freeman,John
  5. МАРЧ, Джеймс Гарднер (1928) САЙЕРТ, Ричард Майкл (1921)   Cyert, Richard Michael
  6. Справка о доходах с нужной суммой
  7. П.В. Бахарев. ОСНОВЫ АДВОКАТУРЫ: Учебнометодический комплекс. - М.: Изд. центр ЕАОИ. - 152 с., 2008
  8. Майкл
  9. Определение и компоненты деловой игры
  10. Анализ пяти сил конкуренции Майкла Портера
  11. ХОЛОДНАЯ ВОИНА Испытание американской мощи и проверка идеалов Майкл Джей Фридман
  12. Имитационные и репрезентационные игры
  13. Выбор ролевой игры
  14. Ролевые игры
  15. h. Азартные игры
  16. Ансамблевые деловые игры
  17. Недостатки ролевой игры